2025年中考数学模拟考试卷（含答案河北地区）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共16小题，1-10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分.在每小题给出的四

个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.层+3.层的计算结果是（）

A.a12B.a10C.A8D.a7

2.三角形的三条中线的交点是（）

A.重心B,中心C.内心D.垂心

3.2025年4月6日，石家庄举办了河北省首届城市马拉松比赛，马拉松全程为42.195公里，换算成以米为单

位，用科学计数法可表示为（）

A.4.2x104米B.4.2x105米C.4.2x106米D.4.2X103米

4.-2x（-8）-12的运算结果是（）

A.16B.4C.-28D.-4

5.化简结果是4鱼的选项是（）

A.2V4B.V32C.V48D.V24

6.如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a//b,Zl=50°,Z2=70°,贝叱3=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

7.在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.《九章算术》第七卷有记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”意

思是：“今有人合伙购物，每人出8钱的话，会多出3钱；若每人出7钱，则差4钱。问人数、物价各多少？”

根据所学知识，人数和物价分别是（）

A.1,11B.2,25C.5,42D.7,53

9.在学校举行庆祝二十大演讲比赛中，七位评委给某同学的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个

有效评分，分别为：9.0,9.2,9.0,8.8,9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（

A.9.0,8.9B.8.9,8.9C.9.0,9.0D.8.9,9.0

10.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱的高为2dm，在圆柱的侧面上，过点4和点

C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）

D

A-4%B.2V2dmC.2而dm-4有dm

11.如图，在四边形ABC。中，E、尸分别是AB、的中点.若EF=2,BC=5,。=3,贝UtanC等于（

)

12.已知点M（l-2m,m-l）关于无轴的对称点在第一象限，则机的取值范围在数轴上的表示是（）

13.已知点A（1,%）、B（2,>2）、C（-3,券）都在反比例函数>=且的图象上，则力、？、券的大小关

x

系是（）

A.yi<y2<ysB.ys<y2<y\C.y2<yi<y3D.y3<y\<yi

14.如图，把RtaABC放在平面直角坐标系中，点8（1,1）,C（5,l）,^ABC=90°,AC=4^2.将△ABC

沿y轴向下平移，当点A落在直线y=；尤-2上时，线段AC扫过的面积为（）

y

152180

A.D.

B-7c.77

15.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3,4）,顶点4在％轴的正半轴上.反比例函数y=1（%>0）

的图象经过顶点B,贝伊的值为（）

16.在如图所示的平面直角坐标系中，△0481是边长为2的等边三角形，作△氏左耳与40481关于点以对

称，再作△B2A383与4BzABl关于点&对称……如此作下去，贝必32,也"+1&"+1（〃是正整数）的顶点人2.+1的

坐标是（）

444

~OB\yB2B\yX

4A4

A.（4/1-1,黄）B.（2n-l,黄）C.（4w+l,gD.（2〃+l,小）

第II卷（非选择题共78分）

二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，直接填写答案.）

17.下表是石家庄某校七-九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动

时间相同，但表格中九年级的两个数据被遮盖了，记得九年级文艺小组活动次数与科技小组活动次数相

同.

年级课外小组活动总时间（单位：h）文艺小组活动次数科技小组活动次数

七年级1768

八年级14.557

九年级12.5OO

则九年级科技小组活动的次数是

18.如图，平面直角坐标系中放着5个边长为单位1的小正方形，经过原点。的直线恰好将5个正方形

分成面积相等的两部分，则直线I的表达式为.

19.如图所示，小明和小龙玩转陀螺游戏，他们分别同时转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面

相接触的边上的数字都是奇数的概率是

三、解答题（本大题共个7小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

22

20.（本小题满分9分）先化简，再求值：—

2

a+1a-i

(1)a=2cos60°+1.

(2)a—y[3-

21.（本小题满分9分）石家庄某校将举办“心怀感恩・孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1

000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图.

（1）本次调查抽取的人数为，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上（

含40分钟）的人数为；

（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报.请用树状图

或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.

22.（本小题满分9分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC,45°<^ACB<

60°,将点C关于直线AB对称得到点D,作射线BD与CA的延长线交于点E,在CB的延长线上取点F,使得

BF=DE,连接AF.

