2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之逆等线模型解读与提分训练（解析版）

专题36最值模型之逆等线模型

最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各

类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试

题分析，方便掌握。

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例题讲模型］

-------------------------1........................................................................................................................................................1

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..........................................1

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）...............................................6

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）...............................................9

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）.....................................12

模型5.最值模型-加权逆等线模型.............................................................15

习题练模型

.......................................................................................................................................................20

例题讲模型］

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）

模型解读

逆等线：AABC中，D、E分别是A3、AC上的动点，S.AD=CE,即逆向相等，则称和CE为逆等线。

逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。

模型证明

条件：如图，在zVlBC中，ZABC=a,BC=m,AC=〃，点。、E分别是AB、AC上的动点，且AO=CE,求

CD+BE的最小值。

证明思路：①在AADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点C作CFHAB,且CP=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出“OC0△（?£/（SAS）；证出EF=CD；

@CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接8/，则即为所求，此时，B、E、尸三点共线；

⑤求8八构造直角三角形求出BG和FG,再利用勾股定理求出8尸即可。

模型运用

例1.（23-24九年级上•广东广州•期中）在等边三角形VABC中，边43上的点D从顶点A出发，向顶点5运

动，同时，边2C上的点E从顶点8出发，向顶点C运动，D,E两点运动速度的大小相等，设x=AD,

y^AE+CD,y与x的函数图象如图，图象过点（0,4）,则图象最低点的纵坐标是（）

【答案】D

【分析】结合函数图像，当x=0时，y=4,求得等边三角形的边长，证明AADCG△座A,得出

y=AE+CE=2AE,当AE_L8C时，AE最小，勾股定理即可求解.

【详解】当x=0时，y=AE+CD=AB+AC^4,,•三角形ABC是等边三角形，.•.AB=8C=2,

・.・AD=BE,ADAC=/EBA=60°,AC=BA,，AADC*BEA,

y=AE+CE=2AE,当时，AE最小，最小值为/B2一[；AB[=与AB=g,

y的最小值为2g,即图象最低点的纵坐标是2VL故选：D.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，求得等边三角形的边长是解题的关键.

例2.(23-24九年级上•江苏无锡•期末)如图，在等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6,点D、E分别是AB、

AC上两动点，且AD=CE,连接CD、BE,CD+BE最小值为.

【答案】V97

【分析】过点A作AH〃BC,S.AH=BC,连接。X,由题意易得进而可证△臼1。g/\2。£,

则有CD+BE=CD+HD,当CD+BE为最小时，即CD+HO为最小，当点C、。、”三点共线时即为最小，连

接CH,交AB于点过点M作MNLBC于点N,点A分别作于点忆如图所示，即C8的长度

113

为CD+BE的最小值，然后可得AHW/ACBM,则有MV=—AF=2,BN=NF=—=—,

222

9

CN=CF+NF=-,然后问题可求解.

2

【详解】解：由题意可得如图所示：

\'AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZHAD=ZBCE,

"：AD=CE,:.△HADmABCE(SAS),：.HD=BE,：.CD+BE=CD+HD,

.•.当CD+BE为最小时，即C£>+£TO为最小，

二当点C、。、”三点共线时即为最小，连接CH,交A8于点M,过点M作MN,8c于点N,点A分别作

AFL8C于点居如图所示，即C”的长度为CO+BE的最小值，

VAB=AC=5,BC=6,；.BF=CF=3,AF=<AB2-BF2=4,

•:AH/JBC,/.ZHAM=NB,:ZHMA=ZCMB,

:.AHAM%CBM（A4S）,：.AM=BM=-,HM=CM=~HC,

__22

113

•：AF//MN,点M是AB的中点，:.MN=—AF=2,BN=NF=—BF=—,

222

：.CN=CF+NF=-,...在HAMNC中，CM/MN?+CM=叵，

22

CH=2CM=屈，：.CD+BE的最小值为屈；故答案为回.

