2025年中考数学复习：与平行或相似有关的线段倍分问题

与平行或相似有关的线段倍分问题

知识与方法

一、与平行线有关的线段倍分

平行线分线段成比例是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段、线段倍分及相似图形的最基本、最重

要的理论.运用平行线分线段成比例解题的关键是寻找题中的平行线.若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑

过哪一个点作平行线，一般由成比例的两条线段启发而得.

1.平行线分线段成比例

如图1232,如果lillklk,则-=r

八，八1小LilZII62ACDF,ACDFDEDF

2.平行线分线段成比例的推论

如图1233,如果DE//BC厕金=空=器

如图1-2-33,在相似三角形的判定中，我们通过作平行线，从而得出A字型或8字型相似.在做题时，我们也

常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形.

3.基本图形

条件:如图1-2-34,AF〃DE〃:BC.

图1-2-34

【简析】：AF〃DE〃:BC,

.DE_BDDE_AD

"AF~AB'BC-AB'

DE,DEBD,ADAB

"AFBC~~ABAB~AB

.•・白+白=点（两边同时除以DE）.

firDCUc,

二、与相似三角形有关的线段倍分

在相似图形中出现的线段间的关系比全等图形中的等量关系更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式,

甚至是线段乘积的和差、线段比的和差等.证明这类问题，一般需要通过比例的转换或中间量的过渡.相似基本图形

如图1-2-35.

相

似

基

本

图

形

图1-2-35

典例精析

例1如图1236在AABC中,E,D是BC边的三等分点，F是AC的中点,BF分别交AD,AE于点G,H,则

BG:GH:HF=.

答案:5:3:2

图1-2-36

【简析】因条件中没有平行线，故需过F作BC的平行线，构造基本图形.过点F作FM〃BC交AE于点

M,则根据△BEHsAFMH,利用BF表示出HF的长度.过点D作DN〃AC交BF于点N,贝！］ABDN^ABCF

且ADNGsZiAFG,依据ABDNS2^BCF可以用BF表示出BN的长，然后依据ADNGsaAFG表示出NG的长,

则BG,GH,HF都可以利用BF表示出来，则比值即可求解.

如图1237,过点F作FM〃BC交AE于点M,设BC=6a,则BD=DE=EC=2a.

是AC的中点，

MF=-EC=a.

2

VFM//BC,

JABEH^AFMH.

HF_MF_a_1图1-2-37

"BH-BE_4a~4

11

・•・HFHF=-BF.

45

过点D作DN〃AC交BF于点N,设AC=2b,贝(JAF=CF=b,

•.•DN〃AC,MBDNsz\BCF.

.BD_ND_BN_2a_1

"BC-CF~BF_6a~3,

iii

・•.DN=-CF=-bBN=-BF.

33f3

VDN//AC,

ADNG^AAFG.

NGDN三bi

•,・左=赤=「3

•••NG=-GF,BPNG=-NF=-(BF-BN')=-(BF--BF)=-BF.

3444\3/6

111

BG=-BF+-BF=-BF.

362

113

・•.GH=BF—BG-HF=BF--BF--BF=—BF.

2510

131

・・・BG\GH\HF=-BF\—BF\-BF=5:3:2.

2105

例2⑴如图1238①，在AABC中,AB>AC,点D,E分别在边AB,AC上，且DE〃BC若4D=2,4E=|,则需的

值是_______.

⑵如图②,在⑴的条件下，将AADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度连接CE和BD,黑的值变化吗？若

DL)

变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值.

⑶如图③，在RtAABC中，LACB=90。，翳=*点M,N分别在边AB,AC上，且MN〃BC,现将AAMN绕点A

按逆时针方向旋转到AADE的位置，连接BD,CE,CD若/BAC=/ADC,MN=3,CD=6,请直接写出线段BD的长度.

【简析】(1)由DE〃BC,根据平行线分线段成比例即可求得需；

DL)

⑵由⑴可知黑=条由旋转的性质可知/BAD/CAE,可得AABDs^ACE根据相似三角形的性质可得

AEAC

结论；

(3)由旋转可知/BAC=NDAE,由已知NBAC=NADC,可得/EAD=/ADC,则AE〃DC,进而求得NEDC=90。,由

MN=ED可求得EC,根据(2)的结论即可求得BD.

