2025年中考数学压轴题二轮复习：常见相似模型（含解析）

第1讲常见相似模型

前言：相似三角形是初中几何的重难点，形式众多、变化多样是其难点，也是复习的重点，本讲介绍一些常见

的相似图形及考察方式.

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A字型与8字型

⑴“A”字型

在仆ABC中,若DE〃BC,贝必ADE^AABC,—=—=

ABACBC

(2)“8”字型

若ED〃:BC,贝!]ABCADE.—=—=—.

ABACBC

弓例1：如图,在平行四边形ABCD中，ZABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G,

若AF=2FD,则登的值为（）

解析：若AF=2FD,则AB=2DG,^=等=|,选C.

EGCG3

2反A字型

△AEBMADC

⑴反“A”字：ABCAED,^=^|,AD.AB=AE-AC.（共边之积相等）

⑵母子型：ABEACB,^=笫AB2=AE•4C.（平方式，找母子）

（3）推论：△ADC^AAEB.

ADAE

,且NDAC二NEAB.）

ACAB

引例2:如图，D是^ABC的边BC上一点,AB=8,AD=4,NDAC=NB.如果△ABD的面积为15,那么△ACD

的面积为()

A.15B.10C.—D.5

2

解析：；NDAC=/B,.♦.△CDAs/XCAB,

,,迎=（臂=⑶2=1

SCABMB/\874,

^ABD=^ABC—SACD=3sAe。=15".SACD=5,

:.选D.

引例3:(2018.OI)如图，在△ABC纸板中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△A

BC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是.

C

解析：如图，其中有三组始终存在：

△CPQ^ACAB,△APQsaACB,△APQ^AABC.

若ACPQS^CBA,则=当当点Q与B重合时，AP取到最小值，代入得CP=1,止匕时AP=3,；.AP的取值

范围是3<AP<4.

3反8字型

(1)反“8"字:△AOBs/XDOC,OK,O2=—OAOC=OBOD.(共边之积相等)

(2)推论：AAOD^ABOC

证明：•.,△AOBS^DOC

OA_OBOA_OD

••OD-OC'••OB-OCf

XVZAOD=ZBOC,

.,.△AOD^ABOC.

4.双垂模型

如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC±.BE±AC,CD±AB.

/\BOD^/\COE

=OB-OE=OC，OD

gOCs^DOE

AADC^/\AEB

AD-AB=AE-AC

/\ABC^/\AED卜

一个集“反A”与“反8”于一身的模型.

5射影定理

在R3ABC中，ZBAC=90°.AD_LBC交BC边于D点.

A

ABAD△BCA:BA2=BD■BC\

ACADACBA-.CA2=CD-CB;

△ADBCDA:DA2=DB-DC.

弓例4:如图，AB是。O的直径，AM和BN是它的两条切线，过。O上一点E作直线DC,分别交AM、BN

于点D、C,且DA=DE.

(1)求证：直线CD是。。的切线;

(2)求证：0A2=DE-CE.

解析：⑴连接OE、0D,在AOAD和干OED解

0A=OE

■AD=ED,'△OAD学AOED(SSS),

OD=OD

ZOED=ZOAD,：AM是。O的切线，

ZOAD=90°,ZOED=90°,

CD是。。的切线.

(2)连接OC,在RtAOBC和RtAOEC中，

疗，.;△OBC名△OEC(HL),

AZBOC=ZEOC,XAOAD^AOED,AZAOD=ZEOD,

AADOC=^AOB=90。，在RtADOC中,由射影定理可得：。员=DE-CE,0A2=DE-CE.

6.三角形内接正方形

如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点且四边形DEFG是正方形.

A

结论：2+A=59为内接正方形边长）

BCAHa

证明•竺=吧空=”

力•AHBHfAHCH1

BD_CG_BD+CG_BC-d_】d

BH~CH~BH+CH~BC~BC'

d.d

一AH=1---B--C，

1,11

-B-C--1--A--H=1d

引例5:如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC±.如果

BC=4,AABC的面积是6,那么这个正方形的边长是_________

解析：过点A作AHLBC交BC于点H,

则SABC=\BC-AH=6,解得AH=3.

正方形边长为碧

如图，AB〃CD〃EF,记AB=a,CD=b,EF=c.

rRF

EFCDtBEFBCD—

bBD

•，Jb-DB丁DB-DB-

1.11

-aF-b=c

8黄金分割

⑴黄金分割点：如图，点C在线段AB上,若满足笔=祭则点C称为线段AB的黄金分割点.

r'ff

(2)黄金分割比:(=冷空

(3)黄金三角形

(36°,72°,72°)一"思=叵11；

4c(腰)2

(108。,36°>36。)一驾驾=包.

EF阔2

AA。

B人72。721c£谷。3>X尸

弓1例6:如图，ABC中，AB=AC=1,BC=-尸,在AC边上截取AD=BC,连接BD.

(1)通过计算，判断AD?与ACCD的大小关系：

(2)求/ABD的度数.

