2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型解读与提分训练

专题09三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互

补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

例题讲模型］

模型1.垂美四边形模型

模型解读

垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。

模型证明

图1图2

条件：如图1,已知四边形A8CZ）,对角线AC、BD交于点、O,S.AC1BD；

结论：①4加+82=4。2+802；②“垂美，，四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD二LACBDO

2

证明："：AC1BD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO-+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

•*.AD2+BC2=AB2+CD2；'：AC±BD,：.S^ABC=~ACBO,S^DC=-AC-DO

22

=

SVSWABCDS^ABC+S^ADC=-AC-BO+—AC-DO=-AC-BDo

条件：如图2,在矩形ABC。中，尸为CD边上有一点，连接AP、BP；结论：DP2+BP2=AP2+PC2

证明：,•,四边形ABC。是矩形，；,NADP=NBCP=90。,AD=BC,

由勾股定理得，，，.二AP2-DP2=BP2-CP2,：.AP2+CP2=BP2+DP20

条件：如图3（或图4）,在矩形ABCD中，尸为矩形内部（外部）任意一点，连接4P、BP,CP,DP；

结论：AP2+PC2=DP2+BP2

证明：过点P作AD的垂线，交AD于点E,交BC于点F,则四边形AB正和COM为矩形，

图3

:.AE=BF,DE=CF,由勾股定理得：则AP?==尸尸？十。尸2

BP~=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2,：.PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2,

PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2>PA2+PC2=PB2+PD2.（图4的证明和图3证明相同）

用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。

模型运用

例1.（23-24八年级上•河北保定•期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”

四边形ABC。，对角线AC,BD交于点、0.若AD=1,8c=4,则入4+⑺?等于（）

A.15B.16C.17D.20

例2.（23-24九年级上.天津.期末）如图，四边形ABCD两条对角线AC、2。互相垂直，且AC+fiD=10.设

AC=x,（0<x<5）

B

⑴用含x的式子表示：S四逝殄ABCD=;（2）当ABCD四边形的面积为8cm2时，求AC、的长；

例3.（2023•江苏盐城•一模）如图，四边形ABCD的对角线AC和3。互相垂直，AC+2BD=10,则四边形

例4.（2024・陕西・一模）已知矩形ABC。中有一点P,满足E4=l,PB=2,PC=3,则尸。=

例5.（23-24八年级下.浙江宁波•期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.

了解性质：如图1：已知四边形ABCD中，AC.LBD.垂足为。，则有：AB2+CD2=AD2+BC2;

性质应用：（1）如图1,四边形ABCD是垂美四边形，若A£>=2,3c=4,CD=3,则AB=_；

性质变式：（2）如图2,图3,尸是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论:

AP-+CP-=2产+口尸.请以图3为例将重要结论证明出来.

DA2pr2

应用变式：（3）①如图4,在矩形ABC£>中，。为对角线交点，P为8。中点，则，^~=二=10；（写出证

PB-

明过程）；②如图5,在VABC中，CA=4,CB=6,。是VABC内一点，且CD=2,ZADB=90°,则A3的

最小值是_________

例6.（23-24八年级下•江西赣州•期末）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形A8CD中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABC。是垂美四边形吗？请说

明理由；（2）性质探究：如图1,四边形ABC。的对角线AC、3。交于点。，ACLBD.经探究发现垂美四

边形的两组对边AB2,CD?和AD?,BC?有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明.

（3）解决问题：如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形ACFG和正方形ABAE,

连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

例7.（2024.山东德州.一模）我们把两条中线互相垂直的二角形称为“中垂二角形”.例如图1,图2,图3

中，AR3E是VABC的中线，AF±BE,垂足为尸.则称VABC为“中垂三角形”.设8C=a,AC=6,AB=c.

②如图2,当ZABE=3（T,c=4时，求。和b的值.

⑵请猜想/、〃和,?三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程.

（3）如图4,在边长为3的菱形ABCD中，。为对角线AC、8。的交点，及F分别为线段A。,。。的中点,

连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,求陌丁+MH2的值.

