2025年中考数学一轮复习训练：二元一次方程组

专题09二元一次方程考点解析

一、一次方程（组）

1、定义

定义1：含有未知数的等式叫做方程。

定义2：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1,等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，它

的一般形式是=w0）o

定义3.：使方程.中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

定义4：含有两个未知数，,并且含有未知数.的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形式

是ox+/2y+c=0（aw0,〃w0）。

定义5：把两个方程合在一起，就组成了方程组。

定义6：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，这样的方程

组叫做二元一次方程组。

定义7：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一.次方程的解。

定义8：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

2、等式的性质

性质1：若a=b,则a土c=b±c。等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

性质2：若a=b,则ac=bc；-=-（c^0）o等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

cc

3、解一元一次方程的一般步骤

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

4、解二元一次方程组的方法

①代入消元法；②加减消元法。

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一

个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，.简称代入法。

加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别

相加或相减，就.能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

5、方程（组）与实际问题

解有关方程（组）的实际问题的一般步骤：

第1步：，审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：列方程（组）。根据题中各个量的关系列出方程（组）。

第4步：解方程（组）。根据方程（组）的类型采用相应的解法。

第5步：答。

专题09二元一次方程组

选择题（共10小题）

1.若｛；_I2是方程3x+〃y=5的解，则a的值是（）

A.1B.-1C.4D.-4

广鲁=丁可得出尤与之间的关系是（）

2.由方程组,y

y—3=mJ

A.x+y=lB.x+y=-1C.x+y=7D.x+y=-7

3%+4y=19曰

3.二元一次方程组,z-2y=3的解是()

x=3(x=lx=7x=5

A.B.C.D.

,y=oly=4,y=2.y=i

x+my=7①

4.已知关于尤，j的方程组,将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一

mx—y=2+m@

个新的方程，当相每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（

x=4X=1%=5x=—5

A.B.C.D.

y=-1.y=-4y=-4y=4

5.我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十

八两.问马、牛各价几何？”设马价％两，牛价y两，可列方程组为（）

4%+6y=484x+3y=48

A.B.

3x+5y=386x+5y=38

6x+4y=484x+6y=48

C.D.

5x+3y=385x+3y=38

6.在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有

A.4种B.3种C.2种D.1种

7.我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各

几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人

步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（）

8.我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗

里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半

响”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；

如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同.请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，则下列说法正确的

是（）

A.列方程：龙+9=2（x-18+9）

B.列方程组为："；卷展二黑9）

C,设乙有羊y只，列方程组为：gtgZy+99）

D.甲有羊27只，乙有羊18只

9.如图所示的是2024年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（"U

型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为

Si,“十字型”覆盖的五个数字之和为S2.若S1+S2=176,则S2-S1的最大值为（）

日一二三四五六

123

45678910

11121314151617

18192021222324

2526272829

A.39B.44C.65D.71

10.如下是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人

分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.设共有银子尤两，共有y人，则所列方程（组）错

误的是（）

隔壁听得客分银，

不知人数不知银，

七两分之多四两，

九两分之少半斤.

《算法统宗》注：明代时/斤=16两，故有“半

斤八两”这个成语

x-4x+8

A.7y+4=9y-8B.—=—

（7y=x-4（7y=x+4

（9y=x+8（9y-8=x

二.填空题（共5小题）

11.若x,y满足方程组:北二:，则x+y=.

12.已知［=:是二元一次方程组:的解，则3a—的立方根为

13.一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官

兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有名，士兵有名.

14.已知关于尤，y的方程组'"以下结论：①当上=0时，方程组的解也是方程x-2y=

-4的解；②存在实数鼠使得x+y=0；③不论左取什么实数，尤+3〉的值始终不变；④若3x+2y=6,则k

=1.其中正确的序号是.

15.为了方便大家采购水果，各大超市开通了送货到家的便民服务.新世纪百货超市推出了适宜大多数家

庭需求的甲、乙两种水果礼盒供市民直接选购（两种礼盒均由A、8、C三种水果混合搭配）.其中，甲种

水果礼盒每盒装有1千克A,3千克8,1千克C；乙种水果礼盒每盒装有2千克A,1千克2,2千克C.甲、

乙两种水果礼盒每盒成本价分别为盒中A,B,C三种水果的成本之和.已知8种水果每千克成本价为4.5

元，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为30%；乙种水果礼盒的利润率为20%.若这两种水果礼盒

的总销售利润率达到24%,则该超市销售的甲、乙两种水果礼盒的数量之比是.

