导数的概念、运算及几何意义9题型分类-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题11导数的概念、运算及几何意义9题型分类

彩题如工总

题型1:导数的定义

彩先我宝库

一、导数的概念和几何性质

1.概念

函数/⑺在X=X。处瞬时变化率是lim孚=lim,我们称它为函数y=/⑺在X=X。处的导

.—Ax.70Ax

数，记作了'(%)或y[4花.

注：①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Arf0的意义：Ax与0之间距离要多近有

多近，即IAr-01可以小于给定的任意小的正数;

②当8―0时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

Z=/(%+Ax)-F(九0)

无限接近;

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的

瞬间变化率，即/U)=lim?=lim/(天+©)—/(%)

Axf0八丫Ax—>0Ax

2.几何意义

函数y=F(x)在x=%处的导数/U)的几何意义即为函数j=八月在点PKX0，为)处的切线的斜率.

3.物理意义

函数S=s⑺在点力处的导数S&)是物体在t0时刻的瞬时速度V,即V=S&)；V=V(r)在点t0的导数M&)是物

体在fo时刻的瞬时加速度。，即a=v&).

二、导数的运算

1.求导的基本公式

基本初等函数导函数

〃x)=c(C为常数)r(x)=o

/(x)=xa(aeQ)fr(x)=axa~l

/(x)=ax(a>。，aw1)fr(x)=axIna

f(x)=loga尤(a>0,aw1)fw=,

xlna

于(x)="f'(x)=e'

f(x)=lnxf,M=-

X

f(x)=sinxf\x)=COSX

/(x)=cosXf\x)=—sinx

2.导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则:"(x)土g(x)r=f\x)±g'(x)；

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]'=/'3g(x)+/(x)g'(x);

/-＞、n物首1Vl牛日计制,-n皿门/口儿-/取)gOA/(X)g(X)

(3)函数商的求导法则：g(x)*0,则----------J--------.

§(x)

3.复合函数求导数

复合函数y=f[gM]的导数和函数y=/(M),U=g(x)的导数间关系为y；=K'Q：

4.导数的几何意义

(1)在点的切线方程

切线方程，-/(无。)=/'(%)。-不)的计算：函数y=/(元)在点4%,〃与))处的切线方程为

%=/(X°)

，寸(X。)"'(豌)(Xf),抓住关键

k=f\x0)'

（2）过点的切线方程

设切点为p（%，％）,则斜率左=r（xo）,过切点的切线方程为：=r（%）（x-%）,

又因为切线方程过点A＞，"），所以然后解出/的值.（X。有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

彩健甄祕籍

导数的定义

对所给函数式经过添项.拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.

题型1：导数的定义

1-1.（2024高二下・北京・期中）已知函数,=〃》）的图象如图所示，函数、=/（"的导数为'=/'"）,贝版）

A.f,（2）＜/,（3）＜/（3）-/（2）B.r（3）〈八2）＜〃3）2）

C.八2）＜〃3）-〃2）＜八3）D.八3）＜人3）-/（2）＜八2）

1-2.（2024高三上•云南楚雄・期末）已知某容器的高度为20cm,现在向容器内注入液体，且容器内液体的

高度〃（单位：cm）与时间f（单位：s）的函数关系式为/?=$3+/，当公办时，液体上升高度的瞬时变化

率为3cm/s,则当ff+1时，液体上升高度的瞬时变化率为（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

1-3.（2024高二下•天津•期中）已知函数〃x）的导函数是「（x）,若/'（无。）=2,则〃无。+；心）一"与）_

nm-

Ax

（）

A.；B.1C.2D.4

Ax

1-4.（2024高二下•重庆•阶段练习）若函数在％处可导，且lim+2,=1，贝|/，（%）=（）

—2Ax、'

A.1B.-1C.2D.]

