河北省石家庄市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数

第1页（共1页）河北省石家庄市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数一．选择题（共12小题）1．（2024•新华区二模）如图，四边形OCDE是边长为2的正方形，△EDF是边长为2的正三角形，点G，H分别是边DE，DC的中点，在点F，D，G，H四个点中，位于同一反比例函数图象上的两个点是（）A．点F和点G B．点F和点D C．点F和点H D．点G和点H2．（2024•新华区二模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线y＝2x2+4x﹣4的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁3．（2024•新华区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+bx−94（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点（32，32），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+A．﹣1≤m≤0 B．2≤m＜72 C．2≤m≤4 D．4．（2024•新华区二模）一次函数y＝kx+b（k≠0）满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②当x＜2时，y＞0．符合上述两个条件的一次函数表达式可以为（）A．y＝x+1 B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣x+1 D．y＝2x+45．（2024•桥西区二模）如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60m，设饲养室宽为xm，占地总面积为ym2，则三间饲养室总面积y有（）A．最小值200m2 B．最小值225m2 C．最大值200m2 D．最大值225m26．（2024•桥西区二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过平面直角坐标系中四个点：A（1，1），B（3，2），C（2，3），D（1，3）中的任意两个．则符合条件的k的最大值为（）A．4 B．2 C．1 D．﹣27．（2024•裕华区二模）如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．动点P从点A出发，沿着A→D→C的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．在此过程中四边形CEPF的面积y与运动时间x的函数关系图象如图②所示，则AB的长为（）A．4 B．2 C．22 D．8．（2024•裕华区二模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y=ax2+bx+c(x≥0)−ax2−bx−c(x＜0)是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（−12，1），（92，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤54 B．﹣3＜n＜﹣1或C．n≤﹣1或1＜n≤54 D．﹣3＜n＜﹣1或9．（2024•裕华区二模）已知a＞0，设函数y1＝a（x﹣1）2，y2＝a（x﹣2）2，y3＝a（x﹣3）2．直线x＝m的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（m，c1），B（m，c2），C（m，c3），下列说法正确的是（）A．若m＜1，则c2＜c3＜c1 B．若1＜m＜2，则c1＜c2＜c3 C．若2＜m＜3，则c3＜c2＜c1 D．若m＞3，则c3＜c2＜c110．（2024•裕华区二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点（1，0），第2次运动到点（1，1），第3次运动到点（2，1）…按这样的规律，经过第2024次运动后，蚂蚁的坐标（）A．（1011，1010） B．（1011，1011） C．（1012，1011） D．（1012，1012）11．（2024•藁城区二模）如图，已知点A、B在反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，点P沿O→A→B→C的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，设点P的运动时间为t，△POM的面积为S，则SA． B． C． D．12．（2024•藁城区二模）如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．3 B．4 C．6−2 D．32二．填空题（共4小题）13．（2024•桥西区二模）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为A（1，5），B（1，3），C（1，1），D（3，2），E（3，4），已知反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)，当k的值为5时，图象经过字母“M”中的点；当k的值为2时，图象与字母“M14．（2024•裕华区二模）劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用A，B，C三点分别表示三类种子的发芽率y与该类种子用于实验的数量x的情况，其中点B在反比例函数图象上，则三类种子中，发芽数量最多的是类种子．（填“A”“B”或“C”）15．