【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之

间线段最短进行求解即可.

例3.（23-24九年级下.广东广州•阶段练习）如图，在Rt^ABC中，AB=3,AC=4,ZBAC=90°,D,E

分别是边AB,AC上的动点，且比＞=他，则CD+BE的最小值为.

【答案】758

【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过3作BNLM,

使师=帅=3,连接DN,CN,作NMLAC交C4延长线于点证明四边形4Vms是正方形，由勾股

定理得CN=dMN。+CM2=打+于=底,然后证明△54E0ANBD（SAS）,当N,D,C三点共线时，

CD+BE有最小值底，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】过B作使RV=AS=3,连接DN,CN,作NM，AC交C4延长线于点M,

Z.ZAMNZMAB^ZABN^90°,四边形4VWB是矩形，:.BN=AB,

四边形4WA®是正方形，：.AM=MN=3,:.CM=7,CN=4MN?+CM2=打春=底,，

vBD=AE,ZBAE=ZNBD=90。,AB=BN,：.ABAE、NBD（S啕,

：.BD=BE,ND+DC>CN,^CD+BE>CN,

当N,D,C三点共线时，CD+BE有最小值屈，故答案为：758.

例4.（24-25八年级上•四川成都・期中）如图，在VA2C中，ZABC=45°,ZBAC=15°,AC=2,点E与

点。分别在射线3c与射线AD上，S.AD=BE,则AE+BD的最小值为,AE+即的最小值为.

【答案】3A/2R

【分析】先根据已知条件求得各边数据,然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当。在上时，

取得最小值，如图所示，过点M作MV」AB交54的延长线于点N,进而勾股定理即可求解；对于AE+ED,

构造等边三角形，进而即可求解.

【详解】如图所示，过A作A/IBC交BC的于下，

VZABC=45°,ABAC=15°,：.ZACB=180°-45°-75°=60°Z.ZC4F=30°,ZABC=ZBAF=45°,

AC=2,CF=—AC=1,A//=BF=ylAC2—CF2=-\/3•AB=\lAF2+BF2-y[6

如图所示，ZMAD=4505,AM=AB,连接DM,BM,'：AB=AM,ZABE=ZMAD=45°,BE=AD

：.AAB£^AM4D（SAS）/.AE=DM：.BD+AE=BD+DM>BM,

当。在BM上时，BD+AE取得最小值，如图所示，过点M作MN1AB交54的延长线于点N,

ZBAD=75°,ZDAM=45°/.ZNAM=60°,ZAMN=30°VAB=AM/.ZABM=30°

；AM=AB=#在RtMW中，AN=^AM=^~,：.MN=y/3AN=

:.BM=2MN=3五,即AE+9的最小值为3&;

如图所示，作A关于的对称点J,连接则

VAB=AM,ZBAM=120°AB=AM则ZABM=ZJBM=30°，ZABJ=60°,

•.•对称，；.5A=；.AA3J,△AM都是等边三角形，连接E7,”,

•：AABE/AMAD,/.ZBAE=ZAMD,则ZEAJ=Z.DMJ,

又VAJ=JM,AE=MD：.AEAJ'DMJ：.ZEJA=ZDJM,EJ=DJ

：.AEJD=ZAJM=60°；.AEDJ是等边三角形，AAE+ED=AE+EJ>AJ

...当E在A/上时，AE+ED=AJ,如图所示

此时AE+即取得最小值，最小值AJ=A2=G故答案为：3忌，底.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段

最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）

模型解读

条件：已知三角形A8C中，AB=a,BC=b,CD为高,CE=BF,求AF+BE的最小值。

模型证明

证明思路：①CE在ABEC中，以8尸为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点8作BG//CE,且BG=BC=6。（构造一边一角，得全等）;

③构造出(SAS)；证出EB=FG；

④AF+BEMF+PG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

模型运用

例1.(2024・安徽合肥.一模)如图，为等边"BC的高，E、尸分别为线段A。、AC上的动点，且AE=

CF,当BP+CE取得最小值时，ZAFB=

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

【答案】B

【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明"EC丝△CM,得CE=FH,将CE转化为FH,与BF

在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点P的位置，即尸为AC与的交点时，BF+CE的值最

小，求出此时乙4尸8=105。.

