2025年中考数学一轮复习：锐角三角函数

2025中考数学一轮复习一一锐角三角函数

锐角三角函数与网格三角形（共9小题）

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB,CD,EF,是正方形OPQR边上的线段，点”在其中某

条线段上，若射线与x轴正半轴的夹角为a,且sina;>cose,则点M所在的线段可以是（）

HGFEO

R已

\c

'B

__________

X

A.AB和CDB.AB和EFC.CD和G/fD.EF和GH

2.如图，在6x6的正方形网格中，AABC的顶点都在小正方形的顶点上，贝UsinN54c的值是（）

I-----1-T-I-----1~T-

343

A.1B.-C.-D.-

435

3.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A,B,。是网格线交点，贝lJsinNABC=（）

4.如图，AABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tanNABC=

5.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,。是网格线交点，贝iJsinA=

6.如图，A、B、C、。是正方形网格的格点，AB.CD交于点O,贝ItanNBQD的值为

7.如图，AABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosNACB的值为

8.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,。在格点上，以为直径的圆过C,。两点，则sinNBCD

的值为

9.如图所示，NMON是放置在正方形网格中的一个角，则tan/MON的值是

解三角形（共10小题）

4

10.如图，RfZXABC中，ZC=90°,点。在AC上，ZDBC^ZA,若AC=4,cosA=-,则83的长

5

度为

D

AB

3

11.如图AABC中，ZC=90°,点。在BC上,BD=6,AD=BC,cosZADC=~,则DC的长为_____

5

3

12.如图，在RtAABC^,ZC=90°,BC=6，tanA=—,求AC的长和cos5的值.

4

B

AC

13.已知：如图，在AABC中，ZC4B=120°,AB=4,AC=2,AD±BC,。是垂足.求AD的长.

AR

3

14.如图，在RtAABC中，ZC=90°,sinB二—,点。在3C边上，ZADC=45°DC=6,

5f

求N&4D的正切值.

A

二

BnC

15.如图，在四边形ABCD中，ZZMB=60°,AD:AB=2:3,BD=&,AB±BC.

(1)求sinZABD的值.

(2)若N3CD=120。，求CD的长.

D

Az------------------------

16.已知，AABC中，。是5。上的一点，且NZMC=30。，过点。作ED_L4）交AC于点£,AE=4,EC=2.

(1)求证：AD=CD\

(2)若tan3=3,求线段4B的长.

17.如图，在AABC中，ZACB=90°,。是的中点，DE±BC,CE11AD,若AC=2,tanZCAB=2^,

E

18.如图，在四边形ABCD中，ADLDC,对角线AC_LCB,若">=2,AC=245,cosB=-.试求

5

四边形ABCE＞的周长.

19.如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFG”，其中顶点E,F,G分别在他，BC,FD上.

(1)求证：AEBF^AFCD；

(2)连接£归，如果BC=12,BF=3,求tanNHDG的值.

三.锐角三角函数的实际应用(共11小题)

20.2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习.如图，滑雪轨道由4?,

3C两部分组成，AB,3C的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若脑与

水平面的夹角a为20。，BC与水平面的夹角6为45。，则他下降的高度为米.（参考数据:

sin20°«0.34）

21.如图，小军在A时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是60。，当他在3时测量该树的

影长时，日照的光线与地面的夹角是30。，若两次测得的影长之差DE为4,”，则树的高度为—m.（结

果精确到0.1,参考数据：血。1.414,A/3«1.732）

小物时

22.如图，5为地面上一点，测得点3到树底部C的距离为10米，在点3处放置一个1米高的测角仪3D,

并测得树顶A的仰角为53。，则树高4c约为米（精确到0.1米）.

（参考数据：cos53°«0.60,sin53°®0.80,tan53°«1.33）

23.如图，线段AB表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区

冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为27。，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为72。，要让冬季太阳

光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮

阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度8为x米，遮阳蓬的落空高度AC为y米，请你根据设计方

案计算x与y的值约为多少.