模型2.378和578模型

模型解读

378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。

当我们遇到两个三角形的三边长分别为3,7,8和5,7,8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是

因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的

等边三角形。

模型证明

条件：当两个三角形的边长分别为3,7,8和5,7,8时；

结论：①这两个三角形的面积分别为6g、10g；②3、8与5、8夹角都是60°；③将两个三角形长为7

的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。

证明：如图2,过点C作CM_LAB于点设尤则AM=3+x,AZCMB=90°,

在RA4CA/中：CM2=AC2-AM2,在中：CM1=BC1-BM1,

：.AC2-AM2=BC2-BM2,BP82-(3+x)2=72-^,解得x=l,：.CM=4,:.CM=，6,

.'.S^ABC=-AB-CM=-・3・4退=6A/LVCA/M,AC=8,ZACM=30°,NC4M=60°。

22

如图3,过点F作FNLDE于点N,设DN=x则NE=5-x,：./FND=9G,

在.RtADNF中:NF1=DF--DN1,在RtAENF中:NF2=EF2-NE2,

：.DF2-DN2=EF2-NE2,即724=82-(5-x)2,解得x=l,NE=4,：.NF=44,

：.SM)EF=--DE-NF=1.5«4A/3=10A/3,\'NE=4,EF=8,ZEFN=30°,NFEN=6Q°。

22

：.CM=NF=443,NCMB=/FND=90°,,;CB=DF=1,:.RtABCM"RtADNF,：.ZCBM=ZFDN,

：/CBM+/ABC=180。，：.ZFDN+ZABC=1SO°,VAC=EF=80

...将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。

模型运用

例1.（2023•浙江温州•九年级校考期末）边长为5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是（）.

A.90°B.150°C.135°D.120°

例2.（2023・江苏•八年级专题练习）已知在△ABC中，AB=8,AC=7,BC=3,则N3=（）.

A.45°B.37°C.60°D.90°

例3.（2023•绵阳市•八年级专题练习）如图，△ABC的边A3=8,BC=5,AC=1.求边上的高.

例4.（2023八年级上•江苏・专题练习）已知在VABC中，AB=7,AC=8,3C=5,贝!JVA8C的面积为（）

A.17.5B.20C.10指D.28

例5.（23-24九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）在VABC中，AB=8,NB=60。，AC=7,贝3C的长为

习题练模型

1.（2023・湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC,8。是方程

f-16x+60=0的两个解，则四边形ABCD的面积是（）

D,

C

------------------

A.60B.30C.16D.32

2.（23-24八年级下.安徽合肥・期末）点P是矩形ABCD内一点，且满足上4=2,PB=3,PC=4,则尸。的

值为（）

3.（2024天津和平.二模）如图，四边形A3CD的两条对角线AC,BD相交于点。，点。在线段AC上，且

AC1BD,AB=5,BC=3,若AC+8D=10.有下列结论：①AC的取值范围是2VAe<8；②AC的长有两

个不同的值满足四边形A3CD的面积为12；③四边形A3CD面积最大值为2三5.其中，正确结论的个数有（）

4.（2023•山东八年级课时练习）已知在AABC中，AB=7,AC=8,BC=5,则/C=（）.

A.45°B.37°C.60°D.90°

5.（2024•四川广元・二模）如图，在四边形ABC。中，AD〃BC,对角线AC,8。互相垂直，AC=12,BD=8,

则AD+3c的值是

6.（2022•山东枣庄•模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形

ABCD,对角线AC、8。交于点O.若AO=3,BC=5,贝114¥+。2=

7.（23-24九年级上.广东梅州.期中）四边形的对角线互相垂直且长分别为8和12,则面积为.

8.（23-24八年级•浙江•期末）当两个三角形的边长分别为3,7,8和5,7,8时，则这两个三角形的面积

之和是•

9.（23-24八年级下.河北石家庄•阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所

示的“垂美"四边形ABCD对角线AC,BD交于点O.