【详解】解:如图，作C//L2C,且C8=BC,连接交AD于M,连接产

•.,△ABC是等边三角形，AD±BC,：.AC=BC,ZDAC=30°,：.AC=CH,

,：ZBCH=90°,ZACB=60°,：.ZACH=9O°-60°=30°,：.ZDAC=ZACH=3>0°,

•：AE^CF,：./\AEC^/\CFH,:.CE=FH,BF+CE=BF+FH,

当F为AC与的交点时，如图2,Bb+CE的值最小，

此时NPBC=45°,ZFCB=60°,：.ZAFB=105°,故选2.

图2图1

【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当

3F+CE取得最小值时确定点E的位置，有难度.

例2.（2023・四川成都•一模）如图，在三角形VABC中，4c=50。，AB=AC,3D_LAC于。，M,N

分别是线段8。，BC上的动点，BM=CN,当AM+AN最小时，ZMAD=.

【分析】在BC下方作ACW4',使ACW4'%8M4,连接A4',则AM+A7V最小值为A4',止匕时A、N、4三点

1QAo_1neo

在同一直线上，推出ZA'AC=ZA'=——-——=37.5°,所以的M=37.5。，即可得到

ZMAD=ZBAC-ZBAM=50°-37.5°=12.5°.

【详解】解：在下方作ACMI',使ACMT均连接A4，.

贝（JZ/VG4'=ZMR4,AM=AN.：.AM+AN=AN+AN>AA,

即AM+4V最小值为A4"止匕时A、N、A三点在同一直线上.

VZBAC=50°,AB=AC,/ACS=NASC=65°,

•?BDA.AC,：.ZABD=90°-50°=40°,ZNCA=40°,；.NAGY=650+40°=105°,

iQQo_inco

ZA'AC=/A'=----------------=37.5°,ZBAM=37.5°,

2

Z.ZMAD=ZBAC-ZBAM=50°-37.50=12.5°,故答案为：12.5。.

【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑

线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

例3.（2024•四川乐山•二模）如图，等腰AABC中，ZBAC=100°,BD平分/ABC,点、N为BD上一点、,点

加为3C上一点，且BN=MC,若当AM+AN的最小值为4时，48的长度是

【答案】4

1ono_/A74r

【分析】由等腰AABC中，Zfl4C=100°,可得NABC=NAC8=-------------------=40°,由8。平分/ABC,可

2

得NABD=gNABC=20。，如图，作N3CE=NASD=20。，使CE=AB,连接EM,则

ZACE=ZACB+ZBCE=60°,证明ACEM丝AB4N（SAS）,则ME=4V,CE=AB,AM+AN=AM+ME,

可知当A、M,E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4,证明"点是等边三角形，贝ijAC=AE=4,进

而可求A8.

1OQO_ZD4r_>

【详解】解：,/等腰AABC中，ZBAC=100°,/.ZABC=ZACB=-------------------=40°,

-2

；80平分/ABC,ZABD=|ZABC=20°,如图，作NBCE=NABD=20。，使CE=AB,连接EM,

/.ZACE=ZACB+ZBCE=60°,VCE=AB,ZBCE=ZABD,MC=BN,

:.ACEM/ABAN(SAS),：.ME=AN,CE=AB,：.AM+AN=AM+ME,

...当A、M、E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4,

VCE^AC,ZACE=60°,；.△ACE是等边三角形，；.AC=AE=4,；.AB=4,故答案为：4.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质

等知识.熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是

解题的关键.