1-5.(2024高三•全国•课后作业)若/(x)在与处可导，则尸(飞)可以等于().

x

Alim/U)-/(o-MB.)-/&-词

-Ax©一°Ax

cUm口lim

AX-OAx-Ax

彩健题海籍

(-)

求函数的导数

对所给函数求导，其方法是利用和.差.积.商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.

题型2:求函数的导数

2-1.(2024•湖北武汉•三模)已知函数，(x)=/'(0)e2*-eT,则/(0)=.

2-2.(2024高三下•河南,阶段练习)已知函数/(无)的导函数为/'(无)，＞/(^)=X*12/34,(1)+X+2,则

r(i)=.

2-3.(2024高三•全国•专题练习)求下列函数的导数.

(l)/(x)=(-2x+l)2；

⑵〃x)=ln(4x-l)；

⑶〃力=23，+2

(4)f(x)=V5x+4；

2-4.(2024高三•全国•课后作业)求下列函数的导数：

(1)y=(3尤2+2x+l)cos尤；

，一、3尤之+%4―5&+1

(2)Y=------------T----------；

yjx

(3)y=xls+sinx-lnx；

(4))=2"cosx-3xlog3x；

(5)y=ysinx-310g3%；

(6)y=excosx+tanx.

彩做题祕籍（=）

导数的几何意义

函数y=/（x）在点/处的导数，就是曲线y=/（x）在点尸（天,/（无。））处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点

处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知/（刈在点（尤°,/（%））处的切线方程为

y-y0=f'Wx-x0）,（2）若求曲线y=/（x）过点3岩的切线方程,应先设切点坐标为（尤°"（%））,由

〉-%=71）（》-%）过点（”,刀，求得与的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.

题型3：在某点处的切线方程

3-1.（2024•广东广州•三模）曲线y=（2x-l7在点（1,1）处的切线方程为.

3-2.(2024•全国)函数/⑺=犬-2丁的图像在点(1,7⑴)处的切线方程为()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

3-3.（2024高三上•陕西•阶段练习）曲线>=上；在点（2,-2）处的切线方程为（）

x-3

A.y=-3%+4B.y=x-4C.y=3x—8D.y=3x-4

二e在点11总处的切线方程为（

3-4.(2024•全国)曲线y=)

x+1

eeeee3e

A.y=­xB.y=­xC.y=—x+—D.y=-x-\----

424424

35（2024・全国）曲线y=2sinx+cosx在点仇，-1）处的切线方程为

A.x-y-7t-l=0B.2%—y—271—1—0

C.2%+y—2兀+1—0D.1+y一冗+1=0

题型4:过某点的切线方程

4-L（2024.湖南.模拟预测）过点（0.18）作曲线y=Y-x+2的切线，则切点的横坐标为，这条

切线在X轴上的截距为.

4-2.（2024高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）曲线/（；0=/底片0）过坐标原点的两条切线方程

为，.

4-3.（山东新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题）过点（3,0）作曲线〃力=

的两条切线，切点分别为（％，/（%）），（%2，/（%2））,则占+Z=（）

A.-3B.-V3C.73D.3

题型5：已知切线求参数问题

5-1.（2024・重庆•三模）已知直线y=or—。与曲线>=无+9相切，则实数a=（）

X

143

A.0B.-C.—D.一

252

5-2.（2024•全国）设曲线y=ax-ln（x+l）在点（0,0）处的切线方程为y=2x,则a=

A.0B.1C.2D.3

5-3.（2024•全国）曲线y=（ox+l）ex在点（0,1）处的切线的斜率为一2,则。=.