（2）若AD=6，BC=A/5贝U6+必=

（3）若=BC=n,CD=c,AD=d,则加，“，c,1之间的数量关系是

10.（23-24八年级下•广东广州•期末）己知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两

边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍.即：如图，在VABC中，AD是BC边上

的中线，则有加AC?=2伊I）?+AD）请运用上述结论，解答下面问题.如图，点尸为矩形ABCD外部

一点，已知己4=PC=3,若尸£>=1,则AC的取值范围为

11.（2022・湖北•一模）如图，P是矩形ABC。外一点，有以下结论：①

2222

SAPBC=SAPAC+SAPCD@PA+PC=PB+PD；④若PZ）_LPB,则尸、A、B、C、。在同一个圆上其中正确的

序号是.

12.（23-24九年级上.广东广州•期中）如图，四边形ABCD的两条对角线AC8。互相垂直，且AC+3D=8,

则四边形98面积的最大值为一.

13.（23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为

奇妙四边形.如图1,四边形ABCD中，若AC=BD,ACJ.BD,则称四边形ABCD为奇妙四边形.根据

奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘

积的一半.根据以上信息回答：

（1）矩形奇妙四边形（填“是"或‘不是”）；（2）如图2,已知。。的内接四边形ABCD是奇妙四边形，

若。。的半径为8,ZfiCD=60°.求奇妙四边形ABCD的面积；（3）如图3,已知。。的内接四边形ABCD是

奇妙四边形.请猜测AD和的位置关系，并证明你的结论.

14.（23-24九年级上.广东东莞•期中）如图，四边形A3c。中，AD=CD,AB=BC,我们把这种两组邻边

分别相等的四边形叫做“筝形”

（1）试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；

（2）已知筝形ABCD的对角线AC,3。的长度为整数值，且满足AC+3D=6.设AC的长为尤，四边形ABCD

的面积为S,试求x为多少时，S有最大值，最大值是多少？

15.（2024•山西晋城•三模）请阅读列材料，并完成相应的任务：

三角形中线定理

三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系.

阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期

的三大数学家.

中线定理:三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1,在VABC中，

点。为的中点,根据“阿波罗尼奥斯”,可得AB2+AC2=2AD2+2BD2.下面是该定理的证明过程（部分）：

证明：过点A作于点E,如图2,在RtAABE中，AB2=AE2+BE2，

同理可得：AC2^AE2+CE2,AD1=AE1+DE1，

证明的方便，不妨设9=Cr）=x,DE=y,

AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=...

AA

任务：（1）按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分;

（2）如图3,在VABC中，点。为BC的中点，AB=4,AC=W,BC=8,贝必。的长为:

⑶如图4,已知平行四边形A5a（中，AC和BD相交于点。，设AC=。，BD=b,请直接用含“，6的代

数式表示2（4笈+2。2）的值；⑷如图5,已知平行四边形ABCD内接于。。，点尸为。。内一点，若AB=6,

BC=8,尸8=4,PD=1,请直接写出。尸的长.

16.（24-25九年级上•广东深圳・月考）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.

（1）如图1,四边形ABCD是“垂美四边形"，猜想CD?与3c2、AD?之间的数量关系：,并说明

理由.

(2)如图2,分别以的直角边AC和斜边A3为边向外作正方形ACFG和正方形连接

BG、CE,若AB=4,AC=2拒,求EG的长.

(3)如图3,在RtAABC中，ZABC=90。，点尸是Rt^ABC外一点,连接BP,BP=AC=10,已知忸C—=2,

若以A、B、aP为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出AP的长.

17.(2024•山东德州•一模)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,

AF,8E是VABC的中线，AF±BE,垂足为P.则称VABC为“中垂三角形”.设8C=“，AC=b,AB=c.

②如图2,当NABE=30。，c=4时，求。和b的值.

⑵请猜想/、〃和c?三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程.

(3)如图4,在边长为3的菱形ABC。中，。为对角线AC,的交点，E,歹分别为线段A。，D。的中点,

连接BE,CF并延长交于点M,BM,分别交AD于点G,H,求的值.

18.(2023•山东青岛•二模)如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角

形”，例如图1,图2,图3中，AF,BE是VABC的中线，AFrBE,垂足为P,称VABC这样的三角形为

“中垂三角形”，设■BC=a,AC=b,AB=c.

(1)如图1,当—ABE=45。，c=2时，a=,b=

如图2,当ZABE=30。，c=4时，a=,b=

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，用等式表示对.2,及，三者之间关系的猜想，并利用图3证明q2,b2,

,2三者之间的关系.