(sin27°«0.5,cos27°«0.9,tan27°«0.5,sin72°«1.0,cos72°®0.3,tan72°»3.0)

冬季夏季

24.在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度.如图，在点A处测得山

顶E的仰角为22.5。，向山的方向前进20相，在点C处测得山顶E的仰角为45。，已知观测点A,C到地

面的距离AB=L7〃z,CD=1.1m.求小山EG的高度（精确到0.1%）.（参考数据：立=1.414,

sin22.5°®0.384,cos22.5°»0.925,tan22.5°®0.414)

25.拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE,

BC的长度为60cm,两节可调节的拉杆长度相等，且与3C在同一条直线上.如图1,当拉杆伸出一节（A3）

时，AC与地面夹角NACG=53。；如图2,当拉杆伸出两节（4W、M2）时，AC与地面夹角ZACG=37。，

两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度.

26.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点尸恰好看到一颗星星，

此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4〃z,仰角为。；淇淇向前走了3根后到达点。，透过点P恰好看到月亮，

仰角为尸，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离AB=CD=1.6〃工，点P到2。的距离

PQ=26n,AC的延长线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一平面)

(1)求£的大小及tana的值；

(2)求CP的长及sinNAPC的值.

27.如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度小明先在竖起的标杆CD上的点N处，

测得A点的仰角a为45。；然后，小华适当调整位置，竖起标杆)，使点E,C,A在同一直线上，并

测得=工，FD=\Hm.已知CD=2.6相，EF=lm,F,D,3三点在同一水平直线上，AB,CD,

£F均垂直于引？，求避雷针顶端A的高度AB.

28.某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪,

如图1所示.

(1)如图2,在P点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,3两点均在视线PC上时，测

得视线与铅垂线所夹的锐角为。，设仰角为请直接用含0的代数式表示6.

(2)如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点3,C分别测

得气球A的仰角Z4BD为37。，NACD为45。，地面上点C,D在同一水平直线上，BC=20m,

求气球A离地面的高度AD.(参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°~0.75)

29.如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经测量，ZA£B=53°,

ZCED=45°,已知BE=60米，£D=20米.求两栋楼楼顶A,C之间的距离(参考数据：sin53°«-,

5

cos53°--,tan53°--,测角仪的高度忽略不计).

53

30.某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度.方法如下：如图，线段表示旗杆，已知A,

C,D三点在一条直线上，首先用1.5米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端3的仰角为65。，在点。处测

得旗杆顶端3的仰角为45。，其中，线段CE和DF均表示测角仪，然后测量出CD的距离为5.5米，连接EF

并延长交4?于点G.根据这些数据，请计算旗杆4?的长约为多少米.(sin65°«0.9,cos65°«0.4,

tan65°«2.1)

ACD

四.课后作业（共12小题）

31.在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,AB=5,贝UsinA的值是（）

32.如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点。、N和E、C,和EC相交于点尸，tanNCRV为

（）

A.1B.2C.A/3D.y/5

33.如图，AABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanNACB的值为（）

C

AB

A.-B.-C.-D.-

3532

■■■■।

……q：^r<,・・十・・：

[•/X**"S•••i

:力：!!!ID';

34.如图所示的网格是正方形网格，点A,O,B都在格点上，tanNAC出的值为___.---------------

?

35.如图，在RtAABC中，ZC=90%如果cosA=-,AB=6,那么AC的长为

3

CA

36.如图，AABC中，ZB=45°,tanC=-,ADLBC,垂足为。，AB=0求AC长.

2

A

BDC

于点。且tanNC4Z>=L,求BC的长.

37.如图，在AABC中，ZB=30°,AB^4,

2

38.如图，在RtAABC中，ZACB=9Q°,A£>平分N54c交3C边于点。，DELAB于点、E,若3£>=5,

4

cosB=—,求AC的长.

