2025年中考数学几何模型归纳训练：全等与相似模型之十字架模型解读与提分训练（原卷版）

专题23全等与相似模型之十字架模型

几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几

何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生

更好地理解和掌握。

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例题讲模型］

............................................................................1

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）......................................................1

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）........................................................4

模型3.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）.................................................6

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）...................................................8

习题练模型］

...........................................................................11

例题讲模型］

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）

模型解读

“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一

组全等的三角形。

模型证明

条件：1）如图1,在正方形/BCD中，若E、歹分别是BC、CD上的点，AELBF；结论：AE=BF»

证明：,•・四边形/38是正方形，；.44班'=/。=98,AB=BC,：.ZBFC+ZCBF=9CP

AELBF,：.ZAEB+ZCBF=90°,ZAEB=ZBFC,△/BE会A8CF（SAS）,：.AE=BF.

条件：2）如图2,在正方形48CD中，若E、F、G分别是3C、CD、AB上的点，AELGF-,结论：AE=GF.

证明：在尸C上取一点尸，使得GB=PF,连结5P。

;四边形Z5CD是正方形，.•./8//CD,.♦.四边形8尸尸G是平行四边形，...GW/AP,GF=BP,

同1）中证明，可得/E=G/。

条件：3）如图3,正方形/8CO中，若£、F、G、〃分别是BC、CD、AB、/D上的点，EHIGF；

结论：HE=GFo

证明：在尸C、BE上取一点P、Q,使得GB=PF,AH=QE,连结AP、AQ.

・•・四边形/BCD是正方形，.,.四边形8P尸G是平行四边形，...G/V/AP,GF=BP,

同理可证得：四边形力QEH是平行四边形，AQ=HF,同1）中证明，可得HE=GF。

模型运用

例1.（2023.江苏吴江九年级期中）如下图，将边长为9c加的正方形纸片48C。折叠，使得点4落在边CQ

上的E点，折痕为若。£的长为6c冽，则的长为cm.

M

例2.（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形N3C。中，48=12,点£,9分别在边3C,CD

上，4E与BF相交于点G,若BE=CF=5,则3G的长为

例3.（2024•广东梅州•一模）如图，E、尸分别是正方形43C。的边。，/D上的点，且CE=D9，AE,

昉相交于点。，下列结论：①/E=8/；②尸；③/。=。£；④=中，正确的结论有（）

B.2个C.3个D.4个

例4.（23-24江苏九年级期中）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94

页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1,

探究所提供的正方形/BCD的边长都为2.

【探究】⑴如图2,在正方形48cZ）中，如果点E、9分别在BC、CD上，且垂足为那么4E

与BF相等吗？证明你的结论.

【应用】⑵如图3,在正方形48co中，动点E、尸分别在边42、CD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,

使点8对应的点M始终落在边4D上（点M不与点。重合），点C落在点N处，MN与CD交于点、P,

设/£=，，求线段m的长（用含/的式子表示）.

【拓展】（3）如图4,在正方形N8CD中，£是8C的中点，F、G分别是48、CD上的动点，且尸GL/E,

求斯+/G的最小值.

图3

图1图2

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）

模型解读

矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩

形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。

模型证明

DEAD

1）条件：如图1,在矩形中，若E是45上的点，SDELAC,结论:

^C~~CD

,**DE,\_ACj/EDC+/DC4=90°，/ADE=Z_DCA,:.八DEA~ACAD,/.=,/.=------

ACCDACAB

2）条件：如图2,在矩形/BCD中，若£、尸分别是/2、CD上的点，5.EFLAC,结论：—=—

ACAB

,••四边形/BCD为矩形，:./D=/D4B=NB=90°,四边形43办为矩形，.•.尸G=尸G=90。；

.-.ZGFE+ZEFC=90°；-：EFLAC,ZEFC+ZACD=90°,:.ZGFE=ZACD；

FFFGFF

••ZEGF=ZD=90°,〜AO4C,一,易证：DC=AB,FG=BC,/.一=—

ACDCACAB

3）条件：如图3,矩形45CQ中，若£、尸、M、N分别是45、C。、40、5C上的点，EFLMN,结论：——=—

MNAB

证明：如图：过点N、F作NH、尸G垂直AB,;"NHM=NFGE=90°；

••・四边形为矩形，.•./4=/4G9=90p,四边形NGQH为矩形，

■:EFLMN,FG1NH,：.ZGFE+ZFOH=AHNM+ZNOE=90°；

又,：2F0H=NNOE（对顶角相等），ZGFE=AHNM；

EFFGEFBC

:・RtAHNMsRtAGFE,「.----,易证：NH=AB,FG=BC,....----

MNNHMNAB

模型运用

例1.（2024•山西大同•模拟预测）矩形48co中，£为AD边上一点，且4D=8,AB=6.将沿翻

折到昉处，延长好交8C边于G点，延长8歹交CD边于点且FH=CH,则线段即的长为

例2.（22-23下彳雷州•二模）在矩形485中，E是边的中点，连接过点5作研，/£于点尸，射

Ari

线5户与直线8交于点尸，设叱=加.