（2024•藁城区二模）如图，P是反比例函数y=12x（x＞0）上的一个动点，过P作PA⊥x轴，PB⊥（1）若矩形的对角线AB＝10，则矩形OAPB的周长为；（2）如图，点E在BP上，且BE＝2PE，若E关于直线AB的对称点F恰好落在坐标轴上，连接AE，AF，EF，则△AEF的面积为．16．（2024•裕华区二模）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的关系近似满足y=100x，小宇原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4米，则小宇的眼镜度数（填“上涨”或“下降”）了三．解答题（共9小题）17．（2024•新华区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为（0，﹣4），且OA＝OB，连接AB．（1）分别求出直线AB和抛物线的解析式．（2）若抛物线的顶点为点E，求△ABE的面积．（3）P是AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作PD⊥x轴于点D．求PC+PD的最大值．18．（2024•裕华区二模）图是某山坡的截面示意图，坡顶PA距x轴（水平）5m，与y轴交于点P，与坡AB交于点A，且AP＝2，坡AB可以近似看作双曲线y=kx的一部分．坡BD可以近似看作抛物线L的一部分，且抛物线L与抛物线y=−18x2的形状相同，两坡的连接点B为抛物线L（1）求k的值；（2）求抛物线L的解析式及点D的坐标；（3）若小明站在坡顶PA的点M处，朝正前方抛出一个小球Q（看成点），小球Q刚出手时位于点N处，小球Q在运行过程中的横坐标x、纵坐标y与小球出手后的时间t满足的关系式为x＝at+1，y＝﹣5t2+132，a是小球①若a＝5，求y与x之间的函数关系式；②要使小球最终落在坡BD上（包括B，D两点），直接写出a的取值范围．19．（2024•桥西区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+m﹣2．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．（1）当m＝﹣1时，①求该抛物线的顶点坐标；②求该抛物线与x轴围成的图形边界上的整点数．（2）若该抛物线与直线y＝5围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出m的取值范围．20．（2024•桥西区二模）如图①所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到达丙地，假设列车匀速行驶．如图②表示列车离乙地路程y（千米）与列车从甲地出发后行驶时间x（小时）之间的函数关系．（1）直接写出甲、丙两地间的路程；（2）求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当行驶时间x为多少时，高速列车离乙地的路程是450千米？21．（2024•藁城区二模）同学们用气象探测气球探究气温与海拔高度的关系，1号气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度匀速上升．与此同时，2号气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度匀速上升，用时20分钟，两个气球达到同一高度，又过了a分钟后1号球的海拔高度比2号球高5米，此时气球发生故障不宜继续上升，于是停留在当前高度进行维修，10分钟后2号气球也达到了这一高度并建议1号气球返航，于是1号气球开始匀速下降，40分钟后降落到出发点．设1号、2号气球在飞行过程中的海拔分别为y1（米）、y2（米），它们飞行的时间为x（分）．（1）求出a的值；（2）求出D点坐标，并求出DE对应的y1关于x的函数解析式；（3）直接写出两个气球从出发到1号球返回这个时间段里，两球高度之差s不超过3米的总时长是多少．22．（2024•裕华区二模）某同学设计了一个动画，有两道光线l1：y＝x﹣3m+15，l2：y＝﹣2x+3m﹣9，其中m为常数，将第一象限区域设计为感光灯板．（1）当光线l1经过点（﹣2，4）时，求出m的值，并指出点（﹣2，4）是否在光线l2上；（2）若光线l1与l2的交点落在第一象限内，两光线可以聚焦使灯板发光．求此时整数m的取值个数．23．（2024•藁城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B两点．（1）当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当∠PBC＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）如果抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D位于△BOC内，求a的取值范围．24．（2024•裕华区二模）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题．（1）求与抛物线L1相对应的b、c的值；（2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点；（3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若MNPQ的值是整数，请直接写出n25．（2024•裕华区二模）如图，直线l：y=−13x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线l向上平移4个单位后得到直线l′，交y（1）求A，B两点的坐标；（2）求直线l′的函数表达式，并求直线l′与直线l之间的距离；（3）动点M从点A沿x轴向左移动，直接写出：点M移动距离为多少时，线段CM的中点落在直线l上．

