2025年新高考数学重难点专项复习：求圆的方程八大题型（解析版）

重难点07求圆的方程八大题型汇总

题型解读

满分技巧/

技巧一.几何法：

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

技巧二待定系数法：

①若已知条件与圆心(a,5)和半径/■有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a,b,/"的方程组,

从而求出a,b,/■的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，巳尸的方程

组，进而求出D,E,尸的值.

技巧三.标准方程法

确定圆心位置的方法

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.

技巧四.圆系方程

1.过直线Ax+By+C=0与圆A2+必+Dx+Ey+F-0交点的圆系方程为解+尸+Dx+Ey+F+A{Ax+By

+Q=O(/leR);

.过圆必+必+和圆：必+必+交点的圆系方程：必+〃+

2G:Dix+Eiy+6=0G6x+E2y+£=0Dix

+8y+6++〃+D2X+£y+£)=0(/1/-1)(该圆系不含圆G解题时注意检验圆G是否满足题意，

以防漏解).

题型提分练

题型1圆的标准方程法

【例题11(2022秋•青海海南•高二海南藏族自治州高级中学校考期末)圆心在x轴负半轴上，半径为4,

且与直线x+By-5=。相切的圆的方程为()

A.(x+3/+y2=16B.(十—3)2+y2=16

C.(x—13)2+y2=16D.(%+13)2+y2=16

【答案】A

【分析】根据题意，设圆心为坐标为⑺,0)(m<0),由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线久+V3y-

5=0的距离d=4,解得小的值，即可得答案.

【详解】根据题意，设圆心为坐标为(爪,0),(m<0),

圆的半径为4,且与直线x+V3y-5=0相切，

则圆心到直线％+V3y-5=0的距离d=甯=4,

解得：巾=—或13(舍)，

则圆的坐标为(-3,0),故所求圆的方程为(x+3)2+y2=16,

故选：A

【变式1-1】1.(2023春・上海杨浦•高二统考期末)以C(l,l)为圆心，且经过M(2,3)的圆的方程

是.

【答案】(X-I)2+(y-1)2=5

【分析】设出圆的标准方程，把M(2,3)代入圆方程即可求出参数，从而得圆的标准方程.

【详解】因为圆心C(1,D,故可设圆的标准方程为0-D2+(y-I)?="，

因为点M(2,3)在圆上,所以产=(2—1尸+(3—1尸=5,

所以所求圆的方程为(x-IP+(y-I)2=5.

故答案为：(X—l)2+(y-l)2=5

【变式1-1]2.(2023秋•浙江杭州•高二浙江大学附属中学校考期末)已知点力(4,0),。(0,0"(0,-3),则

△20B的内切圆的方程为.

【答案】(x-I)2+(y+l)2=l

【分析】根据给定条件，确定AAOB内切圆的圆心位置，设出圆心坐标，再借助点到直线的距离公式求解

作答.

【详解】依题意，△&。8内切圆的圆心C在第四象限，并且到X、y轴距离相等，令此圆半径为＞0),则

圆心C(r,—r),

直线48方程为：升'=1,即3x—4y—12=0,直线28是圆C的切线,

|3r-4(-r)-12|

因此r=732+(-4)2-解得r=1或r=6,

显然r<\OB\=3,于是r=1,圆心C(l,—1),

所以△40B内切圆的方程为(x-+(y+I)2=1.

故答案为：(％-I)2+(y+I)2=1

【变式1-1]3.(2022秋•甘肃兰州•高二兰化一中校考期末)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的"黄

金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数：1,1,2,3,5,8,13,…为边长的正方形拼成长方形，然后

在每个正方形中画一个圆心角为90。的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如图为该螺旋

线在边长为1,1,2,3,5,8的正方形的中的部分，建立平面直角坐标系(规定小方格的边长为1),则

接下来的一段圆弧所在圆的方程为

【答案】(%+4)2+(y—2)2=169

【分析】根据题意，分析要求的圆的圆心和半径，由圆的标准方程分析即可得出答案.

【详解】根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r=5+8=13,其圆心为(-4,2),

(根据题中图象规律发现)，则其标准方程为0+4)2+(y-2)2=169.

故答案为：(X+4)2+(y-2)2=169.

