2025年新高考数学专项复习：含参不等式的十大题型（解析版）

专题2-1含参不等式的十大题型汇总

。常考题型目录

题型1含参一元二次不等式已解集问题.............................................5

题型2含参分式不等式已知解集问题...............................................10

题型3含参绝对值不等式已知解集问题.............................................13

题型4一元二次方程根的分布.....................................................17

题型5含参不等式取值范围问题...................................................23

题型6整数解问题...............................................................26

题型7恒成立问题...............................................................31

题型8有解问题.................................................................34

题型9与充分，必要条件结合的问题...............................................39

题型10高次不等式..............................................................44

Q知识梳理

知识点一.一元二次不等式的概念

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不

定义

等式

a/+bx+o0,a"+bx+c<0,a)^+bx+c>0+bx+c<0，其中a/0,

一般形式

a.b,c均为常数

知识点二.一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数片aa+bx+c,我们把使a兄+bx+c=0的实数x叫做二次函数y

=a/+bx+c的零点.

知识点三.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

判别式/>0/=0/<0

二次函数y=8解+1LP

即\12/"2XV

bx+4a>0）的图象X

有两个相等的实数

一元二次方程8解十有两个不相等的实

b没有实数根

bx+c=0（3>0）的本艮数根Xl,X2（X1<X2）根Ai二至二-

2a

+bx+o0(a>0)Ta

,或心及｝R

的解集

a/+bx+c<0(a>0)

及｝00

的解集

知识点四.一元二次不等式的解法

(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或

ax2+bx+c<0(a>0).

(2)求出相应的一元二次方程的根.

(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.

方程的根一函数草图-观察得解，对于a<0的情况可以化为a>0的情况解决

注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按

照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。

注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨

论，同时注意判别式韦达定理的应用。

注：三个"二次"之间的关系

(1).三个"二次"间的关系

判别式△=b2-4ac△>0△=0△<0

二次函数y=ax2+bx

+c(a>0)的图象A

有两相等实根X1=X

一元二次方程ax2+有两相异实根Xi,2

没有实数根

b

的根()

bx+c=0(a>0)X2X1<X2=-2a

ax2+bx+c>0(a>

伙仅>X2

R

或X<Xi}

0)的解集14:

ax2+bx+c<0(a>

{X[X1<X<X2}00

0)的解集

(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数

的图象及性质来解决问题，关系如下：

|.vO)(a-O)的解集端点|

|方程底+乐+。=03*0)的根H函数yn2+bx+HaWO)的零点|

特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式.

知识点五.解含参数的一元二次不等式的步骤

知识点六.分式不等式的解法

解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式

(1)>0>2B>0.(2)|<0Q<0.

⑶公。。方M明w。。窗制

【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0;当分母符号确定

时，可利用不等式的形式直接去分母。

知识点七.绝对值不等式

1.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

不等式a>0a=0a<0

冈<a(-a,a)00

冈“(-8,-a)U(a,+oo)(-8,0)U(0,+8)R

(2)|ax+b|<c(c>0)^|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法

①|ax+b|<c<^>-c<ax+b<c;

@|ax+b|2c=ax+b"或ax+bw-c.

(3)|x-a|+|x-b|>c(c>0)和|x-a|+|x-b|<c(c>0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用"零点分段法"求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

2.含有绝对值的不等式的性质

(1)如果a,b是实数，则|a+b|<|a|+|b|,当且仅当ab20时,等号成立；

(2)|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|;

⑶如果a,b,c是实数，那么|a-c|<|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)>0时，等号

成立.

注意：

1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.

2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.

3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|-|b141a土b|4|a|+|b|求函数最值，要注意其中等号成

立的条件.

但题型分类

题型1含参一元二次不等式已解集问题

【例题1】(多选)(2022秋•江苏常州•高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习)若关于%的

不等式。<ax2+bx+c<l(a>0,b,ceR)的解集为[一1,2],则4a+5b+c的值可以是()

A.-iB.-iC.-D.1

242

【答案】BC

【分析】先根据0<ax2+bx+c<l(a>0,b,cER)的解集为[一1,2]得到a,dc的关系和范

围，利用不等式的性质可得4a+5b+c的范围.

