第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第6节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．【知识梳理】1．相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝____________，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与________，eq\o(A,\s\up6(－))与________，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立．2．条件概率(1)概念：设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，称____________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝____________；②概率的乘法公式：P(AB)＝____________．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝____________________，此公式为全概率公式．[常用结论与微点提醒]1．计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数．2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()(2)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率．()(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))．()(4)P(A)＝P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－)))．()2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为()A．互斥 B．互为对立C．相互独立 D．相等3．(选修三P50例5改编)已知P(A)＝eq\f(5,8)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(3,8)，P(B|A)＝eq\f(3,5)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，则P(B)＝________．4．(选修三P48T3改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．考点一相互独立事件的概率例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立(2)(2024·宁波调研)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为eq\f(1,3)，投中壶耳的概率为eq\f(1,5).四支箭投完，以得分多者赢．则乙赢得这局比赛的概率为______．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．训练1(1)(2024·锦州调研)分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件M＝“至少有2枚正面朝上”，则与事件M相互独立的事件是()A．3枚硬币都正面朝上 B．有正面朝上的，也有反面朝上的C．恰好有1枚反面朝上 D．至多有2枚正面朝上(2)(2024·成都诊断)甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为eq\f(1,3)，比赛采取三局两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，则甲获胜的概率为________．考点二条件概率例2(1)(2024·重庆大联考)从包含男生甲、乙，女生丙的5名男生和2名女生中任选3人参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”演讲比赛，则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(4,7)C.eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)(2)(2024·日照模拟)如图，用K，A1，A2三种不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次是eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，则在系统正常工作的前提下，只有K和A1正常工作的概率是________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).训练2(1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()A．0.8 B．0.6C．0.5 D．0.4(2)(多选)甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“从甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(B|A)＝eq\f(2,5)C．P(B)＝eq\f(13,25) D．P(A|B)＝eq\f(9,13)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三全概率公式的应用例3(1)(2024·东北师大附中等五校联考)长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景．小李打算到吉林旅游，冬季来的概率是eq\f(2,3)，夏季来的概率是eq\f(1,3).若冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光；若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬渔．无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则小李去了“一眼望三国”景点的概率为()A.eq\f(11,15) B．eq\f(16,45)C.eq\f(17,45) D．eq\f(1,3)(2)(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算．训练3(1)(2024·武汉质检)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为()A.eq\f(79,160) B．eq\f(3,5)C.eq\f(21,32) D．eq\f(5,8)(2)(2024·安庆模拟)设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%，35%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为________．___________________________