2025年中考数学一轮复习学案：4.4 锐角三角函数 （教师版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第四章三角形及四边形

4.4锐角三角函数

考点分布考查频率命题趋势

考点1特珠角的三角函数值☆数学中考中，有关锐角三角函数的部分，

每年考查道题分值为分，通常

考点2直角三角形的边角关系☆☆1~2,3~10

以选择题、填空题、解答题的形式考查。

锐角三角函数的实际应用属于全国各省市

考点3锐角三角函数的实际应用☆☆☆

必考题，希望复习时强化训练。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1特珠角的三角函数值

1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°。

（1）我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA即

的对边a

sinA=A=，

斜边c

（2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，

A的邻边b

cosA==，

斜边c

（3）我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即

A的对边

tanA==a．

A的邻边b

2.锐角三角函数的定义

sinA、cosA、tanA分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．

3.30°、45°、60°角的三角函数值

4.通过三角函数值求角度

考点2直角三角形的边角关系

1.解直角三角形

由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。

注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至

少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。

2.直角三角形中边角关系

在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么

（1）三边之间的关系为a2b2c2（勾股定理）

（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°

（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）

3.其他有关公式

111

（1）SabsinC=bcsinA=acsinB

222

11

（2）Rt△面积公式：Sabch

22

cabc

（3）直角三角形外接圆的半径R，内切圆半径r

22

ab

（4）直角三角形斜边上的高h

c

【方法总结1】解直角三角形的常见类型及一般解法

只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.

Rt△ABC中的已知条件一般解法

(1)ca2b2；

a

两直角边a，b(2)由tanA求出∠A；

b

(3)∠B=90−∠A.

两边

(1)bc2a2；

a

一直角边a，斜边c(2)由sinA求出∠A；

c

(3)∠B=90−∠A.

(1)∠B=90−∠A；

a

(2)b；

一直角边a，锐角AtanA

a

一边一锐角(3)c.

sinA

(1)∠B=90−∠A；

斜边c，锐角A(2)a=c·sinA；

(3)b=c·cosA.

【方法总结2】当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，

若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考查的

角置身在这个直角三角形中．

方法总结1：结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴

作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。

方法总结2：已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，

解决问题。

方法总结3：在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确

三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成

直角三角形。

方法总结4：依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函

数值替换。

考点3锐角三角函数的实际应用

1.仰角和俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与

水平线的夹角叫做俯角。

2.方位角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方

位角。如图所示：

3.坡度，坡角

图19.4.5

（1）如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i=h/l

（2）坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=tanα.

坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.

显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.

4.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

②根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

③得到数学问题的答案；

④得到实际问题的答案．

5.利用三角函数测高

(1)测量底部可以到达的物体的高度步骤：

①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；

②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；

③量出测倾器的高度AC=a，可求出

MN=ME+EN=l·tanα+a.

(2)测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？

①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；

②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；

③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b.根据测量数据，求出物体MN的高度.

考点1特珠角的三角函数值

【例题1】（2024天津市）2cos451的值等于（）

2

A.0B.1C.1D.21

2

【答案】A

2

【解析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据cos45°代

2

入即可求解.

2

【详解】2cos451210，故选：A.

