2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之胡不归模型解读与提分训练（解析版）

专题33最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

例题讲模型］

模型1.胡不归模型（最值模型）

模型解读

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽

然从他此刻位置A到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙

子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

模型证明

一动点尸在直线"N外的运动速度为匕，在直线MN上运动的速度为匕，且匕〈匕，4、5为定点,

，确定点的位置使江+些的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）。

点C在直线上C

匕K

B

1）—+—=—[BC+^Ac],记上=匕，即求BC+以C的最小值.

匕匕匕IV2）%

2）构造射线AD使得sin/D4N=Z,—=k,C〃=fc4C,将问题转化为求BC+CH最小值.

AC

3）过8点作BHLAD交MN于点C,交AD于H点,此时8C+C8取到最小值，即BC+姑C最小.

【解题关键】在求形如“出+初中的式子的最值问题中，关键是构造与狂引相等的线段，将“B4+d2”型问题

转化为“E4+P。'型.（若Q1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

模型运用

例1.（24-25九年级上•安徽合肥•阶段练习）如图，在VA8C中，NA=15。，AB=10,尸为AC边上的一个

动点（不与A、C重合），连接3P,则也AP+PB的最小值是（）

A.5^2B.5\/3C.—A/3D.8

【答案】B

【分析】以AP为斜边在AC下方作等腰直角AADP，过2作班，AD于E,通过解直角三角形可得BE的长,

再根据。尸=A尸・sin45°=变AP,可得叵AP+PB=DP+PB2BE,据此即可解答.

22

【详解】解：如图，以AP为斜边在AC下方作等腰直角△4DP,过2作3E_L"）于E,连接

B

・・・/7^£>=45。，ZBAC=15°f,\ZBAD=60°,，班=ABsin600=5百，

DP=AP-sm450=—AP,—AP+PB=DP+PB>BE,.•.受AP+PB的最小值为5G.故选：B.

222

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，作出辅助线是解决本题的关键.

例2.（23-24九年级上.湖南娄底•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3,E,P分别是边AD和对角线AC

4

上的动点，连接EP,记NB4C=a,若tany=§,则P石+PCcosa的最小值为（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】A

【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质.过点尸作于点”，交AD于点G,求得

PC•cos。=尸"，根据垂线段最短，知当点石与点G重合时，尸石+PC-cosa有最小值，据此求解即可.

【详解】解：过点尸作GHL3C于点交AD于点G,

四边形ABCD是矩形，・•・NB=ZBAG=90°,四边形ABHG是矩形，，PH//AB,：.ZHPC=ZBAC=a,

4BC4,--------------

VAB=3,tancr=-,——=-,/.BC=4,AC=y/AB2+BC2=5，

3AB3

AB3

cosa==—=cos/HPC,PC-cosa=PH,

AC5

当点E与点G重合时，PE+PC-cosa有最小值，最小值为GH的长，

,：GH=AB=3,・・・PE+尸Ccosa的最小值为3,故选：A.

例3.（2024.陕西渭南•二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、5。相交于点。，AC=8,BD=6,P是

3

对角线AC上的动点，则+的最小值为.

BC

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点尸作PE1A。，连接BE,由菱形的

性质可得Q4=gAC=4,OD^BD=?>,AC±BD,则由勾股定理可得AD=5,解直角三角形得到

333

sinZOAD-j,则PE=APsin/P4E=：AP,进而得到当8、P、E三点共线，且3E1.AD时，BP+^AP^

小，最小值为班的长，据此利用等面积法求出3E的长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点P作PE上AD，连接BE,

;在菱形ABCD中，对角线AC、3D相交于点O,AC=8,BD=6,P

OA——A.C=4,OD——BD-3，A.CO/^+-59**•sinNOA.D-......——,

22AD5

33

・••在Rt^APE中，PE=AP-sinZPAE=~^PABP+-AP=BP+PEf

3

.•.当8、P、E三点共线，且BE_LAD时，8尸+《4尸最小，最小值为助的长，

1124

止匕时有S四边形^pc。=A。,BE=—AC,BD,5BE=—x6x8,BE=,

・・・3尸+^3人尸的最小值为2个4，故答案为：y24.

