2025年中考数学几何模型归纳训练：双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型解读与提分训练（解析版）

专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型

线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出

发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部

分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

目录导航

例题讲模型'

.........................................................................................................................................................2

模型1.线段的双中点模型...............................................................2

模型2.线段的多中点模型...............................................................7

模型3.双角平分线模型与角n等分线模型................................................11

习题练模型一

1

=21........................................................................................20

例题讲模型］

模型1.线段的双中点模型

模型解读

线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为

线段的双中点模型。

模型证明

条件：点M、N分别为线段AB、的中点，结论：MN=-AC.

2

证明：①当点5在线段AC上，如图1,

4,11--------6

MBN

图1

：/、N分别为AB、8c的中点，8河=工48（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

MN=BM+BN,MN=-AB+-BC=-（AB+BC}^-AC;

222、72

②当点B在线段AC的延长线上，如图2,

A।1■1-R

CMN

图2

VM,N分别为A3、BC的中点，，加（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

MN=BM-BN,：.MN^-AB--BC=-（AB-BC}=-AC;

222、72

③当点B在线段CA的延长线上

B।・■C

MAN

图3

VM.N分别为A3、BC的中点，.（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

模型运用

例1.（23-24七年级上.江苏扬州・期末）如图，点C在线段A3上，点M、N分别是AC、BC的中点.

AMCN~B

（1）若AB=18cm,AM=5cm,求CN的长；⑵若胧=6cm,求A3的长；

【答案】⑴C7V=4cm⑵AB=12cm

【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义.

（1）因为点Af、N分别是AC、2c的中点，所以NC=^BC,已知A3=18cm,A"=5cm,

可得8C的长，NC=\BC,可得CN的长；（2）因为点M、N分别是AC、BC的中点，所以CM=《AC,

NC=—BC,已知例V=6cm,可得A5的长.

【详解】（1）解：•・•点M、N分别是AC、3c的中点，.•.AM=；AC,NC=9C,

-：AM=5cm,/.AC=10cm,vAB=18cm,/.BC=8cm,/.CN=4cm；

11

（2）解：・.•点M、N分别是AC、3c的中点，.•.CM=AC,NC=-BC

:2?2f

♦・・MN=CM+CN=6cm,/.AB=AC+BC=2（CM+C7V）=12cm.

例2.（23-24七年级上•江西赣州•期末）如图，点C在线段AB上，点M,N分别是线段AC,的中点.

।।।।[

AMCNB

（1）若AC=10cm,CB=6cm,求线段MN的长；（2）若AC+CB=acm,求线段MN的长度.

【答案】（l）8cm⑵£cm

【分析】（1）根据线段中点的性质，可得MC、CN,再根据线段的和以及线段的差，可得答案；

（2）根据线段中点的性质，可得MC、CN,再根据线段的和以及线段的差，可得答案.

本题考查了线段的长度问题，掌握线段中点的性质是解题的关键.

【详解】（1）.••点M,N分别是线段AC,3c的中点；.MC=《AC,CN=3BC

22

：AC=10cm,CB=6cm,：.MC=5cm,CN=3cm：.MN=MC+CN=5+3=8cm

（2）•.•点N分别是线段AC,3c的中点，MC=；AC,CN=；BC

*.*AC+CB=acm，MN-MC+CN——ACH—CB=—cm.

222

例3.（23-24七年级.山东淄博.期末）已知点C是线段AB的中点，点。是线段AC的三等分点.若线段

A5=12cm,则线段3。的长为（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

【答案】c

【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系即可求解.

【详解】如图，：点c是线段的中点，.•.AC=BC=：A3=6cm,

2

।।1।1

ADxD2CB

2

当4。=—AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm：.BD=BC+CD=6+2=8cm；

3f

当AD=lAC=2cm时，CD=AC-AD=4cm,：.BD=BC+CD=6+4=10cm;故选C.

3

例4.（23-24七年级上.安徽黄山・期末）如图，C,。是线段AB上两点（点。在点C右侧），E,F分别是线

段AO,2C的中点.下列结论：

@EF=-AB-②若钻=3尸，则AC=BD；③AB-CD=2EF；@AC-BD=EC-DF.

2

iIIIIl

AECDFB

其中正确的结论是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和

差关系.结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答.

