2025年中考数学一轮复习：分式方程及应用练习（含解析）

第二章方程与不等式

第06讲分式方程及应用

模拟基础练金。题型。1分式方程的定义

（2024•广西贺州•三模）

1.下列式子是分式方程的是（）

14x

B.-----1-----

3x-l3x+l

3—x-x-l

，.-----------1--------=1D.------+2=——

2x-l2x+l43

（2021.河南信阳.模拟预测）

2.下列方程：①工+l=x②等』。③[+白=3；管+冷山为已知数）,

X

其中分式方程有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

依题型02解分式方程

（2024.湖南岳阳.模拟预测）

3.分式方程11-上==Y三的解为

（2024•青海西宁•三模）

4.解分式方程：式二2+1=工.

x-l1-x

（2024・陕西商洛•模拟预测）

（2024•河北邯郸•模拟预测）

6.根据下表中的数据，写出。的值为,人的值为.

X结果

2m

代数式

2x-l3b

2025年

x-l

a2

X+1

依题型03以注重过程性学习的形式考查解分式方程

（2024•浙江杭州•模拟预测）

7.小王同学解分式方程=+铝=3的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤

3%-62-x

的序号，并写出正确的解答过程.

解：去分母得：X+1-3（2元+1）=3①

去括号得：x+1—6x+1=3②

移项得：x-6x=3-l-l③

合并同类项得：-5.r=l@

系数化为1得：x=⑤

=是原分式方程的解⑥

（2024.山东滨州.模拟预测）

8.（1）先化简，再求值：（。-3。）（。+3加+（〃-3b其中“=-3,6=g.

（2）小丁和小迪分别解方程--1=1过程如下：

x-22-x

小丁：小迪：

解：去分母，得x-（x-3）=x-2解：去分母，得x+（x-3）=l

去括号，得%-％+3=%-2去括号，得x+x+3=l

合并同类项，得3=x-2合并同类项，得2x-3=l

解得，x=5角牟得，x=2

；•原方程的解是x=5经检验*=2是方程的增根，原方程无解.

你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打W“，如果错误，请写出正确的解答过程

（2024•宁夏银川•二模）

9.以下是小明解方程--2的过程，请认真阅读，并完成相应任务.

尤一22-x

解：去分母：x+l=-l-2（x-2）.................第一步.

去括号：x+l=—1—2x—4...............,第—■步

移项，合并同类项得：3x=-6.................第三步

系数化为1,得：%=-2.................第四步

检验：当x=-2时，x-2=-4w0,

所以：x=-2是原分式方程的解.

⑴填空：

①以上解题过程中，第一步去分母的依据」

②第一步开始出现错误，这一步错误的原因是」

（2）请你写出此方程的正确求解过程.

（2024・山西忻州•三模）

10.(1)|-9|x|-|j一般+0+(；)+(-1)°.

（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.

解：去分母，得3=l+3x,...................................................................................第一步

移项，得3x=l-3,................................................................................................第二步

合并同类项，得3x=-2,......................................................................................第三步

2

系数化为1,得工=一4..........................................................................................第四步

211

检验：当x=_§时，x—3=0.

2

所以是原方程的根.

任务一：以上解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是一

任务二：该方程的正确解是

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项

给其他同学提一条建议.

"题型04与解分式方程有关的新定义问题

（2024•黑龙江哈尔滨.一模）

2025年

11.对于实数a、b,定义一种新运算"®"为：a®b=—^,这里等式右边是实数运算.例

a-b

119

如：103=—^=--.则方程尤区（-2）=—T的解是（）

1—3o%—47

A.x=5B.x=6C.x=7D.无解

（2022•河南平顶山•二模）

1143

12.定义运算机※〃=1+——，如：52=1+丁二二?.则方程%※（％+1）==的解为（）

m+n1+232

A.x=lB.x=—lC.x=--D.x=—

22

（2024.湖北武汉.模拟预测）

13.定义两种新运算“△”和“※二其运算规则为。力=巴*,。※匕="与，若％1=冰2,

a+ba-2b

则工=.

（2023•广东深圳•二模）

14.对于实数a,b,定义一种新运算“夕为：。仍=」广，例如：1。2=」不，贝1|

a+b1+2

通（-2）=---2的解是.

（21-22八年级下•江苏扬州•期中）

15.对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个

方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.