19.(2024浙江•模拟预测)定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线长

度的2倍，则称这个四边形为“倍垂四边形”.

(1)如图①，在菱形中，对角线AC与3D相交于点O,AB=y/5,AC=2,试判断菱形ABCD是否

为“倍垂四边形”，并说明理由；

(2)如图②，在VA3C中，AB=3&BC=7,AC=5,作49,3c于点O,问在射线AO上是否存在着一

点D,使得四边形ABDC是“倍垂四边形”.若存在，请求出此时线段0D的长；若不存在，请说明理由；

(3)如图③，在尺以45。中，AB=4,AC=5,且NABC=90。，分别以RhABC的斜边AC和直角边AB为

边向外作和RQABE,且NC4£>=N54E=90。，连接。E,当四边形3C£>E是“倍垂四边形”时,

求DE的长.

D

20.（23-24九年级上•浙江金华・期中）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.

（1）如图1,已知在垂等四边形ABCD中，对角线AC与80交于点E,若AB=4cm,AD=3cm,

求AC的长度.

【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2,在

00中，已知A3是。。的弦，只需作ODLQ4、OC^OB,分别交0。于点。和点C,即可得到垂等四边

形ABC£>,请你写出证明过程.

【问题解决】（3）如图3,已知A是。。上一定点，8为。。上一动点，以为一边作出。。的内接垂等四

边形（A、8不重合且A、B、。三点不共线），对角线AC与8。交于点E,。。的半径为4应，当点E到4D

的距离为2右时，求弦的长度.

AB

图1

专题09三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互

补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

例题讲模型］

模型1.垂美四边形模型

模型解读

垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。

模型证明

图1图2

条件：如图1,已知四边形A8CZ）,对角线AC、BD交于点、O,S.AC1BD；

结论：①4加+82=4。2+802；②“垂美，，四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD二LACBDO

2

证明："：AC1BD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

•*.AD2+BC2=AB2+CD2；'：AC±BD,：.S^ABC=~ACBO,S^DC=~ACDO

22

S四边形ABCZ)=SA4BC+SAADC=5AG30+不AC，Z)O=a

条件：如图2,在矩形ABC。中，尸为CD边上有一点，连接AP、BP；结论：DP2+BP2=AP2+PC2

证明：,四边形48C。是矩形，/.ZADP^ZBCP^90°,AD=BC,

由勾股定理得，AD-^AP--DP-<BC2=BP2-CP2,

：.AP2-DP2=BP2-CP2,•*.AP2+CP2=BP2+DP2。

条件：如图3（或图4）,在矩形ABCQ中，尸为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP,CP,DP-,

结论：AP2+PC2=DP2+BP2

证明：过点尸作AD的垂线，交AD于点E,交BC于点F,则四边形AB庄和CDE尸为矩形，

图3

AE=BF,DE=CF,由勾股定理得：贝ljAP?=AE?+p后?,/2+。尸2

BP'=BF2+PF',PD-=DE2+PE2,PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2,

PB2+PD-=BF2+PF2+DE2+PE2，PA2+PC2=PB2+PD2.（图4的证明和图3证明相同）

用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。

模型运用

例1.（23-24八年级上.河北保定•期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美

四边形ABCD,对角线AC,3。交于点。.若A£>=1,BC=4,则AB2+CZ）2等于（）

A.15B.16C.17D.20

【答案】C

【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定

理的计算是解题的关键.

【详解】解：；四边形ABCD是“垂美"四边形，即

...在RSAOB中，AB2=OA2+OB2,在RJCO。中，CD2=OC2+OD2,

：.AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,

在RtAAOD中，AD2=1=OA2+Or>2,在RtcBOC中，BC2=42=OB2+OC2,

：.AD2+BC-=OA2+OB2+OC2+OD2,AAB2+CD2=AD2+BC2=1+42=17,故选：C.