【变式1-U4.(2022秋•广东珠海•高二珠海市第一中学校考期末)德国数学家米勒曾提出过如下的"最

大视角原理"：对定点人B和在直线/上的动点P,当［与△力PB的外接圆相切时/APB最大若2(0,2),8(0,8),

P是光轴正半轴上一动点，当P对线段4B的视角最大时，△APB的外接圆的方程为()

A.(x—4)2+(y—4)2=25B.(x—4)2+(y—5)2=16

C.(x—5/+(y—4)2=16D.(%-4)2+(y-5)2=25

【答案】D

【分析】先由条件确定点P的坐标，再求△力PB外接圆的方程.

【详解】设P（P，0）,（P>0）,则灯=k4P=-，fc2=,

tan/-APB=tan（zXPx—乙BPx）=::卜?

2,86

=-差=j-6<6=3

1+（一6与）1+患P+y-2碑4'

当且仅当p=T时成立，解得p=4,,P（4,0）,

设44PB的外接圆的方程为(％+a)2+⑶+匕/=r2,

fa2+(2+bp=r2

则,2+(8+b)2=r2,解得a=-4,—5,r2=25,

((4+a)2+b2=r2

△2P8的外接圆的方程为(x—4)2+(y—5)2=25.

故选：D.

【变式1-1]5.(2022秋•广西钦州・高二浦北中学统考期末)已知直线I：久-2y+4=0与圆C：x2+y2

2x+2y-8-。相交于A,B两点.

⑴求圆心为。(-3,3),过A,B两点的圆D的方程；

(2)求经过点A和点B且面积最小的圆的方程.

【答案】(1)0+3)2+(y-3)2=10；

(2)(x+2)2+(y-I)2=5.

【分析】(1)联立直线/与圆C的方程，求出交点做-4,0),B(0,2).求出圆的半径，即可得出圆的方程；

(2)当线段48为圆的一条直径时,面积最小.求出|4B|=2遥以及线段4B的中点，即可得出圆的方程.

【详解】(1)解：联立直线/与圆C的方程(2+。:既:::。可得，*一2y=0,

(%十y十zx-rzy—o—u

解得V1=0,=2,代入直线方程可得久1=-4,%2=0，不妨设4(-4,0),5(0,2).

又圆心为。(-3,3),

则圆D的r=\DA\=J(—4+3万+(0-3)2=VlO,

所以圆D的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.

(2)解：要使圆的面积最小，则应使半径最小.当线段48为圆的一条直径时，面积最小.

\AB\=7(-4-0)2+(0-2)2=2V5,所以圆的半径q=母=西，

又圆心即线段48的中点(-2,1),

所以圆的方程为(久+2产+(y-1)2=5.

【变式1-1]6.(2023秋•辽宁沈阳・高二东北育才学校校考期末)已知△ABC中，点4(-1,5),4C边上中线

所在直线匕的方程为8%+y-12=0,48边上的高线所在直线%的方程为x-3y+6=0.

(1)求点8和点C的坐标：

(2)以M(l,0)为圆心作一个圆，使得4、B、C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这

个圆的方程.

【答案】4),C(3,3)

(2)(x—I)2+y2-17

【分析】(1)求出直线4B的方程，联立直线和直线人的方程可求得点B的坐标，设点C(m,n),根据点C在

直线％上以及线段AC的中点在4上可得出关于血、元的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点。的坐标；

(2)计算出|/M|、|BM|、\CM\,比较大小后可得出圆”的半径，即可得出圆”的方程.

【详解】(1)解：因为2B边上的高线所在直线)的方程为尤-3y+6=0,

且直线%的斜率为]，则=-3,故直线4B的方程为y-5=-3(x+1),即3x+y-2=0,

联立直线4B和直线乙的方程可得谎，解得「二2，即点8(2,-4),

设点C(m,n),则线段4。的中点为。(掌，等)，

由题意可得F**+等-12=0,解得爪=n=3,即点C(3,3).

Im—3n+6=0

(2)解：因为=J(-l-l)2+(5—0)2=V29,\BM\=V(2-l)2+(-4-0)2=V17,

\CM\=J(3—+(3-0)2=V13,贝！J|CM|<\BM\<\AM\,

故圆M的半径为|BM|=V17,所以，圆M的方程为(X-1)2+y2=17

题型2圆的一般方程法

［例题2］)(多选)(2022秋•湖北•高二统考期末)已知AABC的三个顶点的坐标分别为4(1,1),S(-2,3),

C(-l,-2),则下列说法正确的有()

A.AC边上的高所在直线的方程7久+4y+2=0；

B.ABBC的外接圆的方程为广+川+3久一y-4=0；

C.过4作直线1与线段BC相交，则直线1斜率的取值范围为［-1,|］；

D.AABC的面积为季

【答案】BCD

【分析】对选项力，利用直线垂直时斜率的关系可求得高线方程；对选项B,用待定系数求圆的方程；对选

项C,根据直线(从点B到点C的过程中斜率的变化求得；对选项D，△4BC的面积利用点到直线的距离求得

△中力C边的高，然后根据面积公式即可.

