2025年中考数学总复习《直线与圆的位置关系》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《直线与圆的位置关系》专项测试卷（附答案）

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一、单选题

1.如图，P为。。外一点，PA、PB分别切。。于A、B两点，若％=3,则依=（）

2.如图AB,AC,3D是。。的切线，切点分别为P,C,D.若AB=5,BD=2,则AC的

长是（）

A

3.如图，AB.AC、BD是的切线，切点分别为尸、C、D,若AB=5,AC=3,贝的

4.如图，正五边形ABCDE内接于。。，过点A作。。的切线交对角线。3的延长线于点尸,

则下列结论不成立的是（）

c

A.AE//BFB.AF//CDC.DF=AFD.AB=BF

5.如图，AB是。O的直径，BC交。O于点D,DELAC于点E,要使DE是。。的切线，

还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）

A.DE=DOB.AB=AC

C.CD=DBD.AC/7OD

6.下列说法正确的是（）

A.过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B.若直线与圆有公共点，则直线与圆相

交

C.若直线与圆不相切，则它与圆相交D.若直线与圆有唯一公共点，则这点是切点

二、填空题

7.如图，。。的半径为4cm,直线1LOA,垂足为0,则直线1沿射线0A方向平移一cm

时与。0相切.

8.如图，R4与。相切于A点，ZPOA=70。，则,P的大小是

o

9.如图，在VA3C中，ZABC=50°,ZACB=75°,点。是VABC的内心，则-3OC的度

数为________

10.如图，PA,尸8分别切。。于A,B,并与。。的切线，分别相交于C,D,已知△PCD

的周长等于10cm,则PA=cm.

11.如图，在AABC中，ZABC=24°,以AB为直径的。。交8c于点。，交CA的延长线

于点E,若点E在8。的垂直平分线上，则/C的度数为

12.如图所示，已知A点从点（1,。）出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动,

经过f秒后，以。、A为顶点作菱形Q4BC,使8、C点都在第一象限内，且ZAOC=60。，

又以P（0,4）为圆心，尸C为半径的圆恰好与所在直线相切，贝打=.

三、解答题

13.如图，。。的直径为AB,点C在圆周上(异于点A,B),ADXCD.

(1)若BC=3,AB=5,求AC的长；

(2)若AC是NDAB的平分线，求证：直线CD是。O的切线.

14.如图，点E是VABC的内心，AE的延长线和VABC的外接圆。。相交于点。，过。作

直线QG〃BC.

⑴若NACB=80。，则；AAEB=

⑵求证：DE=CD；

(3)求证：OG是。。的切线C.

15.如图所示，出、是。。的两条切线，A、B为切点.

求证：ZABO=^ZAPB.

A

16.如图，AB为。。的直径，P。切。。于点T,47，2。于点。，交。。于点D求证:

AT平分NBAC；

17.如图，在RMABC中，ZACB=90°,。为A3的中点，以CD为直径的。。分别交AC,

BC于点E,尸两点，过点尸作FG1AB于点G.

(1)试判断FG与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若AC=6,CD=5,求尸G的长.

18.如图，。。的直径AB垂直弦CD于点E,点F在AB的延长线上，且/BCF=/A.

(1)求证：直线CF是。O的切线；

(2)若。O的半径为5,DB=4.求sin/D的值.

参考答案

题号123456

答案BBBCAD

1.B

【分析】根据切线长定理即可得到答案.

【详解】因为PA和PB与。。相切，根据切线长定理，所以PA=PB=3,故选B.

【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理.

2.B

【分析】利用切线长定理求解即可.

【详解】解：AC,应＞是。。的切线，切点分别为P,C,D,AB=5,BD=2,

：.PB=BD=2,

：.AC=AP=AB-PB=3,

故选B.

【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟知切线长定理是解题的关键.

3.B

【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于AB、AC、BD是。。的切线，则AC=AP,

BP=BD,求出BP的长即可求出BD的长.

【详解】解：•.•AC、A尸为。。的切线，

s.AC^AP,

­.BP,BD为。。的切线，

:.BP=BD,

BD=PB=AB-AP=5-3=2.

故选：B.

4.C

【分析】连接。4、OB、AD,根据正五边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定

方法，再逐个判断即可.