模型3.最值模型-逆等线模型(同边上的逆等线)

模型解读

条件：已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=a,点、E、。是线段A3上的动点，且满足AO=2E,

求CD+CE的最小值。

证明思路：①BE在ABEC中，以为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点A作AF//BC,且A尸=BC=6。（构造一边一角，得全等）；

③构造出4BEC沿AADF（SAS）；证出CE=FD；

@CD+CE=CD+FD,根据两点之间，线段最短，连接CT,则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线;

⑤求PC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明也可。

模型运用

例1.（23-24八年级上•北京朝阳•期末）如图，HAASC中，ZACB=90°,4=30。，D,E为AB边上的

两个动点，且AD=3E,连接CD,CE,若AC=2,则CD+CE的最小值为.

【答案】4

【分析】过点A,3分别作AC的垂线和BC的垂线交于点M,连接MC,ME,先证AACB/AMBC,得

AB=MC,再证AC4D也AMBE,得CD=ME,进而得出CD+CE=ME+CE,当C,E,M三点不共线时，

ME+CE>MC-,当C,E,M三点共线时，ME+CE=MC,然后根据直角三角形中，30。的角所对的直

角边等于斜边的一半求出A8的值，从而得出结果.

【详解】过点A,3分别作AC的垂线和BC的垂线交于点连接MC,ME,

ZACB=90°,MArAC,AM//CB,­：MBLBC：.AC//MB,AC=MB,AZCAB=ZMBA,

■：BC=CB,ZACB=ZMBC=90°,:.AACB沿MC,AAB=MC,

AD=BE,：.ACADRMBE,:.CD=ME,..CD+CE^ME+CE,

当C,E,M三点不共线时，ME+CE>MC-,当C,E,M三点共线时，ME+CE=MC.

CD+CE的最小值是MC的长，1■•ZB=30°,ZACB=90°,AAB=2AC,

AC=2,AB=4,MC=AB=4,CD+CE的最小值是4.故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助

线找出恰当的全等三角形是解本题的关键.

例2.(23-24八年级下.黑龙江哈尔滨•期末)如图，在矩形A8CD中，对角线AC上有两动点E和E连接3E

和B尸，若AE=CF,AC—AS=9,AC-BC=2,则3E+3R的最小值是.

--------------------------------

【答案】17

【分析】如图，连接DF,BD,由全等三角形判定(S4S)可以证得AABE丝△CDR,得到。尸=理，进而

得到BE+WNBZ),再根据题意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案.

【详解】解：如图，连接。尸，BD,

,••四边形A2CD是矩形，:.AB//CD,AB=CD,NABC=90。，:./BAE=/DCF,

•;AE=CF,:.AABE^CDF(SAS),:.BE=DF,vBF+DF>BD,:.BE+BF>BD,

又••,AC,80为矩形的对角线，.•.47=3。,跖+3/247,

•.,△ABC是直角三角形，AC—AB=9,AC-BC=2,.-.AB2+BC2=AC2,

：.(AC-9)2+(AC-2)2=AC2移项得AC?-22AC+85=0,

配方得AC?_22AC+⑵=121-85,(AC-11)2=36,解得AC=17,或AC=5

■.■AC-AB=9>5,AC=17,:.BE+BF>11,故答案为：17.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一

元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键.

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）

模型解读

特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。

条件：已知在矩形ABC。中，AD=a,AB=b,点、E、F是边BC、2。上的动点,且满足BE=DF,

求AB+AE的最小值。

模型证明

证明思路：①BE在母488中，以。尸为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点A作/EDG=NABE=90。，且（构造一边一角，得全等）；

③构造出AABEg△GO尸（SAS）；证出AE=FG-,

@AF+AE=AF+FG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所求，止匕时，A、F、G三点共线；

⑤求AG。先利用相似求出。"和"G（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两

条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。

模型运用

例1.（2023•山东德州•校考一模）如图，在菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=4,E,尸分别是边BC和

对角线80上的动点，且=则/场+AF的最小值为

BEC

【答案】40

【分析】在BC的下方作NCBT=30。，截取3T,使得BT=AD,连接ET,AT.证明△AO尸也△TBE(SAS),

推出AF=£T,AE+AF=AE+ET,根据A£1+£TAAT求解即可.