【详解】由题意仇c满足：b2-4ac<0,且a/++。=1的两个根为一1,2,

-b+c=1,4a+2b+c=1,

得b=—a,c=1—2a,

222

b—4ac=a—4a(l—2a)=9a—4a<0z

得0WaW[,因a>0,所以0<a<^,

4a+Sb+c=4a—Set+1—2a=1-3af

故(1—3a)G[-1,I)'

所以/1不满足题意，,日满足题意，

故选：BC

【变式1-1]1.(2023•全国•高一专题练习)已知一元二次不等式a/+bx+c>

0(a,b,ceR)的解集为{xI—1<x<3},贝必—c+[的最大值为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可.

【详解】ax2+bx+c>。的解集为（-1,3）,故一1,3为方程a/+fax+c=。的两个根，

且a<0,[+°=>P~~^a,■-b-c+-=a+-=-（-a--）<-2（当且仅当

）（-1）X3=（c=-3aaa\aJ

—1时等号成立）.

a=-a,a<0,a=

故选：A.

【变式1-1]2.（2023・全国•高一专题练习）若不等式/—①+i）x+a§。的解集是-4,3]

的子集，则a的范围是（）

A.[-4,3]B.[-4,2]

C.[-1,3]D.[-2,2]

【答案】A

【分析】原不等式可化为0-a）（x-1）<0,后通过讨论a与1的大小解不等式，结合解集

是[-4,3]的子集可得答案.

【详解】原不等式可化为0-a）（%-1）<0.

当a<1时，不等式的解集为[a,1],此时只要a>—4即可，即—4<a<l;

当a=1时，不等式的解为x=l,此时符合要求；

当a>1时，不等式的解集为口,a],此时只要a<3即可，即1<aW3.

综上可得：—4<a<3.

故选：A

【变式1-1]3.（2022秋・上海普陀・高一曹杨二中校考阶段练习）已知关于%的不等式/—

2ax一8a2<。的解集为（如冷），若比2-/=12,则实数a的值是（）

A.-2B.2C.±1D.一2或2

【答案】D

22

【分析】由题知+x2=2a,尤62=-8a,再根据（孙+x^-4xtx2=（x2-/尸解方程

即可得答案.

【详解】解：因为关于x的不等式/-2ax-8a2<。的解集为（功冷），

所以，石,“2是方程/-2ax-8a2=。的实数根，

2

所以,%!+x2—2a,X1*2=—Ba,

因为％2-=12,

所以（%2+如）2—4x62=（x2—%1）2，即144=32a2+4a2，解得a=±2，满足△=36a2>0

所以，实数a的值是-2或2.

故选：D

【变式1-U4.（2022秋・海南•高一校考期中）已知不等式a/+"+cw。的解集为

[x\x<-3或x>4},求不等式b%2+2ax—c-3b<0的解集.

【答案】{x|-3<x<5}

【分析】由不等式的解集与不等式的关系可知a<0,且关于久的方程收+版+c=0的两

根分别为-3、4,利用韦达定理可得出Ac与a的等量关系，然后利用二次不等式的解法解

不等式b/+2ax—c—3b<0,即可得解.

【详解】解：因为不等式a-+b久+cW0的解集为{x|xW—3或x24},则a<0,

且关于x的方程a/+bx+c=0的两根分别为-3、4,

由韦达定理可得-3+4=--,—3x4=-,所以,b=—a,c=-12a,

aa

所以，不等式b/+2ax—c—3b<。即为-a/_|_2ax+15a<0,

化简可得％2—2x—15<0z解不等式/—2x—15<。可得一3<%<5,

因此，不等式不2+2ax-c—3b<0的解集为{%[-3<x<5].

【变式1-1】5.（2022秋♦四川泸州•高一泸县五中校考阶段练习）已知关于％的不等式

ax2+4x-3>0的解集为{久Il<x<b}.

(1)求a力的值；

(2)解关于x的不等式安<0.

【答案】(l)a=—l,b=3

(2){x|x<1或x>3}

【分析】(1)由一元二次等式与一元二次不等式的关系可知方程a*2+4%-3=0的解为小=

1,犯=b,再利用韦达定理即可求出答案；

(2)将a=-13=3代入不等式得答<0，化简可得(x-1)(%-3)>0,即可解出不等

X—3

式.

【详解】(1)由题意知一元二次方程a%2+4x—3=0的解为/=l,x2=b,

(1+b---

由韦达定理有：I,

lxb=不

Ia

解得：a=—1,6=3；

(2)将a=-1,b=3代入不等式得答<0,整理得，

除12<o，化简得。-1)(%-3)>0,

故所求解集为：W1或X23}

【变式1-U6.(2021・高一课时练习)已知关于x的不等式。<x2+ax+b<6-x的解

集为［2,3］u{6},求实数a、b的值.