【详解】•五边形ABCDE是正五边形，

NBAE=ZABC=NC=NEDC=NE=.-2)x180=侬。，BC=CD,

5

ZCBD=NCDB=|x(180°-ZC)=36°,

ZABD=108°-36°=72°,

:.ZEAB+ZABD=180°,

AE//BF,故A不符合题意；

■.■ZF=ZCDB=36°,

AF//CD,故B不符合题意；

连接A。，过点A作AHLDF于点H,^WNAHF=NAHD=90。,

vZ£DC=108°,ZCDB=ZEDA=36°,

ZADF=108°-36°-36°=36°=ZF,

:.AD=AF,故C符合题意；

连接。4、OB,

-：五边形ABCDE是正五边形,

ZAOB==72°,

-,-OA=OB,

NOAB=ZOBA=；(180°-72。)=54°

•/E4相切于。。，

:.ZOAF=90°9

ZFAB=90°-54°=36°,

・・・NABD=72。，

...NF=72°-36°=ZFAB,

:.AB=BF,故D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平

行线的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键.

5.A

【详解】:根据AB=AC,连接AD,利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点,OD是^ABC

的中位线，OD〃AC,然后由DELAC,得到NODE=90。，可以证明DE是。O的切线.

根据CD=BD,AO=BO,得到0D是△ABC的中位线，同上可以证明DE是。。的切线.

根据AC〃OD,ACXDE,得到NEDO=90。，可以证明DE是。。的切线.故选A.

6.D

【分析】对于4过一点可以有无数条直线，圆内接三角形的顶点在三角形的边上，但三角

形的边所在直线不是圆的切线；

对于C,明确直线与圆的位置情况有三种，据此进行判断；

对于3、D,掌握直线与圆有交点时可能是相交也可能是相切，想想什么情况下相切，据此

即可判断说法的正误.

【详解】•••圆内接三角形的每条边都与圆有两个交点，

不正确.

:直线与圆有三种位置关系：相离、相切、相交，

C不正确.

•••直线与圆有公共点的情况包括相交和相切两种情况，只有直线和圆有唯一公共点时，直线

与圆才相切，

.•.8不正确，。正确.

故答案选D.

【点睛】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握直线与圆的位

置关系.

7.4

【分析】直线1与。。相切时，直线到圆心的距离等于圆的半径，因而直线1沿射线OA方

向平移4cm时与＜30相切.

【详解】：直线到圆心的距离等于圆的半径，直线1与。。相切，

直线1沿射线0A方向平移4cm时与。0相切.

故答案为4.

【点睛】本题考查切线的性质.

8.20°/20度

【分析】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握切线的性

质是解题的关键.根据切线的性质可得/外。=90。，再利用直角三角形的两个锐角互余可

得答案.

【详解】解：：上4与0相切于A点，

：.ZPAO=90°,

•/ZPOA=10°,

：.ZP=90°-70°=20°,

故答案为：20°.

9.117.5。/117.5度

【分析】由点。是VA5c的内心，可得20,C。分别为NABC,-1CB的角平分线，由

ZABC=50°,ZACB=75°,可得NO8C=25。，ZOCB=37.5°,由三角形的内角和可求出答

案.

【详解】解：•点。是VABC的内心，

.­.BO,CO分别为/ABC,ZACB的角平分线，

-.■ZABC=50°,/ACS=75。，

ZOBC=-ZABC=25°,ZOCB=-NACB=37.5°,

22

ZBOC=180°-25°-37.5°=117.5°.

故答案为：117.5。.

【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键.

10.5

【详解】如图，设。C与。。的切点为E,

：以、分别是。。的切线，且切点为A、B,

：.PA=PB,

同理，可得：DE=DA,CE=CB,

则4PCD^J^^=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=1Q(cm),

PA=PB=5cm,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了切线的性质，解题的关键是熟练掌握切线性质.

11.33。/33度

【详解】解：过点E作EFLBD于点R连接AD,

•.•点E在8。的垂直平分线上,

,,BE~ED，

直线跖必过圆心，EF//AD,

'：ZABC=24°,

ZBOF=ZAOE=ABAD=66°,

180。一66。

ZBAE==57°,

2

ZADB=90",

：.ADAC=1800-NBAE-ABAD=180°-57°-66°=57°,

ZC=180°-ZZMC-ZADC=180°-57°-90°=33°.

故答案为33。.

【点睛】属于圆的综合题，考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，垂径定理，比较基础.

12.46T

【分析】求出。l=l+f,根据四边形。4BC是菱形，得出OC=l+f,当O尸与Q4相切，即

与x轴相切时，则切点为。，此时PC=OP,过P作尸ELOC,得出OE==,根据

2

OE=OPcos30°=2y/3,得出—=2』，求出结果即可.