三.解答题（共5小题）

16.解方程组:窗

17.近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，深圳市某中学把足球和篮球列为该校

的特色项目.学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球，若购买3个篮球和2个足球共490

元，购买2个篮球和3个足球共460元.

（1）篮球、足球的单价各是多少元？

（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个.购买篮球的数量不少于足球数量的一半，

为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？

18.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.温水的温度为30℃,流速

为20加L/s；开水的温度为100℃,流速为15加L/s.整个接水的过程不计热量损失.

物理常识：

开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于

温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积X开水降低

的温度=温水的体积X温水升高的温度.

（1）甲同学用空杯先接了6s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水mL；

（2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280〃辽温度为40℃的水（不计热损失）,

求乙同学分别接温水和开水的时间.

19.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提

高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的A、B两种书籍.若购买2本A种书籍和3本B

种书籍需用160元；若购买6本A种书籍与购买7本8种书籍的费用相同.求每本A种书籍和每本8种

书籍的价格各为多少元.

20.王阿姨去买水果，3千克芒果和2千克香蕉应付40元，可她把两种水果的单价弄反了，以为要付35

元.那么在单价没有弄反的情况下，购买6千克芒果和5千克香蕉应付多少元？

2025年中考数学一轮复习之二元一次方程组

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.若后二：2是方程3工+冲=5的解，则。的值是（）

A.1B.-1C.4D.-4

【考点】二元一次方程的解.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值.

【解答】解：把「二代入方程得：3-2a=5,

解得：a=-1,

故选：B.

【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

2.由方程组（二爪4可得出x与>之间的关系是（）

A.x+y=lB.x+y=-1C.x+y=lD.x+y=-7

【考点】解二元一次方程组.

【专题】计算题；一次方程（组）及应用.

【答案】B

【分析】方程组消去机即可得到y与尤的关系式.

【解答】解：尸皿=—祭，

ly—3=m（2）

把②代入①得：x+y-3=-4,

贝！]x+y=-1,

故选：B.

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

3.二元一次方程组1“：4'工19的解是（）

A.\X=l=：C.尸；D.尸；

（y=0（y=4[y=2ty=1

【考点】解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】应用加减消元法，求出方程组的解即可.

【解答】解：+=；⑦，

kx-2y=3@

①+②义2,可得5元=25,

解得x=5,

把冗=5代入②，可得：5-2y=3,解得y=l,

.••原方程组的解是匕=?.

（y=1

故选：D.

【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键.

4.已知关于x,y的方程组卜+根、=7①将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一

imx—y=2+

个新的方程，当相每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（）

（（（（

.X=4-1lyx=-14lyx=5-4-lyx=-4-5

【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】c

【分析】根据题意①+②得尤-y-9+m（x+y-1）=0,然后根据题意列出方程组即可求得公共解.

【解答】解：①+②得，

x+my+mx-y=9+m

x-y-9+mx+my-m=0

x-y-9+m（x+y-1）=0

根据题意，这些方程有一个公共解，与根的取值无关，

（x—y—9=0

（x+y—1=0?

解得［;:）

故选：C.

【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的基本解法有代入消元法和加减消元法.

5.我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十

八两.问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为（）

f4x+6y=48+3y=48

A，（3x+5y=38B-+5y=38

（6x+4y=48（4x+6y=48

C（5%+3y=38D，（5%+3y=38

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】A

【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十

八两”列出方程组即可.

【解答】解：设马每匹尤两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：

故选：A.

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键.

6.在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有

（）

A.4种B.3种C.2种D.1种

【考点】二元一次方程的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】C

【分析】设可以分成尤组4人组，y组5人组，根据各组的人数之和为43人，即可得出关于x,y的二元

一次方程，结合龙，y均为自然数，即可得出共有2种分组方案.

【解答】解：设可以分成x组4人组，y组5人组，

依题意得：4x+5y=43,

又：尤，y均为自然数，

•­-C=7<=r

二共有2种分组方案.

故选：C.