【答案】a=-9,b=18.

【分析】把给定不等式化成两个一元二次不等式组成的不等式组，设出每个一元二次不等式

的解集，结合给定解集确定对应方程的根即可计算作答.

【详解】原不等式转化为［2甘/*显然不等式/+ax+b>0解集不是

R,设其解集为(-8,%1]u[x2,+oo),%1<x2,

不等式%2+(a+l)x+fa—6<0解集不是空集,设其解集为<%41

2

因不等式0<x+ax+b<6-%的解集为[2,3]U{6},则必有不=%4=6,>汽3，于是

得=[2,3],即%1=3,孙=2,

因此，3,6是方程/+ax+b=0的二根，则有F匹=-a,解得。=_9)h=18；

2,6是方程/+(a+l)x+b—6=0的二根，f[6：+1),解得=_%^=18,

I2X6=8—6

综上得，a--9,b=18,经验证,当a=-9,b=18时,不等式0<x2+ax+b<6-%的

解集为[2,3]U{6},

所以实数a、b的值是a=—9,b=18.

【变式1-U7.(2020秋•安徽合肥•高一合肥一中校考阶段练习)关于久的不等式ax++

c<。的解集为(1,4),则关于x的不等式c/+版+。>o解集为.

【答案】(一8W)乂1,+8)

【解析】由关于久的不等式ax+b^+c<。的解集求出a、6、c之间的关系，代入不等式c/+

bx+a>0中化简求解即可.

【详解】关于%的不等式ax+by[x+c<。的解集为(1,4),令石=y,

则关于y的不等式ay?+如+c<。的解集为(1,2),

则关于y的一元二次方程ay2+by+C=。的两根为1、2,且a>0；

[1+2

a

所以]c,解得b=-3a,c=2a；

1x2=-

a

则关于x的不等式c/+bx+a>0可化为2/—3x+1>0,

即(2%-l)(x-1)>0,

解得x<1或无>1,

所以不等式的解集为(-8,)U(1,+8),

故答案为：(一8,)U(1,+8).

【点睛】本题考查了求一元二次不等式的解法，是基础题目.若叼<%2，则(%--%2)<

0的解集是01，不)；(X-的)0-X2)>0的解集是(一8,右)U(久2,+8).

【变式1-1]8.(2021・高一课时练习)已知关于X的不等式>%+6的解集为(6,9),则

a+b的值为.

【答案】9

【分析】令土=H,根据题意可得Q和3是方程产—或+6=。的两个根，根据韦达定理可

求

【详解】令t=y，％20,t20,不等式化为产-at+6<0,

则不等式的解集为(b,9)等价于VF和3是方程t2-at+6=。的两个根，

书斌7,解得

故答案为：9.

题型2含参分式不等式已知解集问题

【例题2】2020秋•浙江宁波・高一宁波市北仑中学校考期中月知关于x的不等式^-1>0

的解集为(-2,0),则m的值为()

A.m=—1B.m=-2C.m=2D.m=—4

【答案】B

【解析】将原不等式等价为％(久-小)<0,根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.

【详解】不等式十~1>0,所以等>0,可等价为x(x-m)<0,

因为解集为(—2,0),所以，-2,0为方程久(％—m)=0的两个实数根，

所以爪=-2,

故选：B

【变式2-1]1.（2020秋•宁夏银JI卜高二银川唐徐回民中学校考阶段练习）已知关于x的不

等式蜉<。的解集是（-1彳），贝必的值为（）

A-2B.-2C《D.-j

【答案】A

【解析】由方程与不等式关系可求得a值.

【详解】由方程与不等式关系得：-1和1为方程（ax-1）（%+1）=0的两根，

■■^-1=0,解得a=2,

故选：A

【点睛】本题主要考查了分式不等式的解集，不等式与方程的关系，属于基础题.

【变式2-1】2.（多选）（2023秋•江苏常州•高一常州市北郊高级中学校考期末）已知关于

x的不等式竺">0的解集为（一8,-2]U（1,+8）,则（）

x~c

A.c=1

B.点（a,6）在第二象限

C.2a+袍勺最小值为2

D.关于x的不等式a/+ax-b2。的解集为（一8,一2]U[1,+co）

【答案】ACD

【分析】根据题意，由原不等式的解集可得c=1,-2a+b=0,即可判断ABD,然后再

由基本不等式即可判断C.

