2025年中考数学一轮复习学案：4.5 多边形与平行四边形 （教师版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第四章三角形及四边形

4.5多边形与平行四边形

考点分布考查频率命题趋势

考点1多边形☆☆数学中考中，有关的多边形与平行四边形部分，每年

考查1~2道题,分值为3~8分，通常以选择题、填空

考点2平行四边形的判定

题、解答题的形式考查。在解答题里出现涉及证明和

☆☆☆

及相关证明计算，属于中考重点知识点。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.多边形

1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。

4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°

7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

8.多边形对角线的条数：

（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。

n(n-3)

（2）n边形共有条对角线。

2

考点2.平行四边形的判定及相关证明

1.平行四边形定义

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，读作“平行四边

形ABCD”。

2.平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等；

（2）平行四边形的对角相等；

（3）平行四边形的对角线互相平分。

3.平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4.平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah

5.三角形中位线问题

1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3.对三角形中位线的深刻理解

（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角

11

形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.

24

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

【易错点提示】

易错点1.截角问题中忽视多种情况而致错

分析指导：截去一个角的方法不止一种，要按照截线经过的顶点的个数进行分类讨论：（1）不经过

顶点；（2）经过一个顶点；（3）经过两个顶点.

易错点2.无图的题目中因没有分类讨论而出现漏解

分析指导：对于题目中没有给出图形但需要画图形解答的题目，要考虑周到，画出符合条件的所有图

形，以免漏解.

考点1.多边形

【例题1】（2024甘肃临夏）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边

形（如图2），则该正六边形的每个内角为______．

【答案】120

【解析】本题考查多边形内角和，正多边形的性质．掌握n边形内角和为n2180和正多边形

的每个内角都相等是解题关键．根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和为720，再除以6即

可．

【详解】∵正六边形的内角和为62180720，

∴正六边形的每个内角为7206120．

【变式练1】（2024黑龙江龙东一模）已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）

A.八边形B.九边形C.十边形D.十二边形

【答案】C

【解析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.

设这个多边形的边数为n，

则（n－2）×180°＝4×360°，

解得：n＝10.

【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解

答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2)×180°，n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方

程求解．

【变式练2】（2024上海一模）如果一个正多边形的中心角是20，那么这个正多边形的边数为

________．

【答案】18

【解析】根据正n边形的中心角的度数为360n进行计算即可得到答案．

根据正n边形的中心角的度数为360n，

则n3602018，

故这个正多边形的边数为18．

【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．

【变式练3】（2024湖南长沙一模）若一个多边形的内角和的比它的外角和多90°，那么这个多

边形的边数是多少？

【答案】12

【解析】设这个多边形的边数是n，

由题意得：（n﹣2）×180°﹣360°＝90°，

∴n＝12，

答：这个多边形的边数是12．

考点2.平行四边形的判定及相关证明

【例题2】（2024广西）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60，

则重合部分构成的四边形ABCD的周长为______cm．

【答案】83

【解析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作AMBC于M，

ANCD于N，由题意易得四边形ABCD是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得

AN

AMAN，即可得到四边形ABCD是菱形，再解Rt△ADN可得AD23cm，即可

sin60

求解，得出四边形ABCD是菱形是解题的关键．

【详解】过点A作AMBC于M，ANCD于N，则AND90，

∵两张纸条的对边平行，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵两张纸条的宽度相等，∴AMAN，

∵，∴，

SABCDBC·AMCD·ANBCCD

∴四边形ABCD是菱形，

在Rt△ADN中，ADN60，AN3cm，

AN3

AD23cm

∴sin603，

2

∴四边形ABCD的周长为23483cm

【变式练1】（2024郑州一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件

不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）

A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC

C．AB∥DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD

【答案】C

【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；

∵AB＝DC，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；

∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边

形ABCD是平行四边形；

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；

【变式练2】（2024福州一模）如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，

则∠2的度数是_______.

【答案】110°

【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平

行四边形性质或三角形外角的有关知识．思路：首先利用平行四边形的性质求出∠BAE的度数，再由

∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，

∴∠BAE=∠1=20°

∵BE⊥AB

∴∠ABE=90°

∵∠2是△ABE的外角

∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110，故答案为110°.

【变式练3】（2024杭州一模）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分

别相交于点E、F.求证：OE＝OF.

