2025年新高考数学专项复习：抛物线解答题十一大题型（原卷版）

专题2-12抛物线解答题十一大题型汇总

。常考题型目录

题型1弦长问题......................................................................1

题型2中点弦问题...................................................................2

题型3直线方程问题.................................................................4

题型4面积问题......................................................................5

题型5取值范围问题.................................................................7

题型6最值问题.....................................................................10

题型7定点问题.....................................................................12

题型8定值问题.....................................................................13

题型9定直线问题..................................................................15

题型10向量问题...................................................................18

题型11探索性问题.................................................................19

但题型分类

题型1弦长问题

【方法总结】

弦长计算方法：

(1)由已知条件，应用点斜式写出过焦点的直线方程，联立抛物线方程得/+%2,根据

抛物线的定义有+久2+P,求弦长；

(2)联立直线与抛物线方程，结合弦长公式求弦长.

【例题1](21-22上•攀枝花•阶段练习)已知抛物线。:外=2P久的焦点为F,为抛物

线C上的点，且|MF|=|.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线y=x-擀与抛物线C相交于A,B两点,求弦长|AB|.

【变式1-1]1.(22-23上•南岸・期末)已知点取1,0),直线Z：x=-2,平面内存在点P,

使得点P到点M的距离比到直线/的距离小1.

(1)求点P的轨迹方程C.

(2)已知直线%：y=|%+l,求％被曲线C截得的弦长.

【变式1-1]2.(21-22上・北京•期末)已知抛物线y2=2PM>0)的准线方程是x=-|,

直线x-y-2=0与抛物线相交于M、N两点.

(1)求抛物线的方程；

(2)求弦长|MN|；

⑶设O为坐标原点，证明：。M1ON.

【变式1-1]3.(20-21上福州•期中)已知直线/经过抛物线必=6x的焦点尸,且与抛物线

相交于4、B两点.

(1)若直线/的倾斜角为60。,求|明的值；

(2)若以线段AB为直径的圆截y轴所得到的弦长为6,求此圆的半径.

【变式1-U4.(20-21上•沙坪坝•期中)已知点M(-3,0),点P在y轴上，点Q在x轴的

正半轴上，点N在直线PQ上,且满足加-PN=0,PN=^PQ.

(1)当P点在y轴上移动时，求动点N的轨迹C的方程；

(2)过点7(2,0)作一直线交曲线C于A,B两点，O为坐标原点，若△4。7的面积是4BOT

面积的2倍，求弦长|48|.

【变式1-1]5.(20.21上•全国・期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(0,3),E(2,-3),

动点C满足关系式|后-EC\=3\CF\.

(1)求动点C的轨迹M的方程；

(2)过点F作一直线48交M于4,8两点，若△B。尸的面积是△AOF的面积的2倍，求弦长|48|.

题型2中点弦问题

【方法总结】

(1)求二次曲线的标准方程的方法有：待定系数法、定义法、直接法、代入法、参数方程

法；

(2)"设而不求’是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问

题.

(3)针对中点弦这一特殊问题的专用方法一点差法.

【例题2](23-24上•汉中•模拟预测)已知抛物线C:*=2Px(p>0)的焦点为尸,点4(6,y0)

在抛物线C上,S.\AF\=10.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线/交抛物线C于M,N两点，且点(4,2)为线段MN的中点，求直线/的方程.

2

【变式2-1]1.(22-23上・贵港・期末)已知F是抛物线C:%=2py(p>0)的焦点,M(4,y0)

是抛物线C上一点，且眼眉=4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线1与抛物线C交于力,B两点，且线段的中点坐标为(8,12),求直线/的斜率.

【变式2-1]2.(23-24上•全国•课时练习)已知抛物线C：y2=2x的焦点为F,平行于x轴

的两条直线。"分别交C于A,B两点，交C的准线I于P,Q两点

(1)若F在线段48上,R是PQ的中点，4R与FQ平行吗？

(2)若APQF的面积是42B尸的2倍，求4B中点的轨迹方程.