【详解】原不等式等价于｛9"2。，因为其解集为（-8,-2]U（l,+8），所以a>

。且

c=1,-2a+b=0,故A正确；

因为a>0,b=2a>0,则点（a,b）在第一象限，故B错误；

由b=2a>0可得，2a+[=2a+；2212a=2,当且仅当卜"一五时，即a=:时,

b2a72aIa>02

等号成立，所以2a+[的最小值为2,故C正确；

由6-2a>0可得，不等式a/+ax-b>0即为a/+ax—2a20,化简可得

x2+z-2>0^(x+2)(x-1)>0,则其解集为(一8,一2]u[1,+oo),故D正确；

故选：ACD

【变式2-1]3.(2021秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试)若集合4=

{"I宗>0]=(-00,-1)U(4,+8),则实数a=.

【答案】4

【分析】根据题意，得到(x-a)(x+1)=。的两根为-1和4,从而可求出结果.

【详解】因为关于“的不等式窜>0的解集为(-8,-1)U(4,+8),

所以不等式(x-a)(x+1)>0的解集为(—8,—1)u(4,+8)

即方程(x-a)(x+1)=。的两根为-1和4,

即a=4.

故答案为：4.

【变式2-1]4.(2021•上海•高一专题练习)已知关于x的不等式—<1的解集为{x|x<l

X—1

或X>3},则a的值是.

【答案】|

【分析】把不等式芝<1，转化为(x-l)[(a-1)%+1]<0，结合不等式的解集，得到三=

X—1CL—1

-3,即可求解.

【详解】由题意，不等式W<1,可化为人产<0,

X—1X—1

等价于(％-l)[(a-1)%+1]<0,

因为不等式的解集为｛X|X<1或久>3),可得二=-3,解得a=f.

Q—1o

故答案为:|.

【变式2-1]5.(2023秋•宁夏吴忠・高三盐池高级中学校考阶段练习)(1)已知关于久的不

等式胃<-1的解集是[2,3),求a的值；

(2)若正数a,b满足a+2b=1,求2a+；+4b+g的最小值.

【答案】(l)a=5；(2)27

【分析】(1)根据分式不等式解法求出含参的解集即可求a的值；

(2)用"1"的代换即可构造基本不等式求最小值.

【详解】解：(1)1可化为七誓W0,

X-DX—D

因为不等式竺?<。的解集是[2,3),所以4x-a-3>0,即等<%<3,

X—J4

由誓=2,解得a=5.

4

1p-to

(2)2aH-----F4b4—=2(a+2b)H----1—(a>0,b>0),

abab

因为a+2b=1,所以2(a+2b)=2.

因为工+：=(*)(a+2b)=1.7+万2b+了8a，而-2-2丁ZJ+1石8a22o

ab

当且仅当a=]6=|时，等号成立,

所以;+f>25,所以2a+^+4b+l>27,当且仅当a=]b=|时，等号成立.

题型3含参绝对值不等式已知解集问题

【例题3](2020春・浙江金华・高一校考阶段练习)若不等式|x-2|<1的解集恰为不等式

ax2+bx+3<0的解集，贝!]a-b=()

A.3B.-3C.5D.-5

【答案】C

【分析】解绝对值不等式|x-2|<1可不等式a/+bx+3<0的解集，由二次方程和二次

a>0

不等式的关系可得b5=1+3=4,解出口和》，即可求出结果

I三=3

Va

【详解】解不等式|X-2|<1可得1<%<3,

所以不等式a%2+坂+3<。的解集为{x[l<x<3},

a>0

-"1+3=4,解得{—=5.

{口一

故选：C.

【点睛】本题考查绝对值不等式和一元二次不等式，属基础题

【变式3-1]1.(2023・高一课时练习)已知关于x的不等式爪-|%|>。的解集是[-1,1],

则实数m的取值集合为()

A.{1}B.(1,+co)C.[1,+oo)D.(0,1)

【答案】A

【分析】解不等式即可.

【详解】由已知，易知m>0,由m-\x\>。得：|x|<m,-m<x1；

故选：A.

【变式3-1]2.(2021秋・上海嘉定•高三校考期中)已知关于比的不等式柒<。的解集为

M,不等式|2x-1|<1的解集为N.

(1)若M=(-北一2)U(-1,+8),求实数a的值和解集N.

