2025年中考数学总复习学案：几何综合题（含答案）

微专题46几何综合题

类型一动点型探究

1.综合探究

已知点E是边长为2的正方形AH2内部一个动点，始终保持NAEQ=90°.

【初步探究】

(1)如图①，延长。E交边5。于点尸.当点尸是5。的中点时，求笔的值;

AE

【深入探究】

⑵如图②，连接虚并延长交边AZ)于点环当点”是AZ)的中点时，求票的

值.

第1题图

2.综合运用

如图，在平面直角坐标系中，矩形A5CD的顶点。在原点。处，已知点5(8,

0),D(0,6),连接AC,E是CO上一动点(不与点。，。重合)，过点E

作E尸〃AC交于点尸，过点E作EG_LE/交5。于点G,连接尸G.

(1)若DE=CG,求证：bDEF”XCGE；

(2)设。E=a,用含Q的式子表示AEFG的面积，并求出△EFG面积的最大值.

第2题图

3.已知R304BZOAB^90°,ZABO=30°,斜边05=4,将Rt/k。45绕

点。顺时针旋转60°,如图①，连接5C

(1)填空：ZOBC=°；

(2)如图①，连接4C,作OPLAC,垂足为尸，求。尸的长度；

(3)如图②，点V,N同时从点O出发，在△。。台边上运动，M沿OTC—B

路径匀速运动，N沿。一5一。路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点

M的运动速度为1.5单位邓，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为％秒,

△OMN的面积为》求当％为何值时y取得最大值？最大值为多少？

第3题图

类型二动线型探究

1.(2024佛山一模节选)综合探究

如图，点B,E是射线4。上的动点，以为边在射线4。上方作正方形A5CD,

连接。E,作。石的垂直平分线/G,垂足为“，尸G分别与直线5C,AD,DC交

于点V,F,G,连接EG交直线于点K.

(1)设A5=4,当石恰好是A5的中点时，求。尸的长；

(2)若DG=DE,猜想"G与AE的数量关系，并证明.

DC八DC

*iry\</A-

AEBQABQ

笫I题图备用图

2.综合探究

如图①，在平面直角坐标系中，菱形。45。的顶点A在％轴的正半轴上，点A(5,

0),C(-3,4),直线/：y=x+t(-5<?<0)交。4边于点。，交A5边于

点E,点A与点4关于直线/对称，连接AD,A'E.

(1)当彳的值为多少时，E为A5的中点；(直接写出结果，不要求写出解答过

程)

(2)如图②，设△ADE的边A'D^AA'E分别与BC交于点M,N.记四边形DENM

的面积为S,求S关于i的函数表达式，并求出才的取值范围.

第2题图

3.(2024佛山南海区二模)综合探究

如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，口A5CD的顶点5,。在入轴上，A

在y轴上，。4=0。=205=4,直线>=%+%(―2W/W4)分别与％轴，y轴，

线段A。，直线交于点E,F,P,Q.

(1)当1=1时，求证：AP=DP；

(2)探究线段AP,尸。之间的数量关系，并说明理由；

(3)在入轴上是否存在点V,使得NPNQ=90°,且以点V,P,。为顶点的

三角形与△495相似，若存在，请求出此时才的值以及点m的坐标；若不存在,

请说明理由.

类型三动面型探究

1.如图①，在平面直角坐标系中，。为原点，矩形。45。的顶点A(4,0),

C(0,3).以点。为中心，逆时针旋转矩形。45C,得到矩形。45。，点A,B,

。的对应点分别为4,B',C.

(1)如图②，当点。落在AC上时(不与点。重合)，求点夕的坐标；

(2)如图③，。4交5。于点。，当05恰好平分N4Q4时，求的长.

第1题图

2.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，菱形。45。的顶点A(4,0),C(2,

2V3),矩形OOE下的顶点。(0,V3),F(-4,0).

(1)如图①，点E的坐标为，点5的坐标为；

(2)将矩形ODE尸沿水平方向向右平移，得到矩形OD七户'，点O,D,E,F

的对应点分别为O,D',E',9.设00=7,矩形七户与菱形。45。重叠部

分的面积为S.当边OD与AB相交于点G,边OC分别与D'E',E尸相交于点H,

M,且矩形ODE9与菱形。45。重叠部分为六边形时，试用含才的式子表示S,

并直接写出才的取值范围.

第2题图

3.(2024广东22题13分)【知识技能】

(1)如图①，在AABC中，。石是△ABC的中位线.连接CD,将绕点。

按逆时针方向旋转，得到△4。。.当点E的对应点？与点A重合时，求证：AB

=BC.

