2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型解读与提分训练（解析版）

专题07三角形中的重要模型之

平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全

等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航

例题讲模型

一‘一二一^~~..........................................................................................................................................2

模型1.平分平行（射影）构等腰模型....................................................2

模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型7

习题练模型

14

例题讲模型］

模型1.平分平行（射影）构等腰模型

角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造

等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后

还会遇到很多类似总结）。

角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。

1）角平分线加平行线必出等腰三角形.

条件：如图1,。。'平分NVON,过。的一点尸作尸结论：AOP。是等腰三角形。

证明：\'PQ//ON,.,.Z1=Z3,平分NM9N,

?.Z2=Z3,AOQ=PQ,.♦.△OP。是等腰三角形。

条件：如图2,ZUBC中，5。是//3C的角平分线，DE//BC。结论：△8DE是等腰三角形。

证明：■:DE//BC,:./BDE=/DBC,是N/8C的角平分线，；.NDBE=/DBC,

:./DBE=NBDE,：.BE=DE,是等腰三角形。

条件：如图3,在中，BO平分/ABC,CO平分2/C3,过点。作的平行线与4B,/C分别相

交于点N.结论：XBOM、ACON都是等腰三角形。

证明：由题意得：MN//BC,：.ZBOM=ZOBC,「BO是N/BC的角平分线，AZOBM=ZOBC,

：.ZBOM=ZMBO,：.BM=OM,△RW是等腰三角形。同理可得：ACON也是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形.

B

图4

条件：如图4,BE平分NCBA,ZACB=ZCDA=90°.结论：三角形CM是等腰三角形。

证明：•:BE平分/CB4,：.NCBE=NABE,VZACB=90°,：.ZCBE+ZCEB=9Q°,

'：ZCDA=90°,AZABE+ZBFD=90°,VZBFD=ZCFE,：.ZABE+ZCFE=90°,

:.NCEB=NCFE,：.CF=CE,三角形CE尸是等腰三角形。

模型运用

例1.（2024•四川成者B•中考真题）如图，在Y/BCO中，按以下步骤作图：①以点8为圆心，以适当长为半

径作弧，分别交8/,8c于点W,N；②分别以W,N为圆心，以大于《〃乂的长为半径作弧,两弧在/48C

内交于点。；③作射线30,交AD于点、E,交CD延长线于点尸.若CD=3,DE=2,下列结论错误的是

BE5

A.ZABE=ZCBEB.5c=5C.DE=DF

EF3

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综

合.先由作图得到5/为//8C的角平分，利用平行线证明/AEB=NABE,从而得到=CD=3,

RF3

再利用平行四边形的性质得到8C=4D=/E+ED=3+2=5,再证明△/EBS/XDE/，分别求出一=-,

EF2

DF=2,则各选项可以判定.

【详解】解：由作图可知，8尸为的角平分，=故A正确；

四边形为平行四边形，；.AD=BC,AB=CD,AD^BC,

,?AD〃BCNAEB=ZCBE,；.ZAEB=ZABE,

:.AE=AB=CD=3,：.BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正确；

AB=CD,：.ZABE=ZF,•:NAEB=NDEF,:.AAEBs^DEF,

.BEAB_AE.BE_3_3.BE_3

DF=2,故D错误;

''EF~DF~ED'"EF~DF~1'"EF~1

DE=2,：.DE=DF,故C正确，故选：D.

例2.（2024・贵州贵阳•模拟预测）如图，在VN8C中，BC=J,/48C和NNC3的平分线相交于点。，过

点。作8c的平行线交48于点E,交NC于点尸，若△/£尸的周长为14,则V/BC的周长是（）

A.14B.19C.21D.23

【答案】C

［分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义.由角平分线的定义得到ZEBD=NCBD,

由平行线的性质得到=mi^ZEDB=ZEBD,推出切=£8,同理：FD=FC,于是得到

BE+CF=DE+DF=EF,由△/£1厂的周长=/E+/F+FE=4B+4c=14,即可求出V48c的周长

=/C+/B+BC=14+7=21.