备用图

(1)依题意补全图形；

(2)求证：AF=AE；

(3)作BA的延长线与FD的延长线交于点P,写出一个/ACB的值，使得AP=AF成立，并证明.

23.(本小题满分10分)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价

,且获利不得高于50%.经试销发现，销售量P(件)与销售单价x(元)符合一次函数关系，当销售单价

为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件.

(1)求P与x的函数关系式；

(2)若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；

(3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

24.(本小题满分10分)如图，BE是圆。的直径，A在EB的延长线上，AP为圆。的切线，P为切点，弦PD

垂直于BE于点C.

(1)求证：ZAOD=ZAPC；

(2)若OC：CB=1：2,AB=6,求圆O的半径及tan/APB.

25.(本小题满分10分)如图，抛物线y=x?+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点.点A的横坐标为-3,点B

在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m,过点P作PCLx轴于C,交直线AB于D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当m为何值时，S四边形OBDC=2SABPD；

(3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

26.(本小题满分12分)如图1,矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与A,B重合)，把

44DE沿DE翻折，点A的对应点为延长

E4交直线DC于点F,再把NBEF折叠，使点B的对应点当落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.

(1)求证：4&DEsAB]EH；

(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点必恰好落在直线MN上，试判断

/DEF的形状，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，点G为/DEF内一点，且ADGF=

150°,试探究DG,EG,FG的数量关系.

数学•全解全析

第I卷

12345678910

DAABBCBDCA

111213141516

BCBDDC

一、选择题（本大题共16小题，1-10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分.在每小题给出的四

个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.a2+3.a2的计算结果是（）

A.a12B.a10C.a8D.a7

【答案】D

【分析】同底的幕进行计算，事相加，以此规则进行计算即可。

【详解】a2+3-a2=a5-a2=a7

故选D.

【点睛】本题考查了幕的计算，同底相乘，塞相加。

2.三角形的三条中线的交点是（）

A.重心B.中心C.内心D.垂心

【答案】A

【分析】根据三角形重心的定义进行计算即可。

【详解】三角形的三条中线的交点是重心，

故选A.

【点睛】本题考查了三角形重心的基本概念，三角形的三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点

是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。

3.2025年4月6日，石家庄举办了河北省首届城市马拉松比赛，马拉松全程为42.195公里，换算成以米为单

位，用科学计数法可表示为（）

A.4.2X104米B.4.2义1。5米

C.4.2X106米D.4.2X103米

【答案】A

【分析】根据科学计算法的规则进行计算即可。

【详解】42.195公里等于42195米，即4.2x104米。

故选A.

【点睛】本题考查了科学计数法的规则，熟练掌握位数变化是关键。

4.-2x(-8)-12的运算结果是()

A.16B.4C.-28D.-4

【答案】B

【分析】根据有理数计算规则计算即可。

【详解】-2x(-8)-12=16-12=4.

故选B.

【点睛】本题考查了有理数的计算，注意“负负得正”的计算规则。

5.化简结果是4段的选项是()

A.2V4B.V32C.V48D.V24

【答案】B

【分析】根据无理数计算规则计算即可。

【详解】4V2=V4X4x2=V32.

故选B.

【点睛】本题考查了无理数的计算，关键是熟练掌握运算规律。

6.如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a〃b,Zl=50°,Z2=70°,则N3=()

A.50°B.60°C.70°D,80°

【答案】C

【分析】利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题.

【详解】:△BCD中，Zl=50°,Z2=60°,

Z4=180°-Zl-Z2=l80o-50°-60o=70°,

；.N5=/4=70°,

'：a//b,

AZ3=Z5=70°.

故选C.

B

【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角。

7.在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可。，

【详解】在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故答案为B.

【点睛】本题考查了轴对称图形的判断，注意与中心对称图形的区别。

8.《九章算术》第七卷有记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”意

思是：“今有人合伙购物，每人出8钱的话，会多出3钱；若每人出7钱，则差4钱。问人数、物价各多少？”

根据所学知识，人数和物价分别是（）

A.1,11B.2,25C.5,42D.7,53

【答案】D

【分析】可设人数为x,分别表达两种购物方案得出总价，即可得到一元一次方程，求解即可。

【详解】设人数为X.

由题意8x-3=7x+4,解得x=7.