河北省石家庄市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2024•新华区二模）如图，四边形OCDE是边长为2的正方形，△EDF是边长为2的正三角形，点G，H分别是边DE，DC的中点，在点F，D，G，H四个点中，位于同一反比例函数图象上的两个点是（）A．点F和点G B．点F和点D C．点F和点H D．点G和点H【解答】解：连接FG，∵四边形OCDE是边长为2的正方形，△EDF是边长为2的正三角形，∴DE∥OC，CD∥OE，DE＝CD＝2，∠FED＝60°，EF＝2，则EG＝1，FG＝EF•sin60°=3∴F，D，G，H四个点的坐标分别为(1，2+3∵1×2＝2×1，∴点G和点H在同一个反比例函数y=2故选：D．2．（2024•新华区二模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线y＝2x2+4x﹣4的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁【解答】解：y＝2x2+4x﹣4＝2（x2+2x﹣2），故甲错误；y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3，故乙正确；y＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，故丙正确；y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为为（1，﹣3），故丁错误；故选：D．3．（2024•新华区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+bx−94（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点（32，32），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+A．﹣1≤m≤0 B．2≤m＜72 C．2≤m≤4 D．【解答】解：令ax2+bx−94=x，即ax2+（b﹣1）由题意，△＝（b﹣1）2﹣4a•（−94）＝0，即（b﹣1）2＝﹣9又方程的根为−(b−1)2a解得a＝﹣1，b＝4或（b＝1舍去）故函数y＝ax2+bx﹣3＝﹣x2+4x﹣3，如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4，故选：C．4．（2024•新华区二模）一次函数y＝kx+b（k≠0）满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②当x＜2时，y＞0．符合上述两个条件的一次函数表达式可以为（）A．y＝x+1 B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣x+1 D．y＝2x+4【解答】解：因为函数y随x的增大而减小，所以k＜0，排除A，D，因为当x＜2时，y＞0，排除C，故选：B．5．（2024•桥西区二模）如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60m，设饲养室宽为xm，占地总面积为ym2，则三间饲养室总面积y有（）A．最小值200m2 B．最小值225m2 C．最大值200m2 D．最大值225m2【解答】解：根据题意，三间饲养室的长为（60﹣4x）m，∵现有墙可用长≤20m，∴60﹣4x≤20，解得x≥10，而y＝x（60﹣4x）＝﹣4x2+60x＝﹣4（x﹣7.5）2+225，∴抛物线对称轴为直线x＝7.5，在对称轴右侧，y随x增大而减小，∴当x＝10时，y取最大值﹣4×（10﹣7.5）2+225＝200，∴三间饲养室总面积y有最大值200m2．故选：C．6．（2024•桥西区二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过平面直角坐标系中四个点：A（1，1），B（3，2），C（2，3），D（1，3）中的任意两个．则符合条件的k的最大值为（）A．4 B．2 C．1 D．﹣2【解答】解：由题知，当一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点B时，k+b=13k+b=2解得k=1所以k的值为12同理可得，当一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点C时，k的值为2；当一次函数y＝kx+b的图象经过点B和点C时，k的值为﹣1；当一次函数y＝kx+b的图象经过点B和点D时，k的值为−1因为2＞1所以k的最大值为2．故选：B．7．（2024•裕华区二模）如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．动点P从点A出发，沿着A→D→C的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．在此过程中四边形CEPF的面积y与运动时间x的函数关系图象如图②所示，则AB的长为（）A．4 B．2 C．22 D．【解答】解：当点P运动到点D处时，如图，∴四边形CEPF的面积为y＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEPF为矩形，∵AC＝BA，∴∠ACD＝∠BCD，AD＝BD，∴DE＝DF，∴矩形DECF为正方形，∴DE2＝2，∴DE=2∵∠A＝45°，∴AD=2DE∴AB＝4，故选：A．8．（2024•裕华区二模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y=ax2+bx+c(x≥0)−ax2−bx−c(x＜0)是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（−12，1），（92，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤54 B．