【详解】解：如图，8c的下方作NCBT=30。，截取2T,使得BT=AD,连接ET,AT.

・..四边形45co是菱形，ZABC=60°,：.ZADC^ZABC^GO°,ZADF=^ZADC=30°,

■,AD=BT,ZADF=ZTBE=30°,DF=BE,/.AADF^ATBE(SAS),.-.AF=ET,

ZABT=ZABC+ZCBT=600+30°=90°,AB=AD=BT=2,

AT=y/AB2+BT2=A/42+42=472,；.AE+AF=AE+ET,

■：AE+ET>AT,.\AE+AF>4-j2,；.AE+AF的最小值为40,故答案为4夜.

【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

例2.(2023•陕西西安・模拟预测)如图，矩形ABC。中，AB=6,">=8,点E、下分别是边BC和对角线

上的例2.动点，且3E=D尸，则AE+/W的最小值是.

A^r---------------------------

【分析】设点。关于BC的对称点为G,在3G上截取3H=AD,连接可证44D尸从而

AF=EH,那么AE+A/uAE+EHNAH,A、X都是固定点，过点X作_L于点M,结合相似三角

形和勾股定理即可求得，

【详解】如图，设点。关于BC的对称点为G,在BG上截取3"=AD,连接过点”作于

点跖

---------------------zD

,四边形ABCD是矩形，AB=CD=6,BC=AD=8,AD//BC,：.ZADF=ZDBC,

:DC=CG,BCLDG,:.BD=BG,:.NDBC=NCBG,/.ZADF=ZHBE,

'：DA=BH,DF=BE,：.^ADF=^HBE,：.AF=EH,：.AE+AF=AE+EH>AH,

在RtABCD中，如=762+82=10，；HM±AB,：.ZBHM=NG=NBDC=90°-ZCBG：.ABHM-ADBC,

BMMHBH.BMMH_824392454

/.BM=—,MH=—,AM=AB+BM=6d----=—

55

5432友叵，AE+AF的最小值是撞空.

在RtaAI包中，AH=yjAM2+MH

故答案为：拽至

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质.这里根据=把AE+AF的最小值转

化为AE+AF=45+EW24/是关键.

例3.（2024.福建南平.一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZABC=120°,点、E,F分别在AB,CD±,

且DF=BE,连接DE,AF,则DE+AF的最小值为.

AC

E

B

【答案】4

【分析】如图，连接CE,作。关于直线AB的对称点N,连接CN,BN,NE,DB,可得DE=NE,DK=NK,

DNLAB,证明四边形AEC歹为平行四边形，可得AF=CE,贝UDE+AF=NE+CEVC7V,当E,N,C三点、

共线时，此时取等于号，止+诙最小，证明当瓦N,C三点共线时，重合，从而可得答案.

【详解】解：如图，连接CE,作。关于直线的对称点N,连接CN,BN,NE,DB,

:.DE=NE,DK=NK,DN±AB,:菱形A5CD,Z.AB^CD,AB//CD,AD//BC,

N

•；DF=BE,ZABC=120°,:.AE=CF,NDCB=NDAB=60°,

四边形AEC厂为平行四边形，/.AF=CE,：.DE+AF=NE+CE<CN,

当瓦N,C三点共线时，此时取等于号，DE+AF最小，

•.,菱形A3CD,ZABC=120°,AAB=AD,NASD=60。，二为等边三角形，/.AD=BD,

DN-LAB,：.AK=BK,VDK=NK,ZAKD=NBKN,/.&ADK"ABNK,

：.ZNBK=ZDAB=6O°,BN=AD=2,VZABC=120°,：.ZNBK+ZABC=180°,

.•.N,B,C三点共线，.•.当E,N,C三点共线时，重合，

,:BN=BC=2,:.CN=4,即DE+AF最小值为4.故答案为4

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质,

作出合适的辅助线是解本题的关键.