?r+14

（1）判断一元一次方程3—2（1—x）=4尤与分式方程「-1=7—是否是“相似方程”，并说

2x-l4x-1

明理由；

（2）已知关于x,y的二元一次方程广皿+6与产x+4机是“相伴方程”，求正整数m的值.

依题型05与解分式方程有关的跨学科问题

16.化学小组欲将100g浓度为98%的酒精溶液稀释为75%的酒精溶液.设需要加水花，根

据题意可列方程为.

75%

酒精

17.如图，把与、4两个电阻并联起来，线路A3上的电流为/,电压为U,总电阻为尺总，

111

则。=/R总，其中，%,为，R总满足关系式：万-二丁+济.当4=1。，g=30,/=1.6时,

八总K1A2

求u的值.

I/

•__>-----—>------

A-1=1-B

凡

18.科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质.现

将甲、乙两种密度分别为。，。乙的液体混合（。甲<。乙），研究混合物的密度

（物体的密度=■!!）,假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体

的混合溶液密度为8,等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为2.

⑴请用含用，。乙式子表示8；

（2）比较门，外的大小，并通过运算说明理由：

（3）现有密度为1.2g/cm3的盐水600g,加适量的水（密度为l.Og/cn?）进行稀释，问：需要

加水多少g,才能使密度为l.lg/cn?的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？

（2024・江苏无锡•二模）

19.在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满

足A=K+4；如图②，在并联电路中，总电阻R满足1=5+=-.

Ki\11\?

2025年

(2)如图④，已知凡为定值电阻，现有两个电阻&和4(«＜&)，请问如何摆放«和&的

位置，能够使得总电阻最小？(在图中填写并证明)

(3)如图⑤，现有三个电阻飞、&和々(N＜用＜%)，请问如何摆放这三个电阻，能够使得

总电阻最小？(在图中填写，无需证明)

(4)如图⑥，已知凡为定值电阻，现有四个电阻4、4、尺3和6(鸟＜鸟＜鸟＜凡)，请问

如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小？(在图中填写，无需证明)

20.马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：

甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为匕，下坡速度

为匕，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得

2V.V1If11)

出平均速度为"=会之9.聪明的马超对公式进行变形得到-=彳一+一，他马上联想到数

匕+%V2(匕v2J

111111(1n

学中也有类似变形，例如==7、=：-1左=彳£-£，通过查阅资料知道了这一恒等

o2x323八3

变形过程在数学中叫做裂项.请你利用上述方法，解决以下问题:

1111

⑴计算:—+-+一H------=

261220

1

(2)解方程:--7------7=2.

x(x+l)

1111

⑶若分式方程五一=需有增根，求机的值.

x(x+2)(x+2)(x+4)

一题型06由分式方程的解求参数

（2024•广东•模拟预测）

4k

21.已知%=5是分式方程二；二1-4的解，则左的值为（）

x+22+x

A.5B.4C.3D.2

（2024.四川成都.模拟预测）

22.已知尤=1是分式方x程—3=-a二=-1的解，则实数。的值为_____.

x-22—x

（2024•浙江嘉兴•模拟预测）

23.关于x的方程2三+412=九字+m（的根满足3-m）（x+2m）=0,则根的值是_______.

%+22-xx-4

依题型。7由分式方程有解、无解或有增根求参数

（2024•贵州黔东南•一模）

24.若关于x的分式方程V+l=-二无解，贝I］。的值为（）

x-1X—1

A.-1B.0C.1D.-2

（2024.湖南•模拟预测）

1—kx1

25.若关于x的分式方程y=——有增根，则上的值为_____.

x—22-x

（2024.四川绵阳•二模）

M7

26.若关于x的分式方程「=1有解，且关于y的方程V-2y+根=0有实数根，则根的范

3-x

围是.

（2024•辽宁丹东•模拟预测）

27.已知关于x的分式方程有解，则a的取值范围是.

