2024-2025学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.3 3.3.3 函数的最大（小）值与导数（教师用书）教学实录 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.33.3.3函数的最大（小）值与导数（教师用书）教学实录新人教A版选修1-1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.33.3.3函数的最大（小）值与导数（教师用书）教学实录新人教A版选修1-1教材分析2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.3.3函数的最大（小）值与导数（教师用书）教学实录新人教A版选修1-1，本节课以函数的极值概念为切入点，引导学生通过导数分析函数的单调性，进而求解函数的最大值和最小值。课程设计注重理论与实践相结合，通过实例讲解和练习巩固，帮助学生掌握函数极值求解的方法。核心素养目标培养学生运用导数分析函数性质的能力，提升逻辑推理和数学建模素养。通过实例探究，使学生理解导数在研究函数极值中的应用，增强数学抽象和直观想象能力。同时，培养学生解决实际问题的能力，提高数学应用意识。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在学习本节课之前，已具备函数的基本概念、导数的基本性质以及函数单调性的相关知识。他们能够运用导数判断函数的增减性，但可能对函数极值与导数之间的关系理解不够深入。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学学科普遍感兴趣，尤其是在探索数学规律和解决问题方面。他们具备较强的逻辑思维能力，但在面对抽象概念时，部分学生可能表现出一定的畏难情绪。学习风格上，学生既有偏于直观理解，也有偏好逻辑推理的，需要教师根据不同风格进行差异化教学。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在理解函数极值与导数之间的关系时，可能会遇到以下困难：一是对导数的几何意义理解不够深刻，二是无法准确判断导数为零的点是否为极值点，三是缺乏解决实际问题的经验，难以将所学知识应用于具体情境。针对这些困难，教师应通过实例讲解、小组讨论等方式帮助学生克服。教学资源-多媒体教学设备：投影仪、计算机、电子白板