﹣3＜n＜﹣1或C．n≤﹣1或1＜n≤54 D．﹣3＜n＜﹣1或【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1．如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（−1∴14+2﹣n＝1，解得：n∴1＜n≤54时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤5故选：A．9．（2024•裕华区二模）已知a＞0，设函数y1＝a（x﹣1）2，y2＝a（x﹣2）2，y3＝a（x﹣3）2．直线x＝m的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（m，c1），B（m，c2），C（m，c3），下列说法正确的是（）A．若m＜1，则c2＜c3＜c1 B．若1＜m＜2，则c1＜c2＜c3 C．若2＜m＜3，则c3＜c2＜c1 D．若m＞3，则c3＜c2＜c1【解答】解：如图所示，A．由图象可知，若m＜1，则c1＜c2＜c3，故选项错误，不符合题意；B．由图象可知，若1＜m＜2，则c2≤c1＜c3或c1≤c2＜c3，故选项错误，不符合题意；C．由图象可知，若2＜m＜3，则c3≤c2＜c1或c2≤c3＜c1，故选项错误，不符合题意；D．由图象可知，若m＞3，则c3＜c2＜c1，故选项正确，符合题意；故选：D．10．（2024•裕华区二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点（1，0），第2次运动到点（1，1），第3次运动到点（2，1）…按这样的规律，经过第2024次运动后，蚂蚁的坐标（）A．（1011，1010） B．（1011，1011） C．（1012，1011） D．（1012，1012）【解答】解：由第1次它从原点运动到点（1，0），第2次运动到点（1，1），第3次运动到点（2，1），第4次运动到点（2，2）…………得第2n次运动到点（n，n），第2n+1次运动到点（n+1，n），故当n＝1012时，即第2024次运动后，小蚂蚁的坐标是（1012，1012）．故选：D．11．（2024•藁城区二模）如图，已知点A、B在反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，点P沿O→A→B→C的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，设点P的运动时间为t，△POM的面积为S，则SA． B． C． D．【解答】解：①当点P在OA上运动时，底边OM和高PM同时变化，△POM的面积=12底边×高，那么对应的S关于t的函数图象应该是二次函数图象，只有选项②当点P在A、B之间时，点P在函数图象上，△POM的面积不变，为k2，对应的S关于t的函数图象应该是平行于x轴的线段，C③当点P在BC上时，底边OM不变，高PM不断减小，那么对应的S关于t的函数图象应该是s随t的增大而减小的一次函数的图象，C符合题意．故选：C．12．（2024•藁城区二模）如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．3 B．4 C．6−2 D．32【解答】解：∵P在直线y＝﹣x+6上，∴设P坐标为（m，6﹣m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2＝PQ2+OQ2，∴PQ2＝m2+（6﹣m）2﹣2＝2m2﹣12m+34＝2（m﹣3）2+16，则当m＝3时，切线长PQ的最小值为4．故选：B．二．填空题（共4小题）13．（2024•桥西区二模）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为A（1，5），B（1，3），C（1，1），D（3，2），E（3，4），已知反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)，当k的值为5时，图象经过字母“M”中的点A；当k的值为2时，图象与字母“M”中的线段【解答】解：对于反比例函数y=kx，当k的值为5时，点的坐标之积为5，即点对于反比例函数y=kx，当k的值为2时，图象与字母“M”中的线段故答案为：A；CD．14．（2024•裕华区二模）劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用A，B，C三点分别表示三类种子的发芽率y与该类种子用于实验的数量x的情况，其中点B在反比例函数图象上，则三类种子中，发芽数量最多的是C类种子．（填“A”“B”或“C”）【解答】解：∵发芽率y＝发芽数量÷实验的数量x，∴y随x的增大而变小，∴发芽数量最多的是C类种子．故答案为：C．15．（2024•藁城区二模）如图，P是反比例函数y=12x（x＞0）上的一个动点，过P作PA⊥x轴，PB⊥（1）若矩形的对角线AB＝10，则矩形OAPB的周长为431；（2）如图，点E在BP上，且BE＝2PE，若E关于直线AB的对称点F恰好落在坐标轴上，连接AE，AF，EF，则△AEF的面积为4或163【解答】解：（1）设矩形OAPB的两边为m、n，则mn＝12，∵矩形的对角线AB＝10，∴m2+n2＝102，∴（m+n）2﹣2mn＝100，∴（m+n）2＝100+2×12，∴m+n＝231，∴矩形OAPB的周长为431，故答案为431；（2）当E关于直线AB的对称点F恰好落在x轴上，如图2，AB与EF相交于点Q，∵矩形OAPB的面积＝12，而BE＝2PE，∴S△ABE＝4，∵点E与点F关于AB对称，∴AB垂直平分EF，EQ＝FQ，∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∵PB∥OA，∴∠AFE＝∠BEF，∴∠BEF＝∠AEF，∴FQ垂直平分AB，∴BQ＝AQ，∴S△AQE=12S△∴S△AEF＝2S△AQE＝4；当E关于直线AB的对称点F恰好落在y轴上，如图3，∵点E与点F关于AB对称，∴BE＝BF，AB⊥EF，∴△BEF为等腰直角三角形，∴AB平分∠OBP，∴四边形OAPB为正方形，∴P（23，23），∴BE＝BF=4∴S△BEF=1而S△AOF＝S△APE＝2，∴S△AEF＝12−83−综上所述，△AEF的面积为4或163故答案为4或16316．