则物价为8x-3=8x7-3=53.故选D。

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是列出等量关系式。

9.在学校举行庆祝二十大演讲比赛中，七位评委给某同学的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个

有效评分，分别为：9.0,9.2,9.0,8.8,9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（

）

A.9.0,8.9B.8.9,8.9C.9.0,9.0D.8.9,9.0

【答案】C

【分析】根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的数，

便可选出正确答案.

［详解］0+9・2+9・0+8・8+90=gQ

5

该组数众数为：9.0,

•••这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0,9.0,

故选：c.

【点睛】本题考查了平均数及众数的计算。

10.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱的高为2dm，在圆柱的侧面上，过点4和点

C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）

B.2admC.2逐dmD4*dm

【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时,

根据勾股定理计算即可.

【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，

则这圈金属丝的周长最小为24C的长度

•・•圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm

AB=2dm,BC=BCr=2dm

这圈金属丝的周长最小为2/C=4y/2dm

故选：A

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面

周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.

H.如图，在四边形ABC。中，E、方分别是A3、的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于（

B

【答案】B

【分析】连接BD构建三角形中位线，即可解题。

：.BD=2EF=4

'：BC=5,CD=3

.♦.△SCO是直角三角形.

故选B.

【点睛】本题考查了三角形的中位线，准确划出辅助线是解题关键。

12.己知点M(l-2m,m-l)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上的表示是()

【答案】C

【分析】有题目可知，点M位于第四象限，即l-2m>0,m-l<0.构建了不等式组，求解即可。

【详解】有题目可得m-l<0,解得0.5<m<l,故选C。

【点睛】考查了一元一次不等式求解和解集在数轴上的表示，注意空心点和实点的区别。

13.己知点A(1,yi)、B(2,>2)、C(-3,g)都在反比例函数了=2的图象上，则％”、力的大小关

X

系是()

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.yi<yi<y3D.丁3〈与〈”

【答案】B

【详解】•.•点A(1,yi),B(2,>2),C(-3,*)都在反比例函数y=2的图象上，

X

・666n

・

•丫1万=6，了29二3，y3^y=-2^

■:-2<3<6,

^•y3<y2<yi,

故选：B.

【点睛】

14.如图，把如△ABC放在平面直角坐标系中,点C（5,l）,/.ABC=90°,AC=4V2.将△ABC

沿y轴向下平移，当点A落在直线y=-2上时，线段AC扫过的面积为（）

【答案】D

【分析】由A点坐标得出三角形平移的距离，线段AC扫过的区域是平行四边形，利用平行四边形面积公

式即可求解。

【详解】AC=4V2,BC=4,在此△ABC中，AB=4,

•••4（1,5）,4为4在y=：x-2上交点4（1,—三），

.■-AA'=-+5,

7

•••AC扫过面积为44•=4x（―+5）=—.

故选D.

【点睛】本题考查了一次函数与三角形的结合。

15.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3,4）,顶点4在x轴的正半轴上.反比例函数y=>0）

的图象经过顶点B,贝粒的值为（）

A.12B.16C.20D.32

【答案】D

【分析】如图，过点C作CD_LOA,由C的坐标为（3,4）可知：OD=3,CD=4,可得B点纵坐标为4,再

由勾股定理求得OC=5,结合菱形性质可得BC=5,进而求得B点横坐标为8,根据点B在反比例函数图象上

,即可求得k值.

【详解】如图，过点C作CDLOA,

OlD/"X

・・,点C的坐标为（3,4）,

OD=3,CD=4,

.••B点的纵坐标为4,

在直角三角形CDO中，由勾股定理得：OC=V32+42=5,

•.,菱形OABC,

.•.OC=BC=5,BC〃OA,

••.B点的横坐标为8,

；.B点坐标为（8,4）,

;.k=8x4=32.

故答案为：D.

【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义。

16.

在如图所示的平面直角坐标系中，△0415是边长为2的等边三角形，作与△04S关于点9对称

，再作△星A3%与△B2A2B1关于点对称……如此作下去，则2nA2”+由2“+1（〃是正整数）的顶点42”+1的坐

标是（）

444

A.（4n-l,小）B.（2n-l,小）C.（4n+l,小）D.（2n+l,4）

【答案】C

【分析】根据坐标系内对称对称坐标的转化规律计算即可。

【详解】Ai（l,4），A2（3,一4），A3（5,小）,A4（7,一$）,...,

（2n—Ly/3）（n为奇数），

点An的坐标为"

（2n-l,一小）（n为偶数）.