(2)若"xGN"是"X6M"的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(l)a=-3,解集N为(0,1).

(2)a<1

【分析】(1)由题设("-l)(x+2)<o,再由解集求a的值，应用公式法求绝对值不等式

的解集即可.

(2)讨论参数a求竺J<0的解集，由已知可得NuM,由(1)及所得解集确定a的取值

x+2

范围.

⑴

由景<0'则3-1)(%+2)<0,要使M=(—8,—2)U(-|,+8),

a<0

-'.{I_可得a=-3.

a3

由|2汽-1|<1z则一1V2%—1V1,可得0<%<1,

，解集N为(0,1).

⑵

由(1)：(ax—1)(%+2)<0,

当。>亍>—2,即a<—1时,则x>、或％<—2；

当:=-2,即a=-1时,则x*-2；

当！<-2,即一3<a<0时,则x<(或x>—2；

当a=0时，贝！|x>-2；

当!>0,即a>。时，则一2<x<：；

二要使"xeN"是"x6M”的充分不必要条件，即NuM,又N为(0,1),

综上，aW1满足要求.

【变式3-1]3.(2022秋・辽宁・高一辽宁实验中学校考阶段练习)已知不等式|2久-3|<x

与不等式/—mx+n<。的解集相同.若a,b,ce(0,1),且a6+be+ac=m—n,则a+

b+c的最小值为.

【答案】V3

【分析】根据绝对值的性质，结合一元二次不等式解集的性质、一元二次方程根与系数的关

系、基本不等式进行求解即可.

【详解】由|2%-3|<%=>{产-*=>1<x<3,

(2%—3>—%

因为不等式12%-3|<%与不等式/-+九<0的解集相同，

所以m=1+3=4,71=1x3=3,于是有a力+hc+ac=m—n=l,

(Q+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=a2+h2+c2+2,

(a2+b2>2ab

由b2+c2>2bc=>a2+62+c2>ab+he+ac=1=>a2+&2+c2+2>3，

2

、Q2+C>2ac

因为a,b,cE(0,1),

2

所以当且仅当a=b=c=/时取等号，即(a4-6+c)>3=»a+/?+c>V3,

故答案为：V3

【变式3-1]4..(2023春•陕西渭南•高二统考期末)已知不等式1%-3|<4的解集为

(x\a<x<b},则不等式(％-2)(x2-ax-b+1)<。的解集为___.

【答案】(―°°,—3]U{2}

【分析】先根据已知不等式的解集求出Q”，代入所求不等式可求出结果.

【详解】由—3|V4，得一4<%—3V4,得—1<%V7,

所以a=-1,b=7.

则不等式(％-2)(x2-ax-b+1)<。化为(%-2尸(%+3)<0.

所以％=2或%<-3.

所以所求不等式的解集为(-8,-3]U{2}.

故答案为:(—00,—3]U{2}

【变式3-1]5.(2020春•江西上饶•高二统考期末)若关于%的不等式|a%-2|<3的解集

为{%|—5V2<%<V2]，贝[Ja=___.

【答案】-当

【分析】分类讨论解绝对值不等式，根据不等式的解集列方程求解a即可.

【详解】①若a=。显然不成立；

②若a>0,不等式|ax—2|<3的解为—(<%<|,

因为不等式|ax-2|<3的解集为｛x|—5位<x<a｝,

(-工=-5企

所以t广，无解；

(小遮

③若a<0,不等式|ax—2|<3的解为?<x<—1,

因为不等式|ax-2|<3的解集为｛x|—5&<x<鱼｝,

f-=-5V2五

所以卜1-，解得a=—率

一工=&2

Ia

综上所述，a=-日.

故答案为：-日

【点睛】本题考查绝对值不等式，属于基础题.

题型4一元二次方程根的分布

【例题4】(2022秋・河南郑州•高一校考阶段练习)已知关于x的方程32+2+1=0有两个不

同实根巧盟，若|巧『2区四，则实数a的取值范围是

【答案】［2,+8)U(-1,-*

【分析】利用韦达定理得到两根之和，两根之积，进而表达出0<|尤1-2l=g14V5,求

出a的取值范围.

【详解】由题意得:"0,

—21

由韦达定理可知：%1+%2="-/Xi%2=__，

贝!]0<|工广第21=J01+%2)2-4%1%2二

f44

-+>O①

i-

以

所a

la244②

_<3

l+--

a

a2

2

解

得

解

得

①a>②a>诚a<

--3-

2

综上：。之2或,

所以a的取值范围是[2,+8)U(-1,-1].