5

3

39.如图在RtAABC中，ZACB=90°,。是边AB的中点，BE_LCO,垂足为点E.已知AC=6,cos4=-.

(1)求线段CD的长；

(2)求cosND班;的值.

40.某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB,其

中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高15〃的测角仪8测得塔顶A的仰角为37。，

然后沿CB方向前行7m到达点P处，在P处测得塔顶A的仰角为45。.请根据他们的测量数据求塔高AB

的长度大约是多少.(参考数据：sin37°®-,cos37°®-,tan37°«-,sin53°«-,cos53°«-,tan53°«-.)

554553

B

图1图2

41.2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射.运载火箭从

发射点。处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站。处测得点A的仰角为30。，在地面雷达站3处测得

点A的仰角为45。.已知AC=20初2,。、B、C三点在同一条直线上，求5、。两个雷达站之间的距离

（结果精确到0.01初7,参考数据♦处L732）.

42.定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”

的一道新景观.为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动.他们利用无人机在点尸处

测得定都阁顶端A的俯角。为45。，定都阁底端B的俯角尸为60。，此时无人机到地面的垂直距离PC为

46有米，求定都阁的高AB.（结果保留根号）

BC

五.探究题（共4小题）

43.阅读下面材料：

小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在RtAABC中，ZC=90°,ZB=22.5°,则322.5。=

小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1）,他发现22.5。不是特殊角，但它是特殊角45。的一

半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题.于是小天尝试着在C3边上截取8=C4,

连接AD(如图2),通过构造有特殊角(45。)的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：tan22.5°=.

参考小天思考问题的方法，解决问题：

如图3,在等腰AABC中，AB=AC,ZA=30°,请借助AABC,构造出15。的角，并求出该角的正切值.

44.阅读下面材料：

小明观察一个由1x1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1,

他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中

找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值.

请回答：

(1)如图1,A,B,C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点。，作出线段CD,使得CDLAB；

(2)如图2,线段AB与CD交于点O.为了求出NAOD的正切值，小明在点阵中找到了点E,连接AE,

恰好满足AEJ_C。于点尸，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够

使问题得到解决.

请你帮小明计算：OC=；tanNAQD=；

解决问题：

如图3,计算：tanNAO£>=.

45.阅读下面的材料

小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：

如果a,/?都为锐角，且tana=g,tan〃=g,求a+力的度数.

小敏是这样解决问题的：如图1,把c,/?放在正方形网格中，使得=ZCBE=J3,且54,BC

在直线33的两侧，连接AC,可证得AABC是等腰三角形，因此可求得a+£=ZA5C=°

请参考小敏思考问题的方法解决问题：

如果夕，刀都为锐角，当tantz=4,tan£=；时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角a,画出

46.阅读下面材料：

小红遇到这样一个问题：如图1,在四边形ABCD中，ZA=ZC=90°,ZD=60°,AB=44i,BC=6,

求仞的长.

小红发现,延长至与DC相交于点E,通过构造RtAADE,经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）.

请回答：AD的长为.

参考小红思考问题的方法，解决问题：

如图3,在四边形ABCD中，tanA=-,ZB=ZC=135°,AB=9,CD=3,求3c和AD的长.

2

2025中考数学一轮复习一一锐角三角函数

参考答案与试题解析

题号123313233

答案DDCDBD

一.锐角三角函数与网格三角形（共9小题）

1.如图，在平面直角坐标系中，AB,CD,EF,G"是正方形OPQE边上的线段，点以在其中某

条线段上，若射线与％轴正半轴的夹角为a,且sina>cosa,则点M所在的线段可以是（）

>4

口HGFEO

R-----------质

!c

\B

________________j.4,

-OPx

A.AB和CDB.AB和臣C.CD和D.EF和GH

【分析】如图，当点M在线段AS上时，连接OM.根据正弦函数，余弦函数的定义判断sina,cos夕的

大小.当点M在EF上时，作于J.判断sina,cosa的大小即可解决问题.