•；2n+l是奇数，，点A2n+i的坐标是（4n+l,小）.

故答案为C.

【点睛】本题考查了坐标系内的点对称，注意坐标的转化规律。

第II卷（非选择题共78分）

三、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，直接填写答案.）

17.下表是石家庄某校七-九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动

时间相同，但表格中九年级的两个数据被遮盖了，记得九年级文艺小组活动次数与科技小组活动次数相

同.

年级课外小组活动总时间（单位：/I）文艺小组活动次数科技小组活动次数

七年级1768

八年级14.557

九年级12.5OO

则九年级科技小组活动的次数是.

【答案】5

【分析】可设每次文艺小组活动时间为xh,每次科技小组活动的时间为yh,依据表格列出两元一次方程

组，然后再计算九年级科技小组活动次数。

【详解】设每次文艺小组活动时间为xh,每次科技小组活动的时间为yh.九年级科技小组活动的次数是m

次.

,叩衣（6x+8y=175/口（x=l.5

由题意，，解得I，

5x+7y=14.5{y=l

1.5m+m=12.5,

解得m=5

故答案为5.

【点睛】本题考查了统计相关的二元一次方程组应用题，关键是依据题意列出方程组。

18.如图，平面直角坐标系中放着5个边长为单位1的小正方形，经过原点。的直线恰好将5个正方形

分成面积相等的两部分，则直线I的表达式为

【答案】丫=枭

【分析】利用原点构建矩形，通过小正方形建立等量关系，求出直线上点的坐标。

【详解】设直线I和五个正方形的最上面交点为A,过点4作力B，y轴于点B,过点4作AC1x轴

于点C,如图所示.

正方形的边长为1,0B-2.

••经过原点的一条直线I将这五个正方形分成面积相等的两部分,

二两边分别是2.5,三角形4B。面积是3.5,.《OB=3.5,

AB=3.5,OC=3.5,二点4的坐标为(3.5,2).

设直线I的解析式为y=kx,

点4(352)在直线I上，

2=3.5k,解得：k=

直线I解析式为y=：x.

【点睛】本题考查了正方形的性质、一次函数的解析式，

19.如图所示，小明和小龙玩转陀螺游戏，他们分别同时转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面

相接触的边上的数字都是奇数的概率是=

【答案】-

4

【分析】用树状图或列表法列举出所有情况，让桌面相接触的边上的数字都是奇数的情况数除以总情况

数即为所求的概率.

【详解】列表得：

(4,6)(5,6)(6,6)(7,6)(8,6)(9,6)

(4,5)(5,5)(6.5)(7,5)(8,5)(9,5)

(4,4)(5,4)(6,4)(7,4)(8,4)(9,4)

(4,3)(5,3)(6,3)(7,3)(8,3)(9,3)

(4,2)(5,2)(6,2)(7,2)(8,2)(9,2)

(4,1)(5,1)(6,1)(7,1)(8,1)(9,1)

一共有36种情况，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的有9种情况,

•••与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是:

【点睛】本题考查用树状图或列表法求等可能情形下简单事件的概率。列表法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，适合于两步完成的事件。

三、解答题（本大题共个7小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

22

20.（本小题满分9分）先化简，再求值：（a^—）4—,

2

a+1a-i

（3）”=2cos60°+1.

（4）〃=遮.

【答案】（1）4（2）U

23

【分析】小括号内进行通分，对分母进行因式分解，除法转化为乘法，约分得到化简的答案，求出。的

值，再代入求值即可.

【详解】（1）原式=a（a+l）-a2a2

a+1(a+1)(a-l)

a.(a+1)(a-1)

a+1s2

a

al

a

当a=2cos60°+1=2x/+l=2时，

原式=等=*.

（2）由（1）可知，原式=至工=罕=二更。

a於3

【点睛】本题考查了无理数的运算，结合了锐角三角函数的知识。

21.（本小题满分9分）石家庄某校将举办“心怀感恩・孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1

000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图.