模型5.最值模型-加权逆等线模型

模型解读

条件：已知在VABC中，ZACB=a,AB=a,AC=b，点E、。是线段AB、BC上的动点，且满足BEe

xAD,

求AE+kxCD的最小值。

A

D

模型证明

证明思路：①在AAOC中，以8E为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；

②即过点8作/E8F=/D4C=90。，且BF=kxAC=kb。(构造一边一角，得相似)；

③构造出4EBF学△ZMC(SAS)；证出EF=kxDC；

④AE+kxCD=AE+EF,根据两点之间，线段最短，连接AF,则AF即为所求，止匕时，A、F、E三点共线;

⑤求A凡先确定,再利用三角函数求出BG和尸G,最后利用勾股定理求出AF即可。

模型运用

例1.(24-25九年级上•四川成都•阶段练习)如图，在等边VABC中，BC=6,E,歹分别是边AB、AC上

的动点，且满足CF=25E,则3尸+2CE的最小值为；

【答案】6出

【分析】取8C、CT的中点。、G,连接A。、DG,则可得r>G=：8F,

BF+2CE=2(|BF+C£)=2(DG+CE),因此转而求DG+CE的最小值；过A作AMLAC,&AM=AD,

连接ME、CE,可证明△AME0AWG,则有ME=DG,进而转化为求ME+CE的最小值，当点E在线

段上时，取得最小值，在Rt^AMC中由勾股定理即可求得最小值，从而求得B产+2CE的最小值.

【详解】解：如图，取BC、CT的中点。、G,连接AD、DG,

..•丫48。是等边三角形，..。=工8(7,CG=FG=-CF,

22

根据三角形中位线可得DG=-BF,：.BF+2CE=2(-BF+CE)=2(DG+CE),

22

.•.3b+2CE的最小值转化为求。G+CE的最小值，

在等边三角形ABC中，BC=6,：.AB=AC=BC=6,ZBAC=60°,:.CD=3,ZGW=30°,

,:CF=2BE,:.BE=CG,:.AE=AG-,过A作71M_LAC,且=连接ME、CE,

则AAME^ADG(SAS),;.ME=DG,

:.DG+CE=ME+CE,，当点E在线段CM上时，ME+CE取得最小值，

且最小值为线段CM的长，A"=AD=yjAC2-CD2=3#），

在RtZXAMC中，由勾股定理得：CM=y/AM2+AC2=35/7'

尸+2CE的最小值=2（OG+CE）=2（ME+CE）=2X3>/7=6S.故答案为：6行.

【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，

三角形中位线定理，把求3尸+2CE的最小值转化为求。G+CE的最小值,进而转化为求ME+CE的最小值,

是本题的难点与关键所在.

例2.（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，在矩形A3CD中，AB=5,BC=6,E、/分别为BC、

CD上的动点，且=产，则DE+2AF的最小值为.

【答案】5万

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，延长A3到H,使得BH=2AD,

连接EH,DH,证明△ADFsA/ffiE,得到/ffi=2AF,则。E+2AF=DE+Zffi1,故当"、E、。三点共

线时，DE+HE最小,即此时QE+2AF最小，最小值即为的长，据此利用勾股定理求出。〃的长即可

得到答案.

【详解】解：如图所示，延长A3到H,使得8H=2A£>,连接EH,DH,

••,四边形ABC£>是矩形，ZABC=ZADF=ZHBE=Z.BAD=90°,AD=BC=6,

...BEBH.HEBE

•BE=2DF,BH=2AD,..—=—=2,/.AADF^^AHBE,..—=——=2,

DFADAFDF

：.HE=2AF,：.DE+2AF=DE+HE,

:.当H、E、。三点共线时，DE+HE最小,即此时DE+2AF最小，最小值即为的长,

在RtAAD"中，AD=6,AH=AB+BH=5+2x6=17,

DH=yjAD2+AH2=5V13>DE+2AF的最小值为5履，故答案为：5岳.

