2025人教版高二数学期末模拟卷（全解全析）（人教版选择性必修第一册+第二册）

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+第二册（空间向量与立体几何、直线和圆的方程、

圆锥曲线的方程、数列、导数）。

4.难度系数：0.65„

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设直线，：无一2y+2=0的倾斜角为a,则cosa的值为（）

V5R逐275n26

AA.D,------Lr.kJ.-----

5555

【答案】C

【解析】由题意可知：直线/的斜率A=L则tana=22q=L>0,可得sine='cosc,旦ae,

2cos«22I2j

又因为sin'a+cos2c=°cos2a=1,可得costz=±36,由e可知cosa>0,所以cosa=2^.

45I5

2.若”，/为三条不同的直线，口,6为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A.如果mua,I//m,贝i]/〃aB.如果根ua,”ua,m^/3,na/3,则C〃£

C.如果a〃尸，/u£,贝l"〃aD.如果e〃刀，“zutz,nu/3,则相〃〃

【答案】C

【解析】A：当/aa时，才能由%ua,/〃加，得到/〃a,所以本选项命题是假命题；

B：只有当"2n=O,mlIf3,nlIP,时才能由根ua,wua,得到a〃4，所以本选项命题是假命题；

C：根据面面平行的性质可知本选项命题是真命题；

D：因为a〃尸，mua,nu/3,所以直线m,n没有交点，因此m,n可以平行也可以异面，所以本选项

命题是假命题，故选：C

3.若两个非零向量a,6的夹角为夕，且满足|a|=2|b|,(a+36)，a,则cosO=()

A-T1

B.cD

3-I-1

【答案】A

所以蓝+302=0,所以a.b=_t£，

【解析】因为(a+36)，a,所以(a+3Z?)-a=0,

3

|2

a\

a-b2

所以cos。=3-女.故选:A.

刚，山a\3

2

22

4.已知椭圆E:1y+券=l(a＞人＞0)的中心是坐标原点。，F是椭圆E的焦点.若椭圆E上存在点尸，使

△OEP是等边三角形，则椭圆E的离心率为()

A.73-1B.4-273

2

【答案】A

【解析】设点尸为椭圆E上位于第一象限内的点，设转为椭圆E的左焦点,

因为是等边三角形,则|「产|=|O同=|0P|=c,"OF=60,

■\OP\^\OF^c,所以，ZOPFt=AOFlP=3Q,ZFPFt=ZOPF+AOPFX=90,

所以，附|=J|尸胤2Tp歼=&,由椭圆的定义可得2a=|尸耳+归百1=(百+l)j

2

因此，椭圆E的离心率为e=：百-1.

6+1

5.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为R抛物线上一点尸(U)满足|尸尸|=2,则抛物线方程为()

A.y2=—xB.y2=—xC.y1=2xD.y2=4x

42

【答案】D

【解析】由题意，得1+5=2,即。=2,所以抛物线方程为丁=以.故选：D.

6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减

一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健

步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程

为（）

A.228里B.192里C.126里D.63里

【答案】B

【解析】由题意得，该人所走路程构成以g为公比的等比数列，令该数列为{%},其前〃项和为S“，则有

叫（1-

s6=——4=378,解得q=192,

1--

2

故选:B.

7.阿波罗尼斯（约公元前262年〜约公元前190年），古希腊著名数学家，主要著作有《圆锥曲线论》、

《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，

进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲

线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C，=1(。>0,Z?>0)的左、

ab2

右焦点分别为片，F2,其离心率6=百，从歹2发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光

线为EP,若反射光线与入射光线垂直，则sinN玛4E=

k5君c42^/5

6555

【答案】B

FE±EP,£=所以

【解析】设|环|=机，|E用=寓阊=2。，由题意知加一〃=2a2

a

疗+川一2mm，-4a2c=y/5a加2+a2=4,2,所以w=2(?-2/=8/,又m—n=2a,所以

所以sinAFFE=-77=2；=•故选B.

n2+2an-Sa2-0，解得n=2a,2X

-闺闾2石〃5

8.已知VABC是面积为名后的等边三角形，其顶点均在球。的表面上，当点尸在球。的表面上运动时，三

4

棱锥P-ABC的体积的最大值为%8,则球。的表面积为（）

D.4〃

【答案】A

【解析】如图所示,

设点M为VABC外接圆的圆心，当点尸、O、M三点共线时，且尸、/分别位于点。的异侧时，三棱锥

P-ABC的体积取得最大值.