依题型08由分式方程解的取值范围求参数

（2024・山东日照•三模）

28.若关于x的分式方程三7-3=一的解为正数，则m的取值范围是（）

x—11-x

A.m＜一2且加力一3B.相＞-2且加力3

2025年

C.加>-3且加力-2D.加>-3且〃件2

（2024•安徽・模拟预测）

29.关于x的方程」--3=广的解为非负数，则优的取值范围是__.

x-11-x

（2024・四川成都・二模）

30.若关于无的分式方程3=3+2的解为负数，则，〃的取值范围是______.

x—11-x

（2024•江苏扬州・模拟预测）

Yrn

31.已知关于x的方程一^=2--有一个正数解，则根的取值范围________

X-33-x

依题型09分式方程与不等式组综合

（2024・湖南长沙•模拟预测）

2x—a&—1

32.若关于尤的不等式组x+12x，有且只有两个偶数解，且关于>的分式方程

-------------<1

I23

"斗=2-产有解，则所有满足条件的整数。的和是（）

y-22-y

A.15B.10C.5D.3

（2024.重庆渝北.模拟预测）

x_14-x

---F2<-------

33.若关于x的不等式组22有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程

5（x—m）>-4x+5

y-I-m2m

-7=3-的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为_______.

y-22-y

（2024・四川成都•二模）

34.现从-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数中任意选取一个数作为。的值，贝I]

[4x+l>3（x+l）

使关于尤的分式方程2匚三=3的解是负数，且关于x的不等式组x+1无解的概

x+12x--------<a

I2

率为.

（2024•山东潍坊•模拟预测）

35.（1）计算：Qj一（万—2024）°+若tan30°-卜2|；

3—x+1卜+9W2Q+2）

（2）关于尤的分式方程士一+一=1的解为正数,且关于y的不等式组2y-a,的

x-33-x-........>1

3

解集为y巳5,求所有满足条件的整数a的值之和.

一题型10列分式方程

（2024・云南昆明•模拟预测）

36.新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章.小杰家到大理

约240km,从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了lh,

设原来小杰自驾去大理的平均速度是xkm/h,根据题意，下列方程正确的是（）

2402401240240

A.---二1B.=1

2.5xXXl.5x

2402401240240

C.------十D.+-=--1---

2.5xXX1.5%

（2024.湖南长沙.模拟预测）

37.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一

份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的

时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，

则可列方程为（)

49000900900900c

A.------x2=-------B.

x+1x-3x+1x-3

―900900900c900

C.——=-------x2D.

x-1x+3x-1x+3

（2024.广东深圳.模拟预测）

38.2023年3月底，G107国道深圳宝安段（下称“107国道”）正式启动先行段的市政化改造,

它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，

被视为“鹏城一翼”“湾区动轴它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽

量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%,结果提

前5天完成这一任务，设原计划每天整改x千米，则下列方程正确的是（）

31.431.4431.431.4

A.---------=5B.=5

(l+20%)xXX(l+20%)x

31.431.4431.431.4

C.-----二5D.=5

。-20%)无XX(l-20%)x

（2024・广东深圳•三模）

39.一次夏令营活动中，班长购买了甲、乙两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙

种矿泉水共花费60元，甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，乙种矿泉水价格是甲种矿泉水价

2025年

格的L5倍.若设甲种矿泉水的价格为x元，根据题意可列方程为（）

A.里-丝2。B,四-里=2。

1.5xxx1.5%

―6080“-6080“

C.-------------=20D.-------------=20

x1.5x1.5xx

（2024.贵州黔南.模拟预测）

40.近年来，国家提倡节能减排，为响应号召，很多家庭都购入新能源汽车，2024年春节，

小明一家驾驶新购买的新能源汽车去相距1004km的海滨城市旅游，原计划以Qkm/h的速度

行驶，后因要赶上新春烟花会而提前到达，实际行驶速度为原计划速度的L3倍，结果比原

计划提前了3h到达，则可列方程为（）

10041004。10041004。

A.---------------=3B.------+-------=3

a1.3aa1.3a

-1004100401004100410

C.---------------=3D.-------=---------1-1.3

1.3aa3aa

（2024.河北秦皇岛•一模）

41.秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活.如图1和2,欣欣通

过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究:将两把尺子有刻度的一侧紧贴,

则由两幅图可得方程（）

0直24

1尺A直尺A

1

0直尺B320直尺B

图1图2

24_924」—10

B.

32~x-1032-9

24_924_x+10

D.

32-x+1032~9

g题型11利用分式方程解决实际问题

（2024.广东深圳.模拟预测）

42.综合与实践.

如何分配工作，使公司支付的总工资最少

壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历

素史也非常悠久.某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将

材任务分配给甲、乙两个生产部门去完成.

1甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单

a独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天.

素

材经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天.

2

素

材由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半.