【变式2-1]3.(22.23下•呼伦贝尔・阶段练习)已知抛物线a/=—2py(p>0)的焦点为

F,2(>0，-9)是抛物线C上的点，S.\AF\=15.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线/交抛物线C于M,N两点,且MN的中点为(6,-4),求直线I的方程.

【变式2-1J4.(22-23下・安康・期末)已知抛物线C：y2=2PMp>0)上一点m>

0)与焦点的距离为2.

⑴求p和m;

⑵若在抛物线C上存在点A,B,使得1MB,设AB的中点为D,且D到抛物线C的准

线的距离为蓝,求点D的坐标.

题型3直线方程问题

【方法总结】

有关直线与抛物线的问题，解题方法如下：

(1)根据题意，列出等量关系式求得P的值，得到抛物线的方程，利用点在抛物线上点的

坐标满足抛物线方程，求得加的值；

(2)根据题意，设出点的坐标，根据重心坐标公式，列出等量关系式，根据点在抛物线上，

点的坐标满足抛物线方程，联立求得点的坐标，进而求得直线方程.

【例题3](22-23上眉山・期中)如图，点4(2,8)<。2必)在抛物线旬=2Px上,

且抛物线的焦点F是△2BC的重心，M为BC的中点.

(1)求抛物线的方程和点用勺坐标；

⑵求点M的坐标及8C所在的直线方程.

【变式3-1]1.(20-21上绍兴•期末)已知三角形4BC内接于抛物线C4=2PMp>0),

抛物线的焦点为F,三角形顶点4(2,m)(爪>0)到抛物线C准线的距离为10.

(1)求犯p的值.

(2)若△ABC的重心恰是抛物线的焦点F,求BC所在的直线方程.

【变式3-1]2.(20-21上沈阳•期末)已知点M到点F(|,0)的距离与它到直线=-|的

距离相等

(1)求点M的轨迹方程；

(2)求过点C(0,-2)与点M的轨迹只有一个公共点的直线方程.

【变式3-1]3.(18-19下•衡阳•阶段练习)已知抛物线E：/=2py(p>0)上一点P的纵坐

标为4,且点P到焦点尸的距离为5.

(1)求抛物线E的方程

(2)已知两直线I1,％分别经过点尸和胆。,-1)"i与抛物线E交于4B两点，"与抛物线E在

第一象限相切于点M,且△A8M的面积为,求的直线方程

【变式3-1]4.(18-19下河南•期中)已知抛物线C：y2=2Px(p>0)的焦点为F,过产的

直线/与抛物线C交于4,B两点，弦4B的中点的横坐标为|,\AB\=5.

(I)求抛物线C的方程；

(n)若直线1的倾斜角为锐角，求与直线/平行且与抛物线C相切的直线方程.

2

【变式3-1J5.(20-21上清远期末)已知抛物线外=2Px(p>0)的焦点与双曲线三-y2=

1的一个焦点重合.

(1)求抛物线方程；

(2)若直线1:y-履-2=。与抛物线只有一个交点，求直线1方程.

题型4面积问题

【方法总结】

有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法

(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关

系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑

用圆锥曲线的定义求解；

(2)面积问题常采用工=4底x高，其中底往往是弦长,而高用点到直线距离求解即可,

选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底.有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其

面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；

(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及

函数与方程思想的应用.

【例题4](22-23下例江•期中)已知F是抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点,P(l,t)(t>0)

是抛物线上一点，且|PF|=2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)斜率为1的且过焦点的直线/与抛物线C交于A,B两点，求WAB的面积.

【变式重庆模拟预测)如图,已知抛物线为其

4-1]1.(2223••C:*=2px(p>0),F

焦点，点2(2,y°)在C上,AOAF的面积为4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点PQn,O)(m>0)作斜率为-1的直线人交抛物线C于点M,N,直线MF交抛物线C

于点Q,以Q为切点作抛物线C的切线"，旦夕/4，求AMNQ的面积.