【详解】解：QBD平分ZABC,：.ZEBD=ZCBD,

EF//BC,:.NEDB=NDBC,ZEDB=AEBD,ED=EB,

同理：FD=FC,:.BE+CF=DE+DF=EF,

AAEF=AE+AF+FE=AE+AF+BE+CF=AB+AC=14,

.1A/BC的周长=/C+4B+BC=14+7=21.故选：C.

例3.（2023•广东•八年级期末）如图，°ABCDAB=3cm,BC=5cm,BE平分/ABC交AD于E点、,

CF平分ZBCD交4D于尸点，则E尸的长为cm.

【答案】1

【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB,DF=DC,进而推

出EF=AE+DF-AD.

【详解】：四边形/2CO是平行四边形，.•・N/E8=NE8C,AD=BC=5cm,

:BE平济/ABC,：.ZABE=ZEBC,贝

:.AB=AE=3cm,同理可证：DF=DC=AB=3cm,

则EF=/£+FD-/Z）=3+3-5=lcm.故答案为：1.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边.

例4.（2023春•四川达州•八年级校考阶段练习）如图,在RtA/BC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为D,

4F平分/C42,交.CD于点、E,交C3于点尸，则下列结论成立的是（）

【答案】C

【分析】求出NCAF=/BAF,ZB=ZACD,根据三角形外角性质得出/CEF=/CFE,即可得出答案；

【详解】：在RtAABC中，NACB=90°,CDXAB,NCDB=NACB=90°,

.,.ZACD+ZBCD=90°,ZBCD+ZB=90°,.,.ZACD=ZB,

：AF平分NCAB,；./CAE=NBAF,/ACD+NCAE=NB+NBAF,

.\ZCEF=ZCFE,ACE=CF.故选C.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键.

例5.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在△43C中，ZBAC=90°,4D_18c于点。，N4BC的平

分线BE交AD于F,交ZC于E,若4E=3,DF=2,则.

【答案】5

【详解】由角度分析易知=,即/£=/尸，

'/AE=3：.AF=3'：DF=2：.AD=AF+DF=5

【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型.

例6.（2023九年级•广东•专题练习）如图1,在V/3C中，//3C和NNC3的平分线交于点O,过点。作

EF//BC,交于£,交NC于E

图2

；（2）当BE>CF时，若CO是N/C2的外角平分线，如图2,它

仍然和//8C的角平分线相交于点。，过点。作跖〃2C,交A8于£,交/C于尸，试判断ERBE,CF

之间的关系，并说明理由.

【答案】（1）8（2）族=见解析

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分

线和平行线证明等腰三角形是解题的关键.（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证

BE=OE=5,OF=CF=3,即可得出答案；（2）与（1）同理由平行线的性质和角平分线的定义可证.

【详解】（1）解：*.*EF//BC,：.^EOB行98GFOC=OCB,

和//C2的平分线交于点O,:.QEBO行98C,FCO=BCO,

:.QEBO往0B,FOC=FCO,：.BE=OE=5,OF=CF=3,

：.EF=EO+FO=8,故答案为：8；

(2)EF=BE-CF,理由如下：VBOABC,；.AABO=NOBC,

'：EO//BC,：.ZEOB=ZOBC,：.AABO=Z.EOB,

：.BE=EO,同理可得R9=CF,AEF=EO-FO=BE-CF.

2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型

模型解读

角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时

候能起到事半功倍的良好效果。

模型证明

1）内角平分线定理

BBB

证明：作。尸_L8C,作。垂足分别为尸，H.

S\DFBC

是N/8C的平分线，C.DF-DH,则--------—

»v-DHABAB

2

c—RF-CD

（2）作BE，。垂足为E,则£8---------啜:.崇嗝

3VBAD_LBE-DA4D4BAD

2

2）外角平分线定理

BCD（A

CAEA

图2图3

条件：如图2,在A48C中，/A4c的外角平分线交的延长线于点。。结论：AB-.AC=BD.CD.

证明：如图2,过C作CE〃m.交A4的延长线于£,

BDAB

,**CE//ADt.,*——,N2=N4,N1=N3,**—A.2,・・・N4=N3,：.AE=AC,：.——二

CDEAAC

3）奔驰模型

条件：如图3,AASC的三边3C、AC,的长分别是a,b,c,其三条角平分线交于点。，将“3C分

为三个三角形。结论：S^ABO-S^BCO-S.ao=c：a：b。

证明：过点。作，8C于点。，作OE//C于点E,作0FL/8于点尸.