【解答】解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM.

叶

nHGFEO

R---------------\D

!c

--------►

O-----------Px

PMOP

sina=------，coscr=------，OP>PM,

OMOM

/.sincz<coscr,

同法可证，点M在CD上时，sinavcoscr,

如图，当点A/在所上时，作M_LO尸于J.

sinCL------，coscc—------，OJvN1J，

OMOM

:.sma>cosa，

同法可证，点M在G//上时，sin<z>costz,

故选：D.

2.如图，在6x6的正方形网格中，A4BC的顶点都在小正方形的顶点上，贝UsinNS4c的值是()

【分析】可过点5作AC的垂线，构造出直角三角形即可解决问题.

【解答】解：过点3作AC的垂线，垂足为。，

令小正方形的边长为1,

则45=13?+42=5.

在RtAABD中，

3.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A,B,C是网格线交点，贝l]sin/ABC=()

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用勾股定理可以求得的的长，从而可以求得sinZ4BC的值.

【解答】解：作交2C的延长线于点。，如图所示,

由图可知，AD=3,BD=4,ZAE>B=90°,

AB=A/32+42=5,

./4AD3

sin//4RC=-----——,

AB5

故选：c.

4.如图，AABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tanNABC=-

一2一

【分析】根据正切：锐角A的对边。与邻边6的比叫做N4的正切，记作tanA,利用网格计算即可.

71

【解答】解：tanZ.ABC=—=—

42

故答案为：-.

2

5.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C是网格线交点，贝UsinA=上.

一2一

【分析】根据所给网格图，连接3C构造出直角三角形即可解决问题.

【解答】解：连接3C,

B

则=且

所以AABC是等腰直角三角形，

所以NA=45。，

所以sinA=sin45°=.

2

故答案为：上.

2

6.如图，A、B、。、。是正方形网格的格点，AB.CD交于点O,则tanN58的值为2

【分析】连接班＞,构造直角三角形即可解决问题.

【解答】解：连接BD,

・；BC//AD,

:.ZBCO=AADO,ZCBO=ZDAO.

在ABOC和AA。0中，

ZBCO=ZADO

<BC=AD

ZCBO=ZDAO

.\ABOC=AAOD,

CO=DO.

令图中小正方形的对角线长为2a,

则

2

在RtABOD中，

tanZ.BOD==-^―=2.

0D1

故答案为：2.

7.如图，AABC的顶点都在正方形网格的格点上，贝UcosNACB的值为—

一5

【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

【解答】解：取格点H,连接5”,

CH=A/22+22=2A/2,=BC=4f+3。=回，

:.CH2+BH2=10,BC2=10,

CH2+BH-=BC-,

是直角三角形，

.•.cosZA3里=第二"

BCM5

故答案为：巫.

5

8.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,。在格点上，以AB为直径的圆过。，。两点，则sin"CD

的值为_|

【分析】连接4）、BD,根据圆周角定理得到2403=90。，ZBCD=ZBAD,根据勾股定理求出AB,

根据正弦的定义解答即可.

【解答】解：连接A9、BD,

•.•AB为圆的直径，

:.ZADB^90°,

AB=7AD2+BD2=742+32=5,

.…八BD3

sin/BAD=——,

AB5

由圆周角定理得：ZBCD=ZBAD,

3

/.sin/BCD=—,

9.如图所示，NMON是放置在正方形网格中的一个角，则tanNMON的值是1

【分析】由勾股定理的逆定理可证AABO是等腰直角三角形，即可求解.

【解答】解：如图，连接

vAB2=l2+32=10,AO2=l2+32=10,BO2=22+42=20,

.-.AB2+AO2=BO2,

.•.AABO是等腰直角三角形，

:.ZAOB=45°,

.-.tanZMON=l,

故答案为1.

