2025年中考数学几何模型归纳训练：全等三角形模型之婆罗摩笈多模型解读与提分训练（原卷版）

专题16全等三角形模型之婆罗摩笈多模型

婆罗摩笈多(Brahmagupta)是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元598年〜660年。

他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角

形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于

月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以

他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔“定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗

摩笈多，，模型。

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例题讲模型

2

模型L"婆罗摩笈多”模型2

习题练模型

8

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

例题讲模型］

模型1.“婆罗摩笈多”模型

模型解读

婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从

交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。

模型特征：（1）ABCP和是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合.

模型1）知中点证垂直

条件：分别以三角形/8C的边/8、4c为边,向三角形外侧外做正方形和正方形/C歹G,N

为EG的中点，M、4、N三点共线。结论：AM±BC；BC=2AN；S“BC=S“EG。

证明：（倍长中线法）延长NN到忆梗NW=NA,连接£外

在△用ER和A/GN中，NW=NA（已作），ZWNE=ZANG（对顶角），EN=GN（已知）

:.AWEN咨AAGN(SAS),：.EW=GA,ZEWN=ZGAN«

'：ZEWN=ZGAN：.EWHGA,/用E/+NE/G=180。(平行线同旁内角)。

VZGAC=90°,ZEAB=90°,：.ZEAG+ZCAB=18O°,：.ZWEA=ZCABo

\'EW=GA,又：G/=/C,：.EW=AC.

在AE松和A/CB中：EA=AB,ZWEA=ZCAB,EW=AC,：.l\EWAAACB(SAS)o

：.WA=CB,/EAW=/ABC,"：\ABC\EAW,：.SAEWA=SAACB0

\WEN=\AGN,:,S、WEN=S&AGN，--S\ACB=S\EWA=S\AEN+S\EWN—S\AEN+S\AGN=SAAEG'>

"：WN=AN,：.BC=2AN,"：ZWAB=ZEAB+ZEAWo

又：/段(三角形外角性质)，：.ZEAB+ZEAW=ZABM+ZAMB0

*.*AEAW=ZABC(/ABC即AABM},；.AEAB+Z.ABM=ZABM+ZAMB»

:./EAB=NAMB,：.ZAMB=90°,即/M_L5C。

模型2)知垂直证中点

条件：分别以A/BC的边48、AC为边,向三角形外侧外做正方形48DB和正方形/CbG,AMLBC.

结论：N为EG的中点；BC=2AN；SAABC=SAAEG。

证明：(法1:平行线法)作EM//G,交/N的延长线于忆:EW//AG,：.ZWEA+ZEAG=ISO°,

：和NG/C为正方形的角，所以两个角均为90。，?.ZEAG+ZBAC=l80°,

：.ZWEA=ZBAC,'JEWHAG,：.ZEWN=ZGAN,

VZGAN+ZMAC=90°,"：AMLBC,：.ZMAC+ZMCA=90°,：.ZMCA=ZGAN,：.ZMCA=ZEWN,

在AA8C和少中，ZBCA=ZAWE,ZCAB=ZWEA,AB=EA,：.KABC\EAW(AAS),

：.AW=BC,：.WE=CA,'：CA=AG,：.WE=AG,,:EW//AG,：.ZWEN=ZAGN,

在△腔N和zUGN中，ZWEN=ZAGN,WE=AG,ZENW=GNA,：.AWEN^AAGN(ASA),

EN=GN,即N为EG的中点，WN=AN,：.BC=AW=2AN,

AABC以AEAW,：.SAEWA=SAACB，:AWEN出NAGN,：.S^WEN=SXAGN,

S\ACB=S\EWA=S\AEN+SAEWN=S^AEN+S\AGN=SAAEG«

(法2:三垂直模型法)作EX_L/N,交/N的延长线于X,作Gy_L/N,将/N于九

,：AMYBC,：.ZABM+ZBAM=9Q°,VZEAB=90°,：,ZEAN+ZBAM=9Q°,：.ZABM=ZEAN

在Rt\ABM和RtAEAX中，'ZZABM=ZEAN,：.ZAEX=ZBAM；

在Rt\ABM和RtNEAX中，NBAM=/AEX,AB=EA,/ABM=NEAX；

:.RtAABM冬RtAEAX(ASA),：.AM=EX,同理可证：：.Rt\AYG^Rt\CMA(ASA),AGY=AM；

"：AM=EX,：.GY=EX,在MAEJW和MAGKV中，ZENX=ZGNY,ZEXN=ZGYN,EX=GY-,

：.RtAEXNgRt\GYN(AAS),?.EN=GN,即N为EG的中点；

*.*Rt\ABMgRtAEAX,；.SAABM=S、EAX,BM=AX,"：RtAAYGgRt\CMA,S^AYG=SACMA,CM=AY；

:RtAEXNgRt\GYN,：.SXEXN=S^GYN,XN=YN；

SAABC=SAABM+S/^CMA=S\EAX+S\AYG=S\EAN+SXENX+SAANG-SKGNY=SAAEG;

