2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型解读与提分训练（原卷版）

专题04三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模

型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型'

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模型1.高分线模型.....................................................................2

模型2.双垂直模型.....................................................................4

模型3.子母型双垂直模型（射影模型）...................................................5

习题练模型'

.........................................................................................................................................................7

例题讲模型］

模型1.高分线模型

模型解读

三角形的高：-从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线

段叫做三角形的角平分线.

高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。

模型证明

1）条件：如图1，在中，AD,AE分别是-ABC的高和角平分线，结论：ZDAE=1（ZC-ZB）.

2）条件：如图2,F为ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FD工BC于D,结论：ZDFA=^（ZC-ZB）.

图1图2

1）证明：平分/3AC,AZEAC=^ZBAC,

•：ZBAC=180°-ZB-ZC,；.ZEAC=1（180°-ZB-ZC）=90°-1zB-|zC,

NEAD=NEAC-NDAC=90°-1zB-|zC-（90°-ZC）=|（ZC-ZB）；

2）证明：如图，过A作AG_L3c于G,由（2）可知：ZE4G=1（ZC-ZB）,

AG1BC,ZAGB^90°,FDLBC,ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

:.ZAFD=ZEAG,ZAFD=-（ZC-ZB）.

2

模型运用

例1.（23-24八年级上山东临沂.阶段练习）如图，AD,AE分别是VABC的角平分线和高线，且N8=50,

NC=70°,则/RAD=

例2.（23-24八年级上.重庆・期中）己知：如图①所示，在VA3C中，AD为BC的高，AE为，R4C平分线

交BC于点E,=20°,ZC=50°.（1）求NK4D的度数；（2）NK4D与之间有何数量关系？

（3）若将题中的条件“々=20。”改为“//西7=100。"（如图②），其他条件不变，则与ZABCNC之间

又有何数量关系？请说明理由.

图②

例3.（23-24八年级上•广东•校考期中）已知：在VABC中，NC>NB,AE平分/B4c交BC于点E.

（1）如图①，AD/BC于点。，若/。=60。,/3=30。，求NZME的度数;

（2）如图①，ADJ.BC于点、D,若/B=a,NC=0,求的度数（用含a,£的式子表示）;

（3）如图②，在VABC中，ADJ.BC于点、D,b是AE上的任意一点（不与点A,E重合），过点/作bGLBC

于点G,且/3=30。,/。=80。，请你运用（2）中的结论求出ZEFG的度数；（4）在（3）的条件下，若点尸在

AE的延长线上（如图③），其他条件不变,则ZEFG的度数会发生改变吗？说明理由.

①

模型2.双垂直模型

模型解读

双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之

间的关系。

模型证明

条件：如图所不，在△A3C中，BD,CE是两条高，

结论：®ZABD=ZACE；®ZA=ZBOE=ZCOD；③=AC3D。

证明：•:BD,CE是两条高,：,ZAEC=ZBEC=ZADB=ZCDB=90°f

：.ZABD^ZA=90°,ZACE+ZA=90°,ZACE+ZDOC=90°,：.ZABD=ZACEfZDOC=ZAf

•；NDOC=NBOE,：.ZA=ZBOE=ZCODo

,：BD,CE是△ABC的两条高，「・S^ABC=]•=ACBD,「・。

模型运用

例1.（2023•陕西咸阳•统考一模）如图，在.ABC中，BE分别是AB,AC边上的高，并且。,BE交于点

P,若NA=50。，则N3PC的度数为（）

例2.（23-24八年级上•湖北武汉•阶段练习）在VABC中，ZA=55。，BRCE是它的两条高，直线BD,CE交

于点RZDFE=.

例3.（2022秋・安徽宿州•八年级校考期中）如图，在中，8和跖分别是AB,AC边上的高，若8=12,

BE=16,则二二的值为（）.

模型3.子母型双垂直模型（射影模型）

模型解读

子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。

模型证明

条件：在RJABC中，ZACB=9Q°,CO是.ABC的高线，

结论：®ZB=ZACD；®ZA=ZBCD；®ACBC^CD-ABo

c

：.ZACD+ZA=9Q°,ZACD+ZBCD=90°,ZB+ZBCD=90°,：.ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

ZACB=90°,8是高线，...SAA8c=；・A2-C£)=g-AC-BC，Ac._gc=c£).M。

模型运用

例1.（2023・广东广州•七年级校考阶段练习）如图，在"CB中，ZACB=90°,CDLAB于。，求证:

ZB=ZACD.

DH

例2.（2024八年级上•江苏.专题练习）如图，在5c中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD为A3边上

的高.⑴求斜边AB的长；（2）求CD的长.

例3.（23-24八年级•江苏•假期作业）如图①，在VABC中，NS4c=90。，AD是BC边上的高.

（1）求证：ZDAC=ZABC；（2）如图②，VABC的角平分线CP交AD于点E.求证：ZAFE=ZAEF；

（3）在（2）的条件下，N54D的平分线分别与CF,2C相交于点打、点G,如图③，若AH=6,CH=8,

CG=10,求AD的长.