【变式4-1】2.(23-24上•南京•阶段练习股抛物线C：*=2PMp>0)的焦点为F,M&C,

Q在准线上，Q的纵坐标为百p,尸到点Q距离为4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过产且斜率为2的直线/与C交于4B两点，求A4BQ的面积.

【变式4-1】3.(22-23上•省直辖县级单位•阶段练习)已知点M(2,-2夜)在抛物线C4=

2PMp>0)上，倾斜角为45。的直线I经过抛物线C的焦点F.

(1)求抛物线C的标准方程；

⑵求线段AB的长及△48。的面积

【变式4-1】4.(22-23下•静安期中)已知斜率为k的直线/经过抛物线=4比的焦点F,

且与抛物线。交于不同的两点401，%),8(>2，丫2)，记点M的坐标为(5,0).

(1)若点4和B到抛物线准线的距离分别为|和3,求|AB|；

(2)若斜率k=1,求44MB的面积；

(3)若ATIMB是等腰三角形目|M4|=\MB\,求实数k.

题型5取值范围问题

【方法总结】

圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的

等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的

取值范围.

【例题5](21-22下•嘉兴・模拟预测)已知抛物线f=2px(p>0)的焦点为F,点M是抛

物线的准线x=-2上的动点.

(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；

(2)设直线I与抛物线相交于A、B两点，目MF1AB.AF1MB,求直线I在X轴上截距b

的取值范围.

【变式5-1]1.(21-22下•大连•二模)已知抛物线E"=2Px(p>0)的焦点为F,点P在

抛物线上，O为坐标原点，且|OP|=|PF|=j.

⑴抛物线E的标准方程；

(2)如图所示，过点和点N(2t,0)(2<t<6)分别作两条斜率为k的平行弦分别和抛物

线E相交于点A,B和点C,D,得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为r

和B,目•k[+七一匕%=0.

(i)试求实数k的值；

(ii)若存在实数4,使得s卷中=ASAOAB,试求实数4的取值范围.

【变式5-1]2.(21.22下・江西•二模)设抛物线C：y2=2Px(p>0)的焦点为F,点

M(2,m)(m>0)在抛物线C上,且满足|MF|=3.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点G(0,a)(a>0)的两直线儿"的倾斜角互补，直线。与抛物线C交于A,B两点，直

线12与抛物线C交于P.Q两点，△FAB^AFPQ的面积相等，求实数a的取值范围.

【变式5-1]3.(21-22下绍兴•模拟预测)已知椭圆G吟+5=l(a>b>0)的短轴长为

2,离心率为弓，抛物线C2：V=2Px(p>0)的焦点为椭圆C1的右焦点.

(1)求椭圆G及抛物线金的方程；

(2)如图，过M(-0)(m>1)作直线I交抛物线。2于P,Q两点(P在Q的左侧)，点Q关

于x轴的对称点为g,求证直线PQi过定点N;并求当I的倾斜角为30。时，点M到直线PQi

距离d的取值范围.

22

【变式5-1]4.(21-22下•枣庄•三模)已知双曲线。橐―a=l(a>0,b>0)的实轴长为

2.点(夕1)是抛物线E：/=2py的准线与C的一个交点.

(1)求双曲线C和抛物线E的方程；

(2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A,B.求4P力B面积的取值范围.

【变式5-1]5.(21-22下岳阳一模)已知抛物线C4=2Px(p>0)上一点PQ0,2),抛

物线C的焦点尸在以。P为直径的圆上(。为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点P引圆M:(光-3)2+y2=r2(1<r<遮)的两条切线PA、PB,切线PH、PB与抛物

线C的另一交点分别为人B,线段中点的横坐标记为t,求实数珀勺取值范围.

题型6最值问题

【方法总结】

求解直线与抛物线综合应用中的三角形面积最值(取值范围)问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于X或y的一元二次方程的形式；

②利用△>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③表示出所求三角形的面积，代入韦达定理的结论；

④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式

求解出最值(范围).