例3.（2024•四川成者B•校考一模）如图，平行四边形ABC。，AB>AD,4）=4,4408=60。，点、E、F为

对角线加>上的动点，DE=2BF,连接AE、CF,则AE+2CF的最小值为.

【答案】4币

【分析】如图，在直线。2的上方作/%>7=60。，且使得OT=23C.过点T作7HLAD交的延长线

于H.首先利用相似三角形的性质证明ET=2CF,解直角三角形求出AT,AE+2CF=AE+ET,推出

AE+2CFW4币，即可解决问题.

【详解】解：如图，在直线。8的上方作/BDT=60。，且使得OT=2BC.

过点T作THLAD交的延长线于连接ET、AT.

:四边形ABC。是平行四边形，BC〃AD,AD=BC=4,；.ZADB=NDBC=60°,：.NCBF=NTDE,

,.BCBF_1,CFBC

：.NCBFsAIDE,ET=2CF,

"DT~DE~2"ET~DT2

•：Z.TDH=180°-60°-60°=60°,ZH=90°,0T=23C=8,二=Z)，cos600=4,HT=^3DH=4A/3,

：.AH^AD+DH^,：.AT=yjAH2+HT2=后+(4®=4币,

VAE+2CF^AE+ET,AE+ET>AT,：.AE+2CF124夜，，AE+2CF的最小值为46.故答案为：4r.

【点睛】本题属四边形综合题目，考查平行四边形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的

判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键.

例4.（2024•吉林・模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=4,NABC=60。，点E,尸分别是BO,CD±

的点，若BE=2CF,则+的最小值是.

【答案】2百

【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾

股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

根据题意构造相似三角形，作"CN=30。，IRCM=-AB=2,连接AC,AM,得到AABESAMC尸，进

2

而得出AF+=AE=A尸+尸当三点共线时，A产+R0的值最小，即A尸+《AE的值最小，最后

22

利用勾股定理即可解出.

【详解】作NOCM=30。，IXCM=^AB=2,连接AC,AM,如图所示,

AD

在菱形ABCD中,ZABC=60°/.ZABE=ZDCM=30°,

:BE=2CF,AB=2CM,：.^ABE^MCF,:,AE=2FM,：.-AE=FMAF+-AE=AF+FM,

22

当A,三点共线时，AF+FA7的值最小，即+的值最小，在菱形ABCD中，ZABC=60°,

2

:.ZBCD=nO°,VABC是等腰三角形，:.ZACD=60°,AB=AC=4,.1/ACM=90。，

在RSACM中，AC=4,CM=2,AW=->JAC2+CM2=^42+22=2A/5>故答案为：26.

习题练模型

1.（23-24九年级上.河南安阳•阶段练习）如图，在矩形A2CD中，对角线AC上有两动点E和尸，连接助

和8/，若AE=CF,AC-AB=4,AC-BC^2,则BE+B尸的最小值是（）

AD

C.6D.20

【答案】B

【分析】如图，连接DP,BD,由全等三角形判定SAS可以证得△ABE1丝△CD7"得到方=3E,进而得

到BE+BFNBD,再根据题意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案.

【详解】解：如图，连接。尸，BD,

,四边形ABCD是矩形，:.AB//CD,AB=CD,ZABC=90°,:./BAE=/DCF,

-.-AE=CF,:△ABEdCDF(SAS)BE=DF,

■：BF+DF>BD,:.BE+BF>BD,又,rAC,8D为矩形的对角线，

AC=BDBE+BF>AC,

「△ABC是直角三角形，AC-AB=4,AC-BC=2,；.AB2+BC1=AC1,

(AC-4)2+(AC-2>=AC?移项得3-12AC+20=0,解得AC=10,或AC=2

VAC-BC=2,贝I|AC=2不符合题意，.-.AC=10,:.BE+BF>W,故选B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一

元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程的方法是解题关键.

