八年级数学上册专项训练：角度计算模型之A字型

八上数学：角度计算模型专项训练之A字型专题

1.如图，已知AABC中，NA=70°,则Nl+N2=（)

A.290°B.250°D.145°

2.如图，在aABC中，NB=90°,若按图中虚线剪去NB,则N1+N2等于（)

A.90°B.135°D.315°

3.如图，EF与4ABC的边BC,AC相交，则N1+N2与N3+N4的大小关系为

)

A.Z1+Z2>Z3+Z4B.Z1+Z2<Z3+Z4

C.Z1+Z2=Z3+Z4D.大小关系取决于NC的度数

4.如图所示，N1+N2+N3+N4等于（）

A.150°B.240°C.300°D.330°

5.将两张三角形纸片如图摆放，量得Nl+N2+N3+N4=220°,则/5的度数

为（）

A.30°B.40°D.50°

6.如图，把aABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若NA=60°,Zl=95°,

则N2的度数是（）

A.15°B.20°C.25°D.35

7.把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若Nl=40°,则N2的度数

为

8.如图所示，是某建筑工地上的人字架.已知这个人字架的夹角Nl=120。，

那么N2-N3的度数为

9.如图所示,直线AB、CD相交于点0.若OM=ON=MN,那么ZAPQ+ZCQP=

10.如图，ZXABC中，ZA=60°,ZB=50°,D、E分别是AB、AC上两点，连

接DE并延长,交BC的延长线于点F,此时，NF=35°,则/I的度数为

11.如图，已知NCBE+NBCD=256°，求NA的度数.

12.如图，已知NC=54°,ZE=30°,ZBDF=130°,求NA的度数.

13.如图，已知点P是四边形ABCD的外角NCDE和外角NDCF的平分线的交点.若

ZA=149°,ZB=91°,求NP的度数.

B

A

14.如图1,已知NACD是AABC的一个外角，我们容易证明NACD=NA+NB,

即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个

内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

尝试探究:

(1)如图2,NDBC与NECB分别为AABC的两个外角，则NDBC+NECB

ZA+1800(横线上填〉、＜或=)

初步应用：

(2)如图3,在aABC纸片中剪去ACED,得到四边形ABDE,Zl=135°,则

Z2-ZC=

(3)解决问题：如图4,在AABC中，BP、CP分别平分外角NDBC、ZECB,ZP

与NA有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案.

(4)如图5,在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角NEBC、ZFCB,请利用

上面的结论探究NP与NA、ND的数量关系.

15.【尝试探究】

如图1,在一张三角形纸片上，剪去△ABC,得到四边形BCHG,N1与N2分别

为4ABC的两个外角

(1)请你试着说明：Zl+Z2=180°+ZA

(2)如图2,如果沿着EF再剪一刀，N3与N4分别为4AEF的两个外角，那

么N1+N2和N3+N4的数量关系为

(3)如图3,EP,FP分别平分外角NFEG、ZEFH,求NEPF与NA的数量关系：

【拓展提升】

如图4,在四边形BCFE中，EP、FP分别平分外分NFEG、ZEFH,请写出NEPF,

Nl、N2这三个角的数量关系，并说明理由.

图1图2图3图4

参考答案与试题解析

1.如图，已知AABC中，ZA=70°,则Nl+N2=()

250°C.150°D.145°

【解答】解：如下图，延长AB至D,

D,

.*.ZDAC=180o-ZA=180°-70°=110°；

VZDAC+Z1+Z2=36O°,

/.Zl+Z2=360°-ZDAC=360°-110°=250°.

故选：B.

2.如图，在AABC中，ZB=90°,若按图中虚线剪去NB,则N1+N2等于()

135°C.270°D.315°

【解答】解：如图.•.'△ABC为直角三角形，ZB=90°,

AZBNM+ZBMN=90°,

VZ1=9O°+ZBNM,Z2=90°+ZBMN,

.*.Zl+Z2=270°.

故选：C.

A

1

3.如图，EF与AABC的边BC,AC相交，则N1+N2与N3+N4的大小关系为（)

A.Z1+Z2>Z3+Z4

B.Z1+Z2<Z3+Z4

C.Z1+Z2=Z3+Z4

D.大小关系取决于NC的度数

【解答】解：VZ3=ZCEF,Z4=ZCFE,ZC+ZCEF+ZCFE=180°,

.\ZC+Z3+Z4=180o,

XVZC+Z1+Z2=18O°,

.*.Z1+Z2=Z3+Z4,

故选：C.