【例题6](22-23下•新疆•模拟预测)已知抛物线C:y2=2Px(p>0)，圆E:(%-4)2+y2=

12与抛物线C有且只有两个公共点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设。为坐标原点，过圆心E的直线与圆E交于点48,直线O4OB分别交抛物线C于点P,Q

(点P,Q不与点。重合)记小。48的面积为Si,AOPQ的面积为S2,求f1的最大值.

【变式6-1]1.(22-23下•武汉一模)过坐标原点。作圆C：(x+27+*=3的两条切线,

设切点为P,Q,直线PQ恰为抛物E：y2=2px,(p>0)的准线.

⑴求抛物线E的标准方程；

⑵设点T是圆C上的动点，抛物线E上四点48,M,N满足：刀=2TM,TB=2TN,设4B中点

为D.

(i)求直线TO的斜率；

(ii)®ATAB面积为S,求S的最大值.

【变式6-1]2.(22-23下•蚌埠・二模)已知抛物线C：y2=2px,点力(1,2)在C上，A关于

动点7(t,0)(t<3)的对称点记为M,过M的直线I与C交于P(xi，为)，Q(X2,光)，M为P,

Q的中点.

(1)当直线I过坐标原点。时，求△4PQ外接圆的标准方程；

(2)求4APQ面积的最大值.

【变式6-1]3.(22-23上・乌鲁木齐・期末)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在V轴

上,且抛物线上有一点M(m,2)到焦点的距离为3.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线I交抛物线C于A,B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则MB|的最大值为

多少？

【变式6-1]4.(22.23下•安庆•二模)已知点F是抛物线C:*=2Px(p>0)的焦点,准线仇

与久轴的交点为K,点P是抛物线C上任一动点.当点P的横坐标为8时，△PFK的面积为4鱼.

⑴求抛物线C的方程；

(2)设48是抛物线C的准线上的两个不同点，点P的横坐标大于1,坐标原点。到APAB的边

P4PB的距离都等于1,求4PAB的周长的最小值

【变式6-1]5.(23-24上•湖北•阶段练习)设抛物线Ey=2PMp>0)的焦点为F,E上点

2(%0,2)：两足|力F|—2.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知正方形48CD有三个顶点在抛物线E上,求该正方形面积的最小值.

题型7定点问题

【方法总结】

求解直线过定点问题常用方法如下：

(1)"特殊探路，一般证明"：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的

一般性证明；

(2)”一般推理，特殊求解"：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线

系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的

解为坐标的点即为所求点；

(3)求证直线过定点(久。,小),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-久°)或截距式y=

kx+b来证明.

【例题7](2223•九江一模)已知过点P(2,0)的直线[与抛物线E:y2=2px(p>0)交于48

两点，过线段AB的中点M作直线MN1y轴，垂足为N,且PM1PN.

(1)求抛物线E的方程；

(2)若C为E上异于点48的任意一点，目直线2&BC与直线x=-2交于点，证明：以DR为

直径的圆过定点.

【变式7-1]1.(22.23上・齐齐哈尔・期末)已知F是抛物线C:y2=2PMp>0)的焦点,

M(3,。是抛物线上一点，且|MF|=4.

(1)求抛物线C的方程；

⑵直线I与抛物线C交于A,B两点，若瓦？-0B=-4(0为坐标原点)，则直线I否会过

某个定点？若是，求出该定点坐标.

【变式7-1]2.(2223•西安•三模)在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C与圆。1：%2-2%+

y2=。内切，且与直线％=-2相切,设动圆圆心C的轨迹为曲线E.

⑴求E的方程；

⑵已知P(4,yo)(y0>0)是曲线E上一点，4B是曲线E上异于点P的两个动点，设直线P4P8

的倾斜角分别为&£，且a+£=干，请问：直线4B是否经过定点？若是，请求出该定点，

若不是，请说明理由.