-课程平台：学校内部教学平台或在线教学平台

-信息化资源：函数图像软件、数学学习网站资源

-教学手段：实物教具（如函数图像板）、教学模型、课堂练习册教学过程设计**导入环节（5分钟）**

1.创设情境：展示生活中常见的物体，如山峰、水坝等，提问学生这些物体是否具有最大高度或最小宽度，从而引出函数的最大值和最小值的概念。

2.提出问题：引导学生思考如何找到这些物体的最大值或最小值，激发学生对导数在求解函数极值中的应用的兴趣。

3.引导学生回顾：简要回顾函数单调性的知识，为引入导数概念做铺垫。

**讲授新课（20分钟）**

1.导数概念：介绍导数的定义，通过实例讲解导数的几何意义，让学生理解导数与函数单调性的关系。

2.极值与导数：讲解函数极值的概念，通过实例分析导数为零的点是否为极值点，以及如何判断极值的类型（极大值或极小值）。

3.求解极值：介绍求解函数极值的方法，包括求导数、判断导数的符号变化等步骤。

4.练习讲解：展示几个典型例题，讲解如何运用导数求解函数的极值。

**巩固练习（15分钟）**

1.小组讨论：将学生分成小组，每个小组讨论一个函数，尝试运用导数求解其极值。

2.小组汇报：每组选派代表汇报讨论结果，教师点评并纠正错误。

3.练习巩固：发放练习题，要求学生在规定时间内完成，教师巡视指导。

**课堂提问（5分钟）**

1.提问学生：什么是函数的极值？如何判断一个点是否为极值点？

2.学生回答：教师总结并强调重点。

**师生互动环节（10分钟）**

1.教师提问：如何利用导数求解函数的最大值和最小值？

2.学生回答：教师引导学生分析问题，并总结解题步骤。

3.教师提问：在求解极值时，需要注意哪些问题？

4.学生回答：教师总结并强调注意事项。

**创新教学环节（5分钟）**

1.案例分析：展示一个实际案例，如工程设计中的优化问题，引导学生运用所学知识解决实际问题。

2.学生讨论：分组讨论案例，提出解决方案。

3.小组汇报：每组选派代表汇报讨论结果，教师点评并总结。

**总结与拓展（5分钟）**

1.总结本节课所学内容，强调导数在求解函数极值中的应用。

2.拓展思考：引导学生思考导数在其他数学领域中的应用，如微分方程、优化问题等。

**用时分钟**：5+20+15+5+10+5+5=60分钟

**注意**：以上教学过程设计为示例，实际教学过程中可根据学生情况和教学环境进行调整。教学资源拓展1.拓展资源：

-函数的连续性与可导性：探讨函数在连续与可导性之间的关系，通过实例分析导数在判断函数连续性中的作用。

-导数的应用：介绍导数在物理、工程、经济等领域的应用，如速度、加速度、优化问题等。

-极值问题的应用：研究极值在实际生活中的应用，如成本最小化、利润最大化等经济问题。

-高阶导数：引入高阶导数的概念，讲解其几何意义和应用，如拐点、凹凸性等。

-导数的几何应用：探讨导数在几何图形中的应用，如曲线的切线、法线等。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《高等数学导论》、《微分方程及其应用》等书籍，加深对导数及其应用的理解。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛、数学奥林匹克竞赛等，提高数学思维能力和解决问题的能力。

-观看教学视频：推荐学生观看在线教学视频，如《高等数学导论》、《微分方程及其应用》等，通过视频讲解加深对知识点的理解。

-实验探究：引导学生进行实验探究，如利用计算机软件绘制函数图像，观察导数在函数图像上的表现。

-小组合作学习：鼓励学生组成学习小组，共同探讨函数极值问题，提高团队合作能力和交流能力。

-实际问题解决：引导学生将所学知识应用于实际问题，如工程设计、经济决策等，提高学生的实际应用能力。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生参与度：观察学生在课堂上的参与程度，包括提问、回答问题、参与讨论等。评价学生是否能够积极思考，主动参与课堂活动。

-课堂纪律：评估学生的课堂纪律，包括是否遵守课堂规则、是否尊重他人发言等。

-学习态度：观察学生对学习的态度，如是否认真听讲、是否积极完成作业等。

2.小组讨论成果展示：

-小组合作能力：评价学生在小组讨论中的合作能力，包括分工合作、沟通协调、共同解决问题等。

-讨论内容质量：评估小组讨论的内容是否与课程内容相关，讨论是否深入，是否能够提出有价值的观点。

-展示效果：评价学生在展示讨论成果时的表达能力和逻辑思维能力。

3.随堂测试：

-知识掌握程度：通过随堂测试评估学生对本节课知识点的掌握情况，包括对导数概念、极值求解方法等的理解。

-应用能力：测试学生能否将所学知识应用于解决实际问题，如求解函数的极值。

-时间管理：评估学生在规定时间内完成测试的能力，以及是否能够合理安排时间。

4.学生自评与互评：

-学生自评：鼓励学生在课后进行自我评价，反思自己在课堂上的表现，包括学习态度、参与度、讨论贡献等。

-学生互评：组织学生进行互评，相互评价在小组讨论和课堂活动中的表现，促进学生之间的相互学习和成长。

5.教师评价与反馈：

-针对课堂表现：针对学生在课堂上的表现，给予具体、有针对性的评价，如“在小组讨论中，你提出了很有价值的观点，值得大家学习。”

-针对学习成果：评价学生在学习过程中的成果，如“你在随堂测试中取得了很好的成绩，继续保持。”

-针对改进建议：针对学生在学习过程中遇到的问题，提出改进建议，如“在求解极值时，注意观察导数的符号变化，这样可以更快地找到极值点。”

-针对个性化指导：针对不同学生的学习需求，提供个性化的指导，如“对于对导数概念理解不够深入的学生，建议课后多做一些相关练习。”

-针对长期发展：关注学生的长期发展，鼓励学生设定学习目标，并给予必要的支持和鼓励。典型例题讲解例题1：求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1在区间[0,2]上的最大值和最小值。

解答：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。将这两个点代入原函数，得到f(1)=2和f(2/3)=-1/27。又因为f(0)=-1，f(2)=1，所以函数在区间[0,2]上的最大值为2，最小值为-1/27。