由题意知：OA,OB,0c是AA8C的三条角平分线，OD1BC,OEJ.AC于,OFLABOD=OE=OF,

•.•A/8C的三边/B、BC、NC长分别为a,b,c,

S&AB0:S.BCO:Sqo=（gxcX。尸）：（；aX。。）：（；xbXOE）=C：a：b.

模型运用

例1.（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）如图，在中，ZC=90°,ZS=30°,以点A为圆心，适当长

为半径画弧分别交/'/C于点M和点N,再分别以点M,N为圆心，大于!的长为半径画弧，两弧交

于点夕，连接Z尸并延长交6C于点。.若△/CQ的面积为8,则。的面积是（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【分析】本题考查了尺规作图，含30。的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知/。平分

NBAD,则可求/C4O=40/5=30。，利用含30。的直角三角形的性质得出CO=，利用等角对等边

2

得出AD=BD,进而得出8然后利用面积公式即可求解.

2

【详解】解：VZC=90°,Z5=30°,AZCAB=60°,由作图知：AD平分NBAD,

:.NCAD=NDAB=3Q°,：.CD=-AD,ZB=ZBAD,

2i

/.AD=BD,Z.CD=-BD,：.

2-BDACBD2

2

又A/CO的面积为8,.,.△48。的面积是2x8=16,故选B.

例2.（2023•四川泸州•八年级统考期中）如图，“BC的三边48、BC、。长分别是10、15、20.其三

条角平分线交于点。，将分为三个三角形，SAABOSABCOACAO等于（）

B

A.1:1:2B.1:2:3C.2:3:4D.1:2:4

【答案】C

【分析】过。点作ODJ-4B,OE1BC,OFLAC,垂足分别为。，E,尸，根据角平分线的性质可知

OD=OE=OF,再利用三角形的面积公式计算可求解.

【详解】解：过。点作OEVBC,OFLAC,垂足分别为。，E,F,

”3C的三条角平分线交于点。，；.OD=OE=O尸，•.•48=10,BC=15,CA=20,

SsS

.ABO-.Bco-.CAO=^ABOD:^BC-OE:^-AC-OF=10:15:20=2:3:4.故选C

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，利用角平分线的性质求得OD=OE=O尸是解题的关键.

例3.（23-24九年级上•吉林•期末）已知V4BC,是一条角平分线.

【探究发现】如图①，若是/A4c的角平分线.可得到结论：噜=黑.

小红的解法如下：过点。作。E1/8于点E,DF，AC于点、F,过点/作NG，5c于点G,

；4D是N8/C的角平分线，且。E148,DF1AC,：.

&-ABxDEq-BDxAG

>△ABD__2________'△ABD_2________BD

_____________.又：q~1

S&IDC^ACxDF)△z。。-CDxAGCD

22

【类比探究】如图②，若4D是NA4c的外角平分线,40与8c的延长线交于点。.求证：—

AR嚼=黑；［类比探究］证明见解析

【答案】［探究发现］=跖，—

C■/

【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等高三角形面积的关系.熟练掌握角平分线的性质定理是解题

的关键.［探究发现］根据过程填写即可；［类比探究］证明过程同［探究发现］.

【详解】［探究发现］证明：是/A4c的角平分线，且DF1AC,

ABS&ABD\BDxAGBD

g-ABxDE

.__2________.AB_BD

：.DE=EF.

SQADC-ACXDFACS△血-CDxAGCD

22

以田生、rABAB_BD

故答案为：DE=EF,——

AC~AC~^C

［类比探究］证明：如图②，过点。作胡于N,过点。作于过点4作4尸，助于点尸.

—ABxDN

■3cjon?AADD

•//。平分/5双，：.DN=DM.=Y--------=——

S"-ACXDMAC

2

-BDxAPDA

又・・Sc“BD_2_________BDDrt・AADB_BD

S-DCLCDxAP,。4cCD

2

例4.（23-24九年级上•湖南娄底•期末）一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分

ADDr\

线的一个论证.如图1,已知/。是V/3C的角平分线，可证丝=叱.小慧的证明思路是：如图2,过点

ACCD

C作CE〃AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明噜=黑

图1图2图3

（1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明受=去；

（2）应用拓展：如图3,在RtA48C中，/B4c=90。,。是边8c上一点.连接40,将A/CZ）沿40所在直

线折叠，点C恰好落在边NB上的£点处.