人数

16

（注：每个时间段含聚.小优，不含放大值）

（1）本次调查抽取的人数为,估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上（

含40分钟）的人数为

（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报.请用树状图

或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.

【答案】（1）50；16（2）见详解。

【分析】抽查的人数就是各组人数之和，时间在40分钟以上（含40分钟）的人数就是最后两组的人数之和。

本题中，因为事件由两个因素构成,所以,可以用树状图法也可以用列表法，用列表法时，要注意不要

出现重复的情况。

【详解】（1）50；16；

（2）列表给出所有可能的结果:

乙丙T

甲甲、乙甲、丙甲、丁

乙乙、甲乙、丙乙、丁

丙丙、甲丙、乙丙、丁

T丁、甲丁、乙丁、丙

共12种；其中恰好抽到甲、乙两名同学的情况有2种,

所以恰好抽到甲、乙两名同学的概率是上。

6

【点睛】在本题中，给出了方法“请用树状图或列表法表示出所有可能的结果”，这样能够较好地实现所列

情况不重不漏。列表时，要注意条例性，要工整美观，这样有利于自己后面统计各种情况出现的次数。

22.（本小题满分9分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC,45°<zXCB<

60°,将点C关于直线AB对称得到点D,作射线BD与CA的延长线交于点E,在CB的延长线上取点F,使得

BF=DE,连接AF.

BB

备用图

(1)依题意补全图形；

(2)求证：AF=AE；

(3)作BA的延长线与FD的延长线交于点P,写出一个/ACB的值，使得AP=AF成立，并证明.

【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)/ACB=54。.证明见解析.

【分析】根据题意叙述画出图形即可.

(2)由对称可得，DB=BC,NABD=NABC,再由等量加等量仍是等量可得

BE=CF,易证△ABEgZkACF(SAS),所以AE=AF.

⑶NACB=54。.由对称和⑵中己证的全等三角形推理可得.

【详解】(1)如图所示

*

LBC

2)证明：：点C与点D关于直线AB对称,

JDB=BC,NABD二NABC.

■:DE=BF,

・•・DE+BD=BF+BC.

:.BE=CF.

•.*AB=AC,

ZABC=ZC.

:.ZABD=ZC.

△ABE0△ACF(SAS).

JAE=AF.

(3)ZACB=54°.

证明：如图,

3.\/

_____________it________X

FBC

'：AB=AC,

・•・ZABC=ZACB=54°.

・•・ZBAC=180°-ZABC-ZC=72°.

・・•点C与点D关于直线AB对称，

ZDAB=ZBAC=72°,ZADB=ZC=54°,AD二AB二AC.

JZDAE=180°-ZDAB-ZBAC=36°,

ZE=ZADB-ZDAE=18°.

由（2）得，Z^ABF名△ADE（或者4ACF也△ABE）,

JZAFB=ZE=18°.

1

・•・ZBAF=ZABC-ZAFB=36°=-ZBAD.

2

AB=AD,

AF垂直平分BD.

JFB=FD.

ZAFD=ZAFB=18°,

・•・ZP=ZBAF-ZAFD=18°=ZAFD,

I.AP=AF.

・・,由（2）得AE=AF,

AP=AE.

【点睛】本题考查图形对称应用及三角形全等判定，根据题文注意数形结合是解题关键.

23.（本小题满分10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价

,且获利不得高于50%.经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价

为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件.

（1）求P与x的函数关系式；

(2)若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；

(3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元?

【答案】(1)P=-x+120(2)y=-(x-90)2+900(3)90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900

元.

【分析】(1)抓住已知条件：销售量P(件)与销售单价x(元)符合一次函数关系，当销售单价为65元

时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件，利用待定系数法求出P与x的函数关系式即可。

(2)根据商场获得利润y=每一件的利润x销售量P,可建立y与x的函数解析式。

(3)将(II)的二次函数解析式配方成顶点式，再根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%

,求出自变量x的取值范围，利用二次函数的性质，即可求解。

【详解】解：(1)设P=kx+b,

镜+侏二一]

根据题意，得:|64=55解得:

'/',--.I'()

贝i]P=-x+120；

(2)y=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900；

(3)♦.•销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%,

Z.60<x<(1+50%)x60,BP60<x<90,

又当烂90时，y随x的增大而增大，

...当x=90时，y取得最大值，最大值为900,

答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，注意取值范围的限制。

25.(本小题满分10分)如图，BE是圆O的直径，A在EB的延长线上，AP为圆O的切线，P为切点，弦PD

垂直于BE于点C.