【详解】解：尸分别是线段AD，3C的中点.，；.=尸=18C,

22

EF=AB-AE-BF=AB-^（AD+BC）=AB-^（AB+CD）=^AB-^CD,故①不符合题意；

VAE=BF,：.^AD=^BC,即AD=3C,

/.AD-CD=BC-CD,：.AC=BD,故②符合题意；

EF=gAB—gcD,：.AB-CD=2EF,故③符合题意；

@VAC=AE+CE=-AD+CE,BD=BF+DF=-BC+DF,

22

：.AC-BD=^AD+CE^-^BC+DF^=^AD-BC）+（CE-DF）,

：.2（AC-BD）=（AD-BC）+2（CE-DF）,：.2（AC-BD）=（AC-BD）+2（CE-DF）

:.AC-BD=2（EC-DF）,故④不符合题意；故选：B.

例5.（23-24七年级上.贵州遵义・期末）已知线段AB=24,点C为线段的中点，点。为线段AC上的三

等分点，则线段3D的长的最大值为（）

A'----------------------'B

A.16B.18C.15D.20

【答案】D

【分析】本题考查线段和差.根据题意先求出AC=3C=12,再根据题干分情况讨论点。所在位置，继而

得到本题答案.

【详解】解：：线段AB=24,点C为线段A3的中点，.•.AC=3C=12,

:点。为线段AC上的三等分点，，①当点。靠近点A时：AD=1AC=4,此时3D=24-4=20；

2

②当点D靠近点C时：AD=-AC=S,此时30=24-8=16；

V20>16,线段3。的长的最大值为：20,故选：D.

例6.（23-24七年级上•辽宁阜新•期末）点A、3在数轴上所表示的数如图所示，尸是数轴上一点：

BOA

—।——।——।———।——।——।——।——।——>

-5-4-3-2-1012345

（1）将点B在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点P,求出A、P两点间的距离

是多少个单位长度.

（2）若点B在数轴上移动了机个单位长度到点P,且A、P两点间的距离是4,求机的值.

（3）若点M为"的中点，点N为PB的中点，点尸在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变

化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度.

【答案】（1）A、尸两点间的距离是1个单位长度

（2”"的值为2或10（3）线段的长度不发生变化，MN=3

【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类

讨论的思想是解此题的关键.

（1）根据数轴上的点向右移动用加法，向左移动用减法求出P点表示的数为，即可得解；

（2）分两种情况：当P点在A点左边时；当尸点在A点右边时；分别求解即可得出答案；（3）分三种情况：

当尸在A、B之间时；当P在B的左侧时；当尸在A的右侧时；分别画出图形，计算即可得出答案.

【详解】（1）解：由数轴可得：B点表示的数为-2,A点表示的数为4,

P点表示的数为一2-2+7=3,

•；4-3=1,...A、尸两点间的距离是1个单位长度；

(2)解：：A、尸两点间的距离是4,.•.当P点在A点左边时，P点表示的数为4-4=0,

丁点B在数轴上移动了小个单位长度到点尸，2点表示的数为-2,..•此时m=0-(-2)=2；

当尸点在A点右边时，尸点表示的数为4+4=8,

•••点2在数轴上移动了m个单位长度到点P,3点表示的数为-2,

此时机=8-(-2)=10；综上所述，加的值为2或10；

(3)解：线段肱V的长度不发生变化，MN=3,

由数轴可得：3点表示的数为-2,A点表示的数为4,••.45=4-(-2)=6,

:点M为AP的中点，点N为PB的中点，；.=PN=BN=；PB,

如图，当尸在A、8之间时，此时肱V=PM+PN=；AP+；PB=：(AP+PB)=：AB=3；

BNPMA

।।111A

图1

如图，当尸在B的左侧时，止匕时MN=/W-PN=；A尸一：B尸=：(AP—BP)=gAB=3；

PNBMA

j।।iIa

图2

如图，当P在A的右侧时，此时削=附_尸知=；82_：24=3(5?_尸4)=348=3；

BNAMP

IIII]>

图3

综上所述，点P在运动过程中，线段MN的长度不会发生变化，MN=3.

