云南省昆明市官渡区2024-2025学年高一上学期期末学业水平考试数学试题卷（解析版）

第页，共页第15页，共15页云南省昆明市官渡区2024-2025学年高一上学期期末学业水平考试数学试题卷（全卷四个大题，共19个小题，共4页；考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷，草稿纸上作答无效．2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合,即可根据交集的定义域求解.【详解】由，故，故选：C2.已知命题，则p的否定为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可求解.【详解】命题，其否定为.故选：B3.已知函数，则的值为（）A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由分段函数解析式代入计算可得结果.【详解】易知，所以.故选：A4.如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点，且点的横坐标为，射线OP绕点逆时针旋转后与单位圆交于点，角的终边在射线OQ上，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数定义及诱导公式即可求得结果.【详解】由三角函数定义可知，又为第一象限角，所以；又，所以.故选：C5.已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定幂函数解析式，再利用函数单调性解不等式.【详解】因为幂函数过点，所以，则,所以=在0,+∞上是增函数,所以不等式等价于，求解可得.故选：D.6.求值：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合正切定义，两角差的正弦公式，辅助角公式，二倍角公式，诱导公式，直接化简求解即可.【详解】.故选：B7.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（）A大于10克 B.小于10克C.等于10克 D.当时，大于10克；当时，小于10克【答案】A【解析】【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为，所以，所以，先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.由杠杆的平衡原理：，．解得，，则.下面比较与10的大小：因为，因为，所以，即，所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A.8.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.的最小正周期为 B.的值域为C.点是图象的一个对称中心 D.不等式的解集为【答案】D【解析】【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.【详解】，作出的图象，如图，观察图象，

对于A，

的最小正周期为，故A错误；对于B，的值域为，B错误；对于C，的图象没有对称中心，C错误；对于D，不等式，即时，得，解得，所以的解集为，故D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A. B.的解集为C.的解集为 D.【答案】BC【解析】【分析】因为不等式的解集为或，结合不等式解集和韦达定理，可得和，然后逐个选项代换判断即可.【详解】因为不等式的解集为或，所以，，可得，则，即，得，，又化为，可得，解得，又，故A错，B正确，C正确，D错误.故选：BC10.下列结论正确的有（）A. B.C. D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得.【详解】对于A，，故A正确；对于B，因为，所以，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，，则，，故D正确.故选：ACD.11.已知定义在上的函数满足，且，则（）A.的图象关于直线对称 B.为奇函数C.的最小正周期为4 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用得到函数的图象关于对称，可判断A；利用的图象关于1,0对称，可得为奇函数，可判断B；由和两者结合即可得到，可判断C；令，可得可判断D.【详解】对于A，由可知，函数的图象关于对称，故A正确；对于B，由可知，函数的图象关于1,0对称，则向左平移一个单位可得，所以函数的图象关于对称，所以为奇函数，故B正确；对于C，由可得：，由可得：，所以，所以，函数的周期是2，故C错误；对于D，函数的图象关于1,0对称，所以f1=0再令，可得，故D正确.故选：ABD.第II卷非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数，且的图象恒过定点______.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的性质求定点.【详解】令，则恒成立，故函数，且的图象恒过定点.故答案为：13.已知，且，则______.【答案】【解析】分析】根据平方关系求出，再利用诱导公式求解.【详解】根据题意，，则，又，所以.故答案为：14.定义运算：，若，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的最小值为______；若在区间内恰好有4个零点，则的取值范围是______.【答案】①.②.【解析】【分析】依题意得，根据三角函数的平移变换结合奇函数的性质可得，即可求出的最小值；将问题化为在上恰好有4个解，结合正弦函数性质有即可得结果.【详解】依题意得，图像向左平移个单位得为偶函数，所以，所以，因为，所以当时，的最小值为.在区间内恰好有4个零点，即在区间内恰好有4个解，所以在区间内恰好有4个解，因为，即，所以，解得：.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，根据集合的基本运算可得结果.（2）根据条件可得⫋，利用集合的基本关系列不等式组可得结果.【小问1详解】由题意得，，∵，∴，∴.【小问2详解】∵是的充分不必要条件，∴⫋，∴（等号不同时成立），解得，∴的取值范围为.16.普洱茶种植历史可追溯到1700多年前，其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.实践表明，该茶用的水泡制，等到茶水温度降至时，有最佳饮用口感.研究发现：茶水温度随放置时间（分钟）的函数关系式为.由测试可知，经过1分钟后茶水的温度为.（1）求常数的值；（2）在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：）【答案】（1）（2）7.5分钟【解析】【分析】（1）代入即可求解，（2）根据指对互化即可求解.【小问1详解】将代入函数，得解得，所以常数【小问2详解】由（1）知，根据题意可知：，所以，化简得：，将指数式化为对数式，将题目中的参考数据代入上述对数式，化简得，所以，在室温下，刚泡的该茶大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.17.函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）求函数在上的值域.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值，从而求得的解析式，利用整体代入法来求得单调递增区间.（2）根据三角函数值域的求法来求得正确答案.【小问1详解】由图可得，，，，，由于，所以，则，而，所以，所以函数解析式为令，所以.综上函数解析式为，单调增区间.【小问2详解】因为，所以.当时有最大值为，，所以时有最小值为，所以函数在上的值域为.18.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值并判断的单调性（无需证明）；（2）解关于的不等式；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），单调递增（2）（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数性质以及指数函数单调性即可判断得出结论；（2）利用指数函数单调性解不等式即可得出结果；（3）分离参数利用基本不等式计算得出最小值，即可求实数的取值范围.【小问1详解】因为函数的定义域为，且为奇函数，所以，解得．此时，经检验满足题意；易知，由指数函数单调性可判断得在上单调递增.【小问2详解】因为是奇函数，所以，所以，又因为在上单调递增，所以，即，解得.所以不等式的解集【小问3详解】由题设在上恒成立，因为当时，，所以，即在上恒成立，令，设，当且仅当时，等号成立；即，所以实数的取值范围是.19.如图所示，角终边与单位圆交于点，过作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线交射线OP于.（1）由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段MP，AQ的长.（i）求的值；（ii）判断的大小关系；（2）设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的最大值.【答案】（1）（i），；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）直接利用三角形面积公式和扇形面