例2.（23-24九年级上•天津・期末）如图，四边形A8CD两条对角线AC、80互相垂直，且AC+8£>=10.设

AC=x,（0<%<5）

B

⑴用含X的式子表示：s四边形ABCD=;⑵当ABCD四边形的面积为8cm2时，求AC、3。的长;

【答案】（l）5x—；x2（2）AC=2cm,BD=8cm

【分析】⑴根据S飕物牖=5“血+5口皿=；瓦>4°进行求解即可；

（2）根据（1）所求，代入S四边畴"co=8进行求解即可.

【详解】（1）解：如图所示，设AC、3D交于点O,

*/AC+BD=W,AC=x,：.BD=W-x,二•四边形ABC。两条对角线AC、即互相垂直，

22

*,•S四边形ABCD=SVABD+BCD=—BD-OA+—BD-OC=-BD-AC=-x(10-x)=5x--x,故答案为；5x--x；

乙乙乙乙乙乙

（2）解：由题意得—=8,x2—10x+16=0,角军得x=2或％=8（舍去）

AC=2cm,BD=10-x=8cm.

【点睛】本题主要考查了三角形面积，一元二次方程的应用，正确列出四边形的面积关系式是解题的关键.

例3.（2023・江苏盐城•一模）如图，四边形ABCD的对角线AC和3。互相垂直，AC+2BD=10,则四边形

25

【答案】v

4

【分析】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法.直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出

S=^ACBD,再利用配方法求出二次函数最值.

【详解】解：设BD=x,四边形ABCD的面积为S,：AC+2应）=10,AC=10-2x,

:四边形ABC。的对角线AC和互相垂直，?.S=|AC-BD=1X（10-2X）=-^-|^+],

・,•当5时，S取得最大值，最大值2为5弓，即四边形ABC。面积最大值2为5弓.故答案为：25宁.

2444

例4.（2024•陕西•一模）已知矩形A3CD中有一点P,满足B4=l,PB=2,PC=3,则尸。

AD

【答案】V6

【分析】由ABC。是矩形，过尸作GH1IBC交AB、CO于点G、H,过户作"//A8交A。、BC于点E、F,

在所形成的直角三角形中，由勾股定理得出A盾+CP2=g尸+£>产，从而求出OP.

【详解】解：过点尸作GH//BC交AB、C。于点G、H,过点尸作EF//48交A。、BC于点E、F,

设AE=BF=c,AG=DH=a,GB=HC=b,ED=FC=d

AP2=a2+c2,CP2=b'+d-,BP1^b2+c2,DP2^d2+a2

■-B4=l,PB=2,PC=3,:.AP-+CP1=BP-+DP1

即1+9=4+0尸.♦.£>2=布（负值已舍去）故答案为：底.

【点睛】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，勾股定理，关键是利用勾股定理列方程组.

例5.（23-24八年级下•浙江宁波・期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.

了解性质：如图1：已知四边形ABCD中，ACJ.BD.垂足为。，则有：AB2+CD2AD2+BC2;

性质应用：（1）如图1,四边形ABCD是垂美四边形，若AO=2,BC=4,CD=3,则AB=_；

性质变式：（2）如图2,图3,尸是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论:

AP2+CP2=BP2+DP2请以图3为例将重要结论证明出来.

PA2_LPC2

应用变式：（3）①如图4,在矩形ABCD中，。为对角线交点，P为3。中点，则-----=10；（写出证

PB2

明过程）；②如图5,在VABC中，C4=4,CB=6,。是VABC内一点，且CD=2,ZADB=9Q°,则A3的

最小值是.

【答案】（1）布；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②4代-2

【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识；

（1）由勾股定理可得出答案；（2）过尸作于"，交DC的延长线于N,由（1）性质可知：

BH2+CP-=BP-+CH2,由勾股定理可得出答案；（3）以AD、3D为边作矩形AD跳;，连接CE、DE,

由矩形的性质得出=由题意得C£>2+CE2=C42+CB2,求出。£=46,当C、。、E三点共线时，

OE最小，得出A3的最小值=OE的最小值=CE-CD=4币-2.