模型2.线段的多中点模型

模型解读

条件：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MV=2a,第1次操作：分别取线段AM和AV的中点叫、

N「第2次操作:分别取线段AMX和AM的中点AG,N?；第3次操作：分别取线段AM2和AN2的中点71^，

代；…连续这样操作〃次，结论：M,N,

IIlliIIII

AN3M3N2M2N\MINM

模型证明

证明：乂是蜀1和AN的中点，AN、=；AN,

：.MiNl=^AM-^AN=^MN=a,VM2,N2是AM1和4乂的中点，

AA/?=—AA/],AN、=—AN[,a*.=3AM1—AN、=—M=-a,

222222

M3,多是⑷1%和AN?的中点，：.AM3=^AM2,AN3=^AN2,

：.M3N3=^AM2-^AN2=^-M2N2=^a=(^-\-a,...发现规律：.〃，

模型运用

例1.（23-24七年级上•贵州六盘水•期末）如图，数轴上的点。为原点，点A表示的数为-3,动点尸从点0

出发，按以下规律跳动：第1次从点。跳动到。4的中点A处，第2次从点A跳动到AA的中点&处，第3

次从点&跳动到4A的中点4处，…，第”次从点4T跳动到4TA的中点4处，按照这样的规律继续跳动

到点A"A，A，…，&B4处，那么点4024所表示的数为

3

【答案】-3+尹元

【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段44"的变化规

律是解题的关键

根据题意，得第一次跳动到。4的中点A处，即在离A点的长度为:义3,第二次从A点跳动到&处，即在

离A点的长度为[gjx3,则跳动w次后，即跳到了离A点的长度为[g]x3,再根据线段的和差关系可得

线段。4的长度，最后确定点4期的表示的数即可.

【详解】解：由题可知：04=3,此第一次跳动到0A的中点A处时，A4,=goA=；x3,

同理，第二次从A点跳动到七处，AA2=^xAAi=(^x3,

同理，第三次从4点跳动到A处，AA=gxA4=]£|x3同理，跳动〃次后，A4“=]jx3,

故线段的长度为：O4=Q4-A4n=3-出x3=3-捺，当”=2024时，0^=3-^,

333

,点七)24在负半轴，；.点4024表示的数是_(3_02024)=—3+.2024，故答案为：-3+/元.

例2.(23-24七年级上.河南濮阳・期末)已知：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段〃N=16,第一

次操作：分别取线段AM和4V的中点第二次操作：分别取线段4叫和AM的中点加2，N2.

第三次操作：分别取线段AM和的中点连续这样操作次，则

2AN2M,4M4N4=.

IIIIIIIII

AN2M2N\M\NM

【答案】1

【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的

规律进行求解是解决本题的关键.根据题意可得AM-4V=MN,根据线段的差可得

M2N2=^^MN,/3又=]£[皿的长度表示，根据规律进行推理即可得出M,N“，即可得出答案.

【详解】解：根据题意可得，♦：MN=16,AM-M=MN=16,

•••线段AM和AN的中点M，N、,：.M\N[=^_*=AM；AN=；MN,

1=1工田AaNTAM.,AN11(1V»r..,,

同理：MN=---------=—MN=—M#NA,..MNr=—MNr,....

2222[l12J33\)

依次类推，MN,：.M,N,=^X16=l,故答案为：4.

例3.(23-24七年级上.湖南张家界.期末)如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2,第一次操作:

分别取线段A"和AN的中点；第二次操作：分别取线段AM1和AM的中点AG，M；第三次操作：

分别取线段AM?和AM的中点M3,%；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之

和M[N1+M?N2T-------1~^2024-^2024=.

|IIIIIII|

AN3M3N2M2N\M、NM

【答案】2-^y

【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度.根据线段

中点定义先求出的长度，再由的长度求出M2M的长度，从而找到”的规律，即可求出结果.