【数学理解】

(2)如图②，在△A3。中〃5<5。)，。石是△ABC的中位线.连接CD,ADC

绕点。按逆时针方向旋转，得到△ADC,连接AB,CC,作△A5。的中线。尸.

求证：2DFCD=BDCC：

【拓展探索】

⑶如图③，在△A5C中，tanB=1,点。在A5上,AZ)=^.过点。作。

垂足为E,BE=3,CE*.在四边形ADEC内是否存在点G,使得NAGD+NCGE

=180°?若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

第3题图

类型一动点型探究

1.解：（1）如解图①，•.•在正方形A5C。中，N4ED=NAZ）C=NC=90°，AB

=BC=CD=AD=2,

：.Z2=90°-Z3=Z1,

tanZ2=tanZl,

.DE_CF_CF

*9AECDCB*

丁方是BC的中点，

•DE_CF_1

••----------；

AECB2

p£4

____觇

4n

第1题解图①

(2)如解图②，延长。E交边5C于点尸，

是A。的中点，ZAED=90°,

1

：.AM=MD^ME=-AD=1,

2

：.Z2=Z1,

在中，MC=IMD*12+CD2=J12+22=V5,

CE=MC-ME=VS~1.

,在正方形A5CD中，AD//BC,

.*.Z2=Z4,

VZ1=Z3,

.*.Z4=Z3,

：.CF=CE=V5-1,

与(1)同理可得，有=!!=?•

第1题解图②

2.(1)证明：•.•四边形A5CZ)是矩形，

ZADC=ZDCB=90°,

\'EG±EF,：.ZFEG=90°,

：.ZCEG+ZFED=90°,

VZDFE+ZFED=90°,

：.ZDFE=ZCEG,

"：DE=CG,NFDE=/ECG,

.*.△ACGE(AAS)；

(2)解:VB(8,0),D(0,6),

：.CB=8,CD=6,

•••四边形A5CD是矩形，

：.AD=BC=S,

在Rt^AQC中，AC=JAD2+CD2=10.

\'EF//AC,

：.ADEF^ADCA

由(1)知NZ)FE=NCEG,

'：EF//AC,

：.ZDFE=ZDAC,

：.ZCEG=ZDAC,

,?ZECG=ZADC,

.*.△CEG^ADAC,

即匚=吧，解得EG=9(6—a),

DAAC8104V7

：.SEFG=-EF-EG=-X-aX-(6-a)=-(6a-a2)=--(a-3)2+-,

A2234124^24^8

25

V--<0,0<a<6,

24

J当a=3时，△EFG的面积有最大值，最大值为捺

O

3.解：(1)60；

【解法提示】由旋转的性质可知，OB=OC,/50。=60°,05。是等边三

角形，：.ZOBC=60°.

(2)在R3OAB中，05=4,ZABO=30°,

：.ZAOB=60°,OA=/5=2,AB=OBcos30°=2®

2

由旋转的性质可知，OB=OC,ZBOC=60°,

，△05C是等边三角形，

ZAOB=ZOBC=60°,BC=OB=4,

：.OA//BC,A5即为△AOC的高，

：.S^AOC=-AO-AB=-X2X243=2-^3,

22

VZABC=ZABO+ZOBC=90°,

：.AC=JAB2+BC2=J(2V3)2+42=2V7,

'：OP±AC,

：.S^AOC=IAC-OP,BP|X2V7-OP=2V3,

解得OP二等；

一题多解法

由旋转的性质可知，OB=OC,

/BOC=60°,

.*.△08。为等边三角形，

：.BC=OB=4,ZOBC=60°,

VZAB0=30°,

：.OA=-OB=2,AB=—OB=2V3,NA5C=90°,

22

J.BC//OA,AC=JAB2+BC2=2V7,

：.ZPAO=ZACB,

AB

•••sm•Z/A人CCDB=—=——V21，

AC7

：.smZPAO=sinZACB=—,

7

.OP_421

••,

OA7

（3）根据题意得，M运动到点。时，所需时间为W=|（秒），N运动到点5时，所

需时间为：=4（秒），当V,N相遇时，所需时间为—==（秒），

1（1+1.5）5

...分三种情况讨论：

①当0<%甘时，点又在0。上，点N在05上，如解图①，过点N作NELOC

于点E,

则NE=OMsin60°=*,

：.y=-OM-NE=-X1.5xX—=—x2,

,222x8

••38、八

•1U，

8

・•・当尸町y最广¥><（守=哈

②当：<%<4时，点”在上，点N在05上，如解图②，

W=8-|x,过点M作MF±0B于点F,

：.MF=BMsin60°=y(8-|x),

,-.y=>W=|4(8-|x)=2V3x-^,

y最大=2遮X//X(.=竽

③当时，点M,N都在BC上，如解图③,

MN=12—%,

2

过点。作0GLBC于点G,

则0G=AB=2®

.•.y=|M^-OG=|(12-|x)-2V3=-^x+12a

V--<0,

2

工当％=4时,y最大=2班.