例4.（2023・云南昆明•统考二模）如图，正方形ABCD边长为4,点E是。。边上一点，且NAB£=75。.P

是对角线3。上一动点，则+的最小值为（）

A.4B.4&C.D.行+#

【答案】D

【分析】连接AC,作PGL3E,证明当AP+：BP取最小值时，A,P,G三点共线，且AGLBE,此时最

小值为AG,再利用勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.

【详解】解：连接AC,作「GLBE

；ABC。是正方形且边长为4,：.ZABO=45°,AC1BD,AO=20，

VZABE=75°,ZPBG=30°,:.PG=、BP,

2

.•.当+取最小值时，A,P,G三点共线，且AGJ_3E,此时最小值为AG,

VZABE=15°,AGA.BE,：.ZBAG=15°,VZBAO=45°,440=30°,

设OP=b,则AP=2"："2+（2夜）2=（292,解得：6=与，

设PG=a,则第=2。，;B0=2也,：,2a+b=2日解得：。=夜一^

/.AG=AP+PG=2b+a=s/2+y/6,故选：D

【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是

证明当+取最小值时，A,P,G三点共线，且AGL3E,此时最小值为AG.

例5.（23-24九年级上.江苏南通•阶段练习）如图，AB是。。的直径，CE切。。于点C交A3的延长线于

点E.设点。是弦AC上任意一点（不含端点），若NCEA=30。，BE=4,则CD+2OD的最小值为（）

C

D

A.273B.73C.4D.4g

【答案】D

【分析】作OF平分N49C,交。。于尸，连接AF、CF、DF,过点。作DHLOC于A,根据切线的性

质和三角形内角和定理可得/COE=60。，求得NAOC=120。，根据角平分线的性质可得

ZAOF=ZCOF=60°,根据含30。角的直角三角形的性质可得OE=2OC,求得OC=4,根据等边三角形

的判定和性质可得A尸=AO=OC=RC,根据菱形的判定和性质可得AC平分ZFAO,根据角平分线的性质

和全等三角形的判定和性质可得。尸=DO,根据等边对等角和三角形内角和定理求得/OC4=NQ4C=30。,

根据特殊角的锐角三角函数可求得CD=2DH,推得CD+28=2(0〃+Q),根据垂线段最短可得，当F、

D、H三点共线时，DH+FD的值最小，即m_LAC时，CD+2OD的值最小，根据特殊角的锐角三角函数

可求得五H=2g,即可求解.

【详解】解：作/AOC的角平分线OP,交。。于尸，连接AF、CF、DF,过点。作。于H,如

图：

：OC_LCE,，NC»CE=90。，又：NCE4=30°,ZCOE=180°-90°-30°=60°,ZAOC=180°-60°=120°,

,/O/平分ZAOC,贝UZAOF=NCOF=-ZAOC=-xl20°=60°,

22

VZCEO=30°,ZOCE=90°,：.OC=^OE,即OE=2OC,

XVOE=OB+BE=OC+BE,BE=4,：.2OC=OC+4,二OC=4,即圆的半径为4,

VOA^OF=OC,ZAOF=ZCOF=60°,：.^AOF,ACO尸是等边三角形，

Z.AF=AO=OC=FC,；.四边形AOC尸是菱形，二AC平分/E4O,AZFAC=ZOAC,

XVAF=AO,AD=AD,△■EW四△Q4D（SAS）,/.DF=DO,

180。一440。180。—120。

•：OA=OCZOCA=ZOAC=

22

DH=DC-sinZDCH=DC-sin30°=-DC,即CD=2D",.1

2

CD+2OD=2DH+2OD=2（DH+OD）=2（DH+FD）.若使CD+2OD的值最小，即。H+阳的值最小,

当尸、D、H三点共线时，DH+FD=FH,此时DH+ED的值最小，即FH_LAC时，CD+2OD的值最小，

此时，FH=OF-sinZFOH=OF-sin60°=^-OF=2y/3,CD+2OD=2（DH+FD）=2FH=,故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含30。角的直角三角形的性质，等

边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三角

函数，垂线段最短，解题的关键是明确当尸、D、H三点共线时，DH+田的值最小，即CD+2OD的值

最小.