【详解】解：N1是24M和⑷V的中点，AN、=；AN,

：.-^AN=^MN=1,VM2,必是AM】和AA\的中点，

Z.AM=-AM,AN=-AN,：.MN=-AM,--AN=-MN=-,

22X22122222t2li

M3,恤是，2和AN2的中点，：.AM3=^AM2fAN3=^AN29

：.M3N3=^AM2-^AN2=^M2N2=^=^^,...发现规律：,

.1（1丫°23

,,,必乂+”2生+-・+以024乂024=1+万+-・+[]）

cI1门产

2(M]N[+MNHF^2024-^2024)=2+1+—+・・・+—

222⑶

门、2。23

92———

两式相减，得M+M?N2T---------M2024N2024=2—[QJ=2-^2023故答案为:?2023•

例4.（23-24七年级上.广东•期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGe"。做了"次取线段中

点实验：如图，设线段。凡=1,第1次，取。4的中点片；第2次，取14的中点鸟；第3次，取《鸟的中

点A，第4次，取吕巴的中点舄；…

।,।A阜,

OPlP3P5Po

（1）请完成下列表格数据.

次数线段。4的长

0勺=。6-耐=i-;

第1次

OP=OPPP=l-+^

第2次2l+]2

IOP=OP-PP=l-^^-^

第3次3223+

。月=0月+巴鸟=1-)+:一最+J

第4次

第5次©____②________

(2)小明对线段OR的表达式进行了如下化简：

因为0巴=1一；+>9+?，所以2。4=211一：+(-*++

171

两式相加，得30舄=2+^,所以O〃=w+不中.

，JJX，

请你参考小明的化简方法，化简。心的表达式.

⑶类比猜想：/片=，。匕=,随着取中点次数W的不断增大，。匕的长最终接近的值是

【答案】⑴①5等②*。兄-酬=T+导导U⑵。吟-七(3片,|+嘉,|

【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键.

(1)根据表中的规律可求出乙乙，根据。心=。乙-乙月可得出答案；

(2)参照小明对线段。8的表达式的化简可得。△的表达式；(3)根据类比猜想可得答案.

【详解】⑴解：P4P5=^,OP5=OP4-P4P5=1-^+^--^-+^--^-；

故答案为:舄心弓，OP5=OP4-PtP5=1-1+±-1+!_1.

⑵因为2=1-宗〉**泉所以2利=213+1卜/一£|=2-1+：-：+£-3

191

两式相加，得304=2-丞.所以保=^^；

，JJX，

⑶心£《'”空+寻’随着取中点次数”的不断增大。匕的长最终接近的值是

12(-1)〃2

故答案为:F?3+3x2n，3

模型3.双角平分线模型与角n等分线模型

模型解读

双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分

线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自

己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。

模型证明

图1图4

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

条件：如图1,已知：OD、OE分别平分乙4。8、ZBOC；结论：ZDOE=-ZAOCo

2

证明：•：OD、0E分另1j平分乙4。8、ZBOC,：.ZDOB=-ZAOB>ZBOE=-ZBOC>

22

・1111

・・ZDOB+ZBOE=-ZAOB+-ZBOC=-ZAOC・・ADOE=-AAOC-

2222

2）双角平分线模型（两个角有公共部分）

条件：如图1,已知：OD、0E分另IJ平分NA03、ZBOC；结论：ZDOE=-ZAOCo

2

证明：,：OD、。七分另IJ平分NAOB、ZBOC,ZDOB=-ZAOB/BOE=L/BOC，

22

.1111

••NBOE-NDOB=—NBOC——ZAOB=-ZAOC>•,NDOE=—NAOC。

2222

3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）

条件：如图3,已知NAO8+N2OC+NAOC=360。，。尸i平分/AOC、OP2平分/80C；

结论：=180。-；ZAOB。

证明：YOP平分/AOC、OP2平分/8℃，，N册OC=；ZAOC，NgOC=：NBOC，

'：ZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,：.ZBOC+ZAOC=3600-ZAOB,

=N6OC-N5OC=；ZAOC+；NBOC=：(ZAOC+NBOC)=180。-：ZAOB。

4）角〃等分线模型

条件：如图4,AAOB=a,OAi,。片分别是NAOM和NMQB的平分线，。&、。员分别是乙4,。加和/〃。用

的平分线，。4、。片分别是/4。加和/林明的平分线…，。4，。4分别是/41。M和/〃。纥7的平分

线；结论：404,=晟.