综上所述，当时，y取得最大值，最大值为

第3题解图

类型二动线型探究

1.解：(1)如解图①，连接ER

在正方形A5CD中，AB=AD=4,

•；E是AB中点,

：.AE=EB=2,

•1F为线段DE垂直平分线上一点,

：.DF=EF,

设。尸=%,则A尸=4—%,

在R3AFE中，根据勾股定理得，(4-%)2+22=%2,

解得％=三，；.DF=J

22

r“K3C76-

/I

A£RQ

第1题解图①

(2)HG=V3AE.证明如下：

•「G尸垂直平分。E,

：.DG=GE,ZDHG=9Q°,

,:DG=DE,

:.DG=DE=EG,

.•.△QGE是等边三角形，

.*.ZGDE=60°,

二•正方形ABC。中，ZCDA=ZDAB=90°,

：.ZADE=ZDGH=30°,

1

：.AE=-DE^DH,

2

•：NDAE=/DHG=90°,

.'.AADE^AHGD,

：.AD=HG,

在Rt^AQE中，AD^y/3AE,

:.HG=6AE.

2.解：⑴—一|时，E为A5的中点；

【解法提示】:4(5,0),四边形。45。是菱形，.\。4=5。=5,OA//BC.VC(-

3,4),.•.5(2,4).丁石为A5中点，.-.£(1，2),将点E代入>=%+/中，得(十1

=2,解得/=一|.

(2)如解图，记交y轴于点区

•••四边形O4BC为菱形,4(5,0),。(一3,4),

：.ZOAE=ZC,BC//OA,OA=BC=5,CH=3,OH=4,

,,OH4

在RtACOH中，tanC=—=~,

CH3

由对称的性质，得A3=A。，ZAr=ZOAE=ZC,ZADE=ZArDE,AtanAr

_4

3,

由题意可知，NAOE=45°,

ZA'DE=ZADE=45°,

：.ZA'DA=9Q°,

ZA'MN^90°,DM=OH=4.

在y=%+/中，令y=0,得％+/=0,解得％=一/，.,.OD=~t,AD=5+t.

4

VDM=4,tan4'==

3

：.A'M^A'D-DM=AD-DM=l+t,

：.在RtAA'MN中，MN=A'M-tanAf=1(l+1),

/.SAA'MN=^A'M-MN=^(1+02.

如解图，过点E作EKLOA于点K,

设。K=x,则4K=5+/—%.

VZEDK=45°,ZEKD=90°,

：.EK=DK=x,

在R3AEK中，VtanA=—=-,解得％=生

AK35+t-x37

•••SAA，DE=SAADE=^AD-EK=^X(5+。X^^=|(5+tf,

S=SAADE-SAAMV=：(5+02-1(I+/)2=一白2+今+等.

\"A'D>DM,.*.5+?>4,：.t>~l,

又:一5<彳<0,

••"的取值范围为一

rh"

-+DKA*

第2题解图

3.(1)证明：由04=00=205=4知，0C=4,05=2,

又•••四边形ABCD为平行四边形，

：.AD=BC=6,

则点A,5的坐标分别为(0,4),(-2,0),

当y=4时，y=x-\-t=4,

则x=4—?=4—1=3=1AD,

即点尸(3,4),

：.AP^DP-,

(2)解：PQ=2^2AP,理由：

由点4,5的坐标，得直线45的表达式为y=2%+4,

联立上式和y=%+/得2%+4=%+/，

解得％=/—4,

即点。。一4,2/—4),

在直线>=%+%中，当y=4时，x=4~t,

•••点尸(4—彳，4),

则AP=4-r,

由点尸，。的坐标，得尸。=2迎(4—。=2鱼AP；

(3)解：存在.如解图①②③，过点P作PH±x轴于点H,过点Q作QILx轴于点

I,

设点"(机，0),

由(2)知，点尸,。的坐标分别为(4—K4),Q—4,2Z-4),

则Im-4+rI,PH=OA=4,IM=Im-?+4I,QI=I4-2?I,

VZPMH+ZQMI=90°,ZQMI+ZIQM=90°,

ZIQM=ZPMH,

又♦：NPHM=/MIQ=90°,

：.APHM^AMIQ,

•.•以点M,P,。为顶点的三角形与相似，

则PM：QM=2或点

.,.RtAPHM和RtAMIQ的相似比为2或3

-1

则PH：MI=HM：IQ=2或点

当机＞0时，如解图①②，

当相似比为2时，如解图①，

里=吧=2

MIQI'