：.BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。

其实该模型也可以模仿模型1)中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！

模型运用

例1.（24-25九年级上•江苏南通・阶段练习）如图，点A的坐标为（6,0）,点8为V轴的负半轴上的一个动点,

分别以08,4B为直角边在第三、第四象限作等腰RtZ\O5尸、等腰连接跖交V轴于尸点，当

点8在歹轴上移动时，则的长度为（）

A.1B.2C.3D.4

例2.（2024・重庆渝中•二模）如图，以VN8C的边NC、3c为边向外作正方形/CDE和正方形8CGF,连

接/G、8。相交于点O,连接CO、DG,取中点“，连接MC并延长交。G于点N.下列结论：①

AG=BD；②MN1DG；③CO平分/DCG；-SACDC；⑤40c=45。.其中正确的结论有

（填写编号）.

例3.（2024•山东泰安・中考真题）如图1,在等腰Rt4/BC中，ZABC=90°,AB=CB,点、D,£分别在

CB上,DB=EB,连接4E,CD,取/E中点尸，连接叱.

（1）求证：CD=2BF,CDVBF■,（2）将AOBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出3尸与的位置关系：；②求证：CD=2BF.

图1

例4.（23-24八年级上•陕西西安•阶段练习）（1）如图1,MNLPQ于N,AABC是等腰直角三角形，乙4c3=90。，

等腰直角A/BC的顶点C、3分别在射线射线NQ上滑动（顶点C、3与点N不重合）在滑动过程中，

点/到直线AW的距离N&CN（填或

（2）如图2,在（1）的条件下，等腰直角AECF中，ZECF=90°,且△£（7尸的顶点C、歹也分别在射线

NM、射线NP上滑动（顶点C、尸与点N不重合），连接NE交血W于点。，试探究4D与即的数量关系,

并证明你的结论.

（3）如图2,AB=4cm,EF=6cm,在AET厂和A/BC保持原来滑动状态的过程中，的面积是否有

例5.（2024・湖北•二模）【特例发现】如图1,在小/台。中，/GL2C于点G,以/为直角顶点，分别以AB,

NC为直角边，向A/BC外作等腰而A/BE和等腰MA/CF,过点£、/作射线G/的垂线，垂足分别为P、

Q.求证：EP=FQ.

【延伸拓展】如图2,在△ABC中，于点G,以/为直角顶点，分别以48,4C为直角边，向AABC

外作口A/BE和火以/CF,射线G/交昉于点”.若AB=kAE,AC=kAF,请思考HE与"F之间的数量关

系，并直接写出你的结论.

【深入探究】如图3,在A/BC中，G是3c边上任意一点，以N为顶点，向A/BC外作任意A/BE和ZUCF,

射线G/交M于点〃.若NEAB=N4GB,ZFAC=ZAGC,AB=kAE,AC=kAF,上一问的结论还成立吗？

并证明你的结论.

【应用推广】在上一间的条件下，设大小恒定的角分别与△/£尸的两边/£、/尸分别交于点M、N,

若Zk/BC为腰长等于4的等腰三角形，其中/8/C=120。，且/IHJ=/AGB=3=60。,k=2；

求证：当/出/在旋转过程中，AEMH、AaAW和AFW均相似，并直接写出线段的最小值(请在答题

卡的备用图中补全作图).

例6.(23-24九年级上•福建厦门•期中)定义:如图13,在AABC中，把AB绕点A顺时针旋转«(0°<«<180°)

得到/Q，把/C绕点/逆时针旋转"得到/C',连接8'C'.当o+夕=180。时，我们称△/9。是“3C的

“旋补三角形"，△48'。边2'C'上的中线叫做“3C的“旋补中线''，点/叫做“旋补中心

(1)在图1中，△4B'C'是AA8C的“旋补三角形"，ND是的“旋补中线”，若为等边三角形，贝1J4D

与8C的数量关系为：AD=BC.

(2)在图2中，当“3C为任意三角形时，猜想/。与BC的数量关系，并给予证明.

(3)如图3,在四边形48CD中，D5=90°,乙4=150。，BC=\2,/8=2百，40=6.若四边形内部恰好

存在一点P使AP/B是△尸DC的“旋补三角形”，请直接写出△尸DC的“旋补中线”长是

习题练模型

1.（23-24九年级上•浙江温州•期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相

垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形如图，在O。中，四边形/BCD是“婆氏四边

EF

形”，对角线/C,8。相交于点£,过点E作即，DC于点“，延长HE交于点R则二的值为（）

n

2.（23-24九年级下•江西南昌・期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂

直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”.如图，四边形/BCD是。。的内接四边形,

且是“婆罗摩笈多四边形，，、若/32+火2+。2+0/2=8,则。。的半径为.