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

7.我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各

几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人

步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（）

y+2

AB

-y

X2

--y+2

c3D

X+

9-y

2-

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】D

【分析】根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于了,

y的二元一次方程组，此题得解.

（X_

q=y_2

【解答】解：依题意得］_9-

匕-=y

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次

方程组是解题的关键.

8.我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗

里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半

响”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；

如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同.请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，则下列说法正确的

是（）

A.列方程：龙+9=2（x-18+9）

B.列方程组为：卷短"L）

C,设乙有羊y只，列方程组为：（x+9=2（y-9）

D.甲有羊27只，乙有羊18只

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】C

【分析】根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，

即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：•••如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍,

.•.尤+9=2。-9）；

・・•如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，

Ax-9=y+9.

根据题意可列方程组产+：=2?19）.

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题

的关键.

9.如图所示的是2024年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（"U

型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为

S1,“十字型”覆盖的五个数字之和为S2.若S1+S2=176,则S2-S1的最大值为（）

日—■二一四五六

123

45678910

11121314151617

18192021222324

2526272829

A.39B.44C.65D.71

【考点】二元一次方程的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】B

【分析】设“U型”覆盖的五个数字中最小的数字为“十字型”覆盖的五个数字中最小的数字为6,则

Si=5a+26,52=56+35,由SI+S2=176,可列出关于a,b的二元一次方程，化简后可得出a+b=23,结合

b的最大值为15,即可得出此时a的值，进而可求出S2-Si的最大值.

【解答】解：设“U型”覆盖的五个数字中最小的数字为。，“十字型”覆盖的五个数字中最小的数字为b,

贝ijSi=a+a+7+a+8+o+9+a+2=5a+26,S2=»+6+b+7+b+8+b+14=5b+35,

V51+52=176,

.•.5a+26+56+35=176,

a+b—23.

的最大值为15,

此时。的值为8,

；.S2-Si=5b+35-(5。+26)=5(b-a)+9=5X(15-8)+9=44,

；.S2-Si的最大值为44.

故选：B.

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

10.如下是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人

分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错

误的是（）

隔壁听得客分银，

不知人数不知银，

七两分之多四两，

九两分之少半斤.

《算法统宗》注：明代时/斤=16两，故有“半

斤八两”这个成语

x-4x+8

A.7y+4=9y-8B.—=—

（7y=x-4（7y—x+4

C'[9y=x+8D，（9y—8=x

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】D

【分析】根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，即可列出关于x（或y）

的一元一次方程，此题得解.

【解答】解：•••如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两，

；.7y+4=9y-8或„x〒-4=丁x+8或„f47y=x—4

=x+8,

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方

程是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.若x,y满足方程组二;，则x+v=1.

【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】将方程组中的两个方程相加得到5x+5y=5,进而得到x+y=l即可.

2%+3y=2⑦

【解答】解:

3%+2y=3（2）

①+②得，5%+5y=5,

即x+y=1,

故答案为：1.

【点评】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一

次方程组的解法是正确解答的关键.

12.已知匕=彳是二元一次方程组片的解，贝归”》的立方根为2.

【考点】二元一次方程组的解；立方根.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】把；代入二元一次方程组+=?得关于。，b的方程组，解方程组求出a,b,从而求出

所求代数式的立方根即可.

【解答】解：把t2弋入二元一次方程组+力U得：fa+"Q®

□=1（bx-ay=1[2b-a=1@

由②得：a—2b-1,

把〃=2/?-1代入①得：b=2,

把b—2代入a—2b-1得：4=3,

1

3d—2b

1

=3x3—

=9-1

=8,

.•，。一々/?的立方根为：2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使方程左右两

边相等的未知数的值.

13.一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官

兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有200名，士兵有800名.

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用.

【专题】应用题；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识.

【答案】200,800.

【分析】设军官有x名，士兵有y名.由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案.

【解答】解：设军官有无名，士兵有y名.根据题意得：

ex+y=1000

（4x+1y=1000，

解得I；二歌

故答案为:200,800.

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

14.已知关于尤，y的方程组t+3二鼠「以下结论：①当左=0时，方程组的解也是方程x-2y=

-4的解；②存在实数左，使得x+y=0；③不论左取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6,则左

=1.其中正确的序号是①②③.

【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解.

【专题】计算题；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案.