【答案】见解析。

【解析】根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.

∠FDO＝∠EBO，

在△DFO和△BEO中，OD＝OB，

∠FOD＝∠EOB，

∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.

方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互

相平分的性质．

【变式练4】（中位线问题）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，

则OE的长是（）

A．2.5B．3C．4D．5

【答案】A

【解析】∵四边形ABCD为菱形，

∴CD＝BC5，且O为BD的中点，

∵E为CD的中点，

∴OE为△BCD的中位线，

∴OECB＝2.5

考点1.多边形

1.（2024四川乐山）下列多边形中，内角和最小的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】边数为n的多边形的内角和n2180，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形

的内角和，即可得到．

三角形的内角和等于180

四边形的内角和等于360

五边形的内角和等于52180540

六边形的内角和等于62180720

所以三角形的内角和最小故选：A．

【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记边数为n的多边形的内角和n2180是解此题

的关键．

2.（2024云南省）一个七边形的内角和等于（）

A.540B.900C.980D.1080

【答案】B

【解析】本题考查多边形的内角和，根据n边形的内角和为n2180求解，即可解题．

一个七边形的内角和等于72180900，故选：B．

3.（2024重庆市A）如果一个多边形的每一个外角都是40，那么这个多边形的边数为______．

【答案】9

【解析】本题考查了多边形的外角和定理，用外角和360除以40即可求解，掌握多边形的外角和

等于360是解题的关键．

360409，

∴这个多边形的边数是9．

4.（2024河北省）直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M，N，如图所示，则a

（）

A.115B.120C.135D.144

【答案】B

【解析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的

关键．

先求出正六边形的每个内角为120，再根据六边形MBCDEN的内角和为720即可求解

ENMNMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．

62180

【详解】解：正六边形每个内角为：120，

6

而六边形MBCDEN的内角和也为62180720，

∴BCDEENMNMB720，

∴ENMNMB7204120240，

∵ENMNMB1802360，

∴360240120，故选：B．

5.（2024内蒙古赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，

若l，m所在的直线相交形成的锐角为60，则n的值是（）

A.5B.6C.8D.10

【答案】B

【解析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和360除以外角度数即可

求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．

【详解】如图，直线l、m相交于点A，则A60，

∵正多边形的每个内角相等，

∴正多边形的每个外角也相等，

18060

∴1260，

2

360

∴n6，

60

故选：B．

6.（2024山东枣庄）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为

边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若ABN120，则n的值为（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【解析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到

正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.

【详解】∵正方形BCMN，

∴NBC90，

∵ABN120，

∴ABC36090120150，

∴正n边形的一个外角为18015030，

360

∴n的值为12；故选A

30

7.（2024内蒙古包头）已知一个n边形的内角和是900，则n________．

【答案】7

【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，多边形的内角和可以表示成

n2180，依此列方程可求解．

根据题意，得n2180900，

解得n7

8.（2024山东威海）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BIAH，垂足为点I．若

EFG20，则ABI________．

【答案】50##50度

【解析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个

内角为120，即EFAFAB120，则可求得GFA的度数，根据平行线的性质可求得FAH

的度数，进而可求出HAB的度数，再根据三角形内角和定理即可求出ABI的度数．

∵正六边形的内角和(62)180720，

每个内角为：7206120，

EFAFAB120，

EFG20，

GFA12020100，

AH∥FG，

FAHGFA180，

FAH180GFA18010080，

HABFABFAH1208040，

BIAH，

BIA90，

ABI904050．

考点2.平行四边形的判定及相关证明

1.（2024贵州省）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的

是（）

A.ABBCB.ADBCC.OAOBD.ACBD

【答案】B

【解析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解

题的关键．

∵ABCD是平行四边形，

∴ABCD，ADBC，AOOC，BOOD，故选B．

2.（2024河南省）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB

交BC于点F．若AB4，则EF的长为（）

14

A.B.1C.D.2

23

【答案】B

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、

1

线段中点定义可得出CEAC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．

4

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，

1

∴OCAC，

2

∵点E为OC的中点，

11

∴CEOCAC，

24

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

EFCEEF1

∴，即，

ABAC44

∴EF1，故选：B．

3.（2024四川广安）如图，在ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若A45，

CED70，则C的度数为（）

A.45B.50C.60D.65

【答案】D

【解析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确

识图是解题的关键．先证明DE∥AB，可得CDEA45，再利用三角形的内角和定理可得

答案.