故答案为：[2,+°o)U(-l,-|].

【变式4-1]1.(2023•全国•高三专题练习)已知方程2(k+l)x2+4日+3k-2=。有两

个负实根，则实数k的取值范围是()

A.(-2,-1)u(|,1)B.2,—1)

C•(〉1)。.卜2,—1)U(|,1]

【答案】D

【解析】方程2(/c+l)x2+4kx+3々-2=。有两个负实根,则两根之和小于0.两根之积

大于0,故可建立不等式组，从而可求实数k的取值范围.

【详解】解：要原方程有两个负实根，必须：

/c+1W0’k手一1

2(/c+1)W0fc2+fc-2<0-2<k<l

zl>0

--0=<k>0<—1•

+%2Vo2(fc+l)

-^->0

xrx2>0、k>|班<-1

2(k+l)

»—2<fc<-1或|<fc<1

二实数k的取值范围是卜2,-1)u(|z1].

故选：D.

【点睛】本题以方程为载体，考查方程根的研究，解题的关键是利用韦达定理，构建不等式

组

【变式4-1】2.(2023秋•江苏镇江・高一扬中市第二高级中学校考开学考试)已知关于久的

方程3乂2—2(3k+l)x+31—1=0,根据下列条件,分别求出k的值.

(1)有一根为0；

(2)有两个互为相反数的实根；

(3)两根互为倒数.

【答案】(1此=士当

⑵”号

⑶k=v

【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，结合代入法进行求解即可；

(2)利用一元二次方程根与系数的关系，结合(1)的结论进行求解即可；

(3)利用一元二次方程根与系数的关系，结合(1)的结论进行求解即可.

【详解】(1)依题意原方程有实数根，

所以A=4(3fc+l)2-12(3k2-1)>。解得k>-|；

将x=。代入方程得3k2一1=o,k=±日；

(2)两根之和为0,即誓12=0=/.=一]显然满足k>-|；

(3)因为两根互为倒数，

所以两根之积为1,即宁=1=/£=±竽，而卜2-|,所以k=誓.

【变式4-1]3.(2023•全国•高一专题练习)已知二次函数y=x2-2tx+t2-l(tGR).

(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式/—2S+/—120；

(2)若关于x的方程/-2坟+/—1=0的两个实根均大于-2且小于4,求实数t的取值范

围.

【答案】(1){对久21或％W-1}

(2){t|-l<t<3}

【分析X1股二次函数y=x2-2tx+t2-l(teR)的两个零点分别为%】*2，由+■=0

求出t,直接解得；

(2)由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围.

2

【详解】(1)设二次函数y=/—2tx+t-l(teR)的两个零点分别为右,x2,

由已知得+型=0，

而Xi+x2-2t,所以2t=0,故t=0,

不等式/—2tx+t2—1>。即/-1>0,解得久>1或x<-1,

故不等式的解集为{x|x21或％W-1}.

(2)因为方程/—2以+产—1=o的两个实根均大于_2且小于4,所以

(△=(-2t)2-4(t2-1)>0(4>0

I-2<t<4即]-2<t<4

)(-2)2-2tx(-2)+t2-1>0'即jt2+4t+3>0'

k42-2tx4+t2-1>0It2-8t+15>0

解得：一1<t<3,即实数t的取值范围为{t[—1<t<3}.

【变式4-l】4.(2022秋•全国•高一专题练习圮知关于久的方程/—(2爪+l)x+爪+7=。

有两个不等的实根久1,%2•

(1)两根一个根大于1,一个根小于1,求参数小的取值范围；

(2)1<<3,x2>4,求参数zn的取值范围.

【答案】(1)巾>7；(2)三<小<7.

【分析】(1)令/0)=x2-(2m+l)x+m+7,等价于/⑴<0;

〃⑴〉0

(2)由"⑶<0即可求出.

1/(4)<0

【详解】令=x2—(2m+l)x+m+7,

(1)两根一个根大于1,一个根小于1,等价于"1)<0,

则1—(2TH+l)+Tn+7<0,解得ni>7；

(2)若1<刀1<3,久2>4,

m</

7(1)>0f1-(2m+1)+m+7>013

则(f(3)<0,即｛9一(2m+1)，3+m+7<0，即m>T,解得?<m<7.

