2025年中考数学复习：圆中的辅助线 方法讲解及巩固练习

圆中的辅助线

典例精析

【典型题1]★★如图,AB是0O的直径，弦PQ交AB于M,且PM=MO.

求证：AP=-BQ.

【思路分析】

思路一：本题从结论入手分析.要证明@配，即要证明弧对应的圆心角之比是:因此连接OP、0Q,即要证

明/AOP=：NBOQ,必然有/BOQ=3NMOP,又因为NMPO=/MQO,所以必然有/QMO=2/MOP,此结论很容

易得到，分析完毕.

思路二：从题目条件入手，构造等腰三角形，用三角形外角定理进一步分析得出结论.

【答案解析】证明：如图，连接OP、OQ.

PM=OM,.\ZP=ZMOP.

VOP=OQ,AZMPO=ZMQO.

ZQMO=2ZMOP,

JZBOQ=3ZMOP.

・•・"OP=-ABOQ.：.AP=-BQ.

33

【规律总结】辅助线作法：在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件.我们通常可以连接半径构造等腰三角

形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题.

【典型题2】★★★如图，直径AB=2,AB、CD交于点E且夹角为45°.则CE2+DE2=.

【思路分析】本题从结论入手分析.看到线段平方和，往往想到应用勾股定理，因而去构造直角三角形，利用勾

股定理列式求解.注意运用设未知数列式的方法在几何求解题目中的应用，往往能够事半功倍.

【答案解析】解:如图，过点o作OFLCD于点F,连接0D.

设OF=a,DF=b，则在RtAOFD中，a2+b2=1.又CF=DF=b.

ZBED=45°,OF=EF=a.CE2+DE2=(b-a)2+(a+b)2=2(a2+b2)=2.

【规律总结】辅助线作法：在圆中作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三

角形，再利用勾股定理进行计算.

【典型题3】★★★已知,AB和CD是OO的两条弦，且ABLCD于点H,连接BC、AD,作OEJ_AD于点E.

求证：OE=^BC.

【思路分析】本题从结论入手分析.要证明的0E和BC明显不在一起，因此一定要做辅助线让它们发生关联，

因此构造直角三角形，得出线段0E=抄居再证明DF=BC即可.

【答案解析】证明：如图，连接AO并延长交。O于点F,连接DF、BD.

：OE_LAD,AE=DE/.*OA=OF,

0E是AADF的中位线.

1

・•・OE=-DF.

2

VAB±CD,.\ZABD+ZCDB=90°.

VAF是直径,・・.NADF=90。.

JZDAF+ZF=90°.

1

DF=BC.：.OE=-BC.

2

【规律总结】辅助线作法总结

如图①，已知AB是。O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC,贝(!/ACB=9。。.

如图②，已知AB是。0的一条弦，过点0作OEXABJIJOE2+AE2=0A2.

(1)如图①，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90°

的圆周角的构造.

⑵如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半

径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.

【典型题4]r如图,直线AC与。O相交于B、C两点,E是BC的中点,D是。O上一点，若NEDA=N

AMD.求证:AD是。O的切线.

【思路分析】本题我们综合分析，从结论看，需连接OD,只需要证明ODLAD即可，即要证明/ODE+/

ADM=90。.再从题目条件分析，根据“E是BC的中点”，所以连接OE，则OELBC,可得出90。;又“/EDA=NAMD”,

又易得/E=/ODE,再经过等量转化，即可证明结论.

【答案解析】证明：如图，连接OE交BC于点F,连接OD.

O

-4

E

E是是BC的中点,，OE，BC.

，ZE+ZEMF=90°.

,?ZEDA=ZAMD,ZAMD=ZEMF,

ZADM+ZE=90°.

VOE=OD,.\ZE=ZODE.

ZODE+ZADM=90°,BPZODA=90°,

.".ODXAD.AAD是。O的切线.

【规律总结】辅助线作法

⑴已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB是。O的切线，点C是切点，连接OC,则OCXAB.

(2)证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；

如图，已知过圆上一点C的直线AB,连接OC,证明OCLAB,则直线AB是。O的切线.

②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；

如图，过点O作OCLAB,证明OC等于。O的半径，则直线AB是。O的切线.