例题2：已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的极值。

解答：求导数f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。将这两个点代入原函数，得到f(1)=3和f(3)=1。由于f'(x)的符号变化，当x<1时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<3时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>3时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，x=1是极大值点，极大值为3；x=3是极小值点，极小值为1。

例题3：求函数f(x)=x^3-3x^2+9x-7的极值。

解答：求导数f'(x)=3x^2-6x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。将这两个点代入原函数，得到f(1)=-4和f(3)=2。由于f'(x)的符号变化，当x<1时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<3时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>3时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，x=1是极大值点，极大值为-4；x=3是极小值点，极小值为2。

例题4：已知函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求f(x)的极值。

解答：求导数f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，令f'(x)=0，解得x=1或x=2或x=1/2。将这三个点代入原函数，得到f(1)=0，f(2)=1，f(1/2)=0。由于f'(x)的符号变化，当x<1/2时，f'(x)>0，函数单调递增；当1/2<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；当1<x<2时，f'(x)>0，函数单调递增；当x>2时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，x=1/2和x=1是极大值点，极大值分别为0；x=2是极小值点，极小值为1。

例题5：求函数f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+8的极值。

解答：求导数f'(x)=4x^3-24x^2+44x-24，令f'(x)=0，解得x=1或x=2或x=3。将这三个点代入原函数，得到f(1)=5，f(2)=0，f(3)=1。由于f'(x)的符号变化，当x<1时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<2时，f'(x)<0，函数单调递减；当2<x<3时，f'(x)>0，函数单调递增；当x>3时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，x=1和x=3是极大值点，极大值分别为5；x=2是极小值点，极小值为0。教学反思与总结今天这节课，我们学习了函数的最大值和最小值，通过导数的应用来求解。回顾一下，我觉得有几个地方做得还不错，也有一些地方可以改进。

首先，我觉得导入环节挺成功的。我用生活中的例子引入，让学生们觉得数学不是高高在上的，而是和生活紧密相连的。学生们对如何找到山峰的最高点或水坝的最宽处表现出了浓厚的兴趣，这让我很高兴。

在讲授新课的时候，我尽量用简单的语言解释了导数的概念和极值的判断方法。我发现，学生们对导数的几何意义理解得比较快，但是在判断极值时，有些学生还是有点困难。这说明我在讲解时可能需要更加细致，特别是对于那些容易混淆的点，比如导数为零的点不一定是极值点，这一点需要反复强调。

巩固练习环节，我让学生们分组讨论，这个方法我觉得挺有效的。学生们在讨论中互相启发，共同解决问题，这样的合作学习氛围让我很欣慰。不过，我也注意到，有些学生可能因为害羞或者不自信，没有很好地参与到讨论中去。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更多地鼓励那些不太活跃的学生，让他们也能参与到课堂活动中来。

课堂提问环节，我尽量让每个学生都有机会回答问题。我发现，通过提问，我能更好地了解学生对知识的掌握程度。有些问题，学生们能迅速给出答案，这说明他们对这部分内容掌握得不错；而有些问题，学生们需要思考一会儿才能回答，这提醒我需要在今后的教学中加强对这些知识点的讲解。

当然，教学过程中也有一些不足之处。比如，我在讲解极值求解方法时，可能过于依赖公式，而没有让学生充分理解背后的原理。这导致有些学生在遇到稍微复杂一点的函数时，就不知道如何下手。因此，我需要在今后的教学中，更加注重引导学生理解数学概念的本质。

教学总结方面，我觉得学生们在这节课上收获了不少。他们对函数极值的概念有了更深入的理解，也学会了如何运用导数来求解极值。在情感态度方面，学生们对数学的兴趣似乎也有所提升，这让我感到非常高兴。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

1.在讲解新概念时，多结合实例，让学生通过实例理解抽象的数学概念。

2.在课堂活动中，更多地关注那些不太活跃的学生，鼓励他们积极参与。

3.加强对学生的个别辅导，针对学生的不同需求，提