例7.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，直线y=-gx+2与x轴，y轴分别交于A,8两点，点。是线

段上一动点，点X是直线>=尤+2上的一动点，动点矶〃*0）,尸（m+3,0）,连接3E,DF,HD.当

雇+。户取最小值时，的最小值是.

【分析】作出点C（3,-2）,作于点。，交x轴于点凡此时BE+D尸的最小值为CD的长，利用解

直角三角形求得利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点。的坐标，过点。作

OGLy轴于点G,此时的最小值是5£>G的长，据此求解即可.

【详解】解：•••直线y=-；x+2与x轴，y轴分别交于A,2两点，3（0,2）,A（6,0）,

作点3关于x轴的对称点B，（0,-2），把点E向右平移3个单位得到C（3,-2）,

作CD,他于点。，交x轴于点R过点8'作3石〃CD交无轴于点E,则四边形EFCB'是平行四边形,

此时，BE=B'E=CF,破+七方二叱+力尸二⑺有最小值，作CP_Lx轴于点P,

贝|JCP=2,OP=3,•:/CFP=ZAFD,：.ZFCP=ZFAD,：.tanZFCP=tanZFAD,

PF生丝=22

，:・PF=.则/pOL设直线CD的解析式为丁=履+人,

PCOA26

3k+b=-2

k=3

则U』=。,解得―,•••直线8的解析式为m,

13

39

y=3x-llx=—

1;,即。397

联立，解得；过点。作少轴于点G,

y=--x+2

-3y——

10

3

直线y=_gx+2与X轴的交点为。佶，o],则BQ="Q2+O82="sinZ0Be=-^=4=j,

3）2D（2£3

2

HG=BHsinNGBH=：BH,：.3BH+5DH=5^BH+DH^=5（HG+DH）=5DG,

393939

即33"+5£>"的最小值是5DG=5x记=5,故答案为：y.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

例8.（2024.山东济南.一模）实践与探究

【问题情境】（1）①如图1，RtAABC,IB90?,NA=60。，D,E分别为边AB,AC上的点，DE//BC,

AJ'）

且BC=2DE,则F=______；②如图2,将①中的VADE绕点A顺时针旋转30。，则£>E,3c所在直线较

AB

小夹角的度数为.

【探究实践】（2）如图3,矩形ABC。，AB=2,AD=2j3,E为边AD上的动点，尸为边BC上的动点，BF=2AE,

连接£1尸，作BHLEF于H点,,连接CH.当CH的长度最小时，求3”的长.

【拓展应用】（3）如图4,RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=y/3,。为A3中点，连接CO,E,F

分别为线段即，CD上的动点，SLDF=2BE,请直接写出AF+友的最小值.

3

图1图2图3图4

【答案】（1）①②30。；（2）2；（3）岳

【分析】（1）①由。E〃3C得出AADEs&XBC,再由相似三角形的性质即可得解;②延长DE交BC于F,

令AB交DE于G,由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案；

（2）延长3AFE,相交于点G,连接A”,AC.由矩形的性质可得BC=AD=2^3,证明

△GAEs2BF,由相似三角形的性质得出点A为G3中点，由直角三角形的性质得出AH=J=AB=2,当

A,H,C,三点共线时8取得最小值，证明出△ABH为等边三角形，即可得解；

（3）分别过点。和8作垂线，两线相交于点P,连接PE、PF、PA,则NCDP=/P3E=90。，证明

△PBEs#DF,得出NPEB=NPFD,再证明出尸、E、D、P四点共圆，得出/PEE=/尸£后=30。，

ZPEF=ZPDF=90°,解直角三角形得出尸尸;名回石尸，即可得出AF+其1石尸=4尸+尸尸2AP,最后由

33

勾股定理计算即可得出答案.

【详解】解：（1）①DE〃3C,.•.△ADES^MC,.•.丝=匹=匹=,，故答案为：

ABBC2DE22

由①可得/O=/ABC=90。，由旋转的性质可得：ZZMB=30°,

ZAGD=90°-ZDAG=60°,:.ZBGF=ZAGD=60°,ZBFG=90°-ZBGF=30°,

DE,所在直线较小夹角的度数为30。，故答案为：30°；

(2)延长3AFE,相交于点G,连接姐，AC.

