2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之瓜豆模型（原理）曲线解读与提分训练（原卷版）

专题38最值模型之瓜豆模型（原理）曲线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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例题讲模型

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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）.................................................................1

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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）

模型解读

“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一

个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”

线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋

转、全等和相似。

模型证明

模型1、运动轨迹为圆弧

模型LL如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,。为AP中点.。点轨迹是？

分析：如图，连接A。，取中点任意时刻，均有AAM。QM,PQ=AQ：AP=1：2。

则动点。是以M为圆心，为半径的圆。

模型1-2.如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,作AQLAP且AQ=AP,当点尸在圆。上运动

时，。点轨迹是?

分析：如图，连结A。，作AM_LA。，AO=AM；任意时亥!|均有△APO0AAQM,MMQ=PO.

则动点。是以M为圆心，M。为半径的圆。

模型1-3.如图，AAP。是直角三角形，乙阴。=90。且AP=EAQ,当尸在圆。运动时，。点轨迹是？

分析：如图，连结A。，作AM_LA。，AO:AM=/:1；任意时亥lj均有△AP0SA40M,且相似比为联

则动点。是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-4.为了便于区分动点尸、Q,可称P为“主动点”，。为“从动点”。

此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NE4。是定值）；②主动点、从动

点到定点的距离之比是定量（AP：A0是定值）。

分析：如图，连结A。，^ZOAM=ZR\Q,AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APOS/XAQM。

则动点。是以M为圆心,MQ为半径的圆。

特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。

（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若尸为动点，AB=AC=AP,则3、C、P三点共圆,则动点P是以A圆心，A3半径的圆或圆弧。

（2）定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若尸为动点，AB为定值，ZAPB=90°,则动点尸是以A3为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若尸为动点，为定值，为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

模型运用

例1.（2024.河南南阳三模）如图，点尸（3,4）,P半径为2,4（28,0）,3（56。），点M是尸上的动点,

D.3

例2.（2023•黑龙江大庆•一模）如图，在平面直角坐标系尤Oy中，半径为2的。与x轴的正半轴交于点A,

3

点B是:。上一动点，点。为弦A3的中点，直线y=3与x轴、y轴分别交于点则点C到直线。石

A.1

例3.（2023春・湖北黄石•九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD为正方形，尸是以边AD为直径的O

上一动点，连接3尸，以3尸为边作等边三角形8P。，连接。。，若AB=2,则线段。。的最大值为.

例4.（23-24九年级上•江苏南京•阶段练习）如图，平面直角坐标系宜刀中，点A的坐标是（-3,4）,点8是A

上一点，A的半径为2,将08绕。点顺时针方向旋转90。得OC,连接AC,则线段AC的最小值为（）

372-1C.5D.6

例5.（2024•江苏南通•校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2,以点A为圆心，1为半径作圆,

E是。A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90。并缩短到原来的一半，得到线段DF,连结

例6.（2023・四川广元•统考一模）如图，线段为；。的直径，点C在48的延长线上，AB=4,BC=2,

点P是。上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtPCD,且使/DCP=60。，连接。。，则。。

长的最大值为

例7.（23-24九年级上.安徽合肥・期末）如图，在RtAABC中，/ACB=90。，AC=3,BC=4,平面上有

一点P,AP=1,连接AP,BP,取3尸的中点G.连接CG,在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值

是（）

A.3B.4C.372D.5

例8.（2024・北京海淀.一模）在平面直角坐标系xQy中，对于图形/与图形N给出如下定义：P为图形N上

任意一点，将图形/绕点尸顺时针旋转90。得到AT,将所有AT组成的图形记作AT,称是图形M关于

图形N的“关联图形”.⑴己知A（-2,0）,8（2,0）,C（2,t）,其中"0.①若仁1,请在图中画出点A关于线

段BC的“关联图形”；②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出,的取值范围；（2）

对于平面上一条长度为。的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标

的最大值和最小值的差为d,当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围（用含。和7•的式子表

习题练模型

1.（2024•安徽淮北•三模）如图，线段AB=4,点股为48的中点，动点尸到点M的距离是1,连接尸3,

线段PB绕点P逆时针旋转90。得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是（）

A.3B.4C.20D.3亚

2.（2023•浙江宁波•模拟预测）如图，VABC中，NABC=90。，tanNBAC=；，点。是A8的中点，尸是以A

PB

为圆心，以4）为半径的圆上的动点，连接PRPC,则工；的最大值为（）

3.（2024•安徽合肥•模拟预测）如图，分别经过原点。和点4（8,0）的动直线a,b,其夹角/OB4=30。，点

〃是08中点，连接AM,则A"的最小值是（）

A.4B.2A/3+2C.4A/3-4D.46+4

4.（23-24九年级上.江苏连云港.阶段练习）等边VABC的边长为6,尸是A8上一点，AP=2,把AP绕点A

旋转一周，尸点的对应点为P,连接3P的中点为Q,连接CQ.则CQ长度的最小值是（）

A.373-1B.3A/3-2C.373+1D.373+2

5.（23-24九年级上.安徽合肥・期末）如图，在RCABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,平面上有一

点P,AP=1,连接9，BP,取3P的中点G.连接CG,在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是

A.3B.4C.3亚D.5

6.（2024•河南关B州•三模）如图，点M是等边三角形ABC边8C的中点，尸是三角形内一点，连接AP,将

线段AP以A为中心逆时针旋转60°得到线段AQ,连接.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为.

