第6课时　一元二次方程及其应用 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分考点梳理第二章方程组与不等式组第6课时一元二次方程及其应用知识点1一元二次方程的定义只含有

未知数，并且

⁠

，这样的

⁠

方程就是一元二次方程.一元二次方程的一般表达式为

⁠

，其中

⁠是

二次项，

⁠叫做二次项系

数；

是一次项，

⁠叫做一次

项系数；

是常数项.一个

未

知数的最高次数是2

整式

ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）ax2

a

bx

b

c

知识点2一元二次方程的解法直接

开平方

法适合于（x＋a）2＝b（b≥0）或（ax＋b）2＝（cx＋d）2形式的

方程因式分解

法基

本思

想把方程化成ab＝0的形式，

得a＝0或b＝0因式分解

法方

法规

律常用的方法主要是提公因式

法，运用平方差公式、完全

平方公式等分解因式公式

法求

根公

式一元二次方程ax2＋bx＋c＝

0（a≠0），当b2－4ac≥0时，x＝

⁠一

般步

骤（1）将方程化成ax2＋bx＋

c＝0（a≠0）的形式；（2）确定a，b，c的值；（3）①若b2－4ac

0，

则代入求根公式，得x1，x2；②若b2－4ac

0，则方

程无实数根

≥

＜配

方

法基

本思

想通过配成完全平方的形式解一元二

次方程一

般步

骤（1）化二次项系数为1；（2）把常数项移到方程的另一边；（3）在方程两边同时加上一次项

系数一半的平方；（4）把方程整理成（x＋a）2＝b

的形式；（5）当b

⁠时，运用直接开平

方法解方程；当b＜0时，无解≥0

知识点3一元二次方程根的判别式当b2－4ac

0时，方程有两个

不相等的实数根；当b2－4ac

0时，方程有两个

相等的实数根；当b2－4ac

0时，方程没有实

数根.＞＝＜

知识点5一元二次方程的实际应用平均

增长率

（下降率）

问题（1）增长率＝

×100％；（2）设a为原来量，x为平均

增长（下降）率，n为增长（下

降）次数，b为增长（下降）后

的量，则a（1±x）n＝b面

积

问

题（1）如图1，矩形ABCD的长为

a，宽为b，空白部分的宽为x，则

阴影部分的面积为（a－2x）（b

－2x）；

（2）如图2，矩形ABCD的长为

a，宽为b，阴影部分的宽为x，则

空白部分的面积为（a－x）（b－

x）；面

积

问

题（3）如图3，矩形ABCD的长为

a，宽为b，阴影部分的宽为x，则

空白部分的面积为（a－x）（b－

x）利润

问题利润＝售价－成本；总利润＝单件利润×销量；利润率＝

×100％握

手、

单循环赛问题握手、单循环赛总次数为

（n为人数或队伍数）；送礼物总份数为n（n－1）（n

为人数）名师指津1.

二次项系数、一次项系数及常数项都

是方程在一般形式下定义的，所以求一

元二次方程的各项系数时，必须先将方

程化为一般形式.2.

关于解方程，要依据一元二次方程的

结构特点，灵活选用“因式分解法、配方

法、公式法”几种方法.对于一元二次方

程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.

（1）若b＝0，直接开平方；若c＝0，采用因式分解法；（2）当b，c都不为0时，一般遵循“先

分解因式→后配方法→再公式法”的顺

序，具体来说：①如果能在有理数范围内分解因式，用

因式分解法计算量小；②当方程的一次项系数为偶数，且常

数项的绝对值很大时，可以考虑用配

方法；③如果不能在有理数范围内分解因式，

且方程的一次项系数为奇数时，配方法

可能计算量较大，此时宜选用公式法来

解，而公式法是万能法.3.

运用根的判别式及根与系数的关系

（韦达定理）解题时，特别注意一元二

次方程ax2＋bx＋c＝0的隐含条件a≠0.考点一

一元二次方程的相关概念例1（1）若关于x的一元二次方程

（m－3）x2＋x＋m2－9＝0的常数项等

于0，则m的值为（

C

）A.

0B.

3C.

－3D.

－3或3（2）若一元二次方程x2－2x－5＝0的

一个解为a，则a（2a－3）＋a（1－a）的值为

⁠.C5

考点二

一元二次方程的解法例2

（1）（2024·贵州）一元二次方

程x2－2x＝0的解是（

B

）A.

x1＝3，x2＝1B.

x1＝2，x2＝0C.

x1＝3，x2＝－2D.

x1＝－2，x2＝－1B（2）解下列一元二次方程：①2（x－3）2－18＝0；

[答案]

解：整理，得（x－3）2＝9，开方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝

0.②x2＋2x－3＝0；解：整理，得x2＋2x＝3，配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝

±2，解得x1＝－3，x2＝1.③2x（x－2）＝1；

解：整理，得2x2－4x－1＝0，∴Δ＝（－4）2－4×2×（－1）＝24

＞0，

④4x（x－2）＝2（2－x）.解：移项，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，合并同类项，得（4x＋2）（x－2）＝0，∴4x＋2＝0或x－2＝0，

考点三

一元二次方程根的判别式及

根与系数的关系例3

（1）（2024·上海）以下一元二次

方程有两个相等实数根的是（

D

）A.

x2－6x＝0B.

x2－9＝0C.

x2－6x＋6＝0D.

x2－6x＋9＝0D（2）（2024·西附）关于x的一元二次方

程x2＋2mx＋m2＝0的根的情况为（

C

）A.

有两个不相等的实数根B.

没有实数根C.

有两个相等的实数根D.

无法确定C（3）关于x的一元二次方程（m－2）

x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取

值范围是（

D

）A.

m≤4B.

m≥4C.

m≥－4且m≠2D.

m≤4且m≠2D

－2024

考点四

一元二次方程的应用例4

（1）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍.设照片四

周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（

D

）DA.

2（7＋x）（5＋x）＝7×5B.

（7＋x）（5＋x）＝2×7×5C.

2（7＋2x）（5＋2x）＝7×5D.

（7＋2x）（5＋2x）＝2×7×5（2）某大型果品批发商场经销一种高档

坚果，原价每千克64元，连续两次降价

后每千克49元.①若每次下降的百分率相同，求每次下

降的百分率；[答案]

解：①设每次下降的百分率为

a，根据题意，得64（1－a）2＝49，解得a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝

12.5％.答：每次下降的百分率为12.5％.②若该坚果每千克盈利10元，每天可售

出500千克.经市场调查发现，在进货价

不变的情况下，商场决定采取适当的涨

价措施，若每千克涨价1元，日销售量将

减少40千克.现该商场要保证销售该坚果

每天盈利4500元，那么每千克应涨价多

少元？[答案]

解：②设每千克应涨价x元，由题意，得（10＋x）（500－40x）＝4500，整理，得2x2－5x－25＝0，解得x1＝5，x2＝－2.5（舍去）.答：该商场要保证销售该坚果每天盈利

4500元，那么每千克应涨价5元.1.

下列是一元二次方程的是（

C

）A.

2x＋1＝0B.

x＋y＝5C.

x2＋3x＋2＝0D.

x＋

＝2C2.

（2024·绥化）小影与小冬一起写作

业，在解一道一元二次方程时，小影在

化简过程中写错了常数项，因而得到方

程的两个根是6和1；小冬在化简过程中

写错了一次项的系数，因而得到方程的

两个根是－2和－5.则原来的方程是

（

B

）A.

x2＋6x＋5＝0B.

x2－7x＋10＝0C.

x2－5x＋2＝0D.

x2－6x－10＝0B3.

若关于x的一元二次方程（m－1）x2