・••四边形ABCD是矩形，.〔AE〃班BC=AD=26:.NGAE=NGBF,

GAAEAE1

VZG=ZG,:.AGAESAGBF,：.——=——=——=一，二点A为G3中点，:.BG^2AB=4,

GBBF2AE2

:如工石尸于点.•.在RGB/ZG中，AH=^=AB=2,

•.•在AAHC中，CH>AC-AH,且AC,A”为定值，，当AH,C,三点共线时CH取得最小值，

*.*tanACAB=——=^J3,ACAB—60°,此时△ASH为等边二角形，/.5"=A6=2.

AB

(3)如图，分别过点。和5作垂线，两线相交于点P,连接PE、PF、PA,则NCDP=N/Z石=90。,

/RtAABC,ZACB=90°,ZC4B=60°,AC=6，。为AB中点，

,-.CD=AD=BD=-AB,ZABC=900-ZCAB=30°,AB=2AC=273,

2

.•.△ACD为等边三角形，，NADC=60。，BD=AD=AC=#,

j2

ZPDB=180°-ZADC-ZCDP=30°,/.PB^-PD,•；PB?+BD。=DP。，：.PB°+(6J=(2PB『，:,PB=1,

•:DF=2BE,"PBESAPDF,:.ZPEB=ZPFD,:.NPED+N产FD=180°,:.P、E、D、/四点共圆，

:.NPFE=NPDB=30°,ZPEF=ZPDF=90°,在RtAP跖中，cosNPbE=cos30°=身=且，

PF2

:.PF=^-EF,AF+^^EF=AF+PF>AP,

33

在RtA4PB中，AP=yjAB2+PB2=^2^+12=A/13,，AF+半跖的最小值为相.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定

与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加

适当的辅助线是解此题的关键.

例9.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，二次函数y=6x2-6jgx+5省的图象交x轴于4、8两

点，交y轴于点C,连接3C.(1)直接写出点8、C的坐标，B；C.

⑵点尸是y轴右侧抛物线上的一点，连接尸8、PC.若△P3C的面积156，求点P的坐标.

(3)设E为线段8C上任意一点(不含端点)，连接AE,一动点〃从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位

速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值.

【答案】（1）（5,0）,（0,5⑹（2）（2,-3用或卜，-4⑹或（6,5⑹（3）点M的运动时间的最小值为7秒

【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与BC平行直线，找到与抛物

线的交点尸；（3）如图，在x轴上取一点G,连接CG,使得/3CG=30。，作ENJ_CG于N.作AN'LCG

FC1

于N'交BC于E，.由点M的运动时间f=AE+k，EN=-EC,推出点M的运动时间f=AE+EN,根据

22

垂线段最短可知，当A,E,N关系，点N与N'重合，点E与E重合时，点M的运动时间最少.由此即可

解决问题；

【详解】（1）解：当x=0时，y=5币,

2

当y=。时，y/3x—6y[3x+5A/3=0,解得：%=1,x2=5,故答案为：（5,0）,（0,

（2）解：设x轴上点。，使得的面积156，.彳瓦＞。。=15有，解得：BD=6,

•■-C（0,5^）,3（5,0）,则可求直线BC解析式为：y=4+50,故点。坐标为（一1,0）或（11,0）,

当D坐标为（-1,0）时，过点。平行于BC的直线/与抛物线交点为满足条件的P,

则可求得直线/的解析式为：y=-y[3x-^3,

求直线/与抛物线交点得：瓜2一66尤+50=-岳-君，解得：士=2,%=3,

则尸点坐标为（2,-36）或卜,-4指），同理当点D坐标为（11,0）时，直线/的解析式为y=-6x+116，

求直线/与抛物线交点得：石X?-6氐+5/=-&+11石，解得:玉=-1（舍弃），无2=6,

则点尸坐标为伍,5间，综上满足条件P点坐标为：（2,-3⑹或。，-4⑹或（6,56）；

(3)解：如图，在x轴上取一点G,连接CG,使得4CG=30。，作ENLCG于N.作AN」CG于V交

/.OG=60C=15，.二直线CG的解析式为=x+573，

3

FC1

,・,点M的运动时间，=A£+k，EN=-EC,•••点M的运动时间，=AE+£7V,

22

根据垂线段最短可知，当A,E,N关系，点N与N'重合，点E与E重合时，点M的运动时间最少.