二.解三角形（共10小题）

4

10.如图，中，ZC=90°,点。在AC上，ZDBC=ZA,若AC=4,cosA=—,则80的长

度为--

—4-

【分析】在△口（?中，由锐角三角函数求得Afi,再由勾股定理求得3C,最后在△38中由锐角三角函

数求得BD.

【解答】解：•.・NC=90。，AC=4,cosA=-,

5

AB=5,

BC=y/AB2-AC2=V52-42=3,

\ZDBC=ZA.

BC4

cosZ.DBC=cosZA==—,

BD5

,.BD=3x-=—,

44

故答案为：—.

4

3

11.如图AABC中，NC=90。，点。在BC上，BD=6,AD=BC,cosZADC=-,则DC的长为9.

RDC

【分析】根据锐角三角函数定义和直角三角形边角关系，列方程解决问题.

3

【解答】解：・.・cosNADC=—,设CD=3%，贝!)AD=5x.

5

AD=BC=5x，

BD=BC—CD=5x-3x=6,

即x=3.

..DC=3x=9.

3

12.如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=6,tanA=—,求AC的长和cosB的值.

4

【分析】根据锐角三角函数的定义可得生，再把。=

tanA=56,tanA代入即可算出AC的值，根据

AC4

勾股定理求出AB,再根据cosB=生求解即可.

AB

【解答】解：•.•NC=90。，

tanA*

AC

3

BC=6,tanA=—

4

6_3

AC~4

...AC=8,

:.AB=ylAC2+BC2=10,

AD±BC,。是垂足.求AD的长.

AR

【分析】过点C作，4?边上的高CE,在RQCAE中，利用三角函数求得CE的长，从而便得到了破

的长，再根据三角函数便可求得也的长.

【解答】解：如图，过点C作4?边上的高CE,

则Z.CAE=180°-120°=60°,

在RtAACE中，NCE4=90。，

CFAF

sinZCAE=——，cosZCAE=——，

ACAC

CE=AC•sin60°=2x3=6

2

AE=AC.cos60。=2xL1

2

BE=AB+AE=5；

在RtACBE中，由勾股定理得，BC=2中,

・.・AD±BC,

AD

sinZB=—

BCAB

AB・CE2后

BC-7

3

14.如图，在RtAABC中，ZC=90°,sinB=-,点。在3c边上，ZADC=45°,DC=6,

5

求的正切值.

【分析】过。点作DELAB，交AB于E点.把44。构造到了直角三角形中，要求的正切值，只

需求得DE,AE的长.根据等腰直角三角形的性质可以求得AC,AD的长，在直角三角形ABC中，

根据sinS=3,可以求得4?的长，根据勾股定理进一步求得3c的长，从而求得双）的长，在直角三

5

角形中，根据sinB=3，可以进一步求得DE的长，根据勾股定理求得3E的长，即可进行计算.

5

【解答】解：过D点作交AB于E点,

在RtAADC中，ZC=90°,ZADC=45°,DC=6,

/.Zn4C=45°,

AC=DC=6,

在RtAABC中，ZC=90°,

・n3

sinB=—，

5

AC_3

..----—―,

AB5

设AC=3左，则AB=5左，

3k=6f

:.k=2，

「.AB=5左=10,

根据勾股定理，得5C=8,

:.BD=BC-DC=8-6=2(3分)

3

在RtABDE中，NEED=90。，sinB=-,

5

DEDE3DE1

~BD~r~~5

根据勾股定理，得BE=0,

5

:.AE=AB-BE=10--=—,

15.如图，在四边形ABCD中，ZDAB=60°,AD:AB=2:3,BD=y/l,ABVBC.

(1)求sinNABD的值.

(2)若N3CD=120。，求CD的长.

