2025年大连一模数学试题及答案

大连一模数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[30]分）

1.已知函数f(x)=2x+3，若f(a)=11，则a的值为：

A.4

B.5

C.6

D.7

2.在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,4)，则线段AB的中点坐标为：

A.(1,1)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.(-1,1)

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S5=50，则公差d为：

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知等比数列{bn}的前三项分别为2,6,18，则该数列的公比q为：

A.2

B.3

C.6

D.9

5.在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于直线y=x的对称点为：

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(2,2)

D.(1,1)

二、填空题（每题[5]分，共[25]分）

6.已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的最小值为_______。

7.在等差数列{an}中，若a1=3，a5=15，则公差d=_______。

8.已知等比数列{bn}的前三项分别为3,9,27，则该数列的通项公式为bn=_______。

9.在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,4)，则线段AB的长度为_______。

10.已知函数f(x)=2x-3，若f(2)=1，则f(x)的反函数为_______。

三、解答题（每题[20]分，共[60]分）

11.（20分）已知函数f(x)=x^2-4x+4，求：

（1）函数f(x)的最大值和最小值；

（2）函数f(x)的对称轴方程。

12.（20分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S5=50，求：

（1）公差d；

（2）数列{an}的通项公式。

13.（20分）已知等比数列{bn}的前三项分别为2,6,18，求：

（1）公比q；

（2）数列{bn}的前5项和。

14.（20分）在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,4)，求：

（1）线段AB的长度；

（2）线段AB的中点坐标；

（3）线段AB的斜率。

四、解答题（每题[20]分，共[60]分）

15.（20分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求：

（1）函数f(x)的极值点；

（2）函数f(x)的拐点。

16.（20分）已知数列{an}的通项公式为an=n^2-n，求：

（1）数列{an}的前5项；

（2）数列{an}的前n项和。

17.（20分）已知等差数列{bn}的公差d=2，且b1+b4=18，求：

（1）数列{bn}的首项b1；

（2）数列{bn}的前10项和。

18.（20分）在平面直角坐标系中，点A(3,4)，点B(-2,1)，求：

（1）直线AB的方程；

（2）直线AB的斜率；

（3）直线AB上一点C，使得AC=5，求点C的坐标。

五、证明题（每题[20]分，共[40]分）

19.（20分）证明：对于任意实数x，都有x^2+1≥2x。

20.（20分）证明：对于任意正整数n，都有n^3-n是6的倍数。

六、综合题（每题[20]分，共[40]分）

21.（20分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求：

（1）函数f(x)的导数f'(x)；

（2）函数f(x)的单调区间。

22.（20分）已知数列{an}的通项公式为an=n^2-n，求：

（1）数列{an}的前5项；

（2）数列{an}的前n项和的公式。

试卷答案如下：

一、选择题

1.B.5

解析思路：由f(a)=11，可得2a+3=11，解得a=4。

2.C.(1,2)

解析思路：线段AB的中点坐标为((2-3)/2,(3+4)/2)=(-1/2,5/2)，即(1,2)。

3.C.4

解析思路：由等差数列前n项和公式S_n=n/2*(2a1+(n-1)d)，代入a1=2，S5=50，解得d=4。

4.A.2

解析思路：由等比数列的性质，有b2/b1=b3/b2，即6/2=18/6，解得q=2。

5.B.(2,1)

解析思路：点P关于直线y=x的对称点坐标为(y,x)，所以(2,3)的对称点为(3,2)。

二、填空题

6.最小值为1

解析思路：函数f(x)=x^2-4x+4是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(2,0)，因此最小值为0。

7.公差d=3

解析思路：由等差数列的性质，有a5=a1+4d，代入a1=2，a5=15，解得d=3。

8.通项公式为bn=3*2^(n-1)

解析思路：由等比数列的性质，有b2/b1=b3/b2，即6/2=18/6，解得q=2，因此通项公式为bn=3*2^(n-1)。

9.线段AB的长度为5

解析思路：由距离公式，线段AB的长度为√[(2-(-3))^2+(3-4)^2]=√(25+1)=√26。

10.反函数为f^-1(x)=(x+3)/2

解析思路：由f(2)=1，可得2*2+3=1，解得f(x)=2x+3，反函数为f^-1(x)=(x+3)/2。

四、解答题

11.（1）最大值为1，最小值为0

解析思路：函数f(x)=x^2-4x+4是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(2,0)，因此最大值为1，最小值为0。

（2）对称轴方程为x=2

解析思路：由抛物线的性质，对称轴的方程为x=-b/2a，代入a=1，b=-4，解得x=2。

12.（1）公差d=3

解析思路：由等差数列的性质，有a5=a1+4d，代入a1=2，a5=15，解得d=3。

（2）数列{an}的通项公式为an=3n-1

解析思路：由等差数列的性质，有an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，解得an=3n-1。

13.（1）公比q=3

解析思路：由等比数列的性质，有b2/b1=b3/b2，即6/2=18/6，解得q=3。

（2）数列{bn}的前5项和为127

解析思路：由等比数列前n项和公式S_n=b1*(q^n-1)/(q-1)，代入b1=2，q=3，n=5，解得S_5=127。

14.（1）线段AB的长度为5

解析思路：由距离公式，线段AB的长度为√[(3-(-2))^2+(4-1)^2]=√(25+9)=√34。

（2）线段AB的中点坐标为(1/2,5/2)

解析思路：线段AB的中点坐标为((3-2)/2,(4+1)/2)=(1/2,5/2)。

（3）线段AB的斜率为-1

解析思路：由斜率公式，线段AB的斜率为(4-1)/(-2-3)=-3/5，即-1。

五、证明题

19.证明：对于任意实数x，都有x^2+1≥2x

解析思路：考虑不等式x^2-2x+1≥0，这是一个完全平方，因此对于任意实数x，不等式成立。

20.证明：对于任意正整数n，都有n^3-n是6的倍数

解析思路：考虑n^3-n=(n-1)n(n+1)，这是一个连续三个整数的乘积，其中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，因此n^3-n是6的倍数。

六、综合题

21.（1）导数f'(x)=3x^2-6x+4

解析思路：由导数的定义和求导法则，对函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1求导。

（2）函数f(x)的单调区间为(-∞,1)和(1,+∞)

解析思路：由导数f'(x)的符号变化，可知函数f(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。

22.（