习题练模型］

1.（2023•北京通州•八年级统考期末）如图，在ABC中，ZABC=90°,BD1AC,垂足为Z）.如果AC=6,

BC=3,则3。的长为（）

A.2B.-C.373D.—

2v2

2.（2023秋・浙江•八年级专题练习）如图，ABC中，9J_AC,BE平分NABC,若？AHC,NDBE=20°,

则NABC=（）

C.70°D.80°

3.（23-24八年级上.陕西西安.开学考试）如图，在VABC中，44c=45。，ADJ.BC,CE1AB,垂足分

别为点。、E,AD.CE交于点H,EH=EB.下列结论：①/ABC=45。；②AH=BC；@AE-BE=CH-

④皿，AC.你认为正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.（23-24八年级下•广西柳州•开学考试）如图，在VABC中，/区4c和NABC的平分线AE,防相交于点

O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点。作OD，3C于£）,下列三个结论：①NA02=90。+：/。；②

当NC=60。时，AF+BE=AB-,③若OD=a,AB+BC+CA=2b,贝ljS4.c=.其中正确的是（）

A

A.①②B.②③C.①②③D.①③

5.（2023下•重庆涪陵•八年级统考期末）如图，钝角ABC中，N2为钝角，AD为边上的高，AE为NBAC

的平分线，则//ME与Nl、N2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发

现的是（）

A.ZDAE=Z2-Z1B.ZDAE=Z2~Z1C.ZDAE=--Z1D.ZDAE=Z1+Z2

———222

6.（2023下•湖北襄阳•八年级统考开学考试）如图，在，ABC中，AD是高，AE是角平分线，BF是中线，AE

与互相交于。，（NC>NA5C）以下结论正确的有（）

@ABAD+AABD=ACAD+AC-©S^BF=SACBF；③/£AD=；(/C-/ABC)；@SAABE:S^ACE=AB.AC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（2023下•重庆江北•七年级校考期中）如图，在..ABC中，ZACB>ZB,AD,AE分别是高和角平分线,

点产在8C的延长线上，交于G,交AB于H,下列结论中不正确的是（）

A

EDC

A.ZDAE=NFB.ZAEF=-(ZACF+ZB)C.ZF=-(ZACB-ZB)D.ZAGH=ZCAE+ZB

8.（2023•山西吕梁•八年级统考期末）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC,NA=45。，在腰A3上取一

点。，DELBC,垂足为E,另一腰AC上的高所交DE于点G,垂足为E若BE=3,则。G的长

为.

BE

9.（2024・重庆・三模）如图，一ABC中，3DLAC于点。，至人。£于点£,CE与8。相交于点已知

AD=HD=2,CD=6,则ABC的面积为____.

-----------------------------------

10.（23-24八年级上.安徽六安•期中）如图，在VABC中，ZABC=48°,ZACB=16°,两条高比＞、CE交于

点0,连接A。，则NQ4E=.

11.（2023春•江苏宿迁•七年级统考期末）如图，在ABC中，ZBAC=90。，NC=40。，AH、分别是,ABC

的高和角平分线，点E为3C边上一点，当，BDE为直角三角形时，则/CDE=。.

12.（2023秋・浙江•八年级专题练习）如图，在中，NACB=90。，CDLAB于。，AF平分NC4B

交CD于E,交BC于尸.（1）如果NCFE=70。，求的度数；（2）试说明：ZCEF=ZCFE.

13.（23-24七年级下•江苏无锡•阶段练习）如图，在VABC中，AD平分/3AC,P为线段AD上的一个点，

PE1AD交直线于点E.⑴若4=35。，ZACB=85°,求NE的度数.⑵猜想NE与—3、/ACS的

数量关系.

BDE

14.（23-24八年级上•辽宁鞍山•期中）（1）如图①，在RtzkABC中，/ACB=90。，CD_LAB,垂足为D,求

证：ZACD=ZB；（2）如图②，在RtAABC中，ZC=90°,D、E分别在AC,AB上，且/ADE=NB,判

断AADE的形状？并说明理由？（3）如图③，在RSABC和R3DBE中，ZC=90°,/E=90。，点C,B,

E在同一直线上，若AB_LBD,AB=BD,则CE与AC,DE有什么等量关系，并证明.

15.（23-24七年级下.河南周口.阶段练习）已知在VABC中，AD工BC于点D

双、

DEB，…当..

图1图2

⑴如图1,若，3AC的平分线交于点E,ZB=35°,ZC=25°,则2ME的度数为.

（2）如图2,点M、N分别在线段AB、AC上，将VABC折叠，点B落在点P处，点C落在点G处，折痕分

别为DM和DN,点G、尸均在直线AD上，若440=120。，试说明NAMF+NANG=4+NC.

16.（22-23八年级上•广西桂林・期中）如图，VABC中，ZA=40°,ZB=60°,CE平分NACB,CDLAB

ACAE

于。，。尸_LCE,交CE于尸，求：（l）NCDF的度数；（2）当CE平分/ACS时，——=——，若AC=w,BC=n,

CBBE

AB=a,请用含他，n,a的代数式表示BE的长.

17.（2024•河北邢台•八年级校考期中）在ABC中，ZACB>ZABC,D,E分别是边8C和BC延长线上的

点，连接AD,AE,ZCAE=ZB.⑴如图1,若/ADE=60。，ZC4E=40°,求—5W的度数；（2）如图2,

已知ZZM£=/4DE.①判断AD是否平分N54C,并说明理由；②F为射线AD上一点（不与点。重合）,

过点尸作RSLBC,垂足为G.若=ZACB=J3,直接用含a,夕的式子表示出/AFG的度数.

18.（2023春・江苏泰州•七年级统考期末）已知：如图，在一ABC中，ZACB=90°,D、E分别在边AB、BC

上，AE.8相交于点F.

（1）给出下列信息：①/CFE=NCEF；②AE是，ABC的角平分线；③C。是,/1BC的高.请你用其中的两

个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；

条件：,结论：.（填序号）

证明：

（2）在（1）的条件下，若NB=a,求