①若NC=1,AB=3,求DE的长；②若BC=k,AAED=a,求1的长（用含人与2的代数式表不）.

【答案】⑴见解析⑵①巫；②J—

41+tana

【分析】（1）过点C作CE〃/8,交的延长线于点E,先证明△/QS^ECD,得至|」券=券，再根

据角平分线的性质和等腰三角形的判定证得NC=CE,进而可得结论；

（2）①先由折叠性质得到NC4O=N8NO,NC=NAED,CD=DE,由（1）知，丝=见，则=3a）,

ACCD

利用勾股定理求得BC=进而可求解；②由折叠性质得=NC=NAED=a,C©=DE,由

（1）得胆=吗利用正切定义得tan/C=tana=1，，贝ljAD=CD•tana,进而可求解.

ACCD/C

【详解】（1）证明：过点。作C£〃/B,交的延长线于点£,

JZBAD=ZCED,/B=ZECD,^ABD^/\ECD,——=——,

CECD

ADnr\

•：CE//AB,:./BAD=NCAD,则/C4D=NCED,:.AC=CE,：.——=——；

ACCD

(2)解：①：将A/CD沿4D所在直线折叠，点C恰好落在边45上的£点处.

4BBD

：.ZCAD=ABAD,/C=/AED,CD=DE,由(1)知，——=——,又ZC=1,AB=3,

ACCD

口口3

——=即5O=3CQ,在中，ABAC=90°AC=\,AB=3,

CD1f

；•BC=yjAC2+AB2=V10.BD+CD=4CD=而，则CO=半，二DE=乎；

4BBD

②由折叠性质，得NC4D=NB4D,ZC=ZAED=a,CD=DE,由(1)得一=一，

4CCD

4B

VABAC=90°,Jtan/C=tana=——,贝ij=CO•tana,

/C

由BD+a)=8C=左得：CDtana+CD=k,：.CD=-------,DE=---.

1+tancr1+tana

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股

定理、折叠性质、锐角三角函数等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是

解答的关键.

例5.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）【问题初探】

在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1,在V/BC中，是V/8C的角平分线，求证：噜=黑

2JLC

有两名同学给出了不同的解答思路:

①如图2,小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作N5的平行线交AD的延长线于点£,运用等

腰三角形和相似等知识解决问题.

②如图3,小强同学从“ND是V4BC的角平分线”给出了另一种解题思路：在/C上截取N歹=48，连接。尸,

过点。作D厂的平行线交ND的延长线于点G,也是利用相似等知识解决问题.

D\

G

图3图4

（1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程.

【类比分析】张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对

应边的比.为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答.

（2）如图4,若△/C8的外角/C4E平分线40交3c的延长线于点D,求证：—.

一4

【学以致用】（3）如图5,在四边形48CD中，AD、,CB=4,AB=2,AABC=90°,AD//BC,BE平

分/ABC,求BE的长.

【答案】（1）小丽同学的解题思路；证明见解析（2）证明见解析（3）BE吟也

【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的

判定和性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

AT）Dr\

（1）小丽同学，由平行线分线段成比例得到二三=/，再证/C=CE即可；小强同学，证明

CECD

/、AFDF

AABD^AFD（SAS）,则/ADB=ZADF=NCDG,得到4。尸=/G=/CDG,—=——，则

ACCG

CD=CG,—,即可得到结论;

ACCG

DADARM

⑵过点。作我交班于点跖则前=访亡而,"Df,由比例的性质得到

照=需,证明/…,即可得到结论;

CF4

⑶延长胡交。的延长线于点R求出BiCF=5,进一步得到而=而二’

EGCG

/CBE=45°,过点£作£G，BC于点、G,证明REG是等腰直角三角形，EG//BF,则EG=BG,

BF~BC

12

求得BG=7,即可得到答案;