2

【变式练1】（2024大连一模）2sin45°的值等于（）

A．1B．2C．3D．2

【答案】B

2

【解析】2sin45°=2×2故选B

2

【变式练2】（2024大庆一模）计算：cos245°+sin245°=（）

A．B．1C．D．

【答案】B

【解析】考点是特殊角的三角函数值．首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、

sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．

∵cos45°=sin45°=，

∴cos245°+sin245°

=

==1．故选：B．

【变式练3】（2024沈阳一模）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，

则α+β=．

【答案】75°．

【解析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度

数。

∵|sinα﹣|+=0，

∴sinα=，tanβ=1，

∴α=30°，β=45°，

则α+β=30°+45°=75°．

考点2直角三角形的边角关系

4

【例题2】（2024甘肃临夏）如图，在ABC中，ABAC5，sinB，则BC的长是（）

5

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点

1AD4

A作ADBC于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出BDCDBC．根据sinB，

2AB5

可求出AD4，最后根据勾股定理可求出BD3，即得出BC2BD6．

【详解】如图，过点A作ADBC于点D．

∵ABAC5，

1

∴BDCDBC．

2

AD4

在Rt△ABD中，sinB，

AB5

44

∴ADAB54，

55

∴BDAB2AD252423，

∴BC2BD6．故选B．

【变式练1】（2024云南一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanBcosDAC，

(1)求证：AC=BD；

12

(2)若sinC，BC=12，求AD的长．

13

【答案】见解析。

【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．

∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

ADAD

∵tanB=，cosDAC=

BDAC

又已知tanBcosDAC

ADAD

∴=．∴AC=BD．

BDAC

12

(2)在Rt△ADC中，sinC，故可设AD=12k，AC=13k．

13

DCAC2AD25k

ADAD

BD13k

tanBcosDAC

BC13k5k12

2

k,AD8.

3

【变式练2】（2024广西一模）如图，在RtABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（）

△

A.34B.44C.124D.134

【答案】A

【解析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．

∵RtABC中，∠C=90°，∠B=56°，

∴∠△A=90°-∠B=90°-56°=34°．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，

并能进行推理计算是解决问题的关键．

考点3锐角三角函数的实际应用

【例题3】（2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，

已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角PDA为70，帆与航行方向的夹角PDQ为30，风对

帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起

作用，与帆垂直的力F2仪可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航

行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数

学模型：FAD400，则f2CD______．（单位：N）（参考数据：sin400.64,cos400.77）

【答案】128

【解析】此题考查了解直角三角形的应用，求出ADQ40，1PDQ30，由AB∥QD

得到BADADQ40，求出F2BDADsinBAD256，求出

BDC90160在RtBCD中，根据f2CDBDcosBDC即可求出答案．

【详解】如图，

∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角PDA为70，帆与航行方向的夹角PDQ为30，

∴ADQPDAPDQ703040，1PDQ30，

∵AB∥QD，

∴BADADQ40，

在Rt△ABD中，FAD400，ÐABD=90°，

∴F2BDADsinBAD400sin404000.64256，

由题意可知，BDDQ，

∴BDC190，

∴BDC90160

在RtBCD中，BD256,BCD90，

1

∴fCDBDcosBDC256cos60256128，

22

故答案为：128

【变式练1】（2024长春一模）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，

该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BCAD，

垂足为点C．设ABC，下列关系式正确的是（）

ABBCABAC

A.sinB.sinC.sinD.sin

BCABACAB

【答案】D

【解析】根据正弦三角函数的定义判断即可．

∵BC⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∵∠ABC=α，

AC

∴sin．

AB

【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A

的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．

【变式练2】（2024湖北武汉一模）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部

D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D

与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)

【答案】该铁塔的高AE为52米．

【解析】如图，过点C作CF⊥AB于点F．

设塔高AE=x，由题意得：

EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)，

在Rt△AFC中，

∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29)，

AFx29116

∴CF===x+，

tan36520.753

在Rt△ABD中，

∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56.

116

∵CF=BD，∴x+56=x+.解得：x=52.

3

答：该铁塔的高AE为52米．

【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°

方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（）

A.北偏东70°B.北偏东75°C.南偏西70°D.南偏西20°

【答案】A

【解析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝

∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出

∠DAC的度数，即可解答．

如图：由题意得：

∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝75°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，

∵AD∥BE，

∴∠DAB＝∠ABE＝40°，

∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，

∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°．

．

【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

【变式练4】（2024江苏扬州一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖

边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），

再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔

顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB

的高度约为（）

（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米B．24米C．24.5米D．25米

【答案】D

【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡

度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF

的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝

EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．

【解析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，

∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，

∴设EF＝x，则DF＝2.4x．

在Rt△DEF中，

∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，

解得x＝30，

∴EF＝30米，DF＝72米，

∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．

∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，

∴四边形EFCM是矩形，

∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．

在Rt△AEM中，

∵∠AEM＝43°，

∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，

∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．

∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．

考点1.特珠角的三角函数值

1

01

1.（2024深圳）计算：2cos453.1412．

4

【答案】4

【解析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．先将各项化简，再算

乘法，最后从左往右计算即可得

1

01

【详解】2cos453.1412

4

2

21214

2

21214

4．

考点2.直角三角形的边角关系

1.（2024云南省）在Rt△ABC中，∠B=90°，已知AB3，BC4，则tanA的值为（）

4343

A.B.C.D.