【详解】解：点从（1，。）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，

经过f秒后，

OA=1+%,

•.•四边形ORC是菱形，

...OC=l+t,

当OP与。4相切，即与X轴相切时，如图所示，则切点为。，此时PC=OP,过尸作PELOC,

OE=CE=-OC,

2

：.OE=—

2

在RtZkOPE中,

O£=OPcos30°=2^,

：.1=2卮

t=45/3—1,

故答案为：46-1.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，切

线的性质，解题的关键是数形结合，根据题意作出图形，熟练掌握基本性质.

13.(1)AC=4；⑵详见解析.

【分析】(1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得

AC的长即可;

(2)连接OC,证OCLCD即可;利用角平分线的性质和等边对等角，可证得/OCA=/CAD,

即可得至IJOC〃AD,由于AD_LCD,那么OC_LCD,由此得证.

【详解】解：(1)：AB是。O直径，C在。。上,

；.NACB=90°,

又：BC=3,AB=5,

由勾股定理得AC=4；

(2)证明：连接OC

：AC是NDAB的角平分线,

；.NDAC=NBAC,

又：AD_LDC,

.•.ZADC=ZACB=90°,

.•.△ADC^>AACB,

；./DCA=NCBA,

又：OA=OC,

.'.ZOAC=ZOCA,

VZOAC+ZOBC=90°,

ZOCA+ZACD=ZOCD=90°,

；.DC是。O的切线.

【点睛】本题考查的知识点是切线的判定方法，解题关键是熟记要证某线是圆的切线，已知

此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.

14.(1)80°,130°；

(2)见解析过程；

(3)见解析过程.

【分析】(1)由圆周角定理可得/ACB=/Ar>2=70°,由三角形的内心的性质可得NAEB

=125°；

(2)由三角形的内心的性质可得AE平分N8AC,BE平分/ABC,可得

NABE=NCBE,由外角的性质可得NOBE,可证Z)E=CD；

(3)由垂径定理可得。由平行线的性质可得OOLOG,可得结论.

【详解】(1)解：如图，连接2。，OD,

AB=AB，

AZACB=ZADB=80°,

AZABC+ZBAC=100°,

:点E是△ABC的内心，

平分/8AC,BE平分NABC,

ZBAE=ZCAE,ZABE=ZCBE,

：.ZBAE+ZABE^50°,

：.ZAEB=130°,

故答案为：80°,130°；

A

BD=CD，

:.BD=CD,

,：ZBAE=ZCAE=ZCBD,ZABE=ZCBE,

：.ZBED=ZBAE+ZABE=ZCBD+ZCBE=ZDBE,

：.BD=DE,

:.DE=CD；

(3)证明：：BD=CD，

：.OD±BC,

,:DG〃BC,

：.OD±DG,

又是半径，

.••OG是O。的切线.

【点睛】本题考查了三角形的内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质

解决问题是解题的关键.

15.证明见解析

【分析】连结OP、OA,设。尸交于C,由切线长定理可得以=尸3,尸。平分NAP2,

ZBOP+ZBPO=90°,再根据OA=OB与线段垂直平分线的判定可得。尸与AB垂直，从而可

得/ABO+/3OP=90。，问题得证.

【详解】连结OP、OA,设OP交48于点C,

：孙、尸3是。。的两条切线，

ZOBP=ZOAP=90°,ZBPO=ZAPO=^ZAPB,PA^PB,

：.ZBOP+ZBPO=90°,

'：OA=OB,

：.PO±AB,

：.ZOCB=90°,

：.ZAB0+ZB0P=9Q°,

：.ZABO=ZBPO,

：.ZABO=^ZAPB.

【点睛】本题主要考查了圆的切线长定理，解决问题的关键是熟练掌握切线长定理，线段垂

直平分线的判定，直角三角形两锐角互余.

16.证明见解析.

【分析】连接07,根据直线与圆的关系，得到。TLP。，再结合题意，得至IJOT〃AC,最

后根据角的转化关系进行作答.

【详解】解：连接0T,：尸。是。。的切线，；.。7，尸。，；.OT〃AC,所以N。窗

=Z7AC,'：OA=OT,：.ZOAT=ZOTA.：.ZOAT=ZTAC,平分/BAC.

【点睛】

p

17.（1）AG与。。相切，理由见解析；（2）FG=y

【分析】（1）如图，连接。尸，根据直角三角形的性质得到CZ）=8。，得到〃BC=/DCB,

根据等腰三角形的性质得到ZOFC=/OCF得至IJ/OFC=NDBC,推出/OFG=q。。，于

是得到结论；

⑵连接。品根据勾股定理得到BC=JAB?-=8，根据圆周角定理得到

根据三角函数的定义即可得到结论.

【详解】解：⑴