黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体第四子共同体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

第页，共页第15页，共15页牡丹江市普通高中协同发展共同体第四子共同体2024--2025学年度第一学期高二年级期末考试试题数学（考试时间：120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由直线的一般式得到其斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】因为直线可化为，则其斜率为，设其倾斜角为，则，所以.故选：B.2.已知，分别是平面法向量，若，则（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为，分别是平面的法向量，且，所以，即，解得故选：B3.已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可【详解】设向量与的夹角为，因为，，且，所以，得，所以，所以，因为，所以，故选：A4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件用，，表示，即可得答案.【详解】由题设，结合，得，故选：C5.直线是双曲线的一条渐近线，则（）A1 B.2 C.4 D.16【答案】A【解析】【分析】首先表示出双曲线的渐近线，即可得到方程，解得即可.【详解】双曲线的渐近线为，又是双曲线的一条渐近线，即，解得.故选：A6.已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据准线方程，代入直线方程即可求解.【详解】的准线方程为：，当时，，解得，故交点为，故选：D7.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，所以设向量与的夹角为，则，所以直线和夹角的余弦值为，故选：C．8.已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】求出直线方程，代入双曲线方程后应用韦达定理得，利用中点坐标得出的关系式，整理后求得离心率．【详解】由已知直线的方程为，即，设，由得，则即，则，，线段的中点是，则，，整理得，即，故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知圆和圆，则（）A.相交 B.相离C.公共弦所在的方程式 D.公共弦长是【答案】ACD【解析】【分析】A，B选项，求出两圆的圆心，进而求圆心距利用圆心距与两半径之差和半径之和比较，确定位置关系；C选项，两圆相减即为公共弦所在直线方程；D选项，利用C选项的结果，利用点到直线距离公式求出圆心到的距离，进而利用垂径定理求出公共弦长.【详解】圆即，圆心，半径，圆即，圆心，半径，圆心距，又因为，，所以，所以两圆相交，故A正确，B错误；两圆相减得：，故两圆的公共弦所在直线方程为，C正确；圆心到的距离为，由垂径定理得：两圆的公共弦长为，D正确.故选：ACD.10.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则（）A.椭圆C的长轴为B.椭圆C的离心率为C.D.抛物线上与焦点距离等于9的点的坐标为【答案】BCD【解析】【分析】选项A，根据条件得到，从而求出长轴，即可判断A；由可得，求出离心率即可判断B，求出椭圆右焦点坐标，从而求得，判断C；利用抛物线的焦半径定义即可判断D.【详解】椭圆，则，所以长轴，则，故A错误，B正确；因为的左右焦点分别为，由题知，抛物线的焦点，所以，得到，故C正确，所以抛物线的标准方程为，设抛物线上与焦点距离等于9的点的坐标为，由抛物线的定义可得：，则，代入抛物线方程可得，则，故D正确；故选：BCD.11.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，AB的中点，则下列结论正确的是（）A.点B到直线的距离为B.直线CF到平面的距离为C.直线与平面所成角的余弦值为D.直线与直线所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解．【详解】在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，则点到直线的距离为：，故A正确；,0,，,1,，,1,，,2,，,,，,1,，,2,，,1,，设平面的法向量,,，则，取，得2,，由于分别为的中点，所以且，因此四边形为平行四边形，故,又平面,平面,所以平面，直线到平面的距离为，故B正确；设直线与平面所成角为，则，故C错误；,2,，,,，设直线与直线所成角为，则，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.两平行直线：与：之间的距离是_____．【答案】##【解析】【分析】借助两平行线间距离公式计算即可得.【详解】.故答案为：.13.若，且，则实数______________.【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出，然后，求出即可.【详解】，,,,即，解得：.故答案为：【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，将代入，得，所以．设，代入，得．所以拱桥到水面的距离为．故答案为：4.5.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知直线l：，点．（1）求过点A且与l垂直的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点的坐标；【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用垂直的条件求出所求方程的直线斜率，再利用点斜式方程求解即得；(2)设出点的坐标，根据题设中的对称条件列出方程组求解即得.【详解】(1)依题意，直线l的斜率为1，则与l垂直的直线斜率为-1，于是得：，化简得：，所以过点A且与l垂直的直线方程是；(2)设，显然点A与的中点必在直线l上，且直线斜率为-1，因此，，即，解得，则点，所以点A关于直线l的对称点的坐标是.16.如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求【答案】【解析】【分析】由双曲线方程求出右焦点，进而得到直线方程，直曲联立，结合距离公式计算即可.【详解】双曲线方程可化为，所以，故，所以直线的方程为，设，，由得，，所以，，所以.17.已知向量，且.（1）求向量与的夹角；（2）求的值；（3）若向量与互相垂直，求的值．【答案】（1）（2）4（3）【解析】【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；（2）由及已知条件求得，即可求模；（3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．【小问1详解】因为，.得，所以由，可得，因为，所以向量与的夹角为.【小问2详解】，故4.【小问3详解】由向量与互相垂直，得，，整理得，解得.18.如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）先利用线面角求出的长度，然后利用空间向量法求解即可.【小问1详解】因为是正方形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面.【小问2详解】因为正方形，平面，平面，所以两两垂直，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，因为平面，所以即为与平面所成角，因为，所以，又，所以，所以，，，设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面的夹角为，则，令得，令得所以，即平面与平面夹角的余弦值为.19.已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64