3.（23-24八年级•江苏•假期作业）如图，以"BC的边48,/C为腰分别向外作等腰直角、AACD,

连接ED,BD,EC,过点/的直线/分别交线段DE,BC于点、M,N,以下说法：①当48=NC=8c时,

ZAED=3Q°i②EC=BD；③当直线口夙7时，点M为线段DE的中点.正确的有—.（填序号）

4.（2024・湖北黄石•模拟预测）如图，以△/2C的边NC、为边向外作正方形/CDE和正方形3CGF,连

接/G、3。相交于点。，连接C。、DG,取中点M,连接MC并延长交DG于点N.下列结论：①/G

=BD；®MN±DG；③C。平分NDCG；④SAABC=S/DG；⑤//OC=45。.其中正确的结论有

（填写编号）.

（2）根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题：

如图，已知中，ABAC=90°,AB=AC=2,BC,/C分别交G＞。于点。，E,连接Z。，BE交于

点尸.过点尸作址N〃BC,分别交于点M,N.若AD工BE,求/N的长.

6.（2024・湖北・一模）问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1）,在V/8C中,

AB=8,AC=6,求5c边上的中线4D的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作A/CD关于点。中心对称的图形，其中点A的对应

尝试运用：如图（2）,是V/BC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=90°,试判断线段

与跖的关系，并加以证明.

ArA

迁移拓展：如图（3）,4。是V/BC的中线，嘤=喂=左，NBAE=NCAF=90。，直接用含左的代数式写

ABAC

出AAEF与A/CD之间的面积关系.

7.（2023福建•模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线

必平分对边.要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PELBC于点E,并延长EP与AD交于点F,不写作

法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程.

BC

8.(23-24九年级上•山西临汾・期末)阅读下列材料，完成相应的任务.

婆罗摩笈多(Brahmagupla)是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算

规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献.他曾经提出了“婆

罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：

布拉美古塔定理：已知：如图1,四边形48CD内接于OO,对角线NC工3D,垂足为点/为的

中点，连结尸M■并延长，交BC于点、E,则MEL3C.

证明：VAF=FD,ACVBD,AAMD=90°,AF=MF=FD,ZFMD=ZADM(依据)，

ZDAM+ZADM=90°,...

D

(1)上述证明过程中的依据是指.(2)请补全上述证明过程.

(3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2,三角形内接于。。，AC=BC=IO,AB=12,点、H是

弧48的中点，AD1BC,请直接写出线段CE的长度.

9.(23-24九年级上•山西长治•期末)阅读与思考

阅读下列材料，完成相应的任务.

婆罗摩笈多(Brahmagupta)是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运

算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆

罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下.

婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形4BCD内接于。。，对角线NC13。，AC,5。相交于点如果直

线MELBC,垂足为£,并且交边4D于点F,那么/尸=即.

10.(2024•江西•模拟预测)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负

数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把对角线互

相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形

图1图2

(1)若平行四边形是“婆氏四边形"，则四边形N3CD是.(填序号)①矩形；②菱形;③正方形.(2)

如图1,四边形4BCD为。。的内接四边形，连接OA,OB,OC,OD,已知/5OC+N/OD=180。.求

证：四边形/BCD是“婆氏四边形”.

(3)如图2,在RtA/BC中，ZBAC=90°,以N3为弦的O。交NC于点。，交5c于点£,连接。£,AE,

3

BD,AB=3,sinC=-,若四边形45EQ是“婆氏四边形”，求。E的长.

11.（23-24九年级上•河南新乡•期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形.

DAE

图1图2图3

AT）

（1）如图1,在中，ZBAC=90°,~^k,直线/经过点/,直线/,CE上直线/,垂足分别

AC

为D、E.求证：=k.

AE

（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2,将（1）中的条件做以下修

改：在中，——=k,D、4、E三点都在直线/上，并且有N5D4=N/EC=NB/C=a,其中a为任

AC

意锐角或钝角.请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,在A/BC中，沿"C

的边AB、/C向外作矩形ABDE和矩形/CFG,H=H是3c边上的高，延长期交EG于点

I.①求证：/是EG的中点.②直接写出线段3C与//之间的数量关系：

12.（23-24八年级下•江苏镇江・期中）【方法回顾】如图1,在V/2C中，D,£分别是边/8,/C的中点，

小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长。E到点F，使跖=。石,

连接CF,证明AADE丝AC五E,再证四边形。3c尸是平行四边形即得证.

