高考数学复习第三章数列理北师大版

第三章数列1、设数列{an}的前n项和为Sn,已知，且(n∈N*)，则过点P(n,)和Q(n+2,)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．（2，） B．(-1,-1) C．(,-1) D．（）1、D【思路分析】由条件知=2∴{}是等差数列，∴=5+(n–1)×2=2n+3∴Sn=2n2+3n，当n≥2时，an=Sn=Sn–1=4n+1(a1也适合)∴kPQ==4，设直线PQ的方向向量为=(a,b)，则有=4，只有D符合.【命题分析】考查等差数列的通项与前n项和，递推数列，直线的方程以及方向向量等基础知识.2（文）已知数列{an}中a1=1满足an+1=an+2n，nN*，则an=（）A．n2+n+1B．n2-n+1C．n2-2n+2D．2n2-2n+12．解答：由开口向上得：a＞0，由顶点在第二象限得：b＞0选C评析：本题考察考生对导数及一次、二次函数图象的应用。（文）解答：用特值法，取n=1，2即可。a2=3选B评析：本题考察考生对特值法的应用。3、已知函数且，则()A.100B.-100 C. D.3、A为奇数时为偶数，，为偶数时，为奇数，∴，，，，，，……，∴，，，……，∴….4、已知等差数列{an}的前n项和为，若,则等于 （）A．72 B．54 C．36 D．18A【思路分析】：由得，【命题分析】：考察等差数列的通项公式、求和公式及性质5、数列满足（且），，是的前次和，则为（）A、B、C、6D、105、（分析：显然是一个等和数列，即形如：，1，，1,……∴选A项）6．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8a10A．32 B．64 C．±64 D．2566．B[思路分析]：由等比数列的性质知：∴a10=4则a8a10[命题分析]：考查等比数列的性质7．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2008，那么数列2，，，……，的“理想数”为A．2002B．2004C．2006D．20087．C【思路分析】：【命题分析】：考查理解能力8．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：1234567……………则第8行中的第5个数是A、68B、132C、133D、26089．（理）设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：①若数列既是等差数列又是等比数列，则；②若，则数列是等差数列；③若，则数列是等比数列.这些命题中，真命题的个数是 .A．0 B．1 C．2 D．39．理D【思路分析】：①不妨设数列的前三项为，则其又成等比数列，故，∴，即；②由的公式，可求出，故是等差数列；③由可求由，故数列是等比数列.故选.【命题分析】：考查等差、等比数列的概念，与的关系，思维的灵活性.10、（文）等差数列的公差且，则数列的前项和取得最大值时的项数是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或710、文C【思路分析】：由，知. ∴，故选C.【命题分析】：考查等差数列的性质，求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.11、（理）设=，数列满足，则数列的通项公式是 .11、理 【思路分析】:令则,则，两式相减得：时，，且，∴.【命题分析】：考查运用所学知识解决实际问题的能力，数列函数的思想，通项的求法，组合数的公式等知识.12．(14分)已知函数f(x)＝－x3＋ax在(0，1)上是增函数．(1)求实数a的取值集合A；(2)当a取A中最小值时，定义数列{an}满足：2an＋1＝f(an)，且a1＝b∈(0，1)(b为常数)，试比较an＋1与an的大小；(3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c．使0<eq\f(an＋c,an－c)＜2对一切n∈N＊恒成立？12．(1)f'(x)＝3x2＋a＞0，对x∈(0，1)恒成立，求出a≥3．………………4分(2)当a＝3时，由题意：an＋1＝－eq\f(1,2)aeq\s(3,n)＋eq\f(3,2)an，且a1＝b∈(0，1)以下用数学归纳法证明：an∈(0，1)，对n∈N＊恒成立．①当n＝1时，a1＝b∈(0，1)成立；………………6分②假设n＝k时，ak∈(0，1)成立，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝eq\f(1,2)ak3＋eq\f(3,2)ak，由①知g(x)＝eq\f(1,2)(－x3＋3x)在(0，1)上单调递增，∴g(0)＜g(ak)＜g(1)即0＜ak＋1＜1，由①②知对一切n∈N＊都有an∈(0，1)而an＋1－an＝－eq\f(1,2)an3＋eq\f(3,2)an－an＝eq\f(1,2)an(1－an2)＞0∴an＋1＞an…………10分(3)存在正实数c，使0＜eq\f(an＋c,an－c)＜2恒成立,令y＝eq\f(x＋c,x－c)＝1＋eq\f(2c,x－c)，在(c，＋∞)上是减数，∴eq\f(an＋c,an－c)随着an增大，而小，又{an}为递增数列，所以要使0＜eq\f(an＋c,an－c)＜2恒成立，只须eq\b\lc\{(\a\al(a1－c＞0,eq\f(a1＋c,a1－c)＜2))∴0＜c＜eq\f(a1,3)，即0＜c＜eq\f(b,3)………13、(本题满分14分)已知数列{an}中，a1>0,且an+1=，(Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；(Ⅲ)若a1=2，设bn=|an+1－an|(n=1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn<．13、【思路分析】：解：(Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列，则an+1==an……2’又依a1>0，可得an>0并解出：an=，即a1=an=……4’(Ⅱ)研究an+1－an=－=(n≥2)注意到>0因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1有相同的符号7要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2－a1>0即可.