【详解】（1）解：如图1,四边形ABCD是垂美四边形，.•.AB2+CD2=A£»2+8C2,

■.■AD^2,BC=4,CD=3,/.AB2=22+42-32=11,=故答案为：7TT;

（2）证明：过P作于M,交DC的延长线于N,

由(1)性质可知：BH2+CP2=BP2+CH2,

即：CP2-BP2=CH--BH1=(HD2+DC2)-(AH2+A3?)=HD2-AH2，

2222222

又V由勾股定理可知：PD-PA=(HD。+PH)-(AH+PH)=HD-AH,

CP2-BP2=PD2-PA2,ipAP2+CP2=BP2+DP2;

(3)解：①设=则尸£>=3。，由(2)<MAP2+CP2=BP2+DP2,

PA2_i_PC2

AP2+CP2=々2+9/=I。/,.---------=10；

PB2

②以AD、BD为边作矩形ADBE,连接CE、DE,如图所示：

则AB=DE,由题意得：CD2+CE-=C^c+CB2,即2?+CE?=4?+6?,解得：CE=4拒,

当C、。、E三点共线时，DE最小，.：A3的最小值=DE的最小值=以-CD=4白-2；故答案为：4^-2.

例6.（23-24八年级下•江西赣州•期末）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABC。是垂美四边形吗？请说

明理由；（2）性质探究：如图1,四边形ABC。的对角线AC、8。交于点O,AC1BD.经探究发现垂美四

边形ABC。的两组对边AB?,CD?和AD?,BC?有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明.

（3）解决问题：如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边为边向外作正方形ACPG和正方形A2DE,

连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，证明见解析；（2）AD2+BC2^AB2+CD2,证明见解析；（3）GE

=773

【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算.

【详解】解：（1）四边形A8C。是垂美四边形.证明：连接BD、AC

•.•A8=A£>,.•.点A在线段BZ）的垂直平分线上,

•：CB=CD,/.点C在线段BD的垂直平分线上,

直线AC是线段80的垂直平分线，：.AC±BD,即四边形ABC。是垂美四边形;

（2）猜想：ArP+BC^AB^CD2

证明：\'AC±BD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,：.AD2+BC2=AB2+CD2；

(3)连接CG、BE,VZCAG=ZBAE=90°,AZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即/G4B=/CAE,

AG=AC

在AGAB和ACAE中，＜NGAB=NCAE,.•.△GABg/XCAE（SAS）,

AB=AE

：.ZABG=ZAEC,又/AEC+NAME=90°,：.NABG+/BMN=90。,即CE_LBG,

四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG+BE2=CB2+GE2,

•：AC=4,AB=5,：.BC=3,CG=4&,BE=5垃,

：.GE2=CG+BE?-CB2=73,:.GE=回.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂

美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键.

例7.（2024.山东德州•一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3

中，AEBE是VABC的中线，AF±BE,垂足为尸.则称VABC为“中垂三角形”.^BC=a,AC=b,AB=c.

C

图4

⑴①如图1,当—ABE=45。，c=4五时，PF=_____.BF=_______.

②如图2,当/ABE=3（T,c=4时，求。和6的值.

⑵请猜想/、〃和c?三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程.

（3）如图4,在边长为3的菱形ABCD中，。为对角线AC、的交点，瓦厂分别为线段A。,。。的中点，

连接3E,C尸并延长交于点CM分别交乂）于点G,H,求叔丁+必六的值.

【答案】⑴①尸尸=2,BF=2非；②a=2屈,b=2«⑵关系为：a2+b2=5c2,见解析证明（3）15

【分析】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3）,直接利用（2）的结论是本

题的新颖点和突破点.（1）在图1中，PB=ABcos450=4=PA,即可求解；同理可得：a=2厄b=2币;

（2）PB=ABcosa=ccosa,PA=csina,PF=—PA=—csina,PE=—ccosa,则。？+廿=Q+（28尸产,即

222

O111

可求解；（3）证明：MG=-ME=-MB,MH=-MC,则MG?+Affl2=§（^52+MC?）,即可求解.

【详解】（1）解：如图1、2、3、4,连接砂,

c

c

ABABAB

图1图2图3

・.・AF,B£是VABC的中线,・・・£1尸是VABC的中位线,

1PRpA47?