3

问题解决

任

务确定工作效率求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；

1

①若设甲部门工作加天，则甲部门完成壮锦手提包_____个，乙

任

部门工作时间可表示为_____天；

务拟订设计方案

②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该

2

公司支付的总工资最少？最少需要多少元？

(2024.湖南衡阳.模拟预测)

43.某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆.该店第一次用1000元购进这款书

签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一

次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍.

(1)求该店两次购进这款书签各多少个？

4

(2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的!■后，由于

天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次

2025年

购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少

元？

（2024•江苏扬州・模拟预测）

44.甲、乙两个工程队铺设一条公路，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设6km,甲工程

队铺设60km所用的时间与乙工程队铺设90km所用的时间相同，求甲、乙两个工程队每天

各铺设多少km?

（2024•山西•模拟预测）

45.2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取

得圆满成功.某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的

进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个.

⑴“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？

（2）该飞箭航模店计划购进两种模型共100个,且每个“神舟”模型的售价为35元,每个“天宫”

模型的售价为28元.设购进“神舟”模型。个，销售这批模型的利润为w元.若购进“神舟”

模型的数量不超过“天宫”模型数量的：，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获

得最大利润？最大利润是多少？

依题型12分式方程的应用与函数的综合运用

（2023•江苏扬州•模拟预测）

46.为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点

A（办％）、以加+1,%）在函数的图象上，那么我们把仁%一4称为该函数的“单位铅直高”.例

如：函数y=3x+2,当工=机时，弭=3机+2；当x=7"+l时，叼=3根+5,%-々=3,则

函数y=3尤+2"单位铅直高”/=3.

⑴正比例函数＞=-2尤的“单位铅直高"t=；

⑵若点尸（九4），。（，力+1,%）在反比例函数>=-式的图象上，当这个反比例函数的“单位

X

铅直高”/=1,求机的值；

（3）已知二次函数y=-5x2（x<0）,求这个二次函数的“单位铅直高”f的最小值；

2

（4）求反比例函数y=-的"单位铅直高”f的最大值.

x

（2022・江苏无锡•二模）

47.如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯中.现

沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注满.大水杯中水的高度y（厘米）与注水

时间x（秒）之间的函数关系如图所示.根据图象，解答下列问题：

（1）图中字母。的值为」

（2）若小水杯的底面积为30平方厘米，求大水杯的底面积.

（2020•河北唐山•三模）

48.石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑

道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B

出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽

略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相

遇、在端点处相遇这两种.

【观察】

①观察图1,若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位

长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度.

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他

们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度.

【发现】

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第

二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x

2025年

的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP,不包括点O,如图2所示）

①a=；

②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象.

【拓展】

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第

三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次

迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇

时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是.（直接写出结果）

依题型13以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用

（2024•云南昭通•二模）

49.2024年前两个月消费市场持续恢复向好，消费呈现平稳增长态势,服务零售额增长12.3%,

其中餐饮收入增长12.5%.现有A、B两家餐饮店，3餐饮店的人均消费金额比A餐饮店多10

元，在A餐饮店总消费金额为500元的人数与在B餐饮店总消费金额为600元的人数相同，

分别求43两家餐饮店的人均消费金额.

（2024・广东珠海•一模）

50.2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家

喜欢.某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该

“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%,同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一

次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？

（23-24八年级下•四川成都.期中）

51.恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画

龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中

有19幅作品获得一等奖.某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画“，并

全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为

18000元，且采购数量是第一次采购的4倍.

国

(1)该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？

(2)该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出,但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠

售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后

利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？

(2024•广东佛山•三模)

52.据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆.为

顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电

基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号.已知A型慢充桩

比3型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充

桩的数量相等.

(1)问A,3两种型号充电桩的单价各是多少？

(2)社区计划共建设50个A,8型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项

目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？

"题型14以数学文化为背景考查分式方程的实际应用

(2020・吉林长春•三模)

53.意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中提出了大

量的分式方程问题.有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若

加上6人，再平分40元，则第二次每人所得与第一次相同.求第一次分钱的人数.请根据

题中的叙述，求出第一次分钱的人数.

(2024•山西晋中•三模)

54.元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三

丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”

其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别全部出售后

2025年

均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文.问两种布每尺各多少钱？若设绫布

有x尺，则下列方程正确的为（）

896896896896

A.--------1--------------B.--------1------------=120

x120-xx30-x

C,肥+些=12。896896

D.--------1--------------

x3一1x120-x

（22-23九年级上•云南昆明•期中）

55.《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买

椽多少”问题.“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大

意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿

一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装

于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）

6210c6210c〃“6210“八6210

A.------=3B.------=3C.3（1）=------D.3（1）=------

xx-1X''x-1

（2024•山西吕梁•三模）

56.请阅读下面材料，并完成相应的任务.用“几何代数法”解分式方程.