因为VABC的面积为%8,所以边长为3,

4

由于三棱锥产一ABC的体积的最大值为工xx=2叵，得PM=3,

344

易知SM_L平面ABC,则三棱锥尸-ABC为正三棱锥，

VABC的外接圆直径为2AM=。=2有，所以人加二石

sm——

3

设球O的半径为R,贝！|R。=OA2=AM2+{PM-PO)2=3+(3-7?)2,

解得H=2,

所以球的表面积为5=4万/?2=16为

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知函数〃x）=x3+g尤2-4无，则（）

A.x=l是〃尤）的极小值点B.有两个极值点

C./（x）的极小值为1D.在［0,2］上的最大值为2

【答案】ABD

【解析】因为/(同=/+^尤2一©，所以r(x)=3/+x-4=(x-l)(3x+4),

当xe］_oo,_g］(1,+co)时，r(x)>0；当xe(一［,lj时，/(x)<0,

故〃x)的单调递增区间为1-8，-£|和(1,+8)，单调递减区间为

则/(x)有两个极值点，B正确；

且当x=l时，〃x)取得极小值，A正确；

且极小值为了⑴=-1,C错误；

又〃0)=0，〃2)=2,所以“X)在［0,2］上的最大值为2,D正确.

故选：ABD.

10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上

层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，L.设第〃层有％个球，从上往下〃层球的总数为S,,则

()

A.al:+l-an=n+lB.§6=35

11114044

D.—1----+H------------=------------

。20222023

【答案】AD

【解析】因为%=1,%一%=2,%-%=3,…，an-an_x=n,

以上几个式子累力口可得%=1+2+3+…+〃="71),n>2,

%=1时也满足上式，故为=当辿，

对选项A：an+1-an=----3-----——建一-=n+l,正确；

对选项B：56=1+3+6+10+15+21=56,错误;

对选项C：Sn+l-Sn=an+1,n>2,错误;

对选项D：

nn+1

4044一匕

一十一+一+2023'正确:

故选：AD.

11.已知空间中三点A(。,1/)，8(2,2,1),C(2,l,0),则(

|BC|=2BC方向上的单位向量坐标是。,--

C.〃=(1,-2,2)是平面ABC的一个法向量D.在BC上的投影向量的模为四

【答案】BC

【解析】对于A：BC=(O,-l,-l),则旧C卜而1=后，A错误；

一BC(0,-1,-1)(V2忘'

对于B：8C方向上的单位向量坐标是彳J=-----有一=°，--7，--7,B正确；

\BC\”<22.)

对于C：BC=0,-l,-l),AC=2,0,-1),「、，

77AC-n=(2,0,-1).(1,-2,2)=0

又AC与BC不平行，故"=(1,-2,2)是平面ABC的一个法向量，C正确；

对于D：AC在8C上的投影向量的模为半半=±=*，D错误.

BCV22

故选：BC.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若圆M：。-3)2+(了+1)2=4与圆/+(〉-机)2=25内切，则机=

【答案】-1

【解析】因为两圆内切，所以圆心距等于半径之差的绝对值，所以,32+(僧+1『=5-2,

解得〃=z-1.故答案为：-1.

13.已知点。是坐标原点，点。是圆(x-3)2+(y+4)2=l上的动点，点P(/,V-4),则当实数f变化时,

I尸0+|尸。|的最小值为

【答案】6

【解析】点尸亿T-4)在直线/：x+y+4=0上，圆心人(3,4)关于直线方+、+4=。对称点3(0,—7),

圆A：(x-3)2+(,+4)2=1关于直线/对称圆B：X2+(J+7)2=1

如图：

连接02与圆B交直线/于点尸，连接B1交圆A于。，

此时|尸0+「。|最小，(|PQ|+|PO|)mjn=7-l=6,故|PQ|+|PO|的最小值为6.