【解答】解：①当上=0时，原方程组可整理得：。2?工=01，

解得：/「，

把{；二］2代入x-2y=-4得：x-2y=-2-2=-4.

即①正确；

②卜+2y=k①，

Ux+3y=3fc-1②‘

由②-①得：x+y=2k-1,

若1+y=0,则2左-1=0,

解得：k=}

即存在实数上使得1+y=0,

即②正确；

③解方程理金-r

zfx=3fc-2

侍Biy=1一k'

：.x+3y=3k-2+3(1-k)=1,

不论左取什么实数，x+3y的值始终不变，

故③正确；

④解方程组以曹;？3k.1，

若3x+2y=6,

则3(3k-2)+2(1-k)=6,

“邛

故④错误.

所以正确的序号是①②③.

故答案为①②③.

【点评】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解

的定义.

15.为了方便大家采购水果，各大超市开通了送货到家的便民服务.新世纪百货超市推出了适宜大多数家

庭需求的甲、乙两种水果礼盒供市民直接选购(两种礼盒均由A、8、C三种水果混合搭配).其中，甲种

水果礼盒每盒装有1千克A,3千克B,1千克C；乙种水果礼盒每盒装有2千克A,1千克8,2千克C.甲、

乙两种水果礼盒每盒成本价分别为盒中A,B,C三种水果的成本之和.已知B种水果每千克成本价为4.5

元，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为30%；乙种水果礼盒的利润率为20%.若这两种水果礼盒

的总销售利润率达到24%,则该超市销售的甲、乙两种水果礼盒的数量之比是5：6.

【考点】二元一次方程的应用.

【专题】一次方程(组)及应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】设A种水果每千克成本价为x元，C种水果每千克成本价为y元，根据甲种水果礼盒的售价及利

润率，可列出关于x,y的二元一次方程，解之可得出x+y的值，将其代入2(x+y)+4.5中，可求出乙种

水果礼盒每盒成本价，设该超市销售机盒甲种水果礼盒，"盒乙种水果礼盒，根据这两种水果礼盒的总销

售利润率达到24%,可列出关于如〃的二元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设A种水果每千克成本价为尤元，C种水果每千克成本价为y元，

根据题意得：(1+30%)(x+4.5X3+y)=39,

解得：x+y=16.5,

乙种水果礼盒每盒成本价是2（x+y）+4.5=2X16.5+4.5=37.5.

设该超市销售机盒甲种水果礼盒，〃盒乙种水果礼盒，

根据题意得：（16.5+4.5X3）X30%m+37.5X20%n=[（16.5+4.5X3）初+37.5川X24%,

整理得：1.8m=1.5w,

解得：m：〃=5：6.

故答案为：5：6.

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.解方程组：仁㈡

【考点】解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.

21—v=5⑦

{3%+4y=2②

①义4+②得：Hx=22,

解得：x=2,

把x=2代入①得：4-y=5,

解得：y=~L

则方程组的解为z

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

17.近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，深圳市某中学把足球和篮球列为该校

的特色项目.学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球，若购买3个篮球和2个足球共490

元，购买2个篮球和3个足球共460元.

（1）篮球、足球的单价各是多少元？

（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个.购买篮球的数量不少于足球数量的一半，

为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识.

【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元；

(2)为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球.

【分析】(1)设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买

2个篮球和3个足球共460元”，可列出关于尤，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购买m个篮球，则购买(100-//2)个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半，可列出

关于，”的一元一次不等式，解之可得出机的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为w元，利用总价=

单价X数量，可找出w关于根的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.

【解答】解：(1)设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，

3x+2y=490

根据题意得:

2x+3y=460'

%=110

解得:

y=80,

答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元；

(2)设购买m个篮球，则购买(100-m)个足球，

根据题意得：m>!(100-m),

解得：m>

设购买篮球和足球的总费用为w元，则卬=110徵+80(100-m),

即w=30m+8000,

V30>0,

・・・w随机的增大而增大，

又后苧，且根为正整数，

二当机=34时，w取得最小值，此时100-加=100-34=66.

答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是:

(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于相的函数关系

式.

18.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.温水的温度为30℃,流速

为20m〃s；开水的温度为100℃,流速为整个接水的过程不计热量损失.

物理常识：

开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于

温水吸收的热量，