：.EF=-AB,EF//AB,：NEFP冈BPA,：.—=—=—=2,

2PEPFEF

'：AF±BE,则在图1中，PB=ABcos45°=c--=4A/2X—=4=PA,

22

22

由止匕得：PF=^PA=2,gp=y/pB+PF=2A/5：

在图2中，PB=ABcos30°=c—=4x—=2.73,PA=ABsin30°=c--=4x-=2,

2222

由止匕得：PF=^PA=1,BFNPB'PF?=A,a=BC=2BF=2岳，

PE=；PB=6AENPEZ+AP?=S,b=AC=2AE=2不，则4=2而,6=2A/7；

(2)关系为：a2+b2=5c2J

证明：如图3,设：NEBA=a,则：PB=ABcosa=ccosa,PA=csina,

由(1)得：PF=—PA=—csina,PE=—ccosa,

222

AE2=PE2+AP2=c2r(sincr)2+1(costz)2,BF2=PF2+BP2=c2i(sina)2+(cosa)2

AP?BPY_ar、+BP。AB2

(sina]+(cosa)"r*r

IABJ+IABJ__AB"-AB7

则a2+b2=(2AE)2+(28/产=4c2x-[(sina)2+(cos«)2l=5c2；

4」

(3)根据题意可得AEnOEngECAGaBC,AAAGE^ACBE,AAG=^BC=^AD,EG=^BE,

：E,尸分别为线段AO,OO的中点，EF是△Q4D的中位线，

EF^-AD,则所=工2。=14。，Z.NMGH^NMBC,

222

FFGMMH1

A—=—=^-=-,：.EM=BE,MF=FC,:.GM=2EG,二£,尸分别是90,011中点，

BCBGMC2

QGH〃BC,EF〃BC,：.HG〃EF,.NMGHKMEF,

:.MG=-ME=-MB,MH=-MF=-MC,HG=-EF=-AD

333333f

,?E,F分别是CM中点，，CE,BF是ABCM的中线，，A3cM是“中垂三角形”,

由（2）得片+尸=502,即^52+同。2=3。2,贝ijMG2+MH2=g（MB2+Mc2）=gx5xBC2=i5.

模型2.378和578模型

模型解读

378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形(如图1)。

当我们遇到两个三角形的三边长分别为3,7,8和5,1,8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是

因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的

等边三角形。

模型证明

条件：当两个三角形的边长分别为3,7,8和5,7,8时；

结论：①这两个三角形的面积分别为6g、1。6；②3、8与5、8夹角都是60°；③将两个三角形长为7

的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。

证明：如图2,过点C作CM_LAB于点M,设尤则AM=3+x,AZCMB=9Q°,

在血”CA1中：CM2=AC2-AM2,在R/A8C"中：

：.AC2-AM2=BC1-BM2,即82-(3+x)2=72-记，解得x=l,ACM=4,:.CM=4yE,

：.S^ABC=-AB»CM=-%46=6币,：GW=4,AC=8,ZACM=30°,NCAM=60°。

22

如图3,过点尸作FALLOE于点N,设DN=x则NE=5-x,:.NFND=90。,

在RtADNF中:NF2=DF2-DN2,在.RtAENF中:NF2=EF2-NE2,

：.DF2-DN2=EF2-NE2,gp72-^=82-(5-x)2,解得x=l,NE=4,：.NF=4TL

:.SM)EF=LDE，NF=1«5«4V3=10A/3,,:NE=4,EF=8,ZEFN=30°,ZFEN=60°.

22

：.CM=NF=4A/3,ZCMB=ZFND=9Q°,,:CB=DF=I,:.RtkBCM义RtADNF,：.ZCBM=ZFDN,

VZCBM+ZABC=180°,：.ZFDN+ZABC^180°,,：AC=EF=SO

.••将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形(如图4)。

模型运用

例1.（2023•浙江温州•九年级校考期末）边长为5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是（）.

A.90°B.150°C.135°D.120°

【答案】D

【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设"BC的三边AB=5,AC=7,BC=8,

过点A作4D_LBC于点。，设8£>=无，分别在吊"。8和MAADC中，利用勾股定理求得AD,从而可建立

方程，求得尤的值，可求得NB,因此可得最大角和最小角的和.

【详解】法1：;△ABC的边长为5,7,8,

•••其可以和边长为3,7,8的三角形拼成一个边长为8的