第11节 函数与方程

第11节函数与方程考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.【知识梳理】1.函数的零点(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：2.函数零点存在定理(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.[常用结论与微点提醒]1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝2x的零点为0.()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.()答案(1)√(2)×(3)√解析(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.2.(必修一P143例1改编)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零点个数为()A.3 B.2C.7 D.0答案B解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点.3.(必修一P144T2改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)答案B解析函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个根，且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)＜0，故f(x)的零点所在的区间为(1，2).4.函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________.答案0或－eq\f(1,4)解析当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－eq\f(1,4).考点一函数零点所在区间的判断例1(1)(2024·昆明诊断)函数f(x)＝x＋1－logeq\f(1,2)x的零点所在的区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案C解析由题易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(1,4)＋1－logeq\f(1,2)eq\f(1,4)＝－eq\f(3,4)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,3)＋1－logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)－logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＝log22eq\f(4,3)－log23＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,27)))eq\s\up12(\f(1,3))<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)＋1－logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)>0，所以函数f(x)＝x＋1－logeq\f(1,2)x的零点所在的区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，故选C.(2)(2024·广州质检)定义开区间(a，b)的长度为b－a.经过估算，函数f(x)＝eq\f(1,2x)－xeq\f(1,3)的零点属于开区间________(只需写出一个符合条件，且长度不超过eq\f(1,6)的开区间即可).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))(答案不唯一)解析因为y＝eq\f(1,2x)，y＝－xeq\f(1,3)都是减函数，所以f(x)＝eq\f(1,2x)－xeq\f(1,3)是减函数，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(1)＝－eq\f(1,2)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,3))<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(\f(1,3))>0，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))<0，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))上有零点，且eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，符合题意，所以函数f(x)＝eq\f(1,2x)－xeq\f(1,3)的零点属于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))(答案不唯一).感悟提升确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.训练1(1)根据表格中的数据可以判定方程lnx－x＋2＝0的一个根所在的区间为()x12345lnx00.6931.0991.3861.609x－2－10123A.(1，2) B.(2，3)C.(3，4) D.(4，5)答案C解析设f(x)＝lnx－x＋2＝lnx－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＝ln3－(3－2)＝1.099－1＝0.099＞0，f(4)＝ln4－2＝1.386－2＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程lnx－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4)，故选C.(2)(2024·长沙调研)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)答案C解析因为函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上单调递减，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)最多只有一个零点.因为f(0)＝5－lg1＝5>0，f(1)＝3－lg3>0，f(2)＝1－lg5>0，f(3)＝－1－lg7<0，所以函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(2，3).故选C.考点二函数零点个数的判断例2(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是()A.0 B.1C.2 D.3答案B解析法一∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.法二设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.(2)(2024·杭州调研)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0，2024]上根的个数为()A.404 B.405C.406 D.203答案C解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称，且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数.又f(x)在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0，10]内也只有两个零点，又区间[0，2024]内包含202个周期，故f(x)在[0，2020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2020，2024]上的零点个数与在(0，4]上的零点个数相同，有2个.故f(x)在[0，2024]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0，2024]上有406个根.感悟提升函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.训练2(1)(2024·海南质检)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为()A.0 B.1C.2 D.3答案C解析函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，在同一直角坐标系中，分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示，由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C.