则?”=24〃，MH=2QI,

即4=2(m一/+4)且4—t—m=2(2t—4),

/ovH*

第3题解图①

解得

m=-3,t=~3,

17

即点M(I,0),?=-；

当相似比为机寸，如解图②,

PH_MH_1

MIQI2'

则尸”=之必，MH=^QI,

'〃

第3题解图②

则2X4=zw—4)且2(加一4+。=4-2彳,

解得加=甘，片|,

则点M(—,0)>?=-；

当加<0时，如解图③，

第3题解图③

当相似比为2时，如解图③,

空=吧

MIQI'

则尸"=2Af/,MH=2QI,

则4=2[«-4)一川且4一才一加=2(4—2。,

解得加=-7,t=-1,

即点"(一7,0),t=~l；

当相似比为机寸，

经验证，该情况不存在，

综上所述，点呜0),/=(或M(g,0),/=|或M—7,0),t=~l.

类型三动面型探究

1.解：(1)如解图,连接。9，AB',

VA(4,0),C(0,3),

AOA=4,OC=3,

由旋转的性质，得。O=CO=3,OA'=OA=4,

：.ZOCA=ZOC'C,

・・/4。44

•tanZOCA=—=一，

oc3

p'r'4

tanZB,OC,=^=-,

OC3

：.ZOCA=ZB'OC,

：.ZOC'C=ZB'OC,

：.AC//OB',

•四边形A5co为矩形，

：.AC=OB',

：.四边形OCA9是平行四边形，

：.AB'=OC=3,AB'//OC,即A5'〃y轴，

.•.点"的坐标为(4,-3)；

第1题解图

(2):05平分/4。4,

：.ZDOB=ZAOB,

,JBC//OA,

ZDBO=ZAOB,

：.ZDOB=ZDBO,

：.BD=OD,

设则50=5。一CO=4一%,

0D=4—x,

在RtAOCD中，由勾股定理，得OD^CD^OC2,

(4—x)2=x2+32,解得x=2,

8

25

：.BD=4-x=—.

8

2.解：(1)(-4,V3),(6,2V3)；

【解法提示】•.•四边形OOE尸为矩形，。(0,V3),F(-4,0),，E(—4,V3),

•.•四边形。45。为菱形，4(4,0),.\5。=。4=4,VC(2,2巡)，：.B(6,2旧).

(2)如解图，过点。作CNLOA于点N,

VC(2,2V3),

：.ON=2,CN=?W,

・•・CN2V3/TV

tan/CON=—ON=——2=V3,

：.ZCON=60°,

过点"作"HXx轴于点H,

"：E'F'=V3,

：.HR=E'F'=V3,

VZCOA=60°,

.CDHR遮1

..07?=------=7=1,

tan60°v3

V3),

由平移可知OO'=EE'=t,

VE(-4,V3),

：.E'(~4+t,V3),

：.E'H=l-(~4+t)=5-t,

VZE'HO=ZH0F'=6Q°,

.•.石河=?”心1160°=V3(5-r),

•.•在RtAAGO中，AO'=OO'-OA=t-4,ZGAO'=ZCOA=60°,

：.GO,=AO,-tan60°=g«—4),

S=S矩形oDE户，—SAMHE，—5AAGO,=4A/3—|XV3(5—02—|xV3(r—4)2=—V3^+

9.一当,其中t的取值范围是4<r<5.

第2题解图

3.(1)证明：•「DE是△4与。的中位线，

：.DE=-BC,AD=-AB,

22

由旋转性质得AZ)=Z)E,

C.AB^BC-,(3分)

(2)证明：如解图①，连接AT,

•.•。石是△ABC的中位线，尸为A3的中点，

：.DA=BD,

尸是△ART的中位线，

：.2DF^AA',

由旋转性质得△A。。0△A。。，ZA'DA=ZC'DC,A'D^AD,C'D=CD,

•••~A'D_AD,

CDCD

.*.AA'DA^ACDC,

•A'ADA

CCDC

•2DF_BD

••，

CCDC

：.2DFCD=BD・CC；（7分）

A'

R乙-----—

第3题解图①

（3）解：存在点G,使得NAGD+NCGE=180°,证明如下：

如解图②，过点。作。尸〃5。交AC于点尸，过点。作CHLA5于点区DF与

CH交于点G,连接EG,AG,

'：DE±BC,

：.ZDEB=90°,

在RtABDE中,tanB=[,BE=3,

：.DE=4,BD=5,cosB=~,sin5=3,（8分）

在R35C"