AB

（1）如图①，若加=1,求证：AE=BP；（2）如图②，当点尸恰好与点。重合时，试确定冽的值；

CP

⑶作点5关于直线4E的对称点〃，当以点尸，D,夕为顶点的三角形是等腰三角形时，求有的值.

例3.（2023年河南九年级中考三模数学试题）综合与实践

【问题发现】（1）如图1,在正方形/BCD中，点E,F,G,77分别在边48,BC,CD,上，且EG_LFH

于点O.试猜想线段EG与9的数量关系为__________；

【类比探究】（2）如图2,在矩形48CD中，AB=a,BC=2a,点、E,F,G,X分别在边BC,CD,

DA±,连接EG,FH,且EGLEH,垂足为。.试写出线段EG与切的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】（3）如图3,在四边形48co中，ZABC=9Q°,/BCD=6Q°,点、M,N分别在边48,BCh,

连接CM,DN,且CWLDN,垂足为O.已知/8=3,BC=DC=4,若点M为48的三等分点，直接写

出线段。N的长.

模型3.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）

条件：如图1,已知等边ZUBC,BD=EC（或CD=/£）,

结论：®AD=BE,②4D和BE夹角为60。，③。

B/)

模型证明

证明：如图，在等边A/BC中，AB=AC,/48C=/C=60。，

AB=BC

在尸与ACN0中，＜NABC=NC,:.AABD三ABCE（SAS）,：.AD=BE,ABAD=ZCBE；

BD=EC

ZAFE=ZABF+ZBAD=ZABF+ZCBE=ZABC=60°,：.AD和BE夹角为60°；

ZBAD=ZCBE,ZBDF=ZADB，:•ABDF~AADB,同理：ABDF~*BEC

模型运用

例1.（2324下•淄博•一模）如图，等边点E,尸分别在ZC,2C边上，AE=CF,连接BE,

相交于点P（1）求48尸尸的度数；（2）求证：BPBE^BFBC.

例2.（23-24•南通•模拟预测）如图，已知尸是等边“3C内的一点，且乙4尸3=120。，延长/尸，BP,分别

交.BC,/C于点。，E.若/B=3,BD=1,贝鼠48尸的周长等于.

例3.（2324下•吉安•模拟预测）课本再现：

（1）如图1,D,E分别是等边三角形的两边/BNC上的点，且4D=CE.求证：CD=BE.下面是小涵同

学的证明过程：证明：是等边三角形，；./C=BC,ZA=ZACB=6（f.

'：AD=CE,：.AADC%C、EB（SAS）,CD=BE.

小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：/BED的度数是；

迁移应用：（2）如图2,将图1中的。延长至点G,使FG=FB,连接/G,BG.利用（1）中的结论完成

下面的问题.①求证：AG//BE；②若CF=2BF,求证：AD=2BD；拓展提升：（3）在等边。8c中，若

点、D,E分别在射线48,/C上，连接CD,BE交于点尸，且4£D=60。，将CZ＞绕点C逆时针旋转到CM,

PC

且使得ZMCB=ZADC.直线DM与直线BC交于点P,若CF=2BF,则——的值为_____

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）

模型解读

该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。

模型证明

1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：

条件：如图2,在△48C中，AB=BC,ABLBC,结论：①。为3c中点，②BFtAD,③4F：FC=2：1,④

ZBDA=ZCDF,@ZAFB=ZCFD,®ZAEC=135°,⑦AE=®EC,以上七个结论中，可“知二得五”。

证明：不妨把①②作为条件，来证明③-⑦的五个结论。

如图1,过点C作BC的垂线交BF于点H,过点A作AG垂直于CH,：,ZBCH=90°,：.ZCBH+ZCHB=9Q°

'：AB±BC,：.ZABC=9Q°,：.ZBCH=ZABC=90°,\'BFLAD,：.ZCBH+ZADB=9Q°,：.ZCHB=ZADB,

•：AB=BC,：.ABADmACBH,：.BD=CH,\•。为BC中点，：.BD=DC=CH,：.AB=2CH,

易证：四边形N3CG为正方形，即/8〃CG,A/\BAF-AHCF,:.AF：CF=BA：HC=2：1

"：AB=BC,ABLBC,：.ZBCA=45°,;NBCH=9Q°,：.ZBCA=ZGCA=45°,

"：DC=CH,CF=CF,:.ADCF义AHCF,：.ZCHF=ZCDF,ZCFH=ZCFD,

:.NBDA=/CDF,,:/CFH=NAFB,:./AFB=NCFD,

如图2,过点C作C。垂直于BF,：.ZBQC=9Q°,

,：ABLBC,：,ZABD=ZBQC=90°,：.ZABE+ZQBC=90°,；AB=BC,：.ABAE^A.CBQ,

：.CQ=BE,AE=BQ,"：BFLAD,CQ±BF,易证：AEAF~AQCF,；.£/：QC=AF：CF=2：1。

万

AAE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ,：.CQ=EQ,；.△Q£C为等腰直角三角形，ZQEC=45°,QC=、EC