ABBD

【详解】解：(1)证明：小丽同学，・・・/B||C£,.・・/氏

CECD

ABBD

平分N5/C,工/BAD=/CAD,：.ZCAD=ZE,：.AC=CE,：

ACDC

小强同学，在NC上截取4/=/5,连接DF,过点。作。尸的平行线交40的延长线于点G,

AD平分ZBAC,ABAD=ACAD,

又[AD=AD,△4SZ)也△4JFZ)(SAS),：.BD=DF,ZADB=ZADF=ZCDG,

AF_DFABBD

•：DF//CG,：.ZADF=ZG=ZCDG,,：.CD=CG,—

^C~~CGACCG

(2)证明：如图4,过点。作。M〃力。交于点

图4

图5

BABCBABM…八.BM-AMBD-CD则需CD

-------，----=----，NCL4D=N4DM，・

BMBDACDMBMBDBD

BABMBMBD

VAD^ZCAM,ZCAD=ADAM=ZADM,AAM=DM,・'

AC~DM-AM-CD；

(3)解：如图5,延长R4交。。的延长线于点R

4

VAD//BC,：—,即AF=3，解得力/=1，・・・5尸=3,

BFBC

AF+2-7

VZABC=90°,BC=4,BF=3,:.CF=dBC?+BF?=5,

BE平分/ABC,,Z.CBE-45°.CE——

BFEF37

过点E作EGLBC于点G,「•△BEG是等腰直角三角形，EG//BF,

・EGCG.BG4-BG,解得BG=U,BE=41BG=­^2.

・・EG=BG，=・・-------

BFBC3477

习题练模型

1.（2024・湖南怀化•一模）如图，以直角V/8C的一个锐角的顶点/为圆心，适当长为半径画弧，分别交直

角边于点。，交斜边/C于点E,再分别以点。，E为圆心，大于g。E的长为半径画弧，两弧交于点R

2

S

作射线/尸交边8c于点G,若/8=3,BC=4,用S»Bc表示V/8C的面积（其它同理），则皆（）

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理等知识，解答时过点G作L/C于点H

得到BG=GH,再由勾股定理求出/C,再推出称以=*，则问题可解

【详解】解：如图，过点G作于点〃，

由尺规作图可知，NG为/3/C平分线，：1）5=90°,3G=GH,

2222

・38=90。，4B=3,BC=4,：.AC^AB+BC=A/3+4-5.

-ABBG“0

2_4B3

°AABG故选：C.

AC

S*ACG-AC-GH

2

2.（23-24八年级上•陕西西安•阶段练习）如图，V/BC中，N/8C与//CB的平分线交于点R过点/作

〃BC交NB于点。，交/C于点E,那么下列结论:①VBDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE；

③V4DE的周长等于与NC的和；@BF>CE；⑤若NN=80。，则N8BC=130。.其中正确的有（）

A.①②③⑤B.①③④⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

【答案】A

【分析】本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的定义及平行线的性质.由角平分线的定义可得

ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,结合平行线的性质可知/C2F=/BED,NBCF=NEFC,进而可得

ZABF=ZBFD,NACF=AEFC,由等边对等角可得。8=DF,EF=EC,再根据等量代换逐项判断即可.利

用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键.

【详解】解：①尸是/45C的角平分线，CF是44C8的角平分线，=ZACF=/BCF,

•：DE//BC,：.ZCBF=ZBFD,ZBCF=ZEFC,：,ZABF=ZBFD,ZACF=ZEFC,

：.DB=DF,EF=EC,...VB。尸和都是等腰三角形，，①选项正确，符合题意；

@'：DE=DF+FE,DB=DF,EF=EC,：.DE=DB+CE,；.②选项正确，符合题意；

③的周长为=ND+DE,-：DE=DB+CE,

二V4DE的周长为=AD+Q8+/E+CE=/B+4C,...③选项正确，符合题意；

④根据题意的角度数不确定，故不能得出8尸>3,.•.④选项不正确，不符合题意；

⑤：若NZ=80°,AABC+ZylC5=180°-Z4=180°-80°=100°,

,?ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,：.ZCBF+ZBCF=ix100°=50°,

2

ZBFC=180°-ZCBF-ZBCF=180°-50°=130°,⑤选项正确，符合题意；

故正确的有：①②③⑤.故选：A.