【典型题5】★★★如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x与双曲线y=£交于A、B两点，P是以点C(2,

2)为圆心，半径为1的圆上的一动点，连接AP,Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2,则k的值为()

【思路分析】设点一根据距离公式列方程求解.(第三部分会重点讲解该思路方法)

确定OQ是AABP的中位线,OQ的最大值为2,故BP的最大值为4,则BC=BP-PC=4-1=3,则根据距离公式列

出BC长度的表达式即可求解.

【答案解析懈点。是AB的中点，则OQBAABP的中位线，当B、C、P三点共线时,PB最大，则0Q=9

最大，而OQ的最大值为2,故BP的最大值为4,则BC=BP-PC=4-1=3,设点B(m,-m),则BC=(m-2)2+

(―m—2)2=32,解得：m2k=m(—m)=一点选A.

巩固练习

【巩固练习1]

如图QA、OB是。O的半径,点C在。。上，ZAOB=30°,ZOBC=40°,贝!]ZOAC='

【巩固练习2]

如图，在RtAABC中,/ABC=90。,NA=32。,点B、C在。O上边AB、AC分别交。。于D、E两点点B是

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=当x+乎与0O相交于A,B两点，且点A在x轴上,则弦AB的

长为.

【巩固练习4]

如图在AABC中,AB=6以点A为圆心,3为半径的圆与边BC相切于点D与AC,AB分别相交于点E和点G,

点F是优弧（GE上一点,/CDE=18。,则ZGFE的度数为（）

A.500

B.48°

C.45°

D.36°

【巩固练习5]

如图，在RtAABC中,NACB=90。,以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N

都在同一个圆上.设该圆面积为SX,AABC面积为Sz,则的值为（）

A.5兀2

B.3K

C.5兀

【巩固练习6]

如图,。O的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线,DE与。O相切于点E,并与AM,BN分别相交于D,C两

点,BD,OC相交于点F,若CD=10,则BF的长为（）

D10V17

D.

9

「8V15

9

Dio代

'9

1.【答案】25

【分析】

连接0C,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到Z-BOC=100。,求出乙4OC,,根据等腰三角形的性

质计算.

【解析】

解：连接OC,

.­.乙OCB=4OBC=40°,

ZBOC=180°-40°x2=100°,

.­.Z.AOC=100°+30°=130°,

•••OC=OA,

：.N04C=^OCA=25°,

故答案为:25.

2.如图，连接DC,

•••乙DBC=90°,

ADC是。。的直径，

:点B是前的中点，

。.乙BCD=乙BDC=45。在.Rt△ABC中,乙ABC=90。,=32°,

AAACB=90°-32°=58°,

AACD=AACB-乙BCD=58°-45°=13°=UBE,

故答案为：13。.

3.过。作。£128于C,如图,

「AB为弦，

•••AC=BC=\AB,

...直线y=y%+手与。O相交于A,B两点,

.•.当y=0时，f%+^=0,

解得：X=-2,

OA=2,

・••当x=0时，y=3,

.・.OD=3,

在.中，由勾股定理

AD=V4O2+。。2=於2+（竽）2=

,.♦・/,ACO=^AOD=90°,"4。=^OAD

△OAC△DAO,

ACAO□nAC?41—

,.,施=而即AC-第一拿M，

•••AB=2AC=2V3,

故答案为：2V3.

4.连接AD,・・・BC与。A相切于点D,

AAD±BC,

・•・ZADB=ZADC=90°,

VAB=6,AG=AD=3,

・•・AD=-AB

2t

：.ZB=30°,

JZGAD=60°,

ZCDE=18°,

.,.ZADE=90°-18°=72°,

VAD=AE,

・•・ZAED=ZADE=72°,

.*.ZDAE=180°-ZADE-ZAED=180°-72°-72°=36°

JZBAC=ZBAD+ZCAD=60°+36°=96°,

11

・•・乙GFE=-^GAE=-x960=48°,

22

故选B.

5.如图，取AB的中点为O,AC的中点为D.连接OE,OG,OD,OC,

设AB=c,AC=b,BC=a,

则a2+b2=c?,①

取AB的中点为O,

••・△ABC是直角三角形，

OA=OB=OC,

•.•圆心在MN和HG的垂直平分线上，

；.0为圆心,

由勾股定理得：

产=(a+»+d)2=c2+(”

由①②得（a=b,

2

2r

a=—2

2

...S]=\nc,s2=^ab=

—=-7TC2十二=5兀，

S244

故选:C.

6.A

【解析】

如图，根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，过点D作DHJ_BC于H.

VAB是直径AB=8,

；.0A=0B=4,

：AD,BC,C