由题意A(1,O),；.AG=14,，4V'=gAG=7,.•.点M的运动时间的最小值为7秒，止匕时E(3,2^).

【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本

题的关键.

习题练模型

1.（2024•山东淄博•校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（。，2）,点C的坐标是（0,-2）,点

8（尤,。）是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接PC,

求得AP+]PC的最小值为（）

2

A.4百B.4C.2石D.2

【答案】C

【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△A。。，连接PD,过点。作OELOA于E,先求出点。的

坐标，然后证明△射。乌人物。得到/尸。4=48。4=90。，则点尸在经过点。且与垂直的直线上运动，

当点尸运动到y轴时，如图2所示，证明此时点尸的坐标为（0,-2）从而求出直线P。的解析式；如图3

所示，作点A关于直线尸。的对称点G,连接尸G,过点尸作PPLy轴于R设直线PD与x轴的交点为X,

先求出点H的坐标，然后证明NHCO=30。，从而得到AP+gpC=GP+PF,则当G、P、B三点共线时，

GP+P尸有最小值，即AP+：PC有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求.

【详解】解：如图1所示，以。4为边，向右作等边连接PD,过点。作于E,

丁点A的坐标为（0,2）,：.OA=OD=2,：.OE=AE=1,:.DE*OD，-OE。=下,.,.点。的坐标为（后1）；

•.,△A2P是等边三角形，△4。。是等边三角形，：.AB=AP,ZBAP=60°,AO=AD,ZOAD=60°,

ZBAP+ZPAO=ZDAO+ZBiO,即NBAO=/B4。，AABAO^AB4D（SAS）,AZPDA=ZBOA=90°,

.•.点P在经过点。且与AD垂直的直线上运动，

当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合,

•.•△A3P是等边三角形，BOLAP,.•.AOPOZ,.•.此时点P的坐标为（0,-2）,

.6k+b=1.k=不

设直线尸。的解析式为丁=履+〃，，，直线尸。的解析式为丁=氐-2；

b=-2b=-2

如图3所示，作点A关于直线尸。的对称点G,连接PG,过点尸作尸尸,丁轴于凡连接CG,设直线尸。与

X轴的交点为“，，点H的坐标为［与，。），...tanNOCH=^=?,.•./OC”=30。，PF=；PC,

由轴对称的性质可知AP=GP,：.AP+^PC=GP+PF,

.•.当G、尸、尸三点共线时，GP+尸尸有最小值，即AP+；PC有最小值，

：A、G两点关于直线尸。对称，且/AOC=90。，.•.AO=GQ,即点。为AG的中点，

:点A的坐标为（0,2）,点。的坐标为（G1）,，AG=2AO=2OA=4,

-：AC=4,ZCAG=60°,；.ZkACG是等边三角形，VOC=OA,：.OG±AC,即点G在无轴上，

由勾股定理得OG=,42_22=2陋，二当点尸运动到H点时，GP+PP有最小值，即AP+gpC有最小值，

最小值即为OG的长，+的最小值为26，故选：C.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴

对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点尸的运动轨迹是解题的关键.

2.（2024・四川德阳•二模）如图，已知抛物线y=Q%2+"+c与x轴交于A（l,0）,。（一3,0）两点，与y轴交于点

8（。，3）.若尸为y轴上一个动点，连接AP,则fgP+AP的最小值为（）

y

p1\

co\八、

A.&B.2C.2夜D.4

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在

于把求变BP+4P最小值转化为求PG+”的最小值;连接BC,AP,过点尸作PG，3c于点G,连接AG,

2

过点A作于点X；由B、C的坐标得OB=OC,则有NOBC=45。，从而PG=^BP；于是求

2

受BP+AP最小值转化为求PG+AP的最小值；利用勾股定理即可求得最小值.

2

【详解】解：连接BC,AP,过点尸作尸G,3c于点G,连接AG,过点A作AH于点如图，

：.—BP+AP=PG+AP>AG>AH,.•.交8尸+A尸的最小值为AH的长，

22

,/A(1,O),C(一3,0),\AC=1-(-3)=4,^RuACH^,-.-2ACH45?,AC4,\AH=-AC=2-j2,

2

+的最小值为2忘.故选：C.