（2024•裕华区二模）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的关系近似满足y=100x，小宇原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4米，则小宇的眼镜度数下降（填“上涨”或“下降”）了【解答】解：根据题意得，矫正治疗后所配镜片焦距调整为0.4m，∴y=∴y＝250．即矫正治疗后小宇佩戴的眼镜度数是250，小宇原来佩戴400度，∴400﹣250＝150，即下降了150度；故答案为：下降；150．三．解答题（共9小题）17．（2024•新华区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为（0，﹣4），且OA＝OB，连接AB．（1）分别求出直线AB和抛物线的解析式．（2）若抛物线的顶点为点E，求△ABE的面积．（3）P是AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作PD⊥x轴于点D．求PC+PD的最大值．【解答】解：（1）∵点A坐标为（0，﹣4），且OA＝OB，∴点B的坐标为（4，0）．设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，则b=−解得k=1b=−4∴直线AB的解析式为y＝x﹣4．将A，B坐标代入二次函数解析式得，c=−解得a=1∴抛物线的解析式为y=1（2）∵y=1∴点E的坐标为（1，−9将x＝0代入二次函数解析式得，y＝﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．连接OE，AE，BE，∴S△AOE=1又∵S△AOB∴S△ABE＝2+9﹣8＝3．（3）令点P的坐标为（m，12∵PC∥x轴，∴yC则xc∴PC＝m﹣（12m2又∵PD=−∴PC+PD＝﹣m2+3m+4，则当m=3PC+PD取得最大值为：−(∴PC+PD的最大值为25418．（2024•裕华区二模）图是某山坡的截面示意图，坡顶PA距x轴（水平）5m，与y轴交于点P，与坡AB交于点A，且AP＝2，坡AB可以近似看作双曲线y=kx的一部分．坡BD可以近似看作抛物线L的一部分，且抛物线L与抛物线y=−18x2的形状相同，两坡的连接点B为抛物线L（1）求k的值；（2）求抛物线L的解析式及点D的坐标；（3）若小明站在坡顶PA的点M处，朝正前方抛出一个小球Q（看成点），小球Q刚出手时位于点N处，小球Q在运行过程中的横坐标x、纵坐标y与小球出手后的时间t满足的关系式为x＝at+1，y＝﹣5t2+132，a是小球①若a＝5，求y与x之间的函数关系式；②要使小球最终落在坡BD上（包括B，D两点），直接写出a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：A（2，5），∵双曲线y=kx经过点∴k＝2×5＝10；（2）∵点B（5，n）在双曲线y=10∴n=10∴B（5，2），∵抛物线L与抛物线y=−18∴抛物线L的解析式为y=−18（x令y＝0，得0=−18（x解得：x1＝9，x2＝1（舍去），∴D（9，0）；（3）①当a＝5时，x＝5t+1，∴t=x−1将t=x−15代入y＝﹣5t2+132，得y＝﹣5（x−1整理得：y=−15x2+∴y与x之间的函数关系式为y=−15x2+②∵x＝at+1，∴t=x−1将t=x−1a代入y＝﹣5t2+132，得y＝﹣5（x−1把B（5，2）代入y＝﹣5（x−1a）2+132，得：2＝﹣5（5−1a解得：a＝±410∵a是小球Q出手后水平向前的速度，∴a＞0，∴a=4把D（9，0）代入y＝﹣5（x−1a）2+132，得：0＝﹣5（9−1a解得：a＝±8130∵a是小球Q出手后水平向前的速度，∴a＞0，∴a=8∴a的取值范围为4103≤19．（2024•桥西区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+m﹣2．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．（1）当m＝﹣1时，①求该抛物线的顶点坐标；②求该抛物线与x轴围成的图形边界上的整点数．（2）若该抛物线与直线y＝5围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝﹣1时，①∵y＝x2﹣2x+m﹣2＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4），②令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），用五点法画出二次函数图象简图，由图象可知，此时抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴边界有（3，0），（2，0），（1，0），（0，0），（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）八个整点；（2）∵y＝x2﹣2x+m﹣2＝（x﹣1）2+m﹣3∴抛物线y＝x2﹣2x+m﹣2的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，m﹣3），当抛物线顶点为（1，2），即m＝5时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝5所围成的区域W2内（不含边界）有（1，3），（0，4），（1，4），（2，4）四个整点，如图：当抛物线顶点为（1，3），即m＝6时，抛物线y＝x2﹣2x+4与直线y＝5所围成的区域W2内（不含边界）有（1，4）一个整点；结合图象可知，5≤m＜6．