/(4)<0[16-(2m+l)-4+m+7<0

m>—

【变式4-l]5.(2020秋•四川遂宁•高一统考期中)已知二次函数/⑶=ax2+x+l(a>0).

(1)求函数人乃在区间[一4,一2]的最大值MQ)；

(2)若关于久的方程/⑶=0有两个实根久】、冷，且卫6住,10],求实数a的最大值.

%2LIUJ

(4a—1,0<a<-1

【答案】(1)/；(2)i

I16(1-3,Q>%

【解析】(1)根据对称轴的位置讨论两种情况：-白<7-十>-3,分别根据二次函数

2a2a

的单调性求出最大值即可得结果；

(2)设£=t,t=争鸟,1。],由韦达定理可得

a=/而=+，利用函数的单调性可得实数。的最大值•

t+—+2

【详解】(1)对称轴％=-/%6[―4,—2],a>0二次函数开口向上，

①当一点4一3!即。<a4‘时：M(a)=f(-2)=4a—1,

②当——>—3,即a>々时：M(a)-f(—4)-16a—3,

(1

4a—1,0<a<-

综上所述，M(a)=/.

16a—3,a>—

I6

(2)由题知：方程a/+汽+i=。的两个根分别为汽=汽1、x=x2,

由韦达定理知：与•％2=：①，+%2=-5②，

又已知£=量七1。]，③

联立卜1+X2~~a，得X]=,

(%1=tx2(l+t)a(l+t)a

带入知：芾京=1

即。=品=点，其中

当"1时，分母t+i+2取得最小值4,

所以a得最大值方

【点睛】本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系，清楚一元二次方程根与系数的

关系的处理，对"对勾函数"的单调性、最值的理解是解题的关键.

【变式4-1】6.(2020・高一课时练习)已知抛物线y=(m-l)x2+(m-2)x-1(%e7?).

(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

(2)若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,

求m的取值范围.

【答案】(l)m£R,且m/1,m/0；(2){m|0<m<l或l<m<2}.

【解析】(由题意可知解不等式即可得的范围.

1)m/lzHA>0zm

(2)可设方程的两实根为xl,x2,由根与系数关系得/+x2,X1-x2,然后代入吃+吃=

%2

一表即可求解

22

X1X2

【详解】⑴根据题意,mwl且A>0,

由△=(□!-2)2-4(m-1)(-1)>0,

得m2>0,所以mwR,且m/1,m/0.

⑵在m/0且m/1的条件下，设方程的两实根为xl,x2,由根与系数关系得,

m—2

X1+%

21—m

1

•%2=i-------

1—m

则衰+衰=(血+%2)22

22

X1X2

=(m-2)2+2(m-1)<2.

得m2-2m<0,所以04m42.

所以m的取值范围是{m[0<m<l或1cm42}.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在与根与系数关系的应用，解题的关键是具

备一定的计算及推理的能力.

题型5含参不等式取值范围问题

【例题5](2023秋•福建宁德•高三福建省宁德第一中学校考阶段练习)已知全集U=R,

非空集合4=={4*<()}•

Q)当a=/寸，求QB)CA；

(2)命题p:xeA,命题q:%eB,若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】⑴回注％<3}

⑵(-8,一1]31,2]

【分析】(1)4={x\2<x<3},当。=泄，B={*<x<》，再运用交、补集的运

算，计算求解即可；

(2)由已知可得p今q,故4=B,计算求解即可得到结论.

【详解】(1)不等式上|<。的解集为{刈2<%<3]

所以/={x\2<x<3},

当a制时,8=核|熟<。},化简得8={4<X<T,

,•,全集U=R,

•1•CuB=卜卜W]或x2[},

■'-CyBn4={x|3WX<3}；

(2)由q是p的必要条件，可得pnq,

所以A£B,

因为a?+2—ci=(a-J+—>0

所以小+2>a,

所以不等式上史坦<0的解集为{x[a<X<a2+2},

X—Q,

2

所以B=[x\a<x<a+2}z

•••{。2枝13，解得a<T或1<a<2,

所以实数a的取值范围是（-8,-1]u[1,2].

【变式5-1]1.（2022秋・河南信阳・高一信阳高中校考阶段练习）已知全集u=R,非空集

合人=3晨乐<0},B=[|W<。}

（1）当a=/寸，求（CuBn4）；

⑵命题p:xeA,命题q:xeB,若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）1加％<|}

（2）叱卜/呜等]

【分析