7.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，M是正方形A8CD边CD的中点，尸是正方形内一点，连接3P,

线段即以8为中心逆时针旋转90。得到线段时,连接MQ.若AB=4,MP=1,则的最小值为—

V

DMC

8.（2024年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图，AB=AC=4,ZBAC^90°,点M是线段

AC上一个动点，连接将线段54沿直线8M进行翻折，点A落在点N处，连接CN,以CN为斜边在

直线CN的左侧（或者下方）构造等腰直角三角形CND,则点”从A运动到C的过程中，线段8的最小值

是,当M从点A运动到点C时，点。的运动总路径长是.

B

9.（2023•深圳外国语学校中考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心，2为半径作

圆，E是A上的任意一点，将线段OE绕点。顺时针方向旋转90。并缩短到原来的一半，得到线段。尸，

连接AF,则AF的最小值是.

E

10.（24-25九年级上•四川成都・期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,。是矩形ABCD左侧一

点，连接AQ、BQ,且NAQB=90。，连接。。，E为。。的中点，连接CE,则CE的最大值为.

11.（2024・四川泸州.二模）如图，正方形ABCD的边长为5,以C为圆心，2为半径作「C,点尸为C上

的动点，连接3P,并将绕点3逆时针旋转90。得到3P,连接CP,在点尸运动的过程中，CP长度的

最大值是.

12.（23-24九年级上•江苏无锡•期中）如图，A是8上任意一点，点C在3外，已知AB=2,BC=4,.ACD

是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为

13.（2024•浙江绍兴•九年级统考期末）如图，在及AA8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以点

B为圆心，长为半径作圆，点£为3上的动点，连结EC,作BCLCE,垂足为C,点尸在直线2C的

上方，且满足C尸=1CE,连结3尺当点E与点。重合时，8尸的值为.点石在（3上运动过程中，

存在最大值为.

14.（23-24九年级•重庆•阶段练习）如图，AS=4,O为钻的中点，。的半径为1,点P是，O上一动

点，以PB为直角边的等腰直角三角形P3C（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范

围为.

AO'B

15.（2024・浙江•一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,尸是线段43上一动点，点C,。绕点尸逆时针旋

转90。得到点E,F,若在运动过程中—E4F的度数最大值恰好为90。，则BC的长度为.

16.（23-24九年级上•陕西西安•阶段练习）（1）问题提出：如图①，在矩形A5C。中，AB=1,BC=6,

P是AD上一动点，则+=的最小值为

（2）问题探究：如图②，在正方形ABCD中，AB=3,点E是平面上一点，且CE=1,连接BE,在BE上方

作正方形求的最大值.

（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正

方形区域A5C©进行设计改造，方使大家锻炼运动.如图③，在正方形内设计等腰直角△曲为健身运动区

域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧"N上.设计铺设b和。厂这两条不同造价鹅卵石路，已

知凡8=40米，8M=10近米，NCEF=90。,CE=EF,若铺设CP路段造价为每米200元，铺设O尸路段

的造价为每米100元，请求出铺设CF和。尸两条路段的总费用的最小值.

nil图2图3

17.（2024・吉林长春•二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，。的半径为2,点A是

。外的一个定点，。4=4.点尸在。上，作点尸关于点A的对称点Q,连接PA、AQ.当点尸在。上

运动一周时，试探究点。的运动路径.

【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长Q4至点M,使

AM=OA,连接。尸、MQ,通过证明一OAP丝MAQ,可推出点。的运动路径是以点M为圆心、2为半径的

圆.下面是部分证明过程：

证明：延长。4至点使=连接OP、MQ.

1°当点尸在直线外时，

证明过程缺失

2。当点尸在直线。4上时，易知OP=MQ=2.

综上，点。的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆.请你补全证明中缺失的过程.

【结论应用】如图③，在矩形A3。中，点反尸分别为边AB、CD的中点，连接点。是所中点，点

M是线段。尸上的任意一点，AB=4,BC=8.点尸是平面内一点，AP=2,连接AP.作点尸关于点M的

对称点2,连接必公MQ.

（1）当点M是线段。/中点时，点。的运动路径