5534

【答案】C

【解析】根据三角函数的定义求解即可．

∵∠B=90°，AB3，BC4，

BC4

∴tanA=，故选：C．

AB3

【点睛】本题考查了三角函数的求法，解题关键是理解三角函数的意义，明确是直角三角形中哪两条

边的比．

2.（2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，ABD120，

其中点A，B，C都在格点上，则tanBCD的值为（）

3

A.2B.23C.D.3

2

【答案】B

【解析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长BC交格点于点F，连接AF，E,G分别在

格点上，根据菱形的性质，进而得出AFC90，解直角三角形求得AF,FC的长，根据对顶角相

等，进而根据正切的定义，即可求解．

【详解】如图所示，延长BC交格点于点F，连接AF，E,G分别在格点上，

依题意，EGF120,EGGF，GFGC,FGC60

∴CEF30,ECF60

∴AFC90

又FC2，

3

∴AF2EF4EGcos304243

2

AF43

∴tanBCDtanACF23故选：B．

FC2

3.（2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”

的结构简图，右图为其平面示意图，已知ABCD于点B，AB与水平线l相交于点O，OEl．若

BC4分米，OB12分米．BOE60，则点C到水平线l的距离CF为________分米（结果

用含根号的式子表示）．

【答案】623##236

【解析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC交l于点H，连接OC，根据

题意及解三角形确定BH43，OH83，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．

【详解】解：延长DC交l于点H，连接OC，如图所示：

在Rt△OBH中，BOH906030，OB12dm

BH12tan3043，OH83

S△OBHS△OCHS△OBC

111

OBBHOHCFOBBC

222

111

即431283CF124，

222

解得：CF623．

5BD8

4.（2024深圳）如图，在ABC中，ABBC，tanB，D为BC上一点，且满足，

12CD5

CE

过D作DEAD交AC延长线于点E，则________．

AC

20

【答案】

21

【解析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设ABBC13x，根据

5

tanB，AHCB，得出AH5x，BH12x，再分别用勾股定理求出

12

DH441

AD41x，AC26x，故cosADC，再运用解直角三角形得出

AD41

20412141CEMD

DMx，AMx，代入，化简即可作答．

4141ACAM

【详解】解：如图，过点A作AHCB垂足为H,

BD8

∵，ABBC，

DC5

设ABBC13x，

∴BD8x，DC5x，

5

∵tanB，AHCB，

12

AH5

∴，

BH12

∵ABBC13x，

∴AH2BH2AB2169x2，

解得AH5x，BH12x，

∴DH12x8x4x，HC5x4xx，

∴ADAH2DH241x，ACAH2CH226x，

DH441

∴cosADC，

AD41

过点C作CMAD垂足为M，

20412141

∴DMCDcosADCx，AMADDMx，

4141

∵DEAD,CMAD，

∴MC∥DE，

2041

x

CEDM20

∴41

ACAM214121

x

41

考点3.锐角三角函数的实际应用

1.（2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45，

小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53，则电子厂AB的高度为（）

434

（参考数据：sin53，cos53，tan53）

553

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【解析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG、