(2)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为()A.6 B.7C.8 D.9答案B解析令f(x)＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0，所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.考点三函数零点的应用角度1根据零点个数求参数范围例3(多选)(2024·聊城调研)已知函数f(x)＝x|x－a|－2有三个不同的零点，则实数a的取值可以为()A.0 B.2eq\r(2)C.3 D.4答案CD解析当x≤0时，f(x)<0恒成立，即f(x)在(－∞，0]上无零点，所以当x>0时，f(x)有三个零点，即x|x－a|＝2有三个不相等的正根，解得a＝x－eq\f(2,x)或a＝x＋eq\f(2,x).当x>0时，y＝x－eq\f(2,x)单调递增，且x－eq\f(2,x)∈R，则方程a＝x－eq\f(2,x)有一个正根x1，则方程a＝x＋eq\f(2,x)，即x2－ax＋2＝0，要有两个不相等的正根x2，x3(x2<x3)，且x2≠x1，x3≠x1.若x2－ax＋2＝0有两个正根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－8>0，,x2＋x3＝a>0，))解得a>2eq\r(2)，排除A，B；当a＝3时，令f(x)＝0，得x1＝eq\f(\r(17)＋3,2)，x2＝1，x3＝2，符合题意.当a＝4时，令f(x)＝0，得x1＝2＋eq\r(6)，x2＝2－eq\r(2)，x3＝2＋eq\r(2)，符合题意.故选CD.角度2根据零点范围求参数范围例4已知函数f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C.(－∞，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))答案B解析由f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x)＝0，可得a＝3x－eq\f(1,x)，令g(x)＝3x－eq\f(1,x)，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.由于函数y＝3x，y＝－eq\f(1,x)在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增.当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－eq\f(1,x)<g(－1)＝3－1＋1＝eq\f(4,3)，又g(x)＝3x－eq\f(1,x)>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).因此，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).感悟提升已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.训练3(1)函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(0，3) B.(1，3)C.(1，2) D.[2，＋∞)答案A解析因为函数y＝2x，y＝－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内得，f(1)·f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3.(2)(2024·重庆诊断)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x>a，,log2（x＋1），－1<x≤a))且a∈N*，记g(x)＝f(x)＋t，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，则正整数a的最大值为________.答案2解析当x>a时，f(x)＝2x－3单调递增，当－1<x≤a时，f(x)＝log2(x＋1)单调递增.由题意，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，即存在实数t使得方程f(x)＝－t有两个不相等的根，即函数f(x)的图象与直线y＝－t有两个交点，所以当点P(a，log2(a＋1))在点Q(a，2a－3)上方，即log2(a＋1)>2a－3时，符合题意.因为log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，结合y＝2x－3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为2.函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.一、判断嵌套函数的零点个数例1(2024·山东省实验中学诊断)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x＞0，,x2＋2x，x≤0，))则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是()A.2 B.3C.4 D.5答案D解析令t＝f(x)＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)＋1，x＞0，,（x＋1）2，x≤0.))当t＞0时，f(t)＝lnt－eq\f(1,t)，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)＞0，所以由函数零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示，由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点.综上，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.二、由嵌套函数零点的情况求参数例2(2024·重庆质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))，x>0.))若关于x的方程[f(x)]2＋(m－4)f(x)＋2(2－m)＝0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是()A.[1，3) B.(0，2)C.[1，2) D.(0，1)答案C解析设h(x)＝x－eq\f(1,x)，x>0，则h′(x)＝1＋eq\f(1,x2)>0，则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(1)＝0，作出f(x)的大致图象如图所示.令t＝f(x)，则t2＋(m－4)t＋2(2－m)＝0，则t1＝2，t2＝2－m.由图可知，直线y＝2与f(x)的图象有2个交点，所以直线y＝2－m与f(x)的图象必须有3个交点，则0<2－m≤1，解得1≤m<2，故选C.训练(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x<0，,4x3－6x2＋1，x≥0，))则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为()A.4 B.5C.6 D.3答案A解析当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0<x<1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(t)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或eq\f(1,3)，当t＝eq\f(1,3)，即f(x)＝eq\f(1,3)时，g(x)有三个零点；当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点，综上，g(x)共有四个零点.(2)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（－x－1），x<－1，,2x＋1，x≥－1，))若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.答案[－1，＋∞)解析设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.【A级基础巩固】1.(2024·北京朝阳区质检)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,ex－2，x>0))的零点的个数为()A.0 B.1C.2 D.3答案C解析当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，则(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3.当x>0时，令ex－2＝0，解得x＝ln2，所以f(x)的零点个数为2.故选C.2.设函数f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零点为x0，则x0所在的区间是()A.(－4，－2) B.(－2，－1)C.