【详解】对选项4,直线4c的斜率为：％0=詈=|

则AC边上的高的斜率为：-1

则用1的方程为：y—3=—|'(x+2),BP2%+3y—5=0

故/不正确；

对选项B,设仆ABC的夕卜接圆的方程为/+y2+。尤+6丫+9=o

1+1+D+E+F^0

则有：%+9+-2D+3E+F=0

.1+4-0—2E+F=0

解得：D=3,E=-l,F=-4

所以A2BC的夕卜接圆的方程为：x2+y2+3x-y-4=0

故B正确；

对选项C,%B=/=-I，%C=44=|

则过点力作直线/与线段BC相交时，则直线1斜率的取值范围为：卜|,|]

故C正确；

对选项。，易知AC所在直线的方程为：3x-2y-1=0

点B到直线4c的距离为：S3旁T=旧

V9+4

又|ac|=V22+32=V13

则△力BC的面积为：y

故。正确

故选：BCD

【变式2-1]1.(2022秋・山东荷泽•高二统考期末)已知MBC的三个顶点分别是点A(4,0),8(-2,0),

C(-2,2)，则△力BC的外接圆的方程为

【答案】(x-1)2+(y-1)2=io

【分析】令外接圆圆心。(％y),而4B中点为D(l,0)、BC中点为E(—2,l),由丽•荏=丽•阮=0求X、y,

进而求半径，即可写出TEC的外接圆的方程.

【详解】令MBC的外接圆圆心0(%y)，又A(4,0),F(-2,0),

.•.48中点为。(1,0),则近-AB=-6(1—K)=0,贝卜=1,

BC中点为E(-2,l),则布.阮=2(1-y)=0,则y=1,

二圆心0(1,1),又外接圆的半径R=\OA\=J园一1)2+(—1)2=V10,

.•.A4BC的外接圆的方程为(％-1产+(y-=10.

故答案为：(％-I)2+(y-I)2=10.

【变式2-l】2.(2023秋诃南平顶山•高二统考期末)已知AABC的顶点坐标分别是4(3,0),B(1,2),C(-1,0).

(1)求△ABC外接圆的方程；

(2)若直线I：3x+4y-8=0与4ABC的外接圆相交于M,N两点，求乙MCN.

【答案】⑴0-1)2+f=4

(2)乙MCN=60°

【分析】(1)设出圆的一般方程，代入点,求出方程组的解，即可得到本题答案；

(2)先求出圆心到直线MN的距离，即可得到NPMN=30°,然后求出NMPN,即可得到本题答案.

【详解】(1)设圆的一般方程为：/+y2+°无+功+/=o,(£>2+产一4/>0),

代入点力(3,0),B(1,2),C(-1,0)得，

9+30+F=0(D=-2

l+4+D+2E+F=0,解得E=0,

、1-D+F=0(尸=-3

所以圆的一般方程为：/+必—2x-3=0,

标准方程为：(x-l)2+y2=4.

(2)圆心P(l,0)到直线3x+4y-8=0的距离d=吟惠良=1,

又因为|PM|=2,在等腰△PMN中，乙PMN=30°,

所以圆心角NMPN=2x60°=120°,贝！J/MCN=60°.

【变式2-1]3,(2023秋・广东清远•高二统考期末)已知△48(7的顶点分别为4(-1,7)乃(-4,-2),(7(3,-1).

(1)求△ABC外接圆的方程；

(2)设P是直线1:4x-3y-25=0上一动点，过点P作^4BC外接圆的一条切线，切点为Q,求|PQ|最小值

及点P的坐标.

【答案】（I）/+y?+2%—4y—20=0

（2）|PQlmin=2V^,P（羡,一装）

【分析】（1）设出圆的一般方程将4B,C三点坐标代入，利用待定系数法即可求得△4BC外接圆的方程；

（2）根据切线长公式可知，当P与圆心之间的距离最小时，切线长|PQ|最小，根据点到直线距离公式和两

直线垂直关系即可求得最小值及点P的坐标.

【详解】（1）设44BC外接圆的方程为/+丫2+以+3+?=0,

：50-D+7E+F=0

将4B,C分别代入圆方程可得20-4D-2E+F=0,解得。=2,E=-4,F=-20,

.10+3D-F+F=0

所以AABC外接圆的方程为/+必+2%-4y-20=0.