EFBM、CDBN是矩形，再设GMxm，表示EMx5m，然后在

AMAN

RtAEM，tanAEM，以及RtACN，tanACN，运用线段和差关系，即

EMCN

4

MNANAMxx50.3，再求出x15.9m，即可作答．

3

【详解】如图：延长DC交EM于一点G，

∵MEFEFBCDF90

∴四边形EFDG是矩形

∵MEFEFBB90

∴四边形EFBM是矩形

同理得四边形CDBN是矩形

依题意，得EFMB1.8m，CD1.5m，AEM45，ACN53

∴CG1.81.5m0.3m，FDEG5m

∴CGMN0.3m

∴设GMxm，则EMx5m

AM

在RtAEM，tanAEM，

EM

∴EM1AM

即AMx5m

AN

在RtACN，tanACN，

CN

4

∴CNtan53xAN

3

4

即ANxm

3

4

∴MNANAMxx50.3

3

∴x15.9m

∴AM15.9520.9m

∴ABAMEFAMMB20.91.822.7m故选：A

2.（2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部

点C的仰角为60，测得底部点B的俯角为45，点A与楼BC的水平距离AD50m，则这栋楼的

高度为______m（结果保留根号）．

【答案】50503##50350

【解析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据

题意得BAD45，CAD60，AD50m，然后利用三角函数求解即可．

【详解】依题意，BAD45，CAD60，AD50m．

在Rt△ABD中，BDADtan4550150m，

在Rt△ACD中，CDADtan60503503m，

∴BCBDCD50503m．

3.（2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P

处，测得教学楼底端点A的俯角为37，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得

教学楼顶端点B的俯角为45，则教学楼AB的高度约为________m．（精确到1m，参考数据：

sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【答案】17

【解析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长AB交直线PQ于点H，先用三角函数解

Rt△PHA求出PH，进而求出QH，再证QHBH，最后根据ABAHBH即可求解．

【详解】解：如图，延长AB交直线PQ于点H，则PHA90，

由题意知AH30m，

AH30

在Rt△PHA中，tanPHA，即tan370.75，

PHPH

解得PH40m，

QHPHPQ4026.613.4m，

PHA90，QHB45，

QBHQHB45，

QHBH13.4m，

ABAHBH3013.416.617m．

4.（2024广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功

着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，

该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点

的俯角为36.87，AD17米，BD10米．

（1）求CD的长；

（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．（参

考数据：sin36.870.60，cos36.870.80，tan36.870.75）

【答案】（1）CD的长约为8米；（2）模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．

【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是

解题关键．

（1）过点B作BE∥CD交AD于点E，根据余弦值求出CD的长即可；

（2）先由勾股定理，求出AC的长，再利用正弦值求出BC的长，进而得到AB的长，然后除以速

度，即可求出下降时间．

【小问1详解】解：如图，过点B作BE∥CD交AD于点E，

由题意可知，DBE36.87，

BDC36.87，

在△BCD中，C90，BD10米，

CD

cosBDC，

BD

CDBDcos36.87100.808米，

即CD的长约为8米；

【小问2详解】解：QAD17米，CD8米，

ACAD2CD215米，

在△BCD中，C90，BD10米，

BC

sinBDC，

BD

BCBDsin36.87100.606米，

ABACBC1569米，

模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，

模拟装置从A点下降到B点的时间为924.5秒，

即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．

5.（2024重庆市A）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到

达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏

东60方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60方向航行一定距离到达D港，再沿南

偏东30方向航行一定距离到达C港．（参考数据：21.41，31.73，62.45）

（1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；

（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过

计算说明．

【答案】（1）A，C两港之间的距离77.2海里；

（2）甲货轮先到达C港．

【解析】【分析】（1）过B作BEAC于点E，由题意可知：GAB45，EBC60，求

出AEABcosBAE202，CEBEtanEBC206即可求解；

（2）通过三角函数求出甲行驶路程为：ABBC4056.496.4，乙行驶路程为：

ADCD66.838.6105.4，然后比较即可；

本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．

【小问1详解】

如图，过B作BEAC于点E，

∴AEBCEB90，

由题意可知：GAB45，EBC60，

∴BAE45，

∴AEABcosBAE40cos45202，

∴CEBEtanEBC202tan602023206，

∴ACAECE202206201.41202.4577.2（海里），

∴A，C两港之间的距离77.2海里；

【小问2详解】

由（1）得：BAE45，EBC60，AC77.2，

∴BEABsinBAE40sin45202，

BE202202

BC40256.4

∴cosEBCcos601，

2

由题意得：ADF60，CDF30，

∴ADC90，

111.73

∴CDAC77.238.6，ADACcos3077.266.8（海里），

222

∴甲行驶路程为：ABBC4056.496.4（海里），乙行驶路程为：