【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，

∴DE∥AB，

∵A45，

∴CDEA45，

∵CED70，

∴C180457065，故选D

4.（2024湖南长沙）如图，在ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE12，

则AB的长为______．

【答案】24

【解析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是

解题的关键．

∵D，E分别是AC，BC的中点，

∴DE是ABC的中点，

∴AB2DE21224．

5.（2024重庆市A）如图，在ABC中，延长AC至点D，使CDCA，过点D作DE∥CB，且

DEDC，连接AE交BC于点F．若CABCFA，CF1，则BF______．

【答案】3

【解析】先根据平行线分线段成比例证AFEF，进而得DECDAC2CF2，AD4，

再证明CAB≌DEA，得BCAD4，从而即可得解．

【详解】∵CDCA，过点D作DE∥CB，CDCA，DEDC，

FACA

∴1，CDCADE，

FECD

∴AFEF，

∴DECDAC2CF2，

∴ADACCD4，

∵DE∥CB，

∴CFAE，ACBD，

∵CABCFA，

∴CABE，

∵CDCA，DECD，

∴CADE，

∴CAB≌DEA，

∴BCAD4，

∴BFBCCF3，故答案为：3，

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形

的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是

解题的关键．

6.（2024河北省）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

已知：如图，ABC中，ABAC，AE平分ABC的外角CAN，点M是AC的中

点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵ABAC，∴ABC3．

∵CANABC3，CAN12，12，

∴①______．

又∵45，MAMC，

∴△MAD≌△MCB（②______）．

∴MDMB．∴四边形ABCD是平行四边形．

若以上解答过程正确，①，②应分别为（）

A.13，AASB.13，ASA

C.23，AASD.23，ASA

【答案】D

【解析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得ABC3，

根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得23，证明△MAD≌△MCB，得到MDMB，

再结合中点的定义得出MAMC，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行

四边形．

【详解】证明：∵ABAC，∴ABC3．

∵CANABC3，CAN12，12，

∴①23．

又∵45，MAMC，

∴△MAD≌△MCB（②ASA）．

∴MDMB．∴四边形ABCD是平行四边形．故选：D．

7.（2024广州）如图，平行四边形ABCD中，BC2，点E在DA的延长线上，BE3，若BA平

分EBC，则DE______．

【答案】5

【解析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关

键．由平行四边形的性质可知，ADBC2，BC∥AD，进而得出BAEEBA，再由等角

对等边的性质，得到BEAE3，即可求出DE的长．

【详解】在平行四边形ABCD中，BC2，

ADBC2，BC∥AD，

CBABAE，

BA平分EBC，

CBAEBA，

BAEEBA，

BEAE3，

DEADAE235．

8.（2024武汉市）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AFCE．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）

【答案】（1）见解析（2）添加AFBE（答案不唯一）

【解析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；

（1）根据平行四边形的性质得出ABCD，BD，结合已知条件可得DFBE，即可证明

△ABE≌△CDF；

（2）添加AFBE，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．

【小问1详解】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ABCD，ADBC，BD，

∵AFCE，

∴ADAFBCCE即DFBE，

在ABE与CDF中，

ABCD

BD，

BEDF

∴ABE≌CDFSAS；

【小问2详解】

添加AFBE（答案不唯一）

如图所示，连接EF．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，即AF∥BE，

当AFBE时，四边形ABEF是平行四边形．

9.（2024湖北省）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，

求证：BE=DF．

【答案】证明见解析．

【解析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//DC，AB=DC，

∴∠BAE=∠DCF，

在△AEB和△CFD中，

ABCD

BAEDCF，

AECF

∴△AEB≌△CFD（SAS），

∴BE=DF．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的

关键．

10.（2024湖南省）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，．请从

“①BAED；②AEBE，AECD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上

（填序号），再解决下列问题：

（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；

（2）若ADAB，AD8，BC10，求线段AE的长．

【答案】（1）①或②，证明见解析；（2）6

【解析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边

形的判定和性质是解题关键．

（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；

（2）根据平行四边形的性质得出DEBC10，再由勾股定理即可求解．

【小问1详解】

解：选择①，

证明：∵BAED，

∴DE∥CB，

∵AB∥CD，

∴四边形BCDE为平行四边形；

选择②，

证明：∵AEBE，AECD，

∴CDBE，

∵AB∥CD，

∴四边形BCDE为平行四边形；

【小问2详解】

解：由（1）得DEBC10，

∵ADAB，AD8，

∴AEDE2AD26．

11.（2024黑龙江大庆）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是BAD，BCD的平分

线，且E、F分别在边BC，AD上．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若ADC60，DF2AF2，求GDF的面积．