【变式7-1]3.(22-23上•绵阳•期中)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且经过

点P(l,2).

(1)求抛物线方程；

(2)若直线/与抛物线交于48两点，且满足m-0B=-4,求证：直线1恒过定点，并求出定

点坐标.

【答案】⑴y2=4x

⑵定点(2,0),证明见解析

【变式7-1]4.(22-23上.徐州・期中)已知定点F(l,0),定直线Z：x=-1,动圆M过点F,

且与直线怀目切.

Q)求动圆的圆心M所在轨迹C的方程；

(2)已知点P(t,-1)是轨迹C上一点，点4B是轨迹C上不同的两点(点4B均不与点P重合),

设直线APBP的斜率分别为自、k2,且满足七+七=-1证明：直线4B过定点，并求出

定点的坐标.

题型8定值问题

【方法总结】

求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

【例题8](20-21上•西安•一模)已知抛物线C：y2=2PMp>0)的焦点F与椭圆=+[=1

的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA,MB分别与抛物线C相切

(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；

(2)设直线MA,MB的斜率分别为灯，k2,证明：七•①为定值.

【变式8-1]1.(2223•全国专题练习)已知M(4,m)是抛物线C:y2=2Px(p>0)上一点,

且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；

⑵如图所示，过点P(2,0)的直线I与C交于A,B两点，与y轴交于点Q,设西=XPA,

QB=fiPB,求证：Z+4是定值.

【变式8-1]2.(22-23上•南京•阶段练习)已知抛物线C：y2=2PMp>0),P是C上纵

坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆(O为原点)交C的准线I于A,B两点，

且|4B|=2.

(1)求抛物线C的方程.

⑵过点P作直线PM,PN分别交C于M,N两点，且使NMPN的平分线与y轴垂直，问：

直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

【变式8-1]3.(2223•省直辖县级单位•模拟预测)已知抛物线C：/=2py(p>0)的焦点

为F,准线为2,过点F且倾斜角为船勺直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN11,垂足

为N,直线NF交久轴于点。，|MD|=4V3.

(1)求P的值.

(2)若斜率不为0的直线。与抛物线C相切切点为G，平行于。的直线交抛物线C于P,Q两点，

且NPGQ==，点/到直线PQ与到直线。的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不

是，请说明理由.

【变式8-1J4.(22-23下•广州•期末)已知抛物线Cy=2Px(p>0)的焦点为F，点4(2,m)

在抛物线上,且满足黑=v，其中。为坐标原点.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)直线/与抛物线C相交于M、N两点，以MN为直径的圆过点P(l,2),作PD1MN，。为垂

足,是否存在定点Q,使得|DQ|为定值？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.

题型9定直线问题

【方法总结】

点在定直线上等问题，解题方法一是应用韦达定理得出交点的坐标之和，利用焦半径公式

求解，二是把交点坐标代入抛物线方程相减同弦中点坐标与弦所在直线斜率之间的关系.

【例题9](21-22下虹口，二模)已知抛物线C：*=2PMp>0)的焦点为F,准线为I,记

准线I与X轴的交点为A,过A作直线交抛物线C于，N(x2,y2Xx2>/)两点.

(1)若/+x2=2p,求|MF|+|NF|的值；

(2)若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；

(3)若P,Q是准线I上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线

上？请说明理由.

【变式9-1]1.(21-22下・齐齐哈尔•三模)已知点F为抛物线C：/=2py(p>0)的焦点，

点EQ。,2)在抛物线C上,且也用=4,直线/：y=，+1交抛物线C于A,B两点，O为坐

标原点.

⑴求抛物线C的方程；

⑵若直线，:y=|x+m(m^1)交抛物线C于M,N两点，直线AM与BN交于点T,求

证：点T在定直线上.

【变式9-1]2.(21-22下•全国•阶段练习)如图,已知抛物线Cy=2Px(p>0)的焦点为

F,过点F的直线I交抛物线C于A,B两点，动点P满足APAB的垂心为原点O.当直线I

的倾斜角为30。时，|力B|=16.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求证：点P在定直线上.