ADCD66.838.6105.4（海里），

∵96.4105.4，且甲、乙速度相同，

∴甲货轮先到达C港．

6.（2024重庆市B）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的

正北方向，且在C的北偏西60方向，C在A的北偏东30方向，且在B的北偏西15方向，AB2

千米．（参考数据：21.41，31.73，62.45）

（1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）；

（2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：DCB，乙选择的路线为：DAB．请

计算说明谁选择的路线较近？

【答案】（1）2.5千米

（2）甲选择的路线较近

【解析】

【小问1详解】

解：如图所示，过点B作BEAC于E，

由题意得，∠CAB903060，∠ABC901575，

∴ACB180CABABC45，

在Rt△ABE中，∠AEB90，AB2千米，

∴BEABcos∠BAE2cos603千米，

BE3

在RtBCE中，BC62.5千米，

sin∠BCEsin45

∴BC的长度约为2.5千米；

【小问2详解】

解：如图所示，过点C作CFAD于D，

在Rt△ABE中，AEABcos∠BAE2cos601千米，

∴ACAECE13千米，

13

在Rt△AFC中，CFACsinCAF13sin30千米，

2

33

AFACcosCAF13cos30千米，

2

在RtDCF中，∠DCF30，∠DFC90，

1333

∴DFCFtan∠DCFtan30千米，

26

13

CF33千米，

CD2

cos∠DCFcos303

33

∴CDBC64.03千米，

3

3333

ADABDFAFAB25.15千米，

62

∵4.035.15，

∴甲选择的路线较近．

7.（2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，

造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴

趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，

ABBC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE1.6米）测得A

点仰角为37，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45，请根据测量数据，求乾元塔的高度

AB．（结果保留整数，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【答案】乾元塔的高度AB约为45米

【解析】本题考查解直角三角形的应用，设CE平移后得到DG，延长EG交AB于点F，设FGx，

分别解RtAFE,RtAFG，表示出AF的长，列出方程进行求解即可．

【详解】解：设CE平移后得到DG，延长EG交AB于点F，则：CEDGBF1.6，EFAB，

EG14.5，

设GFx，则：EF14.5x，

在RtAFE中，AFEFtan370.75x14.5，

在Rt△AFG中，AFFGtan45x，

∴0.75x14.5x，

∴x43.5，

∴AF43.5，

∴ABAFBF43.51.645；

答：乾元塔的高度AB约为45米．

8.（2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实

现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机

组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔

筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，

CDEF1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点

A的仰角为45，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：

434

sin53，cos53，tan53．）

553

【答案】105.6m

【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D作DGAH

于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，可得GHCD1.6m，DGCH，再证明四边形

EFGH是矩形，则FGHE，HGF90，进一步证明D、G、F三点共线，得到DF182m；

33

设AGxm，解RtADG得到DGxm；解Rt△AFG得到FGxm；则xx182，解

44

得x104，即AG104m，则AHAGGH105.6m．

【详解】解：如图所示，过点D作DGAH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，

∴GHCD1.6m，DGCH，

∵CDEF1.6m，

∴GHEF，

由题意可得GH⊥CE，EF⊥CE，

∴GHEF，

∴四边形EFGH是矩形，

∴FGHE，HGF90，

∴∠DGH∠FGH180，

∴D、G、F三点共线，

∴DFDGFGCHHECE182m；

设AGxm，

AG

在RtADG中，tanADG，

DG

x

∴tan45

DG

∴DGxm；

AG

在Rt△AFG中，tanAFG，

FG

x

∴tan53

FG

3

∴FGxm；

4

3

∴xx182，

4

解得x104，

∴AG104m，

∴AHAGGH105.6m，

∴风电塔筒AH的高度约为105.6m．

9.（2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合

性学习．

【实验操作】

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线

与水槽内壁AC的夹角为A；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN为法线，AO为入射

光线，OD为折射光线．）

【测量数据】

如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC20cm，A45，折射角

DON32．

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

（1）求BC的长；

（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．

（参考数据：sin320.52，cos320.84，tan320.62）

【答案】（1）20cm（2）3.8cm

【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答．

（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；

（2）利用锐角三角函数求出DN长，然后根据