4.如图所示，N1+N2+N3+N4等于（)

C.300°D.330°

【解答】解：如图,

在Z\ABC中,Zl+Z2=180°-30°=150°.

在4ADE中，Z3+Z4=180°-30°=150°,

所以Nl+N2+N3+N4=300°.

故选：C.

5.将两张三角形纸片如图摆放，量得Nl+N2+N3+N4=220°,则N5的度数为（）

【解答】解：如图，在4ADE中，

VZA+Z1+Z2=18O°,

AZA=180°-(Z1+Z2),

在ABMN中，

VZB+Z3+Z4=180°,

.\ZB=180o-(Z3+Z4),

在4ABC中，

VZA+ZB+ZC=180°,

.*.180°-(Z1+Z2)+180°-(Z3+Z4)+Z5=180°,

AZ5=(Z1+Z2+Z3+Z4)-180°,

VZ1+Z2+Z3+Z4=22O°,

.*.Z5=220o-180°=40°,

故选：B.

6.如图，把AABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若NA=60°,Zl=95°,则N2的度数

是（)

1

Br

:E

t、

B.........................C

A.15°B.20°C.25°D.35°

【解答】解：•.'△ABC沿EF翻折，

...NBEF=NB'EF,NCFE=NC'FE,

.•.180°-ZAEF=Z1+ZAEF,1800-ZAFE=Z2+ZAFE,

VZ1=95°,

/.ZAEF=-(180°-95°)=42.5°,

2

VZA+ZAEF+ZAFE=180°,

/.ZAFE=180°-60°-42.5°=77.5°,

.•.180°-77.5°=Z2+77.5°,

：.Z2=25°,

故选：C.

7.把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若Nl=40°,则N2的度数为130°

VZ1=4O°,

.*.Zl=Z3=40°,

VZA=90°,

.*.Z2=Z3+ZA=130°,

故答案为：130°.

8.如图所示，是某建筑工地上的人字架.已知这个人字架的夹角Nl=120。，那么N2-N3

的度数为60°.

1

/启\7

【解答】解：VZ3+Z4=Z1,Zl=120°,

.*.Z3+Z4=120°,

VZ4=180°-Z2,

AZ3-Z2=120°-180°,即N2-N3=60°.

故答案为：60°.

9.如图所示，直线AB、CD相交于点0.若0M=0N=MN,那么NAPQ+NCQP=240°

【解答】解：V0M=0N=MN,

•••三角形0MN为正三角形，

所以NAPQ+NCQP=(180°-Z0PQ)+(180°-Z0QP),

=360°-(Z0PQ+Z0QP),

=360°-(180°-ZP0Q),

=180°+60°,

=240°.

故答案为：240°.

10.如图，AABC中，ZA=60°,ZB=50°,D、E分别是AB、AC上两点，连接DE并延长,

交BC的延长线于点F,此时，ZF=35°,则N1的度数为145°.

B

【解答】解：,••NB=50°,ZF=35°,

AZADE=ZB+ZF=85°,

VZA=60°,

/.Zl=ZA+ZADE=600+85°=145°,

故答案为：145°.

11.如图，已知NCBE+NBCD=256°,求NA的度数.

【解答】解：：NCBE是AABC的外角，••.NCBE=N1+NA,

：ZBCD是4ABC的外角，ZBCD=Z2+ZA,

VZCBE+ZBCD=256°,

.,.Z1+2ZA+Z2=256°,

VZ1+Z2+ZA=18O°,

/.ZA+1800=256°,

/.ZA=256°-180°=76°.

12.如图，已知NC=54°,ZE=30°,ZBDF=130°,求NA的度数.

【解答】解：•••/BDF=130°,

.,.ZEDF=180°-130°=50°.

VZE=30°,

/.ZAFC=300+50°=80°.

VZC=54°,

AZA=180°-ZC-ZAFC=180°-54°-80°=46°.

13.如图，已知点P是四边形ABCD的外角NCDE和外角NDCF的平分线的交点.若NA=149°,

ZB=91°,求NP的度数.

