第8节 空间距离

第8节空间距离考试要求会用几何法与向量法求点到直线、点到平面的距离．【知识梳理】1．点P到直线l的距离如图1，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2))＝____________________．图12．点P到平面α的距离如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度．因此PQ＝____________＝____________．图23．两条平行直线之间的距离求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离．4．直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离，用求点到平面的距离的方法求解：(1)直线a与平面α之间的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量．(2)两平行平面α，β之间的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，其中A∈α，B∈β，n是平面α，β的法向量．【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.()(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度．()(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．()(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.()2．(选修一P34例6改编)已知平面ABC的一个法向量为n＝(1，2，1)，向量eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，则点F到平面ABC的距离为________．3．(选修一P35T1改编)已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))为l的一个单位方向向量，则点P(4，3，2)到l的距离为________．4．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________．考点一利用几何法求距离例1(1)如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C.eq\r(2) D．4(2)(2024·安庆模拟)一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截(如图)，O为底面圆的中心，O1为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且∠AO1B＝60°，则点B到底面的距离是________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解．2．求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解．训练1(1)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1＝2，则C到直线AB1的距离为()A.eq\f(\r(15),5) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(\r(15),3) D.eq\f(\r(30),3)(2)(2024·威海模拟)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二利用向量法求距离角度1点到直线的距离例2如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为()A.eq\f(13,5) B．eq\f(13,7)C.eq\f(15,7) D．eq\f(16,7)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2点到平面的距离例3在棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为()A.eq\f(\r(2),4)a B．eq\f(\r(2),8)aC.eq\f(3\r(2),4)a D．eq\f(\r(2),2)a________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.点线距的求解步骤：直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量eq\o(PP′,\s\up6(→))及其在直线的方向向量a上的投影向量→代入公式．2．点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．训练2如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________