A

2

解析：(1)4。2=(专1)=亨，

CD=AC-AD=1-^=^,AC=1,

.：AC-CD=^).：AD^=AC.CD.

££_3-遮2_2遮-2_乃_1

2XV5-1-4-2，

BC_V5-1.CD_BC

AC~2'"BC一AC)

XZBCD=ZACB,.•.△BCD^AACB,

/.ZBDC=ZABC=ZACB,ZCBD=ZBAC,

；.BD=BC=AD,设/C=a,贝！］NABC=NBDC=(x,

NA+NABD=a,NA=a/2,

a

：•—Fa+a=180°,

2

a=72乙ABD=2=36°,

，2

即/ABD的度数是36。.

(4)黄金分割与正方形

如图，在正方形ABCD中，E是AD边中点F在AB边上且CF平分NBCE,则点F是线段AB的黄金分

割点.

证明：延长CF交DA延长线于G点,

贝!|NG=NBCF=/ECF,；.EG=EC,

设边长AD=2m,贝！|AE=DE=m,EG=EC=V5m,

.\AG=(V5-l)m,VAAFG^ABFC,

,AF_AG_Vs-l日nAF_V5-1

,,BF-BC-2'BF~2

...点F是线段AB的黄金分割点.

引例7:如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处,

折痕为AF.若AD=4,贝UCF的长为.

ATjxr-BF1CF3—V5

角牟析：•・•一=---,・•.一二----,

BC2BC2

；BC=AD=4,.\CF=6-2V5

(本题在第3章第1节出现过，另可用勾股定理求解.)

真题演练

1.如图，在4ABC中，D是AB上的一点,NACD=NB,AC=2,AB=4,则AD=.

2.如图，BC〃DE,且BC<DE,AD=BC=4,AB+DE=10,贝！］殁的值为.

3.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上，且AQ=AD,连接DQ并延长，与边BC交于点

P,则线段AP=.

4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD,点E在AC边上，过点E作EF〃BC,交AD于点F,过点E

作EG〃AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是()

.AEEFEF_EG

A.—=—

ECCDCD-AB

rAF_BGCG_AF

'FD-GCBC-AD

5.如图，在RtAABC中,ZACB=90°,AC=3,BCM,CD±AB,垂足为D,E为BC的中点，AE与CD交于点

F,贝UDF的长为.

6.如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE=DF,BF交DE于点G.延长BF交CD的延长线于H,

若需=2厕笨的值为()

Ur£>(J

7.如图.在矩形ABCD中，E、F分别为边AB、AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M,N.已知AB=4,BC

=6,则MN的长为.

8.如图,在RtAABC中,/ACB=9(T,AB=4,点D、E分另！］在边AB、AC±,且DB=2AD,AE=3EC,连接BE、CD,

相交于点O,贝必ABO面积最大值为.

9.在RtAABC中,ZC=90°,AD平分/CAB,BE平分/ABC,AD、BE相交于点F,且AF=4,EF=VX则A

C=.

10.如图，矩形ABCD中.E为边AB上一点，将4ADE沿DE折叠.使点A的对应点F恰好落在边BC

上，连接AF交DE于点N,连接BN.若BF-AD=15,tanABNF=冬则矩形ABCD的面积为.

11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC±,ZAED=ZB,射线AG分别交线段DE、BC于点F、G,

AC-CG"

(1)求证：△ADF^AACG;

⑵若靠与求」的值•

12.如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD+CD.

⑴过A作AE〃DC交BD于点E,求证：AE=BE;

(2)图2,将^ABD沿AB翻折得到4ABD1.

①求证：BD/CD;

②若ADWBC,求证:(CD2=20D•BD.

13.【初步尝试】

⑴如图1.在三角形纸片ABC中2ACB=90U的ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM

的数量关系为；

【思考说理】

(2)如图2.在三角形纸片ABC^,AC=BC=6,AB=10,WAABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN,求器的

值；

【拓展延伸】

(3)如图3,在三角形纸片ABC中，AB=9,BC=6,/ACB=2/A,将△ABC沿过顶点C的直线折叠,使点B落在边

AC上的点B，处，折痕为CM.

①求线段AC的长；

②若点O是边AC的中点，点P为线段OB上的一个动点，将小APM沿PM折叠得到4APM,点A的对

应点为点A',A'M与CP交于点F,求黑的取值范围.

c

图1图2

14.小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.

(1)温故如图1,在AABC中.AD±BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P、N分别在AB、

AC上，若BC=a,AD=h,求正方形PQMN的边长(用a、h表示).

(2)操作：如何画出这个正方形PQMN呢？

如图2，小波画出了图1的^ABC,然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取

一点P,画正方形PQ'MN,使点Q；M，在BC边上，点N，在△ABC内，然后连结BN1,并延长交AC于点N,画NM

LBC于点M,NP，NM交AB于点P,PQ，BC于点Q,得到四边形PQMN.

(3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形.

⑷拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM,连结EQ、EM(如图3),当NQ

EM=90。时，求“波利亚线”BN的长(用a,h表示).

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.

15.我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果=笫那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们

的比值为早.