20．（2024•桥西区二模）如图①所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到达丙地，假设列车匀速行驶．如图②表示列车离乙地路程y（千米）与列车从甲地出发后行驶时间x（小时）之间的函数关系．（1）直接写出甲、丙两地间的路程；（2）求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当行驶时间x为多少时，高速列车离乙地的路程是450千米？【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1200，即刚出发时，甲与乙的距离为1200千米，当x＝4时，y＝0，1200÷4＝300（千米/小时），∵300÷300＝1（小时），∴1小时后列车到达丙地，乙与丙间的距离为300千米，1200+300＝1500（千米）；故甲、丙两地间的距离为1500千米；（2）当0≤x＜4时，设函数关系式为y＝k1x+b1（k1≠0），将（0，1200），（4，0）代入得，b解得k1∴y＝﹣300x+1200（0≤x＜4）；当4≤x≤5时，设函数关系式为y＝k2x+b2（k2≠0），将（4，0），（5，300）代入得，4k解得k2∴y＝300x﹣1200（4≤x≤5）；∴高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y=−300x+1200(0≤x＜4)（3）当0≤x＜4时，450＝﹣300x+1200，解得x＝2.5；∴当x＝2.5时，高速列车离乙地的路程是450千米．21．（2024•藁城区二模）同学们用气象探测气球探究气温与海拔高度的关系，1号气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度匀速上升．与此同时，2号气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度匀速上升，用时20分钟，两个气球达到同一高度，又过了a分钟后1号球的海拔高度比2号球高5米，此时气球发生故障不宜继续上升，于是停留在当前高度进行维修，10分钟后2号气球也达到了这一高度并建议1号气球返航，于是1号气球开始匀速下降，40分钟后降落到出发点．设1号、2号气球在飞行过程中的海拔分别为y1（米）、y2（米），它们飞行的时间为x（分）．（1）求出a的值；（2）求出D点坐标，并求出DE对应的y1关于x的函数解析式；（3）直接写出两个气球从出发到1号球返回这个时间段里，两球高度之差s不超过3米的总时长是多少．【解答】解：（1）当（a+20）分钟时，1号气球的高度为（5+a+20）米，2号气球的高度为[15+0.5（a+20）]米，根据题意，得5+a+20﹣[15+0.5（a+20）]＝5，解得a＝10，∴a的值为10．（2）当x＝a+30＝10+30＝40时，2号气球的高度为15+0.5×40＝35（米），∴D点坐标是（40，35）；设出DE对应的y1关于x的函数解析式为y1＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．根据题意，点E的坐标为（80，5）．将坐标D（40，35）和E（80，5）分别代入y1＝kx+b，得40k+b=3580k+b=5解得k=−∴DE对应的y1关于x的函数解析式为y1=−34x（3）BC对应的y1关于x的函数解析式为y1＝x+5（0≤x＜30），CD对应的y1关于x的函数解析式为y1＝35（30≤x＜40），∴1号气球y1关于x的函数解析式为y1=x+5(0≤x＜30)2号气球y2关于x的函数解析式为y2＝0.5x+15（x≥0）．当0≤x＜30时，s＝|x+5﹣（0.5x+15）|≤3，解得14≤x≤26，26﹣14＝12（分钟）；当30≤x＜40时，s＝|0.5x+15﹣35|≤3，解得34≤x＜40，40﹣34＝6（分钟）；当40≤x≤80时，s＝|0.5x+15﹣（−34x+65）|≤3，解得40≤42.4﹣40＝2.4（分钟）；12+6+2.4＝20.4（分钟），∴两球高度之差s不超过3米的总时长是20.4分钟．22．（2024•裕华区二模）某同学设计了一个动画，有两道光线l1：y＝x﹣3m+15，l2：y＝﹣2x+3m﹣9，其中m为常数，将第一象限区域设计为感光灯板．（1）当光线l1经过点（﹣2，4）时，求出m的值，并指出点（﹣2，4）是否在光线l2上；（2）若光线l1与l2的交点落在第一象限内，两光线可以聚焦使灯板发光．求此时整数m的取值个数．【解答】解：（1）把x＝﹣2，y＝4代入l1得，4＝﹣2﹣3m+15，解得m＝3，∴l2的表达式为y2＝﹣2x，当x＝﹣2时，y＝4，∴点（﹣2，4）在光线l2上；（2）联立解析式得y=x−解得x=2m−∴光线l1与l2的交点坐标为（2m﹣8，7﹣m），∵交点在第一象限，∴2m−解得4＜m＜7，∴整数m的值为5或6，共2个．23．（2024•藁城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B两点．（1）当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当∠PBC＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）如果抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D位于△BOC内，求a的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）．将点C的坐标（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设PB交y轴于点E，∵C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，又∵∠ACB＝∠PBC，∴∠ACB