2

【答案】（1）见解析（2）S3．

GDF3

【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到BADBCD，AD∥BC，结合角平分线的

条件得到DAEBCF，由AD∥BC得到DFCBCF，DAEDFC，根据平行线

的判定得到AE∥FC，根据平行四边形的判定即可得到AECF是平行四边形；

（2）求得△DFC是等边三角形，得到DFDCCF2，CEAF1，证明△DFG∽△ECG，

42

求得FG，作GHDF于点H，在RtFGH中，求得GH3，据此求解即可．

33

【小问1详解】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BADBCD，AD∥BC，

∵AE，CF分别是BAD、BCD的平分线，

11

∴BAEDAEBAD，BCFDCFBCD，

22

∴DAEBCF，

∵AD∥BC，

∴DFCBCF，

∴DAEDFC，

∴AE∥FC，

∴四边形AECF是平行四边形；

【小问2详解】

1

解：由（1）得DFCBCF，BCFDCFBCD，

2

∴DFCDCF，

∵ADC60，

∴△DFC是等边三角形，

∴DFC60，

∵DF2AF2，

∴DFDCCF2，CEAF1，

∵AD∥BC，

∴△DFG∽△ECG，

FGDF2

∴2，

CGCE1

24

∴FGCF，

33

作GHDF于点H，

4

在RtFGH中，GFH60，FG，

3

2

∴GHFGsin603，

3

1122

∴SDFGH233．

GDF2233

【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，

等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．

12.（2024深圳）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶

点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四

边形”．

（1）如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF5，CE2，则AE________；

AB________；

（2）如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且ABBD，猜想AF与CD的关系，并说

明理由；

（3）①如图3所示，在ABC中，BE5，CE2AE12，BEAC交AC于点E，请画出

以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；

②若ABC关于直线AC对称得到VABC，连接CB，作射线CB交①中所画平行四边形的边于点

P，连接PE，请直接写出PE的值．

【答案】（1）1，17

（2）AF2CD，理由见解析

341341

（3）①见解析；②PE或．

42

AFAE

【解析】【分析】（1）根据题意可推出△AEF∽△CEB，得到，从而推出AE，再根

BCCE

据勾股定理可求得BE，再求得AB；

AEADDE

（2）根据题意可推出AED∽FEB，得到2，设BEa，则DE2a，

EFBFEB

ABCD3a，再利用勾股定理得到AE，从而推出EF、AF，即可求得答案；

（3）①分情况讨论，第一种情况，作BC的平行线AD，使ADBC，连接CD，延长BE交AD

于点F；第二种情况，作ABC的平分线，取CHCB交ABC的平分线于点H，延长CH交BE

的延长线于点D，在射线BA上取AFAB，连接DF；第三种情况，作AD∥BC，交BE的延

长线于点D，连接CD，作BC的垂直平分线；

在DA延长线上取点F，使AFAD，连接BF；

②根据①中的三种情况讨论：

第一种情况，根据题意可证得△PAC是等腰三角形，作PHAC，则AHHC，可推出

PHCH

△CPH∽△CBE，从而推出，计算可得PH，最后利用勾股定理即可求得PE；

BECE

第二种情况，延长CA、DF交于点G，同理可得PGC是等腰三角形，连接PA，可由

GAF∽CAB，结合三线合一推出PAAC，从而推出CPA∽CBE，同第一种情况即可求得PE；

第三种情况无交点，不符合题意．

【小问1详解】

解：ADBC，F为AD的中点，ADBC，AF5，CE2，

AEF∽CEB，BCAD2AF25，

AFAE5AE

，即，解得AE1，

BCCE252

BE2BC2CE2(25)22216，

ABAE2BE2121617；

故答案为：1；17；

【小问2详解】

解：AF2CD，理由如下：

根据题意，在垂中四边形ABCD中，AFBD，且F为BC的中点，

ADBC2BF，AEB90；

又AD∥BC，

AED∽FEB，

AEADDE

2；

EFBFEB

设BEa，则DE2a，

ABBD，

ABBDBEEDa2a3a，

AEAB2BE2(3a)2a222a，EF2a，