由>0，解得：0<a1<……………9’(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得当a1>时，an+1<an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时，an+1－an<0……………10’∴Sn=b1+b2+…bn=|a2－a1|+|a3－a2|+…+|an+1－an|=a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an+1=a1－an+1=2－an+1………13’又：an+2=<an+1，可解得an+1>,故Sn<2－=………………14’14、（本题满分12分）已知数列的前项和，且，。（1）求数列的通项次式；（2）已知定理：若函数在区内D上是凹函数，且存在，则当时，总有且函数在上是凹函数，试判断与的大小。（3）求证：14、解：（1）时，，又，∴从而当时也满足∴（2），对于凹函数，，有令得即（3）∵∴又由（2）∴

（点评：本题考查了数列的知识，解起来比较繁琐，一定要仔细，会常常用到二次项式定理和其它一些知识）15、已知函数（nN+）且y=f(x)的图象经过(1,n2)，数列{an}为等差数列。（14′）①求数列{an}的通项公式；②当n为奇数时，设g(x)=，问是否存在自然数m和M使得不等式恒成立？若存在，求出m与M，若不存在说明理由。15、[思路分析]：（I）由题意得f(1)=n2，即a0+a1+a2+…+an=n2。令n=1，则a0+a1=1.令n=2，则a0+a1+a2=22.a2=4-(a0+a1)=3.令n=3，则a0+a1+a2+a3=32,a3=9-(a0+a1+a2)=5.设等差数列{an}的公差为d，则d=a3-a2，a1=a2-d=1，a0=0.∴an=1+(n-1)×2=2n-1.…………6′（II）由（I）知：f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.n为奇数时，f(-x)=-a1x+a2x2-a3x3+…+an-1xn-1-anxn.∴=a1x+a3x3+a5x5+…+an-2xn-2+anxn.①②由①-②得∴…………10′设，∴,(nN+)，∴cn随n的增加而减小.又随n的增大而减小，∴为n的增函数.当n=1时，=,而=-，∴≤<.由此易知：使恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2。[命题分析]：本题是函数、数列与不等式的综合大题，主要考查了奇函数的概念、数列的单调性及数列求和的方法。16、已知函数，数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列（q≠1，），若,，，．求数列{}和{}的通项公式；设数列{}的前n项和为，对都有…求．若数列满足，，试判断中的最大项为第几项，并说明理由。16、解：（1）数列{}为等比数列，∴．为等比数列，又∵，∴，解得d＝2，．∴．又∵为等比数列，∴．而，∴∵，，∴，．∴．4分（2）由…①…②①-②得．∴．对于，，，知其为等比数列．∴，，．∴．8分（3）∴∴∴当时，当时， ，，而故中的最大项为第8项。17、（14分）点,点A1(x1,0),A2(x,0),…，An(xn,0),…顺次为x轴上的点,其中x1=a（0＜a≤1).对于任意n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形.(1)求数列{yn}的通项公式，并证明它为等差数列；(2)求证：x-x是常数，并求数列{x}的通项公式；(3)上述等腰ΔAnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若不可能，请说明理由．17、…………2分相减，得x-x=2∴x，x，x，…，x，…成等差数列；x，x，x，…，x，…成等差数列，4分∴x=x+（n-1）·2=2n+a-2，x=x+（n-1）·2=（2-a）+（n-1）·2=2n-a…………7分(3)当n奇数时，An（n+a-1，0），An+1（n+1-a，0），所以|AnAn+1|=2（1-a）；当n是偶数时，An（n-a，0），An+1（n+a，0），所以|AnAn-1|=2a…………9分要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必需且只需|AnAn-1|=2|BnCn|.…………11分…………13分…………14分18、[文]已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由.18[文]、【思路分析】（Ⅰ）依题意，得2am+2=am+1+am∴2a1qm+1=a1qm+a1qm–1在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2=q+1，解得q=1或.……………4分（Ⅱ）若q=1，Sm+Sm+1=ma1+(m+1)a1=(2m+1)a1，Sm+2=(m+2)a1∵a1≠0，∴2Sm+2≠Sm+Sm+1………………6分若q=，Sm+1=Sm+Sm+1==∴2Sm+2=Sm+Sm+1…………………11分故当q=1时，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列；当q=时，Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.……………12分19、（12分）已知数列｛an｝的首项（a是常数），（）．（Ⅰ）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设，（），为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a、b满足的条件．19.解：（Ⅰ）∵∴若是等差数列，则但由，得a=0,矛盾.∴不可能是等差数列(Ⅱ)∵∴(n≥2)∴当a≠－