(1，2) D.(2，4)答案B解析易知f(x)在R上单调递增且f(x)的图象是连续不断的曲线，f(－2)＝eq\f(1,4)－eq\f(2,3)<0，f(－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)>0，所以x0∈(－2，－1).3.(2024·沈阳调研)若函数f(x)＝a＋x＋lgx(1<x<10)有零点，则a的取值范围为()A.(－10，－1) B.(1，10)C.(1，11) D.(－11，－1)答案D解析因为函数y＝x＋a，y＝lgx均在(1，10)上单调递增，所以f(x)＝a＋x＋lgx在(1，10)上单调递增.若函数f(x)＝a＋x＋lgx(1<x<10)有零点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,a＋11>0，))解得－11<a<－1.故选D.4.(多选)(2024·泰州质检)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则()x123456y202.30152.013－10.5813.273－10.733－156.314A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点答案ABD解析由题表可知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)均存在零点，即f(x)至少有3个零点，故D正确；对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值，故无法判断f(x)在区间(2，3)上的单调性，故A正确；对于B，C，虽然f(5)<0，f(6)<0，但是函数f(x)在(5，6)内的取值情况未知，所以函数f(x)在(5，6)内可能存在零点，故B正确，C错误.故选ABD.5.(2024·南阳质检)已知函数f(x)＝81lnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x－3)－80的零点位于区间(k，k＋1)内，则整数k＝()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析因为函数y＝81lnx，y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x－3)－80在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)的图象是连续不断的曲线.因为f(2)＝81ln2－83<0，f(3)＝81ln3－81>0，f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故k＝2.故选B.6.(2024·湖北部分重点高中联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋x，x<2，,x2＋2a，x≥2，))则“a≤－2”是“f(x)有2个零点”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析当x<2时，f(x)＝2x＋x单调递增，且f(x)的图象是连续不断的曲线.f(－1)＝2－1－1<0，f(0)＝20＋0>0，由函数零点存在定理可知，f(x)＝2x＋x在(－∞，2)上有唯一零点，且该零点为负数；当x≥2时，令x2＋2a＝0，解得x＝eq\r(－2a)或x＝－eq\r(－2a)(舍去)，若f(x)在[2，＋∞)上有零点，则eq\r(－2a)≥2，即a≤－2，此时f(x)在[2，＋∞)上只有唯一零点，且该零点为正数.综上所述，当a≤－2时，f(x)有2个零点；当f(x)有2个零点时，a≤－2，所以“a≤－2”是“f(x)有2个零点”的充要条件.故选C.7.(2024·福州联考)已知函数f(x)＝sinπx＋eq\f(1,x－1)，则y＝f(x)的图象在(－2，4)内的零点之和为()A.2 B.4C.6 D.8答案B解析由f(x)＝sinπx＋eq\f(1,x－1)＝0可得sinπx＝－eq\f(1,x－1)，则函数y＝sinπx与函数y＝－eq\f(1,x－1)的图象在(－2，4)内交点的横坐标即为函数y＝f(x)的零点.又函数y＝sinπx与函数y＝－eq\f(1,x－1)的图象都关于点(1，0)对称，作出函数y＝sinπx与函数y＝－eq\f(1,x－1)的大致图象，如图所示.由图象可知y＝f(x)在(－2，4)内有四个零点，零点之和为4.故选B.8.(2024·安徽名校联考)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为()A.100 B.102C.200 D.202答案A解析令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)，即f(－1)＝0，因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝0，则f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数.因为f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在[－2，0]上单调递减，所以f(x)在一个周期内有两个零点，故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100.故选A.9.函数f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零点个数为________.答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6，6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x为－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6个零点.10.(2024·杭州质检)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式________________.答案f(x)＝x2－1(答案不唯一)解析因为∀x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，因为当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)恰有两个零点，所以f(x)图象与x轴只有2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一).11.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2＝________.答案1解析x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝lnx与函数y＝eq\f(1,x)的图象的交点A，B的横坐标，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,x1)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(1,x2)))两点关于y＝x对称，则x1＝eq\f(1,x2)，因此x1x2＝1.12.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.答案(1，＋∞)解析方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点.如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)有两个交点；当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.故实数a的取值范围是(1，＋∞).【B级能力提升】13.(2024·保定模拟)已知x>0，函数f(x)＝2x＋x－5，g(x)＝x2＋x－4，h(x)＝log2x＋x－3的零点分别为a，b，c，则()A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a答案C解析因为f(x)＝2x＋x－5单调递增，且f(1.6)＝21.6－3.4＝eq\r(5,（21.6）5)－eq\r(5,（3.4）5)＝eq\r(5,256)－eq\r(5,454.35424)<0，f(2)＝4＋2－5＝1>0，由函数零点存在定理可知，f(x)有唯一零点a，且1.6<a<2；因为g(x)＝x2＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，g(1.6)＝1.62－2.4＝2.56－2.4>0，由函数零点存在定理可知，g(x)有唯一零点b，且1<b<1.6；因为h(x)＝log2x＋x－3在(0，＋∞)上单调递增，且h(2)＝1＋2－3＝0，则h(x)有唯一零点c＝2，所以b<a<c.故选C.14.(2024·杭州段测)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为()A.6 B.12C.14 D.10答案D解析因为f(－x)＋f(x)＝0，x∈R，所以f(