14.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120时，费马点与

三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120，根据以上性质，

已知4(-2,0),3(2,0),C(0,4),p为YABC内一点，记f(P)=|R4|+|P8|+|PC|,则知尸)的最小值为_____.

【答案】4+2若

【解析】设。(。，0)为坐标原点,由A(-2,0),8(2,0),C(0,4),

可得|AC|=忸。=2正,3C=4,且VABC为锐角三角形，

所以费马点M在线段OC上，如图所示，设”(0,3,

则△AMB为顶角是120的等腰三角形，可得〃=|0同sin30=竽，

又由/(尸)=|尸4|+|尸8|+|尸(7],

贝(J/(尸)+|MC|=-4/z+4-/z=4+26，

所以/(尸)的最小值为4+26.

故答案为：4+20.

yt

AO\

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）若圆C经过点A（-U）和3（1,3）,且圆心在无轴上，贝I：

⑴求圆C的方程.

（2）直线y=x与圆c交于E、尸两点，求线段斯的长度.

【解析】（1）因为4（一1,1）和8（1,3）,线段48的中点为（0,2）,且矶=士3=1,

1一（一1）

则A3的垂直平分线为x+y-2=0,....................................（3分）

由圆的性质可知，圆心在该直线上，

又已知圆心在x轴上，令y=o,得尤=2,

故圆心为C（2,0）,半径r=|C8|="2-以+（0-3）2=质,...................（5分）

则圆C的方程为（x-2）2+y2=io.....................................（6分）

\EF\=2^r--d-=2-V10-2=472.....................................（13分）

16.（15分）已知正项数列也｝满足45.+2a^+1a„=a；-2an+la；,.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵设（）求数列也｝的前九项和T

bn=-1"+2],22II.

【解析】（1）由。；+1+24+。=4一20,+'，

得-d+2a；+。+2a“+4=（4用+）（«„+1-an+2an+lan）=0.

an>0,所以。“+1+%>0，故a用一。“+24用。“=0得^———=2,（3分）

是公差为2的等差数列，首项为一,（3分）

11c/1、11

贝I」-=—+2(n-l),由〃=,得％=..................(3分)

%2013

故《=2”+1,于是4=£................................................。分)

an2n+l

(2)依题意，2=(一1)"(2"+1+2")=(-1)"(2"+1)+(-2)",

故或=乙+a++处=[-3+(-2)]+[5+(-2月++[4〃+1+(-2产],......................................(10分)

；.&=[-3+5-7++(4〃+1)]+[(-2)+(-2)2+(-2)3++(-2)2"],

232

T2n={(-3+5)+(-7+9)++[-4n+1+(4〃+1)]}+[(-2(+(-2)+(-2)++(-2)"],（13分）

-2「1-(-2)刃222K+1

即工《=1n-\-------------------=2n-----1--------......................................(15分)

2"1-(-2)33

17.（15分）如图，ABCD为圆柱的轴截面，是圆柱上异于AD,BC的母线.

（1）证明：平面£>E尸;

（2）若AB=BC="，当三棱锥3-DEF的体积最大时，求二面角8-D尸-E的正弦值.

【解析】（1）证明：如图，连接AE,由题意知48为。。的直径，所以

因为AD,E尸是圆柱的母线，所以ADE尸且AD=EF,

所以四边形AEFD是平行四边形.....................（3分）

所以AE//O尸，所以BE，。产.因为族是圆柱的母线，

所以EF_L平面ME,....................................（5分）

又因为BEu平面ABE,所以EF_LBE.又因为。歹‘EF=F,

DF、EFu平面£>EF,所以BE_L平面DEF...........................................（6分）

由（1）知BE是三棱锥3-DEF底面DEF上的高，

由（1）知EF，AE,AE〃。尸，所以EF,小，即底面三角形DEF是直角三角形.