AFAEEF22a2a32a，

ABCD，

AFAF32a

2，

CDAB3a

AF2CD；

【小问3详解】

解：①第一种情况：

作BC的平行线AD，使ADBC，连接CD，

则四边形ABCD为平行四边形；

延长BE交AD于点F，

BCAD，

AEF∽CEB，

AFAE

，

BCCE

ADBC，CE2AE，

AFAE111

，即AFBCAD，

BCCE222

F为AD的中点；

故如图1所示，四边形ABCD即为所求的垂中平行四边形：

第二种情况：

作ABC的平分线，取CHCB交ABC的平分线于点H，延长CH交BE的延长线于点D，在

射线BA上取AFAB，连接DF，

故A为BF的中点；

1

同理可证明：ABCD，

2

则BFABAF2ABCD，

则四边形BCDF是平行四边形；

故如图2所示，四边形BCDF即为所求的垂中平行四边形：

第三种情况：

作AD∥BC，交BE的延长线于点D，连接CD，作BC的垂直平分线；

在DA延长线上取点F，使AFAD，连接BF，

则A为DF的中点，

1

同理可证明ADBC，从而DFBC，

2

故四边形BCDF是平行四边形；

故如图3所示，四边形BCDF即为所求的垂中平行四边形：

②若按照图1作图，

由题意可知，ACBACP，

四边形ABCD是平行四边形，

ACBPAC，

PACPCA，

△PAC是等腰三角形；

过P作PHAC于H，则AHHC，

BE5，CE2AE12，

BEBE5，AE6，

111

AHHCAC(AECE)(612)9，

222

EHAHAE963；

PHAC,BEAC，

△CPH∽△CBE，

PHCHCHBE9515

，即PH

BECECE124

2

22215341

∴PEEHPH3

44

若按照图2作图，

延长CA、DF交于点G，

同理可得：PGC是等腰三角形，

连接PA，

GF∥BC，

GAF∽CAB，

AFAG

1，

ABAC

AGAC，

PAAC；

同理，△CPA∽△CBE，

AE6，EC12，BEBE5，

BECEBEAC51815

，即PA，

PAACCE122

2

22152341

PEPAAE6，

22

若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）

341341

故答案为：PE或．

42

【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，

勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅

助线是解题的关键．

考点1.多边形

1.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）

A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形

【答案】A

【解析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解．

根据n边形的内角和公式，得

（n﹣2）•180°=900°，

解得n=7，

∴这个多边形的边数是7，故选：A．

【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．

2．一个10边形的内角和等于（）

A．1800°B．1660°C．1440°D．1200°

【答案】C

【解析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可得解．

根据多边形内角和公式得，10边形的内角和等于：

（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°．

【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．

3．如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（）

A．72°B．45°C．36°D．35°

【答案】C

【解析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出∠CAB和∠DAE，即可求出∠

CAD．

根据正多边形内角和公式可得，

正五边形ABCDE的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°，

则∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，

根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，

∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，

∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°.

