广西壮族自治区2025届高三下学期3月第二次高考适应性测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广西壮族自治区2025届高三下学期3月第二次高考适应性测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx2≤1,B=A.−1,0 B.2,4 C.−3,−1,0 D.−1,0,22.已知复数z满足2−iz=1+2i，则复数z的虚部为(

)A.35 B.1 C.−353.已知向量a=(3,m),b=(m−5,2)，若a⊥bA.2 B.3 C.6 D.154.双曲线x25−yA.1 B.3 C.2 D.5.已知某圆锥的侧面积为2π，轴截面面积为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为(

)A.15∘ B.30∘ C.6.曲线y=4cosx与直线y=−x+2的交点个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.47.现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量(

)A.等于200g B.大于200g C.小于200g D.以上都有可能8.已知函数y=fxx, y∈N+满足：(1)对任意a, b∈N+, a≠b，都有afb+bfa<afa+bfb；A.324 B.336 C.348 D.360二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记数列an的前n项和为Sn，且Sn=A.a2=4

B.数列{Snan}是公差为1的等差数列

C.数列{2an}10.设函数fx=x+12A.x=−1是fx的极大值点

B.当0<x<1时，fx>fx2

C.当−2<x<0时，−4<fx+111.在平面直角坐标系中，已知曲线E上的动点P(x, y)到点F(2, 0)的距离与其到直线x=−2的距离相等，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与曲线E交于A、B两点，则下列命题正确的是(

)A.曲线E的轨迹方程为y2=8x

B.若点T的坐标为(4, 2)，则PT+PF的最小值为6

C.存在直线l使得AC=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若正项等比数列an满足a3=10，则lg13.在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切，则圆C的标准方程可以为___________.(写出满足条件的一个答案即可)14.如图，在3×3的点阵中，依次随机地选出A，B，C三个点，则选出的三点满足AB⋅AC<0的概率是

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记▵ABC内角A,B,C的对边分别为a, b, c，已知sinC=(1)求B；(2)若c=22，求▵ABC16.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//DC, CD=2AB=2AD=2，M为棱PC的中点．(1)证明：BM//平面PAD；(2)若AD⊥平面PCD, PC=5, PD=1，求平面PDM和平面17.(本小题12分)已知直线l:y=kx+m与椭圆C:x24+y2=1(1)证明：4k(2)已知OA⋅OB=0，证明：点O到直线18.(本小题12分)已知函数f(x)=e(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；(2)当x∈[0, +∞), b∈(−∞, 1]时，f(x)≥ax2+b(3)证明：k=2n+1f(19.(本小题12分)在某校举办的学科文化节系列活动中，数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学爱好者挑战．挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成，用于考察学生的逻辑推理能力和运算求解能力．现有n名同学报名依次发起挑战，每位同学成功解答出逻辑推理题和运算求解题的概率均为12①每位同学均先答逻辑推理题，逻辑推理题答对才能答运算求解题；②记第kk=1, 2, 3, ⋯, n位同学挑战为本次挑战活动的第k轮，若第ii=1, 2, 3, ⋯, n−1位同学在规定时间内未完成逻辑推理题，则认为本次活动的第i轮挑战失败，该同学退出由第③若第ii=1, 2, 3, ⋯, n−1位同学在规定时间内完成逻辑推理题，则该同学继续答运算求解题，若该同学在规定时间内未完成运算求解题，则也认为本次活动的第i轮挑战失败，该同学退出，由第i+1④挑战进行到第n轮，则不管第n位同学是否完成两题的解答，答题挑战活动结束．令随机变量Xn表示这n名同学在进行第X(1)求随机变量X5(2)若把挑战规则①去掉，换成规则⑤：挑战的同学先挑战逻辑推理题，若有同学在规定时间内完成逻辑推理题，以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题，直接挑战运算求解题．令随机变量Yn表示这n名同学在第Y(i)求随机变量Yn(ii)证明：EYn<3参考答案1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.B

8.C

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.5

13.(x−1)214.86315.解：(1)由余弦定理有a2+b2−c2=2abcosC，对比已知a2+b2−c2=3ab，

可得cosC=a(2)由(1)可得B=π4，C=π6，从而A=π−π6−π4=7π12，而sinA=sin7π

16.解：(1)取PD中点N，连接MN，AN，又M为棱PC的中点，AB/​/DC，所以MN//CD//AB，且MN=12CD=AB，即ABMN是平行四边形，所以AN//BM，AN⊂平面PAD，BM⊄面PAD，则BM//面PAD．

(2)由PC=5，PD=1，CD=2，得：PC2=PD2+CD2，进而PD⊥CD，又由AD⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，，PD⊂平面PCD，得：AD⊥CD，AD⊥PD，以D为原点建立空间直角坐标系如图，

则B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，M(0,1,12)，显然面PDM的一个法向量为m=(1,0,0)，所以DB=(1,1,0)，DM=(0,1,117.解：联立直线与椭圆的方程：y=kx+mx24+y2=1，

得(1+4k2)x2+8kmx+(4m2−4)=0，

所以Δ=16(4k2−m2+1)，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

根据韦达定理得：x1+x2=−8km18.解：(1) x=0时，f(0)=1;

又f′(x)=ex−1，则k=f′(0)=0，

所求切线方程为：y=1；

(2)当x∈[0,+∞)，b∈(−∞,1]时，f(x)≥ax2+b恒成立，

即：当x∈[0,+∞)时，f(x)≥ax2+1恒成立，

即：当x∈[0,+∞)时，ex−ax2−x−1≥0恒成立，

令g(x)=ex−ax2−x−1则g′(x)=ex−2ax−1，

又令ℎ(x)=ex−2ax−1，ℎ′(x)=ex−2a，x∈[0,+∞)，

 ①当a≤12，x∈[0,+∞)⇒ℎ′(x)≥0恒成立，

∴ℎ(x)在区间[0,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(0)=0，

∴g′(x)≥0，∴g(x)在区间[0,+∞)上单调递增，g(x)≥g(0)=0，所以a≤12符合题意;

 ②当a>12时，ℎ′(x)=0⇔x=ln2a>0，ℎ′(x)<0⇔0<x<ln2a，

∴ℎ(x)在(0,ln2a)上单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，

进而g(x)在(0,ln2a)上单调递减，

∴g(ln2a)<g(0)=0，与当x∈[0,+∞)时，g(x)≥0矛盾，

所以a>12不符合题意．

综上所述，19.解：(1)由题意可得，每名同学两题均完成挑战的概率为14，

X5的所有可能取值为1，2，3，4，5，

则P(X5=1)=(1−14)0×14=14，

X12345P1392781

(2)(i)Yn=k(1≤k≤n−1,k∈N∗)时，第k人必完成运算求解题，

若前面k−1人都没