第15课时　二次函数的图象和性质（三） 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分考点梳理第三章函数及其图像第15课时二次函数的图象和性质（三）

建立二次函数模型解决几何问题，

常见的有两类：一是用公式，如周长公

式、面积公式、体积公式等建立；二是

用图形的有关性质，如勾股定理、三角

形相似、三角形全等等建立.名师指津1.

与抛物线上动点有关的面积问题常用

方法：（1）如果有某条边在坐标轴上或者平行

于坐标轴可直接底乘高；（2）等高面积之比可转化为底边之比；（3）利用平行进行等面积转化；（4）铅垂高乘水平宽；（5）两点在坐标轴上，动点象限确定可

直接连接原点和动点；（6）利用相似表示面积.2.

由动点产生的面积最大值，通常是求

二次函数的最值，有时也可转化为求高

的最大值，即动点到定直线距离最远

（此时高最大），而当直线与抛物线相

切时，此时联立直线和抛物线表达式，

由判别式Δ＝0可求最值.3.

线段最值的基本图形考点一

抛物线中的线段（周长）最值

问题例1

（2024·德阳）如图，抛物线y＝

x2－x＋c与x轴交于点A（－1，0）和

点B，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；[答案]

解：（1）∵抛物线

y＝x2－x＋c与x轴交于点

A（－1，0），∴1＋1＋c＝0，解得c＝－2，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.（2）当0＜x≤2时，求y＝x2－x＋c的

函数值的取值范围；

如答案图，过点P作

PG⊥AC于点G，连接

MB，过点P作PH⊥MB

于点H，（答案图）∵对称轴与y轴平行，∴∠AMP＝∠ACO，

由抛物线的对称性可得PG＝PH，∠MAB＝∠MBA，∴点M在直线AC上，∵A（－1，0），C（0，－2），

（答案图）

当A，P，H三点共线时取等号.（答案图）考点二

抛物线中的面积最值问题例2

如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与

x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

其中B（1，0），C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限的抛物线上存在一点

P，使得△APC的面积最大，请直接写

出点P的坐标和△APC面积的最大值.[答案]

解：（2）对于y＝－x2－2x＋3，

令y＝0，即－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A（－3，0），∴OA＝3.易知直线AC的解析式为y＝x＋3.如答案图，过点P作PE⊥x轴交AC于点E.

（答案图）设P（m，－m2－2m＋3）（－3＜m＜0），则E（m，m＋3），

（答案图）

考点三

抛物线中的最值与存在性问题例3

（2024·重庆大渡口区）如图，在

平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx

＋2与x轴交于A，B两点（点A在点B

的左侧），与y轴交于点C，已知A（－2，0），B（4，0），连接BC.

（1）求抛物线的表达式；

（答案图）

（答案图）

（答案图）

（答案图）

（答案图）

（答案图）1.

如图，在正方形ABCD中，AB＝4，

P为对角线BD上一动点，F为射线AD

上一点.若AP＝PF，则△APF面积的最

大值为（

C

）A.

8B.

6C.

4D.

2

（第1题）C

备用图（第2题）（1）求抛物线的解析式；

备用图（第2题）（2）点D是x轴上的任意一点，若

△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请

直接写出点D的坐标；

备用图（第2题）

（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；

备用图（第2题）

（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上

的一