4．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（）

A．540°B．720°C．900°D．1080°

【答案】D

【解析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边

形的内角和．

正多边形的边数为：360°÷45°＝8，

∴这个多边形是正八边形，

∴该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．

2

5.（2022四川眉山）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为________．

9

【答案】11

【解析】多边形的内角和定理为(n2)180，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n

的值．

2

根据题意可得：(n2)180360，

9

解得：n11．

【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这

两个公式是解题的关键．

6.如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于O，且有公共顶点A，则BOH的度数

为______度．

【答案】12

【解析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．

连接AO，如图，

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB=360°÷6=60°，

∵多边形AHIJK是正五边形，

∴∠AOH=360°÷5=72°，

∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°．

【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．

7．如图，一个正五边形和一个正六边形有一个公共顶点O，则∠1+∠2＝．

【答案】132°．

【解析】∵正五边形的每个内角度数＝180°﹣360°÷5＝108°，

正六边形的每个内角度数＝180°﹣360°÷6＝120°，

∴∠1+∠2+108°+120°＝360°，

∴∠1+∠2＝132°．

考点2.平行四边形的判定及相关证明

1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）

A．对角线互相平分

B．对角线互相垂直

C．对角线相等

D．对角线互相垂直且相等

【答案】A

【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确．

B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误．

C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误．

D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误．

故选：A．

2.如图，点O是□ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的

是（）

A．OE＝OFB．AE＝BFC．∠DOC＝∠OCDD．∠CFE＝∠DEF

【答案】A

【解析】证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，进而得出结论．

∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，

又∵∠DOC＝∠BOA，

∴选项A正确，选项B、C、D不正确．

3.如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是（）

A．61°B．109°C．119°D．122°

【答案】C

【解析】由平行四边形的性质可得∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，由角平分线的性质和外角性质

可求解．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝58°，

∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝61°，

∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝119°．

4．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，

AD＝4，则EF的长是（）

A．1B．2C．2.5D．3

【答案】B

【解析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，

∴∠DFC＝∠FCB，

又∵CF平分∠BCD，

∴∠DCF＝∠FCB，

∴∠DFC＝∠DCF，

∴DF＝DC＝3，

同理可证：AE＝AB＝3，

∵AD＝4，

∴AF＝5﹣4＝1，DE＝4﹣3＝1，

∴EF＝4﹣1﹣1＝2．

5．如图，在□ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（）

A．30B．60C．65D．

【答案】B

【解析】根据平行四边形的性质以及勾股定理求出四边形ABCD的底边BC和其对角线AC的值，然

后根据平行四边形的面积计算公式求解．

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC＝AD＝5．

∵AC⊥BC，

∴△ACB是直角三角形．

∴AC＝＝＝12．

∴S▱ABCD＝BC•AC＝5×12＝60．

6．如图，在四边形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形．现在请你

添加一个适当的条件：，使得四边形AECF为平行四边形．（图中不再添加点和线）

【答案】BE＝DF．

【解析】添加的条件：BE＝DF．

证明：∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF

又∵BE＝DF

∴△ABE≌△CDF

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD

∴∠AEF＝∠EFC

∴AE∥FC

∴四边形AECF为平行四边形．

故答案为：BE＝DF．

7．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD

的周长为．

【答案】28．

【解析】由平行四边形的性质知BC∥AD，由平行线的性质即角平分线的定义可得∠BEA＝∠BAE，

进而可求解BE的长，即可求得BC的长，再根据平行四边形的周长可求解．

如图：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC∥AD，

∴∠BEA＝∠EAD，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠EAD，

∴∠BEA＝∠BAE，

∴BE＝AB，

∵AB＝6，

∴BE＝6，

∵CE＝2，

∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，

∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+8）＝28，

8．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，

则AH的长为．

【答案】．

【解析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出BC和OB的长，又AH⊥OB，可利

用等面积法求出AH的长．

如图，

∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，

∴AC＝＝2，

在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，

∴OA＝OC＝，

在Rt△OAB中，

OB＝＝，

又AH⊥BD，

∴OB•AH＝OA•AB，即＝，

解得AH＝．

9．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，

若AE＝4，则GF＝_____．

【答案】2

【解析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等

腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE△=∠BEC．

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BEC，∴CB=CE．

1

∵CF⊥BE，∴BF=EF．∵G是AB的中点，∴GF是ABE的中位线，∴GF=AE，

2

∵AE=4，∴GF=2．故答案为：2．△

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明

GF是△ABE的中位线是解题的关键．

10．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并

延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为．

【答案】2

【解析】依据三角形中位线定理，即可得到MNBC＝2，MN∥BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），

1

即可得到CD＝MN＝2．=2

∵M，N分别是AB和AC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，

∴MNBC＝2，MN∥BC，

1

∴∠N=ME2＝∠D，∠MNE＝∠DCE，

∵点E是CN的中点，

∴NE＝CE，

∴△MNE≌△DCE（AAS），

∴CD＝MN＝2．

11.证明：平行四边形的对边相等。平行四边形的对角相等。

【解析】已知：四边形ABCD是平行四边形.

AD

B