(1)求证：ZAOD=ZAPC；

(2)若OC：CB=1：2,AB=6,求圆O的半径及tan/APB.

【答案】(1)见解析；(2)立

2

【分析】(1)连接OP,可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明;

(2)根据OC、BC的比例关系，可用未知数表示出OC、BC的表达式，进而可得OP、OB的表达式；在Rt

△AOP中，PC±OA,根据射影定理得：PC2=PC«AC,PC?的表达式可在RsOPC中由勾股定理求得，由

此求得未知数的知，从而确定PC、CE的长，也就能求出。。的半径和/APB的正切值.

【详解】（1）连接OP,

VOP=OD,AZOPD=ZD,

VPD±BE,

ZOCD=90°,

在RtAOCD中，ZD+ZAOD=90°,

又：AP是。。的切线，

.,.AP±OP,

贝!|NOPD+NAPC=90°,

ZAOD=ZAPC；

(2)连接PE,

AZBPE=90°(直径所对的圆周角是直角)，

：AP是。。的切线，

ZAPB=ZOPE=ZPEA,

VOC：CB=1：2,

.•.设OC=x,贝UBC=2x,OP=OB=3x,

在RtAOPC中，OP=3x,OC=x,由勾股定理得:

PC2=OP2-OC2=8x2,

在RtAOPC中，PC±OA,由射影定理得：

PC2=OOAC,即8x2=x(2x+6),6x2=6x,

解得x=0(舍去),x=l,

；.OP=OB=3,PC=2V2,CE=OC+OE=3+1=4,

tanZAPB=tanZPEC=—=迎，

CE2

二。0的半径为3,NAPB的正切值是它.

2

【点睛】本题综合考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及锐角三角函数的定义.解答中/

APB的正切值的关键是根据切线的性质、等腰三角形的性质及圆周角定理求得NAPB=/OPE=/PEA.

25.(本小题满分10分)

如图，抛物线y=x?+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点.点A的横坐标为-3,点B在y轴上，点P是y轴左侧

抛物线上的一动点，横坐标为m,过点P作PCLx轴于C,交直线AB于D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当m为何值时，S四边形OBDC=2S/kBPD；

(3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

(3)存在点P(-2,-5)或P(-l,-4)使△PAD是直角三角形

【分析】(1)根据直线解析式得出A、B两点坐标，代入抛物线解析式即可求出；(2)存在两种情形,

设P点坐标为(m,m2+4m-1),列方程求解；(3)见详解.

【详解】解：(1)Vy=x-1,当x=0时，y=-1,AB(0,-1).

当*=-3时，y=-4,.'.A(-3,-4).

；y=x2+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点,

-l=cb二4

,解得:T'

-4=9-3b+c

J抛物线的解析式为：y=x2+4x-1；

(2),.,P点横坐标是m(m<0)，/.P(m,m2+4m-1),D(m,m-1)

如图1①，作BEJ_PC于E,：.BE=-m.

CD=1-m,OB=1,OC=-m,CP=1-4m-m2,

.™2i.02-m(l+l-m)__3in_ID2

..PD=1-4m-m-l+m=-3m-m,..----------------------oX-----------------------

22

解得：mi=0(舍去)，m2=-2,m3=-—

2

如图Kg),作BE_LPC于E,；.BE=-m.

PD=m2+4m-1+1-m=3m+m2,-111'J+l-=2x-1n血2+3111),

22

解得：m=0(舍去)或m=「7+短(舍去)或皿=一了一候,

_44

m=--,-2或--~时,S四边形OBDC=2SABPD；

24

(3)如图2,当3APD=90。时,设P(m,m2+4m-1),则D(m,m-1),

AP=m+3,CD=1-m,OC=-m,CP=1-4m-m2,

.'.DP=1-4m-m2-l+m=-3m-m2.

在y=x-l中，当y=0时，x=l,.*.F(1,0),OF=1,.'.CF=1-m.AF=4^/2.

・.・PC_Lx轴，AZPCF=90°,ZPCF=ZAPD,.'.CF/7AP,

2

.".△A