2.(2024・河南商丘•八年级期中)如图，等边“BC中，AO为8C边上的高，点/、N分别在A。、AC上,

且AM=CN,连3M、BN,当最小时，NAffiN的度数为()

A.15°B.22.5°C.30°D.47.5°

【答案】C

【分析】如图1中，作CHL3C,使得CH=BC,连接NH,BH.证明△ABMgZkCHN(SAS),推出3册

HN,由BN+HN^BH,可知8,N,"共线时，BM+BN=N〃+BN的值最小，求出此时即可解决问题.

【详解】解：如图1中，作CHL2C,使得CH=BC,连接NX,BH.

「△ABC是等边三角形，ADLBC,CHLBC,：.ZDAC=ZDAB=30°,AD//CH,

：.ZHCN=ZCAD=30°,,:AM=CN,AB=BC=CH,:./\ABM冬乙CHN(SAS),：.BM=HN,

,：BN+HN>BH,：.B,N,H共线时，的值最小，如图2中，当B,N,H共线时，

,/AABM%ACHN,：.ZABM=ZCHB=ZCBH=45°,

•：ZABD=60°,：./DBM=15°,：.ZMBN=45°-15°=30°,

.•.当BM+BN的值最小时，NMBN=30°,故选：C.

【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角

形解决问题.

3.（23-24八年级下•安徽安庆・期末）如图，正方形的边长为4,点E,尸分别是BC,8边上的动

点，且BE=CF.(1)若BE=CF=1,则AE+AF=；(2)AE+AF的最小值为.

【答案】^+5/5+717475

【分析】（1）由正方形的性质可得AB=3C=CD=AZ）=4,ZD=ZB=90°,从而得到。尸=3,由勾股定理

计算出AE、A尸的长，即可得到答案；（2）连接DE,通过证明△"＞尸四△OCE可得=作点A关

于3c的对称点A,连接BA'、EA',则AE=AE,从而得到AE+AF=AE+AE,当£＞、E、A在同一直线

时，AE+AF最小，利用勾股定理进行计算即可得到答案.

【详解】解：（1）•.,四边形ABCD是正方形，且边长为4,，AB=3C=CD=AD=4,ZD=ZB=90°,

-：BE=CF=1,:.DF=CD-CF=4-1=3,...AE=^ABr+BE1=A/42+12='

AF^^IAD2+DF2=V42+32=5>AE+AF=yfn+5,故答案为：&7+5；

(2)连接DE,

.-.AB=BC=CD=AD=4,ZD=ZC=90°,

■：BE=CF,:.DC-CF=BC-BE,DF=CE,

AD=DC

在△AD/和△OCE中，■NAOF=NOCE=90°,:.AADIRDCE(SAS),.-.DE=AF,

DF=CE

作点A关于BC的对称点A,连接R4'、EA',则AE=AE,

:.AE+AF=AE+DE,，当。、区A'在同一直线时，AE+AF最小，

A4f=2AB=8,二在RtAAZM，中，A'D=VAD2+A4,2=A/42+82=4^-

.•.>1£■+■的最小值为：4VL故答案为：475.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、最短距离问题、勾股定理，熟练掌握

正方形的性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键.

4.(2024.四川绵阳•三模)在Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=AC,^D,E分别为AB,3C上的动点，

且AB=3后当AE+CD的值最小时，CE的长为.

【答案】3行

【分析】过点2作3尸，3C,且9=AC,连接AF,交BC于点£,过点A作AHLM,交FB的延长线

于点H,证明AACD四△跳E(SAS),得出CD=E产，则AE+CD=AF,即AE+CD的最小值即为

AF的长，此时点E与点£重合，由勾股定理及相似三角形的性质可得出答案.

【详解】过点8作所，3C,且跖=AC,连接AF,交BC于点E',过点A作交阳的延长线

于点H,如图所示：则/EW=90°,在等腰直角VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

AC=BF

在AACD和△BPE中,<ND