^DF=AE=x,BE=y,则在RtABE中有：x2+y2=6,..................（8分）

所以%-=尤.布］.丁二萼孙三手・^^=手’..................（9分）

33<2）6622

当且仅当x=y=6时等号成立，即点E,F分别是A8，CD的中点时,

三棱锥5—DEF的体积最大，..................（10分）

解法二：等积转化法：VB_DEF=VD_BEF=VD_BCF=VB_CDF=|SCDF-BC

易得当F与CO距离最远时取到最大值，

此时E、F分别为AB、CQ中点）..................（10分）

下面求二面角3-D尸-E的正弦值：

法一：由（1）得BE工平面DEF,

因为Dbu平面DEF,所以BE，。尸.

又因为砂_LQF,£FiBE=E,

所以DE1平面BEF.

因为BFu平面BEF,

所以5F_L£>F,所以N班E是二面角3-。尸-石的平面角，

由（1）知△巫户为直角三角形，则8尸="（g）2+（n）2=3....................（12分）

故sinZBFE=世^=,

BF3

所以二面角3—。小一片的正弦值为由....................（15分）

3

法二：由（1）知两两相互垂直，如图，以点E为原点，£4,£B,EF所在直线

为x,y,z轴建立空间直角坐标系石-孙z,

则B(0,V3,0),D(y/3,0,A/6),£(0,0,0),F(0,0,A/6)....................................（H分）

由（1）知BE_L平面DEV,故平面DEF的法向量可取为EB=（0,省,0）.

设平面的法向量为"=(x,y,z),

由。F=(一6,0,0),BP=(0,-G,述)，...................(12分)

尸=0[-氐=0fx=0

得“八，即厂L，即房，取Z=l,

[n-BF=0[-5/3^+v6z=0[y=j2z

得“=(0,3,1).....................(13分)

设二面角3—1里-石的平面角为e,

|cos91=|cos(«,EB)1=|W'£B|=,..................(14分)

\/\n\-\EB\V3xV33

所以二面角3—。尸—E的正弦值为走..................(15分)

3

18.（17分）双曲线C:\-\=l（a>0,b>0）的左顶点为A,焦距为4,过右焦点下作垂直于实轴的直线

交C于8、D两点，且是直角三角形.

（1）求双曲线C的方程;

（2）〃、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为左、k2,若上的=-2,求点A到直线的

距离d的取值范围.

【解析】（1）依题意，BAD=90,焦半径c=2,（1分）

由AF=BR,得a+c=—，^a2+2a=22-a2,......................................（2分）

a

解得：a=l（其中a=—2v0舍去）,....................................（3分）

所以/=/-/=4-1=3,

故双曲线C的方程为--片=1；....................................（5分）

3

显然直线MN不可能与轴平行，

故可设直线MV的方程为彳=色+〃,......................................（6分）

x=my+n

联立消去尤整理得（3/-1）；/+6mny+3^n2-1）=0,.................（8分）

3尤2-V=3

在条件[go"。下，设”（石,％）,NG，%）,

6mn

贝1%+%=一......................................（9分）

3m2—13m2-1

由％I%2=_2,得乂%+2（%+1）（%2+1）=。，......................................（10分）

BPyxy2+2（^+n+l）（my2+n+l）=0,....................................（11分）

整理得（2加之+1）%%+2机（〃+1）（必+V2）+2（〃+1『=0,....................................（12分）

代入韦达定理得，3（n2-l）（2m2+l）-12m2n（n+l）+2（H+l）2（3m2-l）=0,...............................（13分）

化简可消去所有的含加的项，解得：〃=5或〃=-1（舍去），..................（14分）

则直线的方程为％-色一5=0,得d=7=|=,....................................（15分）

yjm+1

又都在双曲线的右支上，故有3疗_l<0,0<m2<1,

此时IV，疗+1<二=,d=[6+石⑹,..................（16分）

v3y]m+1

所以