山西省晋中市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析

晋中市2025年1月高一年级期末调研测试试卷数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式化简求值即可.详解】，故选：B2.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合、，利用补集的定义可得出集合.【详解】因为，，故.故选：C.3.已知函数，，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式可求得函数的最小值.【详解】当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故选：A.4.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断.【详解】在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．故选：B．5.以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图.已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用弧长公式与扇形面积公式计算即可.【详解】设等边三角形的边长为，所以，可得，因此等边三角形的面积为，扇形面积为；则对应的弓形面积为,所以该勒洛三角形的面积为.故选：D6.已知，，则（）A. B.4C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算得解.【详解】依题意，，，联立解得，所以.故选：D7.已知，，则下列判断错误的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的单调性可判断AC选项；求出、的范围，结合不等式的基本性质可判断B选项；利用对数的运算性质结合对数函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，因为对数函数在0,+∞上为增函数，则，A对；对于B选项，因为对数函数在0,+∞上为增函数，则，，即，，所以，，B错；对于C选项，，即，C对；对于D选项，，D对.故选：B.8.已知函数有唯一零点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的对称性，可得出，即可得出实数的值.【详解】因为函数的定义域为，，所以，函数的图象关于直线对称，因为函数有唯一零点，则，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，在不等式的两边同时除以可得，A对；对于B选项，，则，B错；对于C选项，因为，则，则，因为对数函数为上的增函数，则，C对；对于D选项，取，，，则，D错.故选：AC.10.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.若，则的图象为轴对称图形B.若在区间上单调递减，则m的取值范围是C.若的值域为，则m的取值范围是D.若关于x的方程有且仅有3个实数解，则【答案】ACD【解析】【分析】设.对于A：根据二次函数对称性分析判断；对于B：可知在区间上单调递增，且在区间上恒成立，进而列式求解即可；对于C：可知的值域包含，进而列式求解；对于D：分析可知与、共有3个交点，进而分析求解.【详解】设，对于选项A：若，可知的图象为轴对称图形，所以的图象为轴对称图形，故A正确；对于选项B：因为在区间上单调递减，且在定义域内单调递减，可知在区间上单调递增，且在区间上恒成立，显然不合题意，则，可得，解得，所以m的取值范围是，故B错误；若的值域为，可知的值域包含，若，的值域为，符合题意；若，则，解得，综上所述：m的取值范围是，故C正确；对于选项D：因为，可得或，可知与、共有3个交点，可知的最值为为或2，且，则，解得，故D正确；故选：ACD.11.已知函数fx=Asinωx+φ（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（AB.的图象关于直线对称C.在区间上有且只有2个零点D.若（），则【答案】BCD【解析】【分析】由函数图象求出的解析式，再根据特殊点的三角函数值计算可得A错误，由对称性可判断B正确，利用三角函数图象性质可得C正确，由周期性可得当，则正确，即D正确.【详解】根据图象可知，又易知图象过点，即，即，又，可得；由对称性可知函数的对称轴为，即的图象关于直线对称,即B正确；由图可知周期为，可得；又，所以，结合图象可得，解得因此当时，符合题意，即，所以A错误；所以，令，可得，即，又，可得时，则，即在区间上有且只有2个零点，可得C正确；若（），则；因此，显然当时，，即D正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数图象由对称性以及周期范围求得解析式，再由正弦函数性质判断可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.化简：__________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式可化简所求代数式.【详解】.故答案为：.13.已知（），则__________.【答案】16【解析】【分析】换元令，可得，运算求解即可.【详解】因为，且，令，则，可得，整理可得，解得或（舍去），即，所以.故答案为：16.14.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个.【答案】【解析】【分析】根据函数新定义得，结合方程得求范围，然后对的范围进行分类讨论，求出的值，然后解方程gx=0即可.详解】由题意，则，所以，令，则，所以，由可得，解得或，由可得，解得，所以，或，当时，，此时，，由gx=0可得或（舍去）；当时，，此时，，由gx=0可得或（舍去）；又因为，综上所述，函数的零点有个.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据，得出关于的范围，再结合的范围得出的可能取值，结合代数法求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知非空集合，.（1）若，求，；（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）代入，再由交集、并集的运算可得结果；（2）根据题意可知，限定出不等式关系解不等式可得结果.【小问1详解】若，可得，又，所以，.【小问2详解】若是的必要不充分条件，则，所以，解得，即，所以a的取值范围为.16.为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b.（1）若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围；（2）若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由.【答案】（1）（2）变好，理由见解析【解析】【分析】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果；（2）利用作差法计算比较出大小，可得结论.【小问1详解】因为，所以，解得，所以这所住宅的窗洞口面积的范围为.【小问2详解】由题意得，，原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为则.因为，，所以.，所以，即.所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了.17.已知函数是奇函数，且的图象经过点.（1）求实数、的值；（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根据题意得出，，求出、的值，结合题意检验即可；（2）证明出函数在上是增函数，结合奇函数的性质、同角三角函数的基本关系可得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围.【小问1详解】对任意的，，则的定义域为，因为为奇函数，所以，①又，②联立①②，得，解得，经检验，当，时，为定义在上的奇函数，所以，.【小问2详解】因为为定义在上的奇函数，所以等价于.由（1）知，，任取、且，则.由，可知，则，，，所以，即.所以在上是增函数.所以等价于，由，得上述不等式等价于，即，解得或，又，所以，则，，所以原不等式的解集为，.18.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最值；（3）在（2）的条件下，若对任意，都存在，使得，求实数a的取值范围.【答案】（1），（2），（3）【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简后，根据正弦型三角函数的性质求单调增区间；（2）求出平移后函数解析式，再由正弦型函数的值域、最值的求法求解；（3）由题意转化为，分别求不等式两边函数的最大值即可得解.【小问1详解】.令，，得，所以的单调递增区间为，.【小问2详解】根据（1）知，.令，当时，.根据正弦函数的性质，当，即时，取得最小值，此时取得最小值；当，即时，取得最大值1，此时取得最大值2.所以，.【小问3详解】不等式等价于.令函数，根据题意，有.由（2）得，由绝对值的几何意义可知，当时，，由，解得，故；当时，，由，解得，无解.综上，实数a取值范围为.19.如果函数在其定义域内存在实数，使得（）成立，那么称是函数的“阶梯点”.（1）判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由；（2）证明：函数有唯一的“阶梯点”；（3）已知，设函数在上不存在“阶梯点”，求实数a的取值范围.【答案】（1）否，理由见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意可知是方程的解，运算求解即可；（2）可知是方程的解，结合零点存在性定理分析证明；（3）可知方程在0,+∞上无解，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论运算求解.【小问1详解】假设有“阶梯点”，则是方程的解，而方程可化为该方程无实数解所以函数无“阶梯点”.【小问2详解】假设是的“阶梯点”，则是方程的解，将该方程化简整理，得.令函数，显然是R上的增函数，又，，故存在唯一的使得gx0=0成立，即函数有唯一的“阶梯点”.【小问3详解】由题可知的定义域为0,+∞.若函数在0,+∞上不存在“阶梯点”，则方程①在0,+∞上无解，①式即.由对数运算，得，化为整式方程，得（）.令，，则（），整理，得（）.故题意等价于方程（）在时无解.令函数（），其图象的对称轴为直线.当，即时，因为恒成立，所以在1,+∞上有零点，不满足题意；当且，即时，在1,+∞上单调递增，，所以在1,+∞上无