3.(2024.山东校考一模)如图，AB=AC,A(0，A/15),c(1,0),。为射线AO上一点，一动点P从A出

发，运动路径为A-C,在上的速度为4个单位/秒，在C。上的速度为1个单位/秒，则整个运动时

间最少时，D的坐标为

【分析】如图，作DH±AB于H,CM1AB于交A。于D,.运动时间，=丁+丁=丁+。，由

AAHD^AAOB,推出^-AD+CD=CD+DH,推出当C,D,〃共线且和CM重合时,

44

运动时间最短.

【详解】如图，作于氏四于"，交A。于".

;运动时间，=—+—=——+CD,•：AB=AC,AO.LBC,：.BO=OC=1,

414

A(0,,C(1,0),AB—AC,AO_Z.BC,24g=AC=.(,Qp-=,15+1=4,

,/ZDAH=ZBAO,ZDHA=ZAOB=90°,AAHD^AAOB,

DH=-AD,：.-AD+CD=CD+DH,

ABOB44

.•.当C,D,H共线且和CM重合时，运动时间最短，

:.^BC-AO=^ABCM,CM=半,二AM=dAC。一C”=J4T半］=1,

49

,/AD,=4A/D,,设A/D'=〃z,则AD'=4m,则有：161-m2=~

32f或一需（舍去），•.3=普’

4.（2023•湖南湘西•统考中考真题）如图，。。是等边三角形A3C的外接圆，其半径为4.过点2作BEJ_AC

于点E,点尸为线段8E上一动点（点尸不与8,E重合），则+的最小值为

2

【答案】6

【分析】过点P作尸连接CO并延长交于点R连接A0,根据等边三角形的性质和圆内接三

角形的性质得到。4=03=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性质得到OE==2,进而求

出3E=30+EO=6,然后利用CP+：3尸=CP+尸。WC歹代入求解即可.

【详解】如图所示，过点P作连接CO并延长交于点R连接49

^ABC是等边三角形，BE1AC：.NABE=ZCBE=|ZABC=30。

:。。是等边三角形A3C的外接圆，其半径为4；.04=03=4,CF1AB,

：.ZOBA=ZOAB=30°/.ZOAE=ZOAB=-ABAC=30°

2

1.,BELAC：.OE=-OA=2：.BE=BO+EO=6

2

PD±AB,ZABE=3Q°：.PD=-PB：.CP+-BP=CP+PD<CF

22

+尸的最小值为CF的长度：4钻。是等边三角形，BEVAC,CFJ.AB

2

:.CF=BE=6/.CP+\BP的最小值为6.故答案为：6.

2

【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30。角直角三角形的性质等知识，解题的

关键是熟练掌握以上知识点.

5.（2023・辽宁锦州•统考中考真题）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,ZABC=3Q°,AC=4,按下列步

骤作图：①在AC和A3上分别截取AD、AE,使=②分别以点。和点E为圆心，以大于的

长为半径作弧，两弧在—B4C内交于点③作射线40交3C于点?若点尸是线段AF上的一个动点，

连接CP,则CP+^AP的最小值是

【答案】2石

【分析】过点尸作PQ1AB于点°,过点。作81.48于点先利用角平分线和三角形的内角和定理求

出/瓦S=30。，然后利用含30。的直角三角的性质得出PQ=：AP,则CP+gAP=CP+PQ2CH,当C、

P、。三点共线，且与A3垂直时，CP+JAP最小，CP+^AP最小值为CH,利用含30。的直角三角的性质

和勾股定理求出AB,BC,最后利用等面积法求解即可.

【详解】解：过点尸作于点。，过点C作于点H,

由题意知：AF平分/B4C,VZACB=90°,ZABC=30。，AZBAC=60°,

：.ZBAF=-ABAC=30°,APQ=-AP,：.CP+-AP=CP+PQ>CH,

222

...当C、P、。三点共线，且与AB垂直时，CP+^AP最小，CP+g”最小值为S,

VZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,：.AB=2AC=8,：.BC^AB1-AC2=4A/3-

即CP+；A尸最小值为2石.故答案为：20.

【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用

等积法求三角形的高或点的线的距离的方法.

6.(2022•湖北武汉•九年级期末)如图，回A3CD中NA=60。，AB=6,AD=2,P为边CO上一点，贝I

6PD+2PB的最小值为.