（2）△ABC外接圆（x++（y—2产=25的圆心为M（—1,2）泮径R=5；

因为|PQ|=J|PM|2-R2=J|PM1-25,所以要使|PQ|最小，只需|PM|最小即可，

当PM1/时，|PM|最小，所以iPMlmin=卜整二:;2"=7,

所以iPQImin="2-25=2V6；

r_0_2__3

设P（x0，yo）,则|Xo+1~4;

（4%o—3yo—25=0

解得乂0=y,y0=-Y,

即点P的坐标为P得,-3）.

【变式2-1]4.（2023秋•广东深圳•高二深圳大学附属中学校考期末）矩形力BCD的两条对角线相交于点

M（2,0）,48边所在直线的方程为x-3y-6=0,AC所在直线的方程为x-y-2=0.

（1）求BC边所在直线的方程；

（2）求经过M,A,B三点的圆的方程.

【答案】（1）3%+y-14=0

(2)x2+y2—6x+6y+8=0

【分析】(1)联立两条直线得点力(0,-2),由C与A关于点M对称得C(4,2),由BC与2B垂直，得BC边所

在直线的方程；

(2)联立直线方程解出B点坐标，设圆的一般方程，将M,A,B坐标分别代入，解出圆的方程.

【详解】(1)由二彳二2‘二;，得｛；二22，贝必(°，一2),

因为矩形ABCD两条对角线相交于M(2,0)，所以C与A关于点M对称，

%+o_2

设Cg,y0),所以仁二，得出=2,贝依4,2)，

<~2-一

因为力B边所在直线的方程为久-3y-6=0,斜率为1,

BC与48垂直,所以直线8c的斜率为-3,

则边所在直线的方程为y-2=-3x(x-4),即3x+y-14=0；

'_24

(2)由以黄忆°。，解得:二，故点B的坐标为管，-1)，

V5

设所求圆的方程为/+y2+。％+七丫+/=0,且+£2-4/>0,

4+20+F=0(D=-6

则4-2E+F=0，得|E=6

—+—+—D--E+F=0IF=8

,252555

贝II所求圆的方程为：%2+y2-6%+6y+8=0.

题型3数形结合法

【例题3](2022秋•陕西渭南•高二统考期末)过点力(-6,2),8(2,-2)且圆心在直线x-y+1=0上的圆

的方程是()

A.(x-3)2+(y-2)2=25B.(x+3)2+(y+2)2=25

C.0—3)2+(y—2)2=5D.Q+3)2+(y+2)2=5

【答案】B

【分析】由题设得42的中垂线方程为y=2(x+2),其与久-y+1=0交点即为所求圆心，并应用两点距离

公式求半径，写出圆的方程即可.

【详解】由题设，4B的中点坐标为(-2,0),且矶=三=-|,

.MB的中垂线方程为y=2(x+2),联立x-y+1=0,

.-｛J，可得｛::Zl，即圆心为(7-2),而r="2-(-3)『+[-2—(-2)猿=5,

A—yii.—uy-乙

二圆的方程是(％+3)2+(y+2)2=25.

故选：B

【变式3-1】1.(多选)(2022秋•江苏连云港•高二期末)若圆C的半径为，且直线2x+3y-10=0与

圆C相切于点P(2,2),则圆的方程是()

A.%2+(y—l)2=13B.x2+(y+I)2=13

C.(x+4)2+(y—5)2=13D.(x—4)2+(y—5)2=13

【答案】BD

【分析】由直线与圆相切及点在圆上，结合待定系数法得到方程组，解之即可.

【详解】根据题意，设圆的标准方程为。-a)2+(y-b)2=13,圆心坐标为(a,6),

过圆心且过切点的直线与直线2x+3y-10=0垂直，得三=,即3a-2b=2①，

由点P(2,2)在圆上得(2-炉+(2-b)2=13②,

将①②联立42一a*(爱林=13，解得｛二;＜：L

故所求圆的方程为/+(y+1尸=13或(％-4尸+(y-5)2=13.

故选:BD.

【变式3-1J2.(多选)(2022秋•江苏连云港•高二统考期末汜知圆C和直线Bx-y=。及x轴都相切，

且过点(3,0),则该圆的方程是()

22

A.(%-3)2+(y-V3)=3B.(%-3)2+(y+3V3)=27

C.(x+3)2+(y-V3)=3D.Q—3)2+(y—3值)=27

【答案】AB

【分析】首先设出圆的方程，根据直线与圆相切以及圆经过的点，列出等量关系即可求解.

