福建省 厦门市第十中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

第页，共页第16页，共16页2024-2025学年度第一学期高二年级质量检测数学试题（考试内容：选修一，选修二数列考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.90° D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据斜率和倾斜角的定义，直接可得答案.【详解】化简得，，明显可见，该直线斜率不存在，倾斜角为90°故选：C2.正项等比数列中，，则（）A.4 B.8 C.32 D.64【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的性质运算即可.【详解】因为是等比数列，所以.故选：D.3.已知向量共面，则实数的值是（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根据空间共面向量定理，结合已知向量的坐标，待定系数，求解即可.【详解】因共面，所以存在，使得，整理得，解得.故选：C.4.单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底，则该地标建筑的高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是，由已知可得，将点坐标代入解得的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程解得的坐标即可求得地标建筑的高.【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为轴，双曲线的虚轴为轴，建立平面直角坐标系如图所示.由题意可得：，，设，双曲线的方程是，则，解得，所以双曲线的方程是：，将点代入得，解得，所以该地标建筑的高为：.故选：.5.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm,若所用钢珠的直径为26mm,则凹坑深度为A.1mm B.2mm C.3mm D.4mm【答案】A【解析】【分析】由题可知，在中，利用勾股定理，可求得，进而可求出，即凹坑深度．【详解】依题意得，，从而，故，故选A．【点睛】利用半径，弦心距和弦的一半组成的直角三角形来求解，是基础题．6.已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到平面的距离为（）A.4 B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】利用点到平面的距离公式即可得解.【详解】因为，，所以，又是平面的一个法向量，所以到的距离为.故选：B.7.如图，和均是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则异面直线与夹角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的模长公式可得向量的夹角，进而可得异面直线的夹角.【详解】由于，所以，即,化简得，由于，所以，故异面直线与夹角的大小为，故选：C8.已知是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理可求出的关系，即可求出椭圆的离心率.【详解】设椭圆右焦点为，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，结合，所以，则，，由余弦定理可得，即，即故椭圆离心率故选：C.二．多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知，圆，，则（）A.当时，两圆相交 B.两圆可能外离C.两圆可能内含 D.圆可能平分圆的周长【答案】AB【解析】【分析】首先得出两圆的圆心和半径，然后将圆心距与半径之和、之差作比较，即可判断ABC，若圆平分圆的周长，则两圆的公共弦所在直线过点，然后通过计算可判断D.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，，当时，，所以两圆相交，故A正确；因为，所以两圆可能外离，不能内含，故B正确C错误；圆的一般方程为，所以两圆的公共弦所在直线方程为，若圆平分圆的周长，则直线过点，所以，此方程无解，所以圆不能平分圆的周长，故D错误；故选：AB10.已知双曲线C：，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的实轴长为2B.双曲线C的焦点到渐近线的距离为mC.若是双曲线C的一个焦点，则D.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则【答案】CD【解析】【分析】根据双曲线方程求出，从而可求出实轴长，即可判断A；取双曲线的一个焦点和一条渐近线，根据点到直线的距离公式即可判断B；根据焦点坐标求出，即可判断C；由两直线垂直，则斜率之积为，求出，即可判断D.【详解】解：由双曲线C：，得，则双曲线C的实轴长为，故A错误；双曲线的渐近线方程为，即，取右焦点和渐近线，则右焦点和到渐近线的距离为，故B错误；因为是双曲线C的一个焦点，所以，则，故C正确；因为渐近线和垂直，所以，解得，故D正确.故选：CD.11.已知数列前n项和为，且满足，，则下列说法错误的是A.数列的前n项和为 B.数列的通项公式为C.数列为递增数列 D.数列为递增数列【答案】ABC【解析】【分析】数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．【详解】数列的前项和为，且满足，，∴，化为：，∴数列是等差数列，公差为4，∴，可得，∴时，，，对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确.故选：ABC.【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线的一个方向向量是，那么等于_________．【答案】【解析】【分析】根据直线的斜率可求得的值.【详解】由题意可知，直线的斜率为.故答案为：.13.设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，则________．【答案】【解析】【分析】将抛物线化为标准方程，根据抛物线定义即可求出.【详解】抛物线的标准方程为，准线方程为，根据抛物线定义可得.故答案为：.14.如图所示，用刀沿直线切一张圆形的薄饼，切1刀、2刀、3刀、4刀最多可以把饼分成2，4，7，11块，根据其中的规律，则切刀最多可以把饼分成______块．【答案】【解析】【分析】根据特例法，结合累和法、等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】设，显然有，所以当时，当时，也适合，即，故答案为：四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.【小问1详解】等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，所以.16.圆C过点，，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若点M在x轴上，过点M的圆C的切线长为，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意列方程组即可求得参数，从而得到圆的标准方程；（2）由点在x轴上可设，可求得，结合切线长和勾股定理即可求解【小问1详解】设圆的方程为，由题意得，解得，所以圆的方程是；【小问2详解】由（1）可得圆心，半径为，由点在x轴上可设，则，故过点M的圆C的切线长为，解得或，所以的坐标为或17.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点.（1）求证：；（2）求直线AB与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后由向量的数量积为，即可证明向量垂直；（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，再结合线面角的计算公式，即可得到结果.【小问1详解】证明：根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，则，所以，即；【小问2详解】由（1）可得，，设平面的法向量为则，解得，取，则所以平面的一个法向量为，又因为，设AB与平面所成角为，所以，所以直线AB与平面所成角的正弦值为.18.森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s万立方米（）的森林.设为自2021年开始，第n年末的森林蓄积量（单位：万立方米）.（1）请写出一个递推公式，表示，两者间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中r，k为常数；（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）参考数据：，，.【答案】（1）；（2）；（3）19.【解析】【分析】（1）根据题意得到，化简求解；（2）将转化为，再与（1）的结果对比求解；（3）由（2）得到，则数列是等比数列，求得其通项公式，再由求解.【详解】（1）由题意，得，.①（2）将化成，②比较①②的系数，得，解得.所以递推公式为.（3）因为，且，所以，由（2）可知，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为，所以.2030年底的森林蓄积量为数列的第10项，.由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，所以，即，即.解得.所以每年的砍伐量最大为19万立方米.19.已知椭圆离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆的下顶点，且的面积为4.（1）求椭圆C方程：（2）圆，点A，B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点，且直线PB的斜率是直线PA的斜率的2倍，求证：直线AB恒过定点【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由离心率和焦点三角形面积求得，，即可求解；（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线与椭圆方程求得点坐标