（1）上述证明过程中：

①证明“DE咨&CFE的依据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

②证明四边形D8CF是平行四边形的依据是；

【类比迁移】（2）如图2,是V4BC的中线，BE交AC于点E,交4D于点尸，且4E=EF,求证：

AC=BF.小明发现可以类比材料中的思路进行证明.

证明：如图2,延长AD至点G,使GD=FD,连接GC,…请根据小明的思路完成证明过程；

【理解运用】（3）如图3,四边形N3C。与四边形CE户G均为正方形，连接。£、3G,点P是2G的中点,

连接3.请判断线段C尸与。E的数量关系及位置关系，并说明理由：

（4）如图4,四边形8CED是一片草坪，NABC、V4DE是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,NBAD

为锐角，已知CE=80m,的面积为IZOOn?.计划修建一条经过点/的笔直小路/G,其中点G在CE

边上，G4的延长线经过8。中点?若小路每米造价500元，则修建小路的总造价为元.

13.(2024•重庆•校考一模)我们定义：如图1,在A/BC中，把绕点/顺时针旋转a(0°<a<180o)得

到/⑶，把/C绕点/逆时针旋转£得到/。，连接8。，当.+£=180。时，我们称△/⑶。是A/BC的“旋补三

角形"，AAB'C边B'Cl.的中线4D叫做△4BC的“旋补中线”.

图4

⑴［特例感知］在图2,图3中，是△4BC的“旋补三角形"，4D是A/BC的“旋补中线”.

①如图2,当△48C为等边三角形，且3c=6时，则/。长为

②如图3,当/B/C=90。，且8C=7时，则/。长为.

(2)［猜想论证］在图1中，当为任意三角形时，猜想/。与8。的数量关系，并给予证明.(如果你没有

找到证明思路，可以考虑延长/£(或延长8%,…)

(3)［拓展应用］如图4,在四边形/BCD中，ZBCD=150°,AB=\2,CD=6,以CO为边在四边形/BCD内

部作等边MCD,连接4P,BP.若△BID是M3C的“旋补三角形”，请直接写出△依C的“旋补中线”长及四

边形ABCD的边/。长.

14.(2024•广东•校考一模)情境观察：将矩形A8CD纸片沿对角线/C剪开，得到A/BC和△/OD,如图1

所示.将△4CD的顶点〃与点/重合，并绕点/按逆时针方向旋转，使点。、/(/)、8在同一条直线上，如

图2所示.观察图2可知：与5C相等的线段是▲,NCAC'=▲

图1图2

问题探究：如图3,△48C中，NG,3c于点G,以/为直角顶点，分别以48、/C为直角边，向△4BC外

作等腰MA48E和等腰尺以/。凡过点£、尸作射线GN的垂线，垂足分别为P、。.试探究£尸与尸。之间

的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸：如图4,MBC中,NG_L8C于点G,分别以N3、NC为一边向A/BC外作矩形/AWE和矩形/CNF,

射线G/交所于点〃若AB=kAE,AC=kAF,试探究与HF之间的数量关系，并说明理由.

图3图4

15.(2024•黑龙江齐齐哈尔•二模)综合与实践：数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变

化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题.

(1)基础题：如图1,4B1BD于点、B,CD_L3。于点D,P是上一点，AP1PC.

(2)构造应用①如图2,点£是正方形A8CD边8c上一点，//跖=90。，AE=EF,4F与CD交于点G,连

接CF,请直接写出DGCF=°.

4RAr?

②如图3,沿V/BC的边4C向外作矩形和矩形4WG,—=—=连接EG4H是BC边

AEAG3

上的高，延长网交EG于点K,求证：K是EG中点，并直接写出5c与ZK的数量关系：BC=_AK.

(3)综合应用：如图4,在矩形中，AB=4,3c=6,点£是边上的动点(点E不与点。重合),

连接CE,过点E作砂，CE,交48于点凡连接CF,过点3作3GLCF,垂足为G,点M是BC边的

中点.请直接写出当ZG+GM值最小时。E的值为:

16.（24-25九年级上•广东深圳•阶段练习）综合与实践

【问题情境】我们定义：如图（。），在V/8C中，把绕点A顺时针旋转c（0°<a<180。）得到/"，把/C

绕点A逆时针旋转户得到连接夕C.当a+£=180。时，我们称是V/8C的“旋补三角形”，

△48'C'的边9C'上的中线AD叫做V48C的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.

【特例感知】（1）在图⑹和图（c）中，△NB'C'是V/BC的“旋补三角形”，40是V4BC的“旋补中线”.

①如图（b）,当VA8C为等边三角形时，40与2C的数量关系为BC-,

②如图（c）,当NB/C=90。，BC=16时，则/。长为.

【猜想论证】（2）如图（a）,当V/8C为任意三角形时，猜想4。与8c的数量关系，并给予证明.

【拓展应用】（3）如图（d）,在四边形4BC。中，ZC=90°,ZZ