【详解】由题意设所求圆的方程为0-a)2+(y-by="，•.•圆与久轴相切，:g=\b\.

((3-a)2+b2=b2(=3(a=3

依据其他条件则有］的回=网，解得［a3或［1康,所以该圆的方程为

(x-3)2+(y-V3)2=3或0-3)2+(y+3百)？=27

故选：AB

【变式3-1】3.(2023秋•江西吉安・高二江西省吉水县第二中学校考期末)已知点4(-2,2)凤6,4),H(5,2),

H是AA8C的垂心.

⑴求点C的坐标；

⑵求MBC的外接圆的方程.

【答案】(1)C(6,-2)

(2)(x-|)2+(y-D2=T

【分析】(1)先求出直线,4H的斜率，则可求出直线4c的斜率和直线BC的倾斜角，求出直线4C,BC的

方程，联立方程组求出两直线的交点C的坐标；

(2)先得到C8边和AC边的中垂线方程，进行联立得圆心坐标，再利用两点距离公式算出半径，即可得到

答案

【详解】(1)因为点4(-2,2),B(6,4),W(5,2),H是&ABC的垂心，

所以脸=言=2,所以%c=J,

0-0Z

，直线4C的方程为y-2=-*x+2),BPx+2y-2=0,

又•.也*0，二BC所在直线与x轴垂直，故直线BC的方程为x=6,

联立直线4C与BC的方程得点C的坐标为C(6,-2)；

(2)CB边的中垂线方程为y=l,

因为%c=[,所以AC边的中垂线的斜率等于2,

因为4C边的中点为(2,0),

故AC边的中垂线的方程为：y=2(x-2),

所以联立两条中垂线得小质)解得Q，

所以圆心坐标为(|,1),半径八=[|-(-2)]2+(1-2)2吟，

则MBC的外接圆的标准方程为①|)2+(y-l)2=攀

【变式3-1J4.(2023春•上海浦东新•高二校考期末)已知圆C：(%-+(y_I/=4,P为直线/:2x+y+

2=0上的动点过点P作圆C的切线24切点为A，当△P4C的面积最小时公P4C的外接圆的方程为()

A.(%-1)2+(y-02=|B.(%-1)2+(y-1)2=

222

C.%+(y-j)=|D.(%-j)+y2=^

【答案】C

【分析】先确定△P4C的面积最小时P点坐标，再由AP4C是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求

出外接圆方程.

【详解】

由题可知，P4_LAC,半径相=2,圆心,所以5心4c=|l^l-\AC\=\PA\=^\PC\2-\AC\2=

VPC|2-4,要使△P4C的面积最小，即PC最小，PC的最小值为点C(l,l)到直线1:2x+y+2=0的距离

=V5，即当P点运动至UPC11时SAPAC最小直线珀勺斜率为-2，此时直线PC的方程为y-1=|(%-1),

由［y-1=2-1),解得,所以P(-1,0),因为△P4C是直角三角形，所以斜边PC的中点坐标为

(0,j),而PC|=J(1+1)2+(1—0)2=V5,所以△PAC的外接圆圆心为(0,£),半径为手，所以△PAC的

2

外接圆的方程为^+(y-3=:

故选：C.

【变式3-1］5.(2021春浙江宁波•高一镇海中学校考期末)已知4(1,1),5(3,3),动点C在直线「y=久-4

上.

(1)设AABC内切圆半径为r,求r的最大值：

(2)设AZBC外接圆半径为R,求R的最小值，并求此时外接圆的方程.

【答案】(1)小ax=亨；(2)-n=乎，外接圆方程为卜一芝f+(%一］=高.

【分析】(1)利用面积相等可得r=,只需出C|+MC|最小即可，结合平面几何知识可得答案；

(2)48中垂线方程为y=-%+4,“中垂线方程为y一等=公(久—等)，求出圆心坐标，可得R?=

2222

(m-8m+23)+(m-8m+15),换元后利用二次函数的性质可得答案.