【答案】6A/3

【分析】作尸以，交AD的延长线于由直角三角形的性质可得用三正。P,因止匕班PQ+2PB=2(3

22

DP+PB)=2(PH+PB),当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即十2PB有最小值，即可求解.

【详解】如图，过点尸作尸以LAD,交AD的延长线于

四边形ABCD是平行四边形，AB//CD,：.ZA=NPDH=60°

,/PH1.AD：.NDPH=3。°：.DH=-PD,PH=^>DH=-PD,

22

/.mPD+2PB=2(4PD+PB)=2(PH+PB)

当点点P,点B三点共线时，HP+PB有最小值，即6尸。+2依有最小值，

此时BH±AH,ZABH=30°,ZA=60。，：.AH=^AB=3,BH=CAH=36

则&PD+2PB最小值为66，故答案为：673.

【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识.构造直角

三角形是解题的关键.

7.(2023・江苏宿迁・统考二模)已知AABC中，BC=6cm,ZA=60°,则AB二1■AC的最大值为

2

【答案】6夜

【分析】过点C作CDLAS,垂足为D,取DE=AD,即可说明VADE是等腰直角三角形，求出ZACD=30°,

进一步求出CE=也匚AC,继而将AB+叵4AC转化为BD+CD,推出点。在以BC为直径的圆上，从而

22

可知当△BCD为等腰直角二角形时，BD+CD最大,再求解即可.

【详解】解：如图，过点C作CDLAB,垂足为D,^DE=AD,

VADE是等腰直角三角形，二NZME=NDEA=45。，

VZA=60°,/.ZCAE=15°,：.ZACD=ZAED-ZCAE=30°,：.AD=-AC=DE,

2

22

CD=y/AC-AD=—AC,CE=CD-DE=—AC--AC=^^-ACf

2222

/3_i

AB+-x——AC=AB+CE=AD+BD-^CE=DE+BD+CE=BD+CD,

2

2222

V(BD+CD)=BD+CD+2BDxCD=BC+4SABCD=36+4SABCD,而8C一定，

...当△BCD的面积最大时，BD+CD最大，：/或心=90。，...点。在以BC为直径的圆上，

当。平分BC时，点。到3C的距离最大，即高最大，则面积最大，

此时BD=CD,则△BCD为等腰直角三角形，8。+8=2m=2*1^=6右，故答案为：6金.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理,

解题的关键是添加辅助线，将最值转化为3D+CD的长.

8.(2023・陕西西安•校考二模)如图，在MAABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AB=8,D、尸分别是边A8、

3c上的动点，连接CD,过点A作AE±CD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+^FB的最小值为

2

A

【答案】3"2

【分析】“胡不归模型”，以2/为斜边构造含30。角的直角三角形，结合/2=30。，即把R3A2C补成等边

△ABP,过F作3尸的垂线切，根据垂线段最短得，当G、F、H成一直线时，最短，又根据直角

所对的弦是直径，可得点G在以AC为直径的圆上，取AC的中点O,连接OG,过点。作0Q_L2P于点Q,

据此解题.

【详解】解：如图，延长AC到点尸，使CP=AC,连接BP,

过点尸作以尸于点X,取AC的中点O,连接。G,过点。作于点。，

,/ZACB=90°,/ABC=30。，AB=8,；.AC=CP=4,AP=8,BP=AB=8,是等边三角形，.•./FBH=30。，

在RtAFHB中，FH=-FB,.,.当G、F、”在同一直线上时，GF+-FB=GF+FH,

22

,JAELCD,：.ZAGC=9Q°,为AC的中点，：.OA=OC=OG=-AC,

2

AA,C、G三点共圆，圆心为。，即点G在。。上运动，.•.当点G运动到。。上时，GF+尸H取得最小值,

•.•在RtAOP。中，ZP=60°,OP=6,sinP=^=立，

OP2

：.0Q=昱0P=36，的最小值为3g-2,即的最小值为3指-2,故答案为：373-2.

22

【点睛】本题考查含30。直角三角形性质，特殊角的三角函数值，垂直平分线性质，点到直线距离，圆周角

定理，最短路径，解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，联想到找出点G运动路径再计算.

9.(2023