【分析】⑴作DE_LAB于E，CFLDE于F.设=在RtABDE中，利用勾股定理构建方程求出a,

即可解决问题；

(2)作CF_LZ)E于尸.首先证明四边形CFEB是矩形，解直角三角形ACEB即可解决问题;

【解答】解：(1)作DE_LAB于E,设AE=a.

在RtAADE中，•.•ZA=60。，AE=a,

:.ZADE^30°,

AD-2a,DE=s/3a,

AD:AB=2:3J

AB=3a,EB=2a,

在RtADEB中，(岛y+(2a)2=(夕)?,

解得a=l>

:.DE=s/3,BE=2,

DEy/3

sinZABD=法一乃一〒

(2)CF_LDE于F.

vCB±AB,CFLDE,

:.NCFE=ZFEB=NCBE=90。,

厂.四边形。曲是矩形，

:.CF=EB=2,BC=EF,

ZDCB=120°,/FCB=90。,

:.ZDCF=30°,

2h

/.r)F=CFtan30o=-^-,

3

4J3

:.CD=2DF=—.

3

16.已知，AABC中，。是5。上的一点，且NZMC=30。，过点。作ED_L4)交AC于点£,AE=4,EC=2.

(1)求证：AD=CD\

(2)若tan3=3,求线段4B的长.

【分析】(1)先由£D_LAD,得出NAfiE=90。.解RtAADE,求出NDE4=60。，DE」AE=2,由EC=2,

2

得到Z)E=EC,那么NEDC=NC,根据三角形外角的性质得出NEDC+NC="£4=60。，那么求出

ZC=30°=ZDAE,根据等角对等边得出AD=OC；

(2)过点A作AFJ_BC于点尸，贝INAFC=NAFS=90。，AC=AE+EC=6.解RtAAFC,得出

AF=-AC=3.再解RtAAFB,利用三角函数定义求出时=用二=1,再根据勾股定理即可求出.

2tan5

【解答】(1)证明：・.・ED_LAD,

:.ZADE=90°.

在RtAADE中，ZDAE=30°,AE=4,

:.ZDEA=60°,DE=-AE=2,

2

;EC=2,

DE=EC,

.\ZEDC=ZC.

又・・・ZEDC+NC=ZDEA=60。,

..ZC=30°=ZDAE,

.\AD=CD；

(2)解：如图，过点A作AF_L5C于点/，则NAFC=NAFB=90。.

・・・AE=4,EC=2,

AC=6.

在RtAAFC中，ZAFC=90°,ZC=30°,

:.AF=-AC=3.

2

在RtAAFB中，ZAFB=90°,tanB=3,

tanB

AB=A/AF2+BF2=A/10.

17.如图，在AABC中，ZACB=90°，。是3c的中点，DE±BC,CE//AD,AC=2,tanZCAB=273,

求四边形AC£B的周长.

【分析】由在AABC中，ZACB=90°,AC=2,tanZCAB=2^,即可求得3c的长，由勾股定理即可

求得筋的长，又由。是3C的中点，即可求得CD与BD的长，易得四边形ACED是平行四边形，则可

求得DE的长，继而利用勾股定理，即可求得郎的长，继而求得四边形ACEB的周长.

【解答】解：•.•在AABC中，ZACB=90°,AC=2,

.-.tanZC45=—=—=2A/3,

AC2

BC=4\/3,

AB=VAC2+BC2=2而,

•.,。是3c的中点，

：.CD=BD=-BC=243,

2

:.AD=^AC2+CD2=4,

-.DE±BC,AC±BC,

:.AC//DE,

■.■CE//AD,

二.四边形ACED是平行四边形，

；.CE=AD=A,DE=AC=2,

BE=yjDE2+BD2=4.

四边形ACES的周长为：AC+CE+BE+AB=2+4+4+2A/13=10+2A/13.

18.如图，在四边形ABCD中，AD±DC,对角线AC_LCB,若"）=2,AC=2#,cosB=-.试求

5

四边形ABC。的周长.