16

【详解】(1)因为k/B=&=1=AB][/到，的距禺d=^==2^2,

所以三角形△48。的面积S=3-d=|x2V2x2V2=4z

所以S=|(|^|+\BC\+\AC\)r=i(2V2+\BC\+\AC\)r=4

r=2+匹，只需叫+IM最小即可，

设4关于/的对称点为A(p,q),

贝”屋：山_4=V二A，所以4(5,一3),

、2-2

\BC\+|初最小为国4|=V4T36=2V10,

_8_V10-V2

-2V2+2VIO.2

(2)4B中垂线方程为y=-x+4

m2-8m+27

X=--------

AC中垂线方程为y-等=念(％-等)圆心坐标为4

-m2+8m-ll

3(m2—8m+23)2+(m2—8m+15)2

R29=a-1)2+(y-1)2=---------------------------------

16

设1=(m2—8m+19)G[3,+00)

(m2—8m+23)2+(m2—8m+15)2(t+4)2+(t—4)2t2+16r25\

Rz=

-------------------------------1--6-------------------------------=----------------1--6---------------=-------8-------6—L8,4-oo/

Rmax=学，此时爪=4,圆心坐标为偿,(),所以外接圆方程为(％-S'+(%-|)2=^.

【变式3-1］6.(2022秋浙江温州高二温州中学校考期末)已知直线匕：X-y+3=0和勿x+y+1=0的

交点为4,过4且与久轴和y轴都相切的圆的方程为,动点B,C分别在。和%上，目田。=2,则

过A,B,C三点的动圆扫过的区域的面积为

【答案】(x+1)2+(y-1)2=1或者(x+5)2+(y+5)2=254兀

【分析】由力点坐标确定圆位置，设出圆方程后代入点的坐标可得圆方程，分析动圆圆心的轨迹，从而可得

动圆扫过的区域及其面积.

【详解】根据题意，由［二七：U,解得,可得直线/］：尢—y+3=0和"：％+y+1=0的交点

为4(—2,1),

显然，点4位于第二象限.

过4且与久轴和y轴都相切的圆的方程为(x-a)2+O+a)2=a2,a<0,

把点力的坐标代入，可得(-2-a)2+(1+a)2=a2,求得a=-1,或a=-5,

故要求的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=1,或者(x+5>+(y+5)2=25；

直线k：x-y+3=0和%：%+y+l=O,有1x1+(-1)x1=0,则直线二和%垂直，

又由两直线的交点为4,动点8,C分别在。和6上,且|BC|=2,

则过4,B,C三点的动圆的圆心为BC的中点，其半径r=|x\BC\=1,即动圆的圆心到4的距离d=r=l,

则动圆的圆心在以A为圆心，半径r=1的圆上，

故动圆扫过的区域的面积S=兀x22=4兀；

故答案为：(*+1)2+(y-1)2=1,或者(x+5>+(y+5)2=25；47T.

题型4已知解析式型

【例题4】(2023春四川达州•高二校考期中)方程氏-1|=孑=6』*表示的曲线是()

A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半圆

【答案】A

【分析】方程|X-1|=一(y—l)2可化为(x-+(y-1)2=1,根据圆的概念即可得到对应曲线.

【详解】由方程|x-1|=Jl_(y_1)2,两边平方得阿-1|2=(J1-(y-1列)2,

即(尤-I)2+(y-1)2=1,所以方程表示的轨迹为一个圆，

故选：A.

【变式4-1]1.(2023•四川德阳•统考模拟预测)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它

蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平

面直角坐标系中，曲线C:/+必=团+加是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的面积是()

A.2nB.4+TTC.2+IID.n

【答案】C

【分析】判断曲线的对称性，结合当X20,y20时，曲线即(X-1)2+(y-j)2=i,可作出曲线图象，数

形结合，求得答案.

【详解】以一％-丫代换x,y,方程/+y2=\x\+|y|不变，

故曲线C：x2+y2=|%|+|y|关于原点及x轴，y轴对称，

当x20,y20时,可得/+y2-x-y=0,即(x-|)2+(y-1)2=|,

可得此时曲线是以C©,9为圆心，r=f为半径的半圆，

由此作出曲线C的图象如图所示，

所以曲线C围成的图形的面积是鱼xa+2xnx(')2=2+TT,

故选：C

【变式4-1]2.(2021秋•上海浦东新•高三华师大二附中校考期中)已知曲线C：J(x+2)2+y2.

V(%-2)2+y2=4,则曲线C的大致图像是()

*

1-

-3Q)-101CD3

A.B.T「

片

2-

____________—

\-202jx

C.D.-2-

【答案】B

【分析】利用特值法，令％=0即可得解.

【详解】令比=0,则j4+y2.j4+y2=4+y2=4,解得y=0,

故曲线C经过点（0,0）,

故选:B.