证明：QZAOB=a,。4、。片分别是—40M和NMO3的平分线，

.■.ZAOM=-ZAOM,ZBOM=-ZBOM,=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-a,

i{2

•.•。&、O"分别是NAOM和NMO81的平分线，.-.ZA.OM=1Z^OM,ZB2OM=|ZB^OM,

:.SOB2=-(ZAlOM+ZB}OM)=-ZAlOBl=-x-ZAOB=胃，

•••。4、0B3分另I］是ZA.OM和ZMOB2的平分线，.-.ZA.OM=^ZA2OM,NB30M=:NB20M,

ZA3OB3=-(ZA.OM+ZB2OM)=-A\OB2=-^-^08,=-x1x-ZAOB=,...,

ry

由此规律得：ZA,OB,,=—o

模型运用

例1.（2023・河南周口•校联考一模）如图，点。为直线A3上一点，0E平分/BOC,0。平分/AOC,若

ZBOE=28°,则ZAOD的度数为（）

A.58°B.60°C.62°D.70°

【答案】C

【分析】先根据OE平分/BOC,0D平分,AOC,求出ZEOD=90。，再根据NCOE=N3QE=28。，求出

ZE>OC=90°-28°=62°,即可得出答案.

【详解】解：：点。为直线AB上一点，0E平分NBOC,。。平分/AOC,

Z.ZCOD=ZAOD=-ZAOC,ZCOE=ZBOE=-ZBOC,

22

,/ZEOD=ZCOD+ZCOE=^(ZAOC+ZBOC)=g*180。=90。，ZEOD=90°,

NBOE=28°,：.ZCOE=28°,，ZDOC=90°-28°=62°,

：.ZAOD=ZDOC=62°,故C正确.故选：C.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出N£OD=90。.

例2.（2023春•辽宁辽阳•七年级统考期末）如图，射线OC平分NAQB,射线0。平分/3OC,则下列等

式中成立的有（）

①NCOD=ZAOD-NBOC；②NCOD=ZAOD—NBOD；③2/COD=2ZAOD-ZAOB；④

NCOD=L/AOB.

【答案】B

【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可.

【详解】解：OC平分ZAOB,OD平分ZBOC,：.NAOC=ZBOC,ZCOD=NBOD

VZCOD=ZAOD-ZAOC,ZAOC=ZBOCZCOD=ZAOD-ZBOC故①正确；

ZBOD丰ZBOC:./COD丰ZAOD-ZBOD故②错误；

ZAOD=ZAOC+ZCOD：.2ZAOD=2（ZAOC+ZCOD）=ZAOB+2ZCOD

2ZAOD-ZAOB=ZAOB+2ZCOD-ZAOB=2ZCOD2ZCOD=2ZAOD-ZAOB故③正确；

ZCOD=-NBOC,ZBOC=-ZAOBZCOD=-x-ZAOB=-ZAOB故④错误；故选B.

22224

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是

解决本题的关键.

例3.（2023春•黑龙江•七年级校考阶段练习）如图，射线OG是/AOC的角平分线，射线O"是2A03的

角半分线，射线ON是-3OC的角平分线，则下列结论成立的有（）个.

M

OC

®ZMON=Z.COG■,®ZMOG^^(AAOG-ABOG)；③NGON=J(/COG+40G)；④

AMON=1(ZAOC+NBOG)；

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解.

【详解】角阜：由题意得：4OG=NCOG='/AOC,?AOM?MOB-?AOB,ZBON=ZNOC=-ZCOB,

222

①ZMON=NMOB+NBON=1ZAOB+1ZBOC=1(NAOB+ZBOC)=；ZAOC=ZCOG,故①正确；

②ZMOG=ZAOG-ZAOM=ZAOG-Z.BOM=ZAOG-(ZBOG+AMOG)=ZAOG—ZBOG-ZMOG,

BPZMOG=1(ZAOG-ZBOG),故②正确；

③Z.GON=ZCOG-4cON=ZCOG-ZBON=ZCOG-{Z.GON-/BOG)=ZCOG-AGON+NBOG,

BPZMOG=1(ZAOG-ZBOG),故③正确；④由①得NMON=：ZAOCw；(NAOC+NBOG),故④错误;

综上，①②③正确，共3个；故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系.

例4.(2023•河南•七年级校联考期末)如图，ZAOB=a,OAl,。用分别是和/MO3的平分线，

。4、。3分别是ZAOM和NMO4的平分线，。&、。&分别是和NMO层的平分线，…，O\,OBn

【分析】由角平分线性质推理得幺。瓦=ga，最，N4。鸟=*，据此规律可解答.