【分析】在RtAADC中，利用勾股定理求得。C=4；在RtAACB中，利用余弦三角函数的定义求得

BC:AB=5:3,由此设BC=3x,AB=5x,所以根据勾股定理列出关于x的方程，通过解方程即可求

得x的值，即3C、4?的值；最后根据四边形的周长公式来求四边形的周长.

【解答】解：在四边形ABCD中，

.ADVDC,对角线AC_LCB,

:.ZACB=ZD=90°.

AADC和AACB都是直角三角形.

在RtAADC中，-.-AD=2,AC=20，

二.由勾股定理，得

DC=4.

在RtAACB中，-,­—=cosB=-,

AB5

/.设BC=3x,AB=5x.

.•・由勾股定理^AB2-BC2=AC2,BP25X2-9X2=20.

解得x=或，或犬=-或（不合题意，舍去），

22

3x/55r-

.•,BC=3x=—,AB=5x=-45.

22

四边形ABCD周长为：AB+BC+CD+DA=4y/5+6.

19.如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形£FGH,其中顶点石，F,G分别在AB,BC,FD上.

(1)求证：AEBFs^FCD；

(2)连接如果2C=12,BF=3,求tan/HDG的值.

【分析】（1）根据正方形的性质可得ZB=NC=90。，Z£FG=90°,BC=CD,GH=EF=FG,然后求

出ZEFB=ZFDC,再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明；

（2）先求出CF,再利用勾股定理列式求出DF,然后根据相似三角形对应边成比例求出跖，再根据锐

角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解.

【解答】（1）证明：•.,在正方形ABCD,正方形£7?（汨■中，ZB=ZC=90°,NEFG=9Q。,

;.BC=CD,GH=EF=FG.

又•.,点/在BC上，点G在R）上，

.-.ZDFC+ZEFB=90°,ZDFC+ZFDC=90°,

:.ZEFB=ZFDC,

又•.•NB=NC=90。，

:.AEBFSAFCD；

(2)解：-.­BF=3,BC=CD=12,

:.CF=9,DF=VCF2+CD2=792+122=15,

AEBF^AFCD,

.BECF

~BF~~CD'

“BF.CF3x99

CD124

GH=FG=EF=Y/BE2+BF2=—,

4

1545

/.DG=DF-FG=15——=—,

44

15一

41

-

/.tanZHDG=——3-

DG445

三.锐角三角函数的实际应用（共11小题）

20.2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习.如图，滑雪轨道由回,

8C两部分组成，AB,BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若4?与

水平面的夹角。为20。，5。与水平面的夹角分为45。，则他下降的高度为209米.（参考数据:

sin200~0.34)

【分析】过点A作于点E,过点3作3GLCF于点G,然后根据锐角三角函数的定义即可求出

答案.

【解答】解：过点A作AE_LBD于点E,过点3作3G_LC尸于点G,

在RtAABE中,

.AE

sincc-----，

AB

AE=ABxsin20°b68米,

在RtABCG中,

BG

sinP

~BC"

，3G=xsin45。处141米，

，他下降的高度为：AE+3G=209米,

故答案为：209.

21.如图，小军在A时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是60。，当他在3时测量该树的

影长时，日照的光线与地面的夹角是30。，若两次测得的影长之差DE为4e，则树的高度为3.5m.(结

果精确到0.1,参考数据：血。1.414,A/3«1.732)

小物时

【分析】直接根据题意得出：ZCDF^60°,ZE=30°,4CD=9O。，再利用锐角三角函数关系表示出FC,

CD,EC的长，进而得出答案.

【解答】解：如图所示，由题意可得：ZCDF=60°,ZE=30°,ZFCD=90°,

,PCFCr-

则设DC=xm,故tan600=---=---=v3,

CDx

则尸C=,

...30。=生=叵=乌

CEEC3

/.EC=3xm,

7.DE=EC—DC=3x—x=2x=4,

解得：%=2,