(1)在图①中，若AC=20cm,则AB的长为cm;

(2)如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB

折叠到CE上.点B对应点H,得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；

⑶如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AE>DE),连接BE作CFXBE,

交AB于点F,延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分

割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

第1讲常见相似模型

1.解析：由题意可得△ADCs△ACB,AC2=AD-AB,代入得AD=1.

2.解析：设AB=x,则DE=10-x,易证△ABC-AADE,/.黑=如代入得：;=段解得:n=2*=8(舍),

篝=枭=；2,.潦的值为2.

V17

3.解析：VAD=3,CD=4,；.AC=5,：AQ=AD=3,；.CQ=2,易证△ADQsZ\CPQ,，CP=CQ=2,；.BP=l,.•.AP=

Vl2+42=V17,.

4•解析：嗯噌嘴二选C

5.空解析:过点F作FH_LAC交AC于点H,设FH=xJiHJCH=%,；.AH=3-与，易证△AHFs^ACE,；.FHC

8533

E=AHC,代入得：：子,解得：%=%..工又CD=£,；.DF=£,.・.DF的长为弟

解析：出昨"嚼吟吟=三，即HF=lHB---AE=DF,.：AE=lAB,BE=lAB,：,詈=如

DGHSAEGB,噎=詈=I，即BG=泗,案=看故选B.

解析：：AD=BC=6,F是AD边中点，，AF=3,又AB=4,

；.BF=5.延长CE与DA延长线交于点即以AEP^ABEC,.\AP=BC=6,易证PMFCMB,^-=黑代入得：黑=

CBMBMB

-=BM=2,MF=3,延长BF与CD延长线交于点Q,则4FDQAFAB,DQ=AB=4,易证NDQ〜NEB,；.

62

NQDQ4cnr2cL10»r5_,-.「5411.[/、i4

一=—=-,••.BN=-BF=—,NF=-…MNr=5-2—=-，故MNT的长为-

BNBE233333「3

Q

解析:过点D作DF〃AC交BE于点F,啜=先I，又落I，噌=导揶。。=|。。,

弧，当△ABC是等腰直角三角形时，面积最大，△ABC面积最大值是4一二AABO面积最大值是

9.解析：在RtAABC中，ZBAC+ZABC=90°,

•••|(ZBXC+N4BC)=45。，

即/BAF+NABF=/AFE=45。,连接CF,则CF平分NACB,.,.NACF=45。，.^.△AEFs△AFC,.^.AF2=AE-AC.

过点E作EH_LAD交AD于点H,则AEHF是等腰直角三角形，：EF=；.EH=FH=1,AH=3,；.AE=V10

“AF2168V10“8V10

••・AC=——=-f==-----,R即nAC=-----.

AEV105115

解析：：DA=DF,；./DAF=/DFA,又/DAF=NAFB,易证△DAFs/XNBF,；.NADF=/BNF,；.tan/ADF=

V52tan/CFD=亨,设CF=2a厕DC=V5a,DF=DA=3a,BF=a,AF=V6a,VADAF^ANBF,.,.BF=NB/AD,

•••AF-BN=AD-NB=15,.-.V6a考a=15,解得:a=底：.BC=3低CD=5,.,.矩形ABCD面积为15V5.

11.解析：⑴VZAED=ZB,ZDAE=ZCAB,

/.ADAE^ACAB,AZADE=ZACB,又与=篝

.".△ADF^AACG.

⑵「2。凡4CG,.•潦=竿=>•滞=1即热勺值为1.

12.解析：⑴VAE^DC,ZOAE=ZOCD,ZOEA=ZODC,XOA=OC,.,.AOAE^AOCD,.t.AE=CD,OE=OD,

VOB=OD+CD,.\OB=OE+AE,；.AE=BE.

⑵①过点A作AM//CD交BD于点M,由⑴得AM=BM,.\ZBAM=ZABM,XZABM=ZABD',ZBAM=Z

ABD',ABD'//AM,；.BD'〃CD.

②连接CM,则四边形AMCD是平行四边形，

ZCMD=ZADM,

VAD'/ZBC,.,.ZD'+ZD'BC=180°,VD'B//DC,

：.ZD'BC+ZBCD=180°,.'.ZD'=ZBCD,

ZCMD=ZADM=ZD'=ZBCD,ADCM^ADBC,

黑=器，即CD2=DM-DB又DM=2OD,

•••CD2=20D-BD.

13.解析：(1)AM=BM;

⑵过点C作CHLAB交AB于点H,则AH=BH=5,

cosZB=累=I，；♦窈=*将BN=3代入得：BM=

BC6BM65

1ft22AM221A

(3)@VZACB=2ZA,且CM平分NACB,

/.ZBCM=ZA,/.ABCM^ABAC,

/.BC2=BMBA,BM=4,CM=AM=5,'ZCMC=BMC=-AC=—,即线段AC的长为竺

622

®VZA'=ZA=ZACM,.•.△A'FP^ACFM,

•••第=震，当点P与点B重合时，此时AP=AP取到最小值|春，取到