3.（2023春・山东淄博•九年级校考期中）如图，“8C中，/ABC=90。，点/为。8c各内角平分线的交点,

过/点作/C的垂线，垂足为X,若BC=3,AB=4,/C=5,那么出的值为（）

A

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】A

【分析】连接"、IB.IC,过/作IM，4g于INIBC于N,利用角平分线的性质，以及等积法求线

段的长度，即可得解.

【详解】解：连接"、IB.IC,过/作于INYBC千N,

・・,点/为各内角平分线的交点，IMLAB,INIBC,IH1AC,：.IH=IM=INf

BC=3,AB=4,AC=5,S^/A\zBlDCV=-2x3x4=6,

*.*ARC—S.AJB+SARK〃「，=—xABxIM+—xBCxIN+—xACxIH,

/\zizj/\jiiij/\zj/t>+S/A\zuL6222

,:BC=3,AB=4,AC=5,IH=IM=IN,：.IH=\,故A正确.故选：A.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，等积法求线段长度.熟练掌握角平分线的性质，利用等积法求线

段的长度是解题的关键.

4.（2023春・湖南岳阳•八年级统考期末）如图，/瓦助是“BC的角平分线，/瓦助相交于点。,。尸，

于尸，ZC=60°,下列四个结论：①乙108=120。；②AD+BE=AB；③若“3C的周长为见。9=〃，则

S.ABc=mn；④若OE:Q4=1:3,则。。：。5=2:3.其中正确的结论有（）个.

c

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理可验证结论①；如图所示，在N8上截取/K=ND,可证

△NOD*A4OK(SAS),ABOE^ABOK(ASA),根据全等三角形的性质可验证结论②；如图所示，连接OC,

过点。分别作OGL/C于点G,作于点根据角平分线的性质，三角形的面积计算方法可验证

结论③；结合结论②，③，图形结合，等面积法等知识可验证结论④.

【详解】解：结论①N4O8=120。，

ABAC+ZC+ZABC=180°,ZC=60°,AZBAC+ZABC=12(F,

AE,BD是^ABC的角平分线，，NCAE=NEAB=-ZCAB,ZCBD=/DBA=-ZABC,

22

ZEAB+ZDBA=；(ZCAB+ZCBA)xl20°=60,,在^AOB中，NOAB+ZOBA+ZAOB=180°,

ZAOB=180°-(ZOAB+ZOBA)=180°-60°=120°,故结论①正确；

结论②+=由结论①正确可知，403=120。，

VZAOD+ZAOB=1SO°,：.ZAOD=180°-ZAOB=180°-120°=60°,

AAOD=ABOE,ABOE=60°,如图所示，在48上截取NK=4D,

---是“BC的角平分线，,NDAO=NKAO,

AD=AK

.•.在中，\ZDAO=ZKAO,AAOD^AAOK(SAS),

NO=/O(公共边)

ZDOA=ZKOA=60P,ZBOK=ZAOB-ZAOK=120°-60°=60S

AD=AK,NBOK=ZBOE=60P,在ABOE,ABOK中,

ZBOK=ZBOE

・08=08(公共边)，.•.△3O£0A8OK(ASA),BE=BK,

ZOBK=ZOBE

：.AK+BK=AD+BE=AB,故结论②正确；结论③若“3C的周长为犯。尸=〃，则5.”0=加〃，

如图所示，连接OC,过点。分别作OGL4c于点G,作。〃工8c于点a,

；是的角平分线，。尸_LNC,OF=n,

OC平分N/C8,OF=OG=OH=n,^.AB+AC+BC=m,

SAABC=SMOC+SZMOB+SABOC=OG+-^ABOF+-8COH,

中

/.S^ABC=^OF^AB+BC+AC)mnmn,故结论③错误；

结论④若。£:。4=1:3,则。。：03=2:3,

如图所示，连接OC,过点。分别作。GL/C于点G,作OH/8C于点a,

9

11s—BEnBE

S^BOE=-BEOH,S^AOB=-AB.OF9且0〃=09=〃，・・・^^=^——=—

2AB

2LOBLAB.n

2

如图所示，过点8作氏区_L4E于点M,

OE

且OE:Q4=1:3,

OA

.BEOE1ADOD,„_

..---=---=一,同理，---=---，如