：.N/£C=135。，AE=血EC。

2）直角三角形中的十字模型：

如图3,在三角形/2C中，BC=kAB,ABLBC,①。为中点，②BFL4D,③AF：FC=2：k2,@ZBDA=

ACDF,®ZAFB=ZCFD,®ZAEC=135°,⑦AE=®EC,以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似）

证明：不妨把①②作为条件，来证明③-⑦的五个结论。

由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证

明，有兴趣的同学可以自行证明即可。

模型运用

例1.（2324上•深圳•期中）如图，在比A4BC中，ZABC=90°,A4=3C=3,点。为边上的中点,

连接过点3作于点E,延长3E交NC于点？则BF的长为.

B

D

E

AC

例2.（2324下・沧州・二模）如图，在Rta/BC中，ZABC=90°,/3=3C,点。是线段上的一点，

连接CD,过点3作8GLCD,分别交CD、CN于点£、F,与过点/且垂直于42的直线相交于点G,连

接。斤，下列结论错误的是（）

A.――=――B.若点。是AB的中点，则AF=AB

ABFC3

C.当8、C、F、。四点在同一个圆上时，DF=DBD.若塔；则又跳=9邑.

例3.（2324下•三明・期末）如图①，在中，/C=3C,N/C8=90。，点。在边8C上，过点C作CEL4D,

垂足为交48于点£.

图①图②图③

（1）小亮通过探究发现NBCE=NCAD,请你帮他说明理由；（2）如图②，CN平分//C3交AD于点N,小明

通过度量猜想有CN=BE,他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；（3）如图③，连接若。是3C的中点,

小刚通过探究得到结论AD=CE+DE,请你帮他说明理由.

习题练模型

1.（23-24江苏八年级期末）如图，将边长为3的正方形48CD纸片沿跖折叠，点。落在边上的点G

处，点。与点8重合，CG与EF交于点P,取G77的中点0,连接尸。，则△G尸0的周长最小值是（）

9

C.-+273D.

22

2.（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形/BCD中，点£、尸、〃分别是43、BC、CD的中点，C£、DF

交于G,连接/G、HG.下列结论：©CEVDF■,②AG=DG；③/CHG=NDAG；®2HG=AD.正确

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2324下•贵港，一模）如图，在等边的/C,3C边上各任取1点?，Q,且/尸=C。，AQ,BP

相交于点O,下列三个结论：①若尸C=2/P,贝l」3O=6P。；②若8c=8,BP=7,贝!]PC=5,③AP。=OP・AQ,

其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

4.（2324•德州•二模）如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE,过点D作DMLAE,

垂足为点M,交AB于点F.将AAMF沿AB翻折得到AANF.延长DM,AN交于点P.给出以下结论①

2

△ABE=ADAF;②△APF〜△DAP;®AP2=PFPD;@^tanZADF=-,则S1m£尽如=4:5；.其

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

5.（2324下•江门•模拟预测）如图，在中，ZACB=90°,NC=3C.点D是线段3c上的一点，连

接4D,过点C作CG，/。，分别交40、于点G、E,与过点3且垂直于2C的直线相交于点尸，点。

是3c的中点，连接DE.则gRF=;

6.（23・24下•山西•一模）如图，在放A/BC中，ZABC=90°,AB=BC=2,4B是BC边上的中线，过点3

作/£的垂线AD,垂足为X,交/C于点。，则40的长为

7.（23-24九年级上•辽宁鞍山•期中）如图，在V4BC中，ZACB=90°,/C=BC=4,点。为8c边上一

动点（不与点8、C重合），CE垂直4D交45于点£,垂足为点X,连接■并延长交/C于点R下面结

论：①若/。是3C边上的中线，贝！］£）8=述；②若4D平分NC/B,则里="；③若BD=2CD,贝！|

5BD2

AE=3BE；④当CD=AD时，AF=2CF.正确的有（填序号）.

8.（2324上・珠海・期中）在口1/\/3（3中，44cB=90。，/C=3C,D为BC中点，连接/D,过点。作

于点E,交4B于点、M.过点3作AF,8c交CE的延长线于点R则下列结论正确的有（请填序

号）①△/C。*△CB尸；②NBDM=NADC；③连接，尸，则有是等边三角形；④连接。尸，则有ZB

垂直平分。尸.