【变式9-1]3.(2122•新疆•二模)已知F为抛物线Cy=2Px(p>0)的焦点，点M在

抛物线C上，O为坐标原点，△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆周长为3兀.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设4(1,2),B是抛物线C上一点，且功力1，直线力B与直线y=x—1交于点Q,过点Q

作y轴的垂线交抛物线C于点N,证明：直线BN恒过一定点，并求出该定点的坐标.

【变式9-1J4.(20-21下・宣城•模拟预测)已知椭圆C：g+g=l(a>0,b>0)过点(2,—1),

离心率为日,抛物线f=-16久的准线及x轴于点4,过点4作直线交椭圆C于M,N.

(1)求椭圆C的标准方程和点力的坐标；

(2)设。，Q是直线Z上关于x轴对称的两点，问：直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？

请说明你的理由.

【变式9-1]5.(20-21下广西•模拟预测)已知F为抛物线C：/=2py(p>0)的焦点,直

线]:y=2x+l与C交于A,B两点且|4F|+|BF|=20.

(1)求C的方程.

(2)若直线m:y=2x+力1)与C交于M,N两点，且AM与BN相交于点T,证明：点

T在定直线上.

题型10向量问题

【例题10】2223下长沙•期末)已知抛物线/=2py点P(2,8)在抛物线上直线y="+2

交C于4,B两点，M是线段48的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

(1)求点P到抛物线焦点的距离；

(2)是否存在实数k使涵-NB=0,若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

【变式10-1]1.(2223・河北•模拟预测)已知抛物线C:y2=2PHp>0)的焦点为F,圆

D-.(x-l)2+(y-2)2=4恰与C的准线相切.

(1)求C的方程及点F与圆。上点的距离的最大值；

(2)0为坐标原点，过点M(0,l)的直线/与C相交于A,B两点，直线4。，B。分别与y轴相交

于点P,Q,MP=mMO,MQ=nMO,求证：/合为定值.

【变式10-1】2.(2223•江西模拟预测)过坐标原点。作圆C：(X+2)2+*=3的两条切

线，设切点为P,Q,直线PQ恰为抛物线4必=2PMp>0)的准线.

⑴求抛物线E的标准方程；

⑵设点T是圆C的动点，抛物线E上四点满足：TA^2TM,TB=2TN,设力B中点

为D.

(i)证明：TD垂直于y轴；

(ii)TAB面积为S,求S的最大值.

【变式10-1]3.(22-23下•安阳・开学考试)已知P(4,y0)是焦点为尸的抛物线=

2px(0<p<4)上一点，以P为圆心，|PF|为半径的圆过点M(7,0).

Q)求C的方程；

(2)过点(2,0)作直线/交抛物线于4、B,求方•丽的最大值.

【变式10-114.(21-22下•赤峰•三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线经过点

H(-1,2夜)，过点Q(0,l)的直线1与抛物线C有两个不同的交点4B，点P(l,zn)(其中爪>0)在

抛物线C上,且直线24交y轴于M,直线P8交y轴于M

(1)求直线1斜率的取值范围；

⑵设。为原点，若丽=^QO,QN=4而，求证：；+二为定值.

【变式10-1]5.(2223•泰安二模)已知点M(0,l)和点N(x°,2)(X。>0)之间的距离为2,

抛物线=2PMp>0)经过点N，过点M的直线I与抛物线C有两个不同的交点A,B,

点E,F分别在直线M4,NB上,且丽=2(温-丽),MO=〃(而-NM)(O为坐标原

点).

(1)求直线I的倾斜角的取值范围；

(2)求4+〃的值.

题型11探索性问题

【例题11](22-23下•广东•期末)设点F为抛物线C:%2=2py(p>0)的焦点，过点F且

斜率为遍的直线与C交于A,B两点Su*=276(0为坐标原点)

(