【解答】方法一：解：延长DA,CB交于点M,

'：ZDAB=ZM+ZABM,ZCBA=ZM+ZBAM,

ZDAB+ZCBA=ZM+ZABM+ZM+ZBAM=ZM+1800,

VZDAB=149°,ZCBA=91°,

.•.149°+91°=ZM+180°,

解得NM=60°,

VZEDC=ZM+ZBCD,ZFCD=ZM+ZADC,

ZEDC+ZFCD=ZM+ZBCD+ZM+ZADC=180°+ZM=240°,

,••点P是四边形ABCD的外角ZCDE和外角ZDCF的平分线的交点,

.,.ZPCD+ZPCD=120°,

VZPCD+ZPDC+ZP=180°,

：.ZP=60°.

方法二：解：VZA=149°,ZB=91°,

AZADC+ZBCD=360°-ZA-ZB=120°,

VZADC=1800-ZEDC,ZBCD=180°-ZFCD,

.•.180°-ZEDC+1800-ZFCD=120°,

.,.ZEDC+ZFCD=240°,

：DP平分NEDC,CP平分NFCD,

.*.ZEDC=2ZPDC,ZFCD=2ZPCD,

/.ZPDC+ZPCD=120o,

VZPDC+ZPCD+ZP=180°,

.*.ZP=180o-120°=60°.

14.如图1,已知NACD是aABC的一个外角，我们容易证明NACD=NA+NB,即三角形的一

个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角

的和之间存在怎样的数量关系呢？

尝试探究：

(1)如图2,ZDBC与NECB分别为AABC的两个外角，则NDBC+NECB=NA+180。(横

线上填〉、＜或=)

初步应用：

(2)如图3,在4ABC纸片中剪去aCED,得到四边形ABDE,Zl=135°,则N2-NC=

45°.

(3)解决问题：如图4,在AABC中，BP、CP分别平分外角NDBC、ZECB,NP与NA有何

数量关系？请利用上面的结论直接写出答案NP=90。—/A.

(4)如图5,在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角NEBC、ZFCB,请利用上面的结论探

究NP与NA、ND的数量关系.

【解答】解：(1)ZDBC+ZECB-ZA=180°,

理由是：VZDBC=ZA+ZACB,ZECB=ZA+ZABC,

/.ZDBC+ZECB=2ZA+ZACB+ZABC=180°+ZA,

AZDBC+ZECB=ZA+1800.

故答案为：=.

(2)Z2-ZC=45°.

理由是：VZ2+Z1-ZC=180°,Zl=135°,

.\Z2-ZC+1350=180°,

AZ2-ZC=45°.

故答案为：45°；

(3)ZP=90°--ZA,

2

理由是：〈BP平分NDBC,CP平分NECB,

AZCBP=iZDBC,ZBCP=-ZECB,

22

'.,△BPC中，ZP=180°-ZCBP-ZBCP=180°--(ZDBC+ZECB),

2

VZDBC+ZECB=180°+ZA,

.*.ZP=180°--(180°+ZA)=90°--ZA.

22

故答案为：ZP=90°-jZA,

(4)ZP=180°--(ZA+ZD).

2

理由是：•.•NEBC=180°-ZLZFCB=180°-Z2,

：BP平分NEBC,CP平分NFCB,

.*.Z3=iZEBC=90°一工Nl,N4=^NFCB=90°—工N2,

2222

.*.Z3+Z4=180°(Z1+Z2),

2

•・•四边形ABCD中,Zl+Z2=360°-(ZA+ZD),

又,.♦△PBC中，ZP=180°-(N3+N4)=3(N1+N2),

/.ZP=-x[360°-(ZA+ZD)]=180°--(ZA+ZD).

22

15.［尝试探究］

如图1,在一张三角形纸片上，剪去aABC,得到四边形BCHG,N1与N2分别为AABC的

两个外角

(1)请你试着说明：Zl+Z2=180°+ZA

(2)如图2,如果沿着EF再剪一刀，N3与N4分别为4AEF的两个外角，那么N1+N2和

Z3+Z4的数量关系为N1+N2=N3+N4

(3)如图3,EP,FP分别平分外角NFEG、ZEFH,求