.解：(1)-［解析］•DEBC,二-=

v74BDECBDAD

3

•・•A4Dc=2,CAAEL=一3"•一CE=—7=3

2BD24

⑵不变.

由⑴可知DE〃BC,

AADE^AABC.

ADAE日口4。AB

"AB~~4c间AE-AC

由旋转的性质可知，NBAD=NCAE.

AD_AB

•AE-AC'

AAABD^AACE.

.CE_AE_3

"BD~AD~4

(3)BD=改,［解析］；MN〃BC,NACB=90。,

4

ZANM=90°.

由旋转的性质可知,NAED=NANM=90O,ED=MN=3.

ZBAC=ZDAE,ZBAC=ZADC,

:.ZEAD=ZADC.

・・・AE〃CD.

・•・乙EDC=180°-2LAED=90°.

VDC=6,ED=3,

・••在RtAEDC中，EC=y/ED2+DC2=3^5.

由⑵可知,需=可=、

•••BO=-X3V5=—.

44

进阶训练

1.如图1239,在AABC中,BC=2R,Mi分别是AB,AC边的中点（图①）,P2,MZ分别是AP»AMI的中点（图

②）,P3,M3分别是AP2,AM2的中点（图③）……按这样的规律下去,P5M5的长为.

图1239

2.如图1240在四边形ABCD中,AD〃BC,AB=DC=3,P是BC上的一点,PE〃AB交AC于点E,PF〃CD交

BD于点F.设PE,PF的长分别为m,n,x=m+n.那么当点P在边BC上移动时，x的值是否变化?若变化，求出x的

取值范围；若不变，求出x的值，并说明理由.

图1-2-40

3.如图1241,。是AABC的边BC上一点，过点。的直线分别交射线AB线段AC于点M,N,且得心算=

n.

（1）翳=-（用含m的代数式表示），黑=_（用含n的代数式表示）；

⑵若0是线段BC的中点，求证:m+n=2;

⑶若R=k也片0）,求m,n之间的关系（用含k的代数式表示）.

图1-2-41

4.如图1242,在RtAABC中,/ABC=9(F,BC=2AB=12,D,E分别是边BC,AC的中点，连接DE,将AEDC绕

点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

问题解决：

⑴①当a=0。时,喘=;

②当a=180°时,黑=_.

DD

⑵试判断当0。Wa<360。<360。时，器的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明.

DL）

问题再探：

⑶当AEDC旋转至A,D,E三点共线时线段BD的长为,

5.⑴已知，点G,F,H,E分别在四边形ABCD的四条边上，目EFXGH.

①如图1243①，若四边形ABCD是正方形,EF=a，则GH=;

②如图②，若四边形ABCD是矩形,AB=m,BC=n,求普的值.

EF

⑵如图③,四边形ABCD中，点E.F分别在BC,CD上，且AELBF.若/BCD=9（T,AB=BC=10,AD=CD=5,求票的

值.

图1-2-43

6.如图1-2-44,AADE由AABC绕点A按逆时针方向旋转90。得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延

长线上，AD,EC相交于点P.

(1)求/BDE的度数.

(2)F是EC延长线上的点，且/CDF=NDAC.

①判断DF和PF的数量关系，并证明；

图1-2-44

类型四答案

进阶训练I

1.9解析］在AABC中,BC=2R,Mi分别是AB,AC的中点,P2,M2分别是AP1,AM1的中点,P3,M3分别是

16

AP2,AM2的中点，

可得：2M2白IX；,

M

故Pnn=£T，

故P5%=;看

2.解:x的值不变,x=3.

理由如下：

：PE〃AB,

ACEP^ACAB.

PE_CP

"AB-BC

VPF/7CD,

・•・ABFP^ABDC.

.PF_BP

"DC-BC

..._P_E_i_,PF-_CP_i,__B_P

**ABDC~BCBC

TAB=DC,

_P_E_l,__P_F^3_C_P_I,__B_P

**ABAB-BCBC

.m+n_CP+BP

"AB~BC

m+nBCy

•••--=—=1.

3BC

.,.m+n=3,即x的值不变,x=m+n=3.

3.解:⑴1-mn-l［解析］：AB=AM-BM,

ACABAC

AC=AAN+CN,—=m,——=n,

AMAN

ABAM-BM=y1---B-M-=m.