【变式4-1】3.（多选）（2023•全国高二专题练习）若曲线E是由方程团-1=万千和旧-1=VT二港

共同构成，则（）

A.曲线E关于直线y=±久对称

B.曲线E围成的图形面积为兀+4

C.若点（x°,yo）在曲线E上，则通的取值区间是[-VXa]

D.若圆/+*=产。＞0）能覆盖曲线E,则r的最小值为2

【答案】AD

【分析】对条件作代数变换得到E是由4个半圆组成，作曲线E的图形，根据图形的性质逐项分析.

【详解】由=产,•;Jl-y22o,...团得x21或xW-1,

当X21时，X-1=Jl_y2,（X-1）2+y2=1,是圆心为（1。），半径为1的半圆，

同理可得E的其他部分分别为圆心为（-1,0）半径为1的半圆圆心为（0,1）半径为1的半圆，圆心为（0,-1）

半径为1的半圆；

作曲线E的图形如下图：

图中虚线部分4BCD是边长为2的正方形；

对于A,显然图形关于y=±x对称，正确;

对于B,图形的面积=2x2+4x学=2兀+4，错误；

对于C,由图可知出的取值范围是[-2,2],错误；

对于D,覆盖住曲线E的圆的半径的最小值显然是2,正确；

故选：AD.

【变式4-1]4.(2022春•贵州黔西•高二统考期末)方程阳-1=J4-。一1尸表示的曲线的周长

为.

【答案】4n

【分析】由㈤一12。确定X的范围,\x\-l=[4一(y-1)2可化为(|x|-I)2+(y-If=4,对X分类

讨论，即可去绝对值，得出对应曲线，最后算得周长

【详解】由题，团一120,即％21或x<-1,

|%|-1=J4一(y-可化为(|x|-I)?+(y-1)2=4,

当x>1时，即(X-I)2+(y-1)2=4,即为对应圆的右半部分；

当x<一1时，即(x+I)2+(y-I)2=4,即为对应圆的左半部分，

综上，曲线的周长刚好为半径为2的圆周，即4TI,

故答案为：4n

【变式4-1]5.(2023•北京•高三专题练习)曲线/+2%加+2/_1=。的一条对称轴是；y的取

值范围是.

【答案】左轴[-1,1].

【分析】以-y代替y,方程不变，可得曲线的对称轴方程，由方程可得0+|y|)2=l-y2>0,即可求出y

的取值范围

【详解】以-y代替y,方程不变，可得曲线的一条对称轴是%轴；

由/+2x\y\+2y2-1=0,可得(x4-|y|)2=1-y2,所以1一y?20,解得一1<y<1,

即y的取值范围是

故答案为：x轴；[-1,1]

题型5直径公式法

【例题5](2023秋河南驻马店•高二统考期末)以2(0,0),B(2,0)为直径两端点的圆的方程为()

A.%2+y2-2%=0B.x2+y2+2%=0

C.x2+y2—2y=0D.x2+y2+2y=0

【答案】A

【分析】由中点坐标公式求出圆心坐标，两点间距离公式求出圆的直径，得解.

【详解】力(0,0),5(2,0),

4B的中点坐标为(1,0),

••以4B为直径的圆的圆心为(1,0),又|4B|=2,

胭的半径为1,

・••以4B为直径的圆的方程为(x-1)2+V=1即/+丫2-2%=0.

故选：A.

【变式5-1]1.(2023春・上海崇明•高二统考期末)已知两点P(3,l)、Q(5,-3),则以PQ为直径的圆的方

程是.

【答案】(x-4)2+(y+1)2=5

【分析】根据条件求出圆心坐标及圆的半径即可.

【详解】•••P(3,l)、Q(5,-3),；.PQ的中点坐标为(4,-1),即为圆心坐标，

又|PQ|=V(5-3)2+(-3-l)2=2相.•.圆的半径为早=V5,

则所求圆的方程为0-4)2+(y+1)2=5.

故答案为：(x-4)2+(y+I)2=5.

【变式5-1]2.侈选)(2022秋湖北•高二校联考阶段练习)下列说法错误的是()

A.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

B.过不同两点(久2，%)的直线方程为口=工

y2-yi%2—%1

C.线段4B的两个端点401，%)和以久2，%)，则以48为直径的圆的方程为0--x2)+(y-%)。-

%)=0

D.经过点(2,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0

【答案】ABD

【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系，直线两点式方程、直线方程的对称及圆的方程逐项判断即可.

【详解】若一条直线的斜率为tana,,此时a可以为负值，

而直线的倾斜角的范围为[0JT),所以A不正确.