【详解】解：QZAOB=a,。4、。片分别是/AOM和NMQB的平分线,

Z^OM=-ZAOM,ZBOM--ZBOM,AA.OB,=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-a,

t2

•,•<?A、OB2分别是/&OM和/MOB］的平分线，.-.Z^OM=~Z^OM,ZB2OM=g/BQM,

:./&OB2=^(ZAiOM+NBQM)=~ZAiOBl=-x-ZAOB==

•.•04、OB3分别是4420M和ZMOB2的平分线，,ZA.OM=^ZA2OM,NB30M=~NB20M,

.-.Z4OB3=-(Z40M+ZB2OM)=-ZAOBJ=-x-ZL4iOB1=-x-x-ZAOB=-a=-^-,...,

222222282、

由此规律得：NAOB.q.故答案为：会.

【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

例5.（2022秋・山西太原•七年级统考期末）图，ZAOC=ZBOD=90°,08在NAOC的内部，OC在/B。。

的内部，。£是/AOB的一条三等分线.请从A,8两题中任选一题作答.

A.当/BOC=30。时，NEO。的度数为.

B.当NBOC=a。时，NE。。的度数为（用含a的代数式表示）.

【分析】4、根据角的和差得到/4。2=90。-30。=60。，根据0E是NAOB的一条三等分线，分类讨论，当/

AOE=1ZAOB=2.0°,②当乙4。8=20。，根据角的和差即可得到结论；

B、根据角的和差得到乙4。8,根据OE是/A08的一条三等分线，分类讨论，当NAOE=；NAOB,②当/

8。月=：/402,根据角的和差即可得至IJ结论.

【详解】解：&、如图，VZAOC=90°,ZBOC=30°,：,ZAOB=90°-30°=60°,

：OE是NAOB的一条三等分线，①当/AOE=；/AOB=20。，ZBOE=40°,

・.,ZBOD=90°,JZEOD=ZBOD+ZBOE=130°,

②当NBOE=gZAOB=20°,：.NZ)0£=90°+20°=110°,

综上所述，NE。。的度数为130。或110。，故答案为：130。或110。；

B、'：ZAOC=90°,ZBOC=a°,：.ZAOB=90°-a°,

iii2

VOE^ZAOB的一条三等分线，.••①当NAOE=§ZAOB=30°--a°f：.ZBOE=90°-a-(30--cc)°=60°--a°,

ZBOZ)=90°,JZEOD=ZBOD+ZBOE=150°--ct°,

3

②当ZAOB=30°--a°：.ZDOEr=90°+30°--a°=120°--a°,

33f33

2121

综上所述，/£。。的度数为150。-§。。或120。-]6(。，故答案为：150。-§a。或120。-§a。；

【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键.

例6.(2023秋•辽宁沈阳•七年级统考期末)如图，点A,O,8在同一条直线上，OD,OE分别平分/4OC

和N3OC.(1)求NDOE的度数；(2)如果/COZ)=60。.①求—AOE的度数；②若NAOF=20。，直接写出

/FOD的度数.

【答案】(1)90°；(2)0150°；②40。或80°.

【分析】(1)由角平分线定义可知4DOC=；NAOC,NCOE=gNBOC,再根据NDOE=NDOC+NCOE和

NAOC+/3OC=180。可得结果；(2)①利用角之间的和差关系求解即可；②分当O尸在。4上方时，当OF在

下方时，利用角之间的和差关系求解即可.

【详解】(1)解：,/OD,OE分别平分NAOC和—3OC,ZDOC=-ZAOC,ZCOE=-ZBOC,

22

贝ZDOE=ZDOC+ZCOE=|ZAOC+1ZBOC=|(ZAOC+NBOC),

'：ZAOC+ZBOC=180°,：.NDOE=g(ZAOC+Z8OC)=9。。；

(2)①：ZCOD=60°,ZDOE=90°,；.ZCOE=ZDOE-ZCOD=30°,

由(1)可知，ZDOC=-ZAOC,则ZAOC=2ZDOC=120。，

2

・•・ZAOE=AAOC+ACOE=120°+30°=150°,

②由①可知，ZAOC=nO°,•：OD^ZAOC,ZAOD=-ZAOC=60°,

2

当O尸在。1上方时，ZFOD=ZAOD-ZAOF=60°-20°=40°；

当O尸在OA下方时，ZFOD=ZAOD+ZAOF=60°+20°=80°；综上，/FOD为40。或80。.