9.（2324上•无锡•期末）如图，在边长为3的等边“BC中，分别为边8C、/C上的点8D=CE,AD

与BE相交于点P,NBPD=.若BD=l,则/尸=.

10.（2024•江苏泰州•模拟预测）如图所示，在矩形/BCD中，尸是。C上一点，4E平分NB4尸交BC于点、

E,且。£_L/尸，垂足为点M,BE=3,AE=2M,则〃/的长是

BEC

11.（2023•北京海淀•一模）如图，正方形48C。中，点E,尸分别在BC,CD上，BE=CF,AE,BF交于点、

G；（l）ZAGF=.（2）在线段NG上截取MG=BG,连接。“，4GF的角平分线交DM于点N.

①依题意补全图形；②用等式表示线段与ND的数量关系，并证明.

12.（2024・河南・一模）综合与实践

数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1,在正方形/BCD中，已知求证：AE=BF.

甲小组同学的证明思路如下：由同角的余角相等可得NAapuNCUE.再由4B=D4,ZBAF=ZD=90°,

证得“BF知D4E（依据：）,从而得NE=8尸.

乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知/£=8尸，同样可证得8产，证明思路如下：

由=ZU,BF=NE可证得Rt"BF咨RLD4E（HL）,可得ZABF=NDAE,再根据角的等量代换即可证

得AE_LBF.

完成任务：（1）填空：上述材料中的依据是（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）

【发现问题】同学们通过交流后发现，已知尸可证得/E=5尸，已知4E=5尸同样可证得尸，

为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究.

【迁移探究】（2）在正方形48C。中，点£在CA上，点M,N分别在4D,2C上，连接腑交于点P甲

小组同学根据MV_LN£画出图形如图2所示，乙小组同学根据=画出图形如图3所示.甲小组同学

发现已知MN1AE仍能证明儿W=/E,乙小组同学发现已知MN=AE无法证明，/E一定成立.

①在图2中，己知求证：MN=AE；②在图3中，若NDAE=a,则N4PM的度数为多少?

【拓展应用】(3)如图4,在正方形4&C。中，/3=3,点£在边48上，点M在边4D上，且/E=/W=l,

点、F,N分别在直线CD,8c上，若EF=MN,当直线昉与直线MN所夹较小角的度数为30。时，请直接

写出CF的长.

13.(23-24八年级上•湖北宜昌•期中)请阅读，完成证明和填空.

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊，，中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下:

⑴如图1,正三角形中，在48、/C边上分别取点M、N,使囱0=4V,连结发现5N=CM,

且/乂。。=60。.请证明：ZNOC=60。.

(2)如图2,正方形/3C。中，在23、3c边上分别取点“、N,使AM=BN,连结NN、DM,那么

AN=,且/DON=度.

(3)如图3,正五边形/BCDE中，在48、8c边上分别取点M、N,使AM=BN,连结/N、EM,那么

AN=,且NEON=度.

(4)在正〃边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.

请大胆猜测，用一句话概括你的发现：

14.(23-24八年级下•江西宜春・期中)［特例感知］如图1,在正方形/BCD中，点£,尸分别为/B,4D的

中点，DE、C户交于点G.

(1)易证丝ADCW,可知。E、C户的关系为；(2)连接8G,若AB=6,求8G的长.

［初步探究］如图2,在正方形48C。中，点£为48边上一点，尸GLDE分别交ND、BC于F、G,垂足为

0.求证：FG=DE.

［基本应用］如图3,将边长为6的正方形/5C。折叠，使得点N落在边C。的中点M处，折痕为P。，点尸、

。分别在边8C上，请直接写出折痕尸。的长：尸0=.

［应用拓展］如图4,在四边形4BC。中，AB=AD,/BAD=NBCD=兜，8c=14,CD=2,AE工BC于E,

AF工DE交BC于F,则N尸长为.

15.(2324下•成都市•九年级期中)已知四边形48co中，E、尸分别是ZB、边上的点，DE与CF交

于点G.(1)如图①，若四边形/BCD是矩形，且。ELCF,求证：A4DE~ADCF；(2)如图②，若

DF4n

四边形是平行四边形,试探究：当N5与/EGC满足什么关系时,孑=五成立？并证明你的结论;

(3)如图③，若BA=BC=6,DA=DC=8ZBAD=90°,DELCF,请直接写出笔的值.

CF

图③

16.（23-24九年级下•江苏连云港•期中）【实践探究】

Ap

（1）如图1，矩形/8C。中，AB=6,BC=8,4E工BD交BC于点、E,则黑的值是