《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题

的重要依据.在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用

了这种方法.例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程.

例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再

加上6人，平分12。枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同.求第一次分硬币的人数.设

第一次分硬币的人数为x人，则可列方程为？on=三120.

xx+6

解：构造如图1所示的图形，BC=x,CE=6,矩形A3C£＞的面积为90,矩形跖的面

90120

积为120,则。。=一，EF=-显然，CD=EF.

xx+6

S矩形ABCD_BCCDBC

根据图形可知

S矩形CEFDCE-CDCE,

90x

所以=（将分式方程转化成了整式方程）

120—90o

解得x=18.

答：第一次分硬币的人数为18人.

(1)如图2,AB=x,BC=2,矩形ABDE和矩形ACGH的面积均为60,下列代数式可以

表示边DF的是.(多选)

,60r60-6060r120

A.—B.------C.-------------D./

xx+2xx+2x(x+2)

⑵如图3,AB=xfBC=2,矩形ACDE的面积为60,矩形的面积为20,77=5,

则可列方程为.

2025年

21

（3）请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程--=—；的解.

x+3X—1

重难创新练

（2024・四川达州・中考真题）

57.如图，在中，NC=90。.点。在线段上，NA4D=45。.若AC=4,CD=1,

则VABC的面积是

（2024.广西・中考真题）

58.综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留

洗衣液浓度达到洗衣目标.

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为02%,每次拧干后校服上都残留0.5kg水.

浓度关系式：d后其中♦前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w

为单次漂洗所加清水量（单位：kg）

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%

【动手操作】请按要求完成下列任务：

（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.

（2024・河北•中考真题）

59.某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测

试的原始成绩x（分）换算为报告成绩〉（分）.已知原始成绩满分150分，报告成绩满分

100分、换算规则如下：

当0«尤<〃时，y=-----；

P

当p<尤<150时，y=2。（*__£1+80.

150-p

（其中P是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）

公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格.

（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p=100,求甲、乙的报告成绩；

（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推

算P的值：

（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：

原始成绩（分）95100105110115120125130135140145150

人数1225810716201595

①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；

②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率.

（2023.江苏南京・中考真题）

60.如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A,B.无人机悬停在C

处,此时在A处测得C的仰角为36。52'无人机垂直上升5m悬停在。处,此时在8处测得D

的仰角为63。26',AB=10m,点A,B,C,。在同一平面内，A,3两点在CD的同侧.求

无人机在C处时离地面的高度.（参考数据：1^36°52'«0.75,tan63026,»2.00）

（2024・海南・中考真题）

61.分式方程一二=1的解是（）

x-2

A.x=3B.x=—3C.x=2D.x=—2

2025年

（2024・江苏无锡・中考真题）

62.分式方程上=—的解是（）

xx+1

A.x=lB.x=—2C.x=-D.x=2

2

（2024•山东•中考真题）

63.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件,

改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为

（）

A.200B.300C.400D.500

（2024・四川遂宁•中考真题）

64.分式方程2三=1m'的解为正数，则机的取值范围（）

x—1x-1

A.m>-3B.m〉一3且加。一2

C.m<3D.根<3且相。一2

（2023•黑龙江•中考真题）

65.已知关于尤的分式方程/三+1=—的解是非负数，则，"的取值范围是（）

x-22-x

A.m<2B.m^2C.加<2且机w—2D.机<2且机w—2

（2023・上海・中考真题）

66.在分式方程"+上=5中，设7=y,可得到关于y的整式方程为（）

尤~2x-l厂

A./+5^+5=0B.y2-5y+5=0C.y2+5y+l=0D.y2-5y+l=0

（2024.山东东营.中考真题）

67.水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1

日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的;•小丽家去年5月份的水费是28元，

而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量

少3m3.设该市去年居民用水价格为x元/n?,则可列分式方程为.

（2023・湖南永州•中考真题）

68.若关于x的分式方程一\-4=1（也为常数）有增根，则增根是____.

x-44-x

（2023・四川眉山・中考真题）

69.关于x的方程--l=j的解为非负数，则机的取值范围是.

（2024.四川雅安・中考真题）

70.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施

工对城市交通所造成的影响，实际施