【点睛】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角

之间的和差关系.

例7.（2023秋•江苏无锡•七年级校考期末）解答题：（1）如图，若NAO8=120°,ZAOC=40°,OD、OE分

别平分/493、ZAOC,求NDOE的度数；

(2)若ZAOB,ZAOC是平面内两个角,NAOB=m,ZAOC=n(n<m<1^,OD,OE分别平分NAOB、

ZAOC,求ZDOE的度数.（用含加、〃的代数式表示）

B

【答案】⑴40。⑵所以当射线OC在ZAOB的内部时，NDOE=；（加-〃）。；当射线OC在NAOB的外部时,

ZD0E=^(n+m)°

【分析】（1）根据角平分线定义求出48和/AOE度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线OC的位

置，所以需要分类讨论：若射线OC在-AO3的内部时，根据角平分线定义得出ZA0D=gzA03,

ZAOE^-ZAOC,求出"OE=/AOD—NAOE；若射线OC在NAO3的外部时，根据角平分线定义得

2

出ZAOD=」/AO3,ZAOE=~ZAOC,求出"OE=NZXM+ZAOE,代入求出即可.

22

【详解】（1）VZAOB=120°,0。平分/A03,/.ZAOD=ZBOD=|ZAOB=60°

：0E分别平分/AOC,ZAOC=40°.AZAOE=ZAOC=20

ADOE=ZAOD-ZAOE=60°-20°=40°.

(2)若射线OC在—493的内部，如图2

图2

VZAOB=m,ZAOC=n,OD、OE分别平分，AC®、ZAOC.

：.ZDOE=ZAOD-ZAOE=|ZAOB-1ZAOC=~(m-n)°：,NDOE=；(m-n)°.

所以当射线OC在—A03的内部时，NDOE=；(m-w)。.

若射线OC在—AO3外部时，如图3

'：ZAOB=m,ZAOC=n,OD、OE分别平分/403、ZAOC.

：.ZDOE=ZAOD+ZAOE=1ZAOB+1ZAOC=1（H+/?/）°；.ZDOE=^n+m）°.

所以当射线OC在NAOB的外部时，ZDOE=~（n+m）°.

【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键.

例8.（2023春・山东济南•七年级统考期末）解答下列问题

如图1,射线OC在的内部，图中共有3个角：ZAOB,NAOC和/BOC,若其中有一个角的度数

是另一个角度数的两倍，则称射线OC是ZAOB的“巧分线（1）一个角的平分线.这个角的“巧分线”,（填“是”

或“不是”）.（2）如图2,若NMPN=60。,且射线P。是/MPN的“巧分线"，则N"PQ=（表示出所有

可能的结果探索新知）.（3）如图3,若/MPN=c（,且射线PQ是—MPN的“巧分线”，则/凹尸。=（用

含a的代数式表示出所有可能的结果）.

112

【答案】（1）是（2）30。，20。或40。（3）,。或3a或

【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解

答；⑵根据“巧分线”定义，分NMPN=2NMPQ\、NNPQ—NMPQ?、/MPQs=Z/NPQ三种情况求解

即可；（3）根据“巧分线”定义，分NMPN=2/MPQi、/NPQq/MPQ]、/MPQs=Z/NPQ三种情况求

解即可.

【详解】（1）解：如图1：：0C平分/AOB,，NAO3=2NAOC=24OC,

根据巧分线定义可得0C是这个角的“巧分线”.故答案为：是.

A

乙

0^=^------B

图1

（2）解：如图3：①当/MPN=2NMPQ|时，则/MPQ=；/AfPN=Jx60。=30。；

②当NNPQ〔二2NMPQ],贝（j/MPN=NA/PQ?+NNPQ?=3/MP&=60。，解得：ZMPQ2=20°；

3

③当/MPQ3=2/NPQ3,则NMPN=NMPQ3+NNP°3=/NMPQ3=60。，解得：ZMPQ3=40°.

综上，NMPQ可以为30。,20。,40°.

11（y

（3）解：如图3：①当ZMPN=2/MPQ1时，则NMPQ=5NMPN=/xa=3；