AMAMAM

AC_AN+CNy.CN

=14-----=n.

AN-ANAN

BMCNy

一=l——=n—1.

AM'AN

(2)证明:设AM=a,AN=b.

一AB=m,A一C=n,•••A.B=am,AC=b7n.

AMAN

MB=MA-AB=a-am=(1-m)a,CN=AC-AN=bn-b=(n-l)b.

如图①，过点B作BH〃AC交MN于H,

：.ZOBH=ZOCN.

VO是线段BC的中点・・.OB=OC.

在△OBH与△OCN中,

ZOBH=乙OCN,

OB=0Cf

上BOH=乙CON,

：.AOBH^AOCN(ASA).

.*.BH=CN=(n-l)b.

BH//AN,JABMH^AAMN.

.BM_BH日口(1一m)。_(n-l)Z7

''AM~AN'Wa-b'

m+n=2.

(3)若—=/c(/c=/=0),设AM=c,AN=d，则AB=cm,AC=dn,MB=(1-m)c,CN=(n-1)d.

如图②，过点B作BG〃AC交MN于G,

②

・•・ZOBG=ZOCN.

■:ZBOG=ZCON,

AAOBG^AOCN.

BGOB口门BG1

•..加=舒即至加=7

・・.BG=­d.

k

•・・BG〃AN,

JAMBG^AMAN.

n-l,

...吧=竺,即(l-m)c=K

AMANfcd'

yn-l

1—m=——.

k

n=k-km+l.

4.解：⑴②争解析］当a=0。时,

VBC=2AB=12,

AB=6.

AC=7AB2+BC2=V62+122=6V5

D,E分别是边BC,AC的中点,

•••BD=CD=^BC=6,AE=CE=^AC=375.

.AE_3V5_V5

••——.

BD62

故答案为当

②曰［解析］如图①.当a=180。时,

•.•将AEDC绕点C按顺时针方向旋转,

；.CD=6,CE=3V5

AE=AC+CE=9V5,BD=BC+CD=18.

...些=/="故答案为：立.

BD1822

(2)当0°<a<360。<360。时熬的大小没有变化.

DD

证明:如题图②,•・•NECD二NACB,

JNECA二NDCB.

由⑴可知,由=n=当

AECA^ADCB.

.AE_EC_

"BD~CD~2'

(3)6V5噌［解析］如图②,

②

易知NCDE=9(F,AC=6V5,CD=6,VA,D,E三点共线,ZADC=90°.

•••AD=VXC2-CD2=J(6归f-62=12=BC.

；AD=BC,AB=DC,

四边形ABCD是平行四边形.

ZABC=90°,

..•四边形ABCD是矩形.

•••BD=AC=6V5.

如图③，

由(1)知”AC=6V5,CD=6,VCD±AD,

•••AD=VXC2-CD2=12.

1

VDE=-AB=3,AAE=AD-DE=12-3=9.

2

由⑵可得竺=些,...4=竺”

-4'…B8。2'V55

2

综上所述，BD=6愿或噌.

故答案为：6有噌.

5.解:⑴①a［解析］如图①，过点G作GM_LCD于点M,过点E作ENLBC于点N,

・•・ZGMH=ZENF=90°,EN=AB,GM=BC.

・・.四边形ABCD是正方形，

・•・ZB=90°,AB=BC.

・・・GM=EN.

VEF±GH,ZB=90°,

JZBGH+ZBFE=180°.

ZBGM=90°,

・•・ZMGH+ZEFN=90°.

ZENF=90°,AZNEF+ZEFN=90°.

・•・ZMGH=ZNEF.

ZMGH=乙NEF,

在AMGH和ANEF中GM=EN,

"MH=(ENF,

：.AMGH^ANEF(ASA).

・・・GH=EF=a.

故答案为a.

②如图②，过点G作GMLCD于点M,过点E作ENLBC于点N,

・・・EN=AB,GM=BC.

同⑴得NMGH=ZNEF.

ZGMH=ZENF,

FFFN

.,.△FEN^AHGM.

GHGM

GH_BC_n

EFABm"

⑵如图③，过点A作GH〃BC,过点B作BG±GH于点G,延长CD交GH于点H,连接BD,则四边形BCHG

为矩形.

AB=CB,

在4ABD和4CBD中AD=CD..[•△ABD之△CBD(SSS).