由直线的两点式方程可知过不同两点4(/,yi),B(x2,y2)

的直线方程为悬=爰

但是两点所在直线不能与坐标轴垂直或平行，故B错误.

根据|4B|二J(X】一小)2+-、2尸与

22

%i+x271+y2\_\AB\

x-2-J4

易得圆的方程为：(x-%i)(x-%2)+(y-yi)(y一%)=o,故C正确.

当截距为0时直线方程为y=,故D错误.

故选:ABD.

【变式5-1]3.(2021秋•安徽•高二校联考期中)已知圆直径的两个端点为4(1,0),s(o,2V2)，则该圆的

标准方程为

[答案](x_I)+(y-a)2=：

【分析】由题知圆心坐标为G，鱼),直径为3,再根据标准方程公式求解即可得答案.

【详解】解：因为圆直径的两个端点为4(1,0),B(0,2V2),

所以圆心坐标为(|,/),直径为4B=3,

所以圆的方程为1-1)2+(y-鱼『=[.

/、2o

故答案为：(x-])+(y-V2)=：

【变式5-1]4.(2022秋•山西太原•高二校联考阶段练习)已知线段PQ的端点Q的坐标为(-2,3),

端点P在圆C:(x-8)2+(y-1)2=4上运动.

⑴求线段PQ中点M的轨迹E的方程；

(2)若一光线从点Q射出，经x轴反射后，与轨迹E相切，求反射光线所在的直线方程.

【答案】(l)(x-3)2+(y-2)2=l

(2)4x-3y-1=0或3x-4y-6=0

【分析】(1)设M(x,y),P(xO,yO),由题意得j逼_,整理得右,见的表达式，即可得点P坐

标，因为点P在圆C上，代入整理，即可得答案.

(2)先求得Q关于x轴对称点Q'坐标，即可设出直线I的方程，根据直线I与E相切，即可求得直线I的

斜率k,整理即可得答案.

(1)设M(x,y),P(xO,yO),由题意得通_,

-y

整理得:资+〉又点P在圆c上，则(沏一8)2+仇-1)2=4,

整理得：轨迹E的方程为(x-3)2+(y-2)2=1;

(2)由题意得Q(-2,3)关于x轴对称点Q'(-2,-3),

由题意得过点Q,(-2,-3)的直线斜率存在，且设为k,

所以直线I：y+3=k(x+2),即kx-y+2k-3=0

因为直线I与E相切，所以d="某事/=1,

所以(5k-5)2=k2+l,整理得25(k2-2k+l)=k2+l,

所以24k2-50k+24=0，即(3k-4)(4k-3)=0,

解得y或*,

所以反射光线I：y+3=1(x+2),gp4x-3y-1=0或y+3=|(x+2),即3x-4y-6=0.

【变式5-1]5.(2022•全国•高三专题练习)已知4(1,0),B(3,0)是圆C直径上两个端点，则圆C的方程

为,若直线y=依截圆C所得的弦长为百,贝收=.

【答案】(x-2)2+y2=l士普

【分析】由直径上的两个端点可直接求出中点坐标为圆心，端点距离的一半为半径，进而写出圆C的方程；

再由圆心到直线的距离公式结合垂径定理即可求出斜率.

【详解】解：因为4(1,0),8(3,0)是圆C直径上两个端点

所以|4B|二J(1一3尸+(0-0尸=2

所以圆心为(2,0),半径为1,故圆的标准方程为(X-2)2+y2=1,

由垂径定理得，圆心到直线的距离为d=J12一囱=1

即粤=」=+续

VP+T2-15

故答案为：(x-2)2+y2=l,±^.

题型6圆系方程法

【例题6](2023秋•山东济南•高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末)已知圆Ci：/+⑶一=5,

圆G：/+y2—4x+2y—0.

(1)求圆Ci与圆C2的公共弦长；

(2)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.

【答案】⑴2百

⑵卜一丁+―丁丹

【分析】(1)将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心的到公共弦的距离，再利用弦心距，半

径和弦的关系可求得答案，

(2)解法一：设过两圆的交点的圆为(/+y2_4%+2y)+A(x2+y2-2y-4)=0,A-1,求出圆心坐

标代入2x+4y=1中可求出4,从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点

坐标，设所求圆的圆心坐标为(a,6),然后列方程组可求出a,b,再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.

【详解】(1)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，

即(产+y2-4x+2y)—(x2+V-2y-4)=0,化简得x—y—1=0,

所以圆Ci的圆心(0,1)到直线x-y-l=。的距离为d=与善=V2,

贝(1(野1)2=/J