5-4.（2024•全国）已知曲在点（1,卷）处的切线方程为y=2x+6,则

A.a-e,b=-1B.a-e,b-\C.a-e~',b-iD.a=e~\b=-1

题型6：切线平行、垂直、重合问题

6-1.（2024•安徽六安•三模）若函数/（x）=lnx+x与8（幻=生二；的图象有一条公共切线，且该公共切线与

x-1

直线y=2x+l平行，则实数加二（）

17171717

A.—B.—C.—D.—

8642

6-2.（2024•湖南长沙,一模）已知直线x-9y-8=0与曲线C:y=•r3一px2+3x相交于A,3,且曲线C在处

的切线平行，则实数P的值为（）

A.4B.4或-3C.-3或-1D.-3

6-3.（2024高三上•浙江•期中）若函数/（x）=ax+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数。的值是

（）

A.2B.1C.0D.-1

6-4.（2024高三・江西抚州•开学考试）已知曲线〃x）=WT（x>-l）在点&（和/（芯））,3（程〃々））（占<%）

处的切线4,互相垂直，且切线乙4与y轴分别交于点。后，记点E的纵坐标与点。的纵坐标之差为，，则

（）

2

A.—2<Z<0B.2—2e<^<0

e

2

C.t<.—2D.%>2e—2

e

6-5.（2024高三上•河北邯郸,阶段练习）设函数〃x）=ln（x+a）在x=l处的切线与直线y=^+l平行，则〃=

（）

A.-2B.2C.-1D.1

6-6.（2024高二下•湖南,期中）已知曲线y=x+±（x<0）在点P处的切线与直线x-3y+l=。垂直，则点P

X

的横坐标为（）

A.1B.-1C.2D.-2

题型7：公切线问题

7-1.（2024•山东烟台•三模）若曲线、=丘7（左<0）与曲线y=e，有两条公切线，则上的值为.

7-2.（2024・全国）若直线>=麻+8是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+l）的切线，则6=.

7-3.（2024高二下・浙江杭州・期中）若直线。=左（了+1）-1与曲线"j相切,直线"4（%+1）—1与曲线》=如下

相切，则％1履的值为.

题型8：切线的条数问题

8-1.（2024高二下•福建厦门•期中）若曲线y=（x+l）e，过点尸（4,0）的切线有且仅有两条，则实数。的取值

范围是.

8-2.（2024•福建厦门•模拟预测）若曲线y=xlnx有两条过（l,a）的切线，则。的范围是.

8-3.（2024高三上•福建漳州•阶段练习）已知函数〃*=—/+2尤2—x,若过点P0J）可作曲线y=/⑺的

三条切线，贝h的取值范围是.

8-4.（2024高三上•河北•阶段练习）若过点（孙〃）可以作曲线，=log?x的两条切线，则（）

A.m>log2nB.n>log2mC.m<log2nD.n<log2m

题型9：最值问题

一4

9-1.（2024•江苏）在平面直角坐标系尤0y中，尸是曲线y=x+—（尤>0）上的一个动点，则点P到直线x+v=0

x

的距离的最小值是—.

9-2.（2024・山东聊城•三模）若直线y=x+6与曲线y=e，-以相切，贝峰的最大值为（）

A.0B.1C.2D.e

9-3.（2024・湖北•模拟预测）已知机>0,n>0,直线y=1尤+相+1与曲线y=lnx-"+2相切，则工+工的

emn

最小值是（）

A.16B.12C.8D.4

94（2024高三・全国•专题练习）设点尸在曲线y=e.上，点。在曲线y=T+lnx上，贝力PQI最小值为（）

A.72B.2A/2

C.0（1+妨2）D.72（1-/«2）

95（2024高三•全国•专题练习）设点尸在曲线y=e2,上，点。在曲线丁=小门上，则|P0l的最小值为（）

A.^-（l-ln2）B.V2（l-In2）

C.72（1+In2）D.也（l+ln2）

2

9-6.（2024・四川•一模）若点P是曲线y=lnx-炉上任意一点，则点尸到直线/：%+y—4=0距离的最小值为

（）

万

A.芋B.V2C.2&D.472

法习与置升

一、单选题

1.（2024.云南保山.二模）若函数〃x）=41nx+l与函数g（无）=：/-2尤（°>0）的图象存在公切线，则实数

〃的取值范围为（）

1

B.—,+co

3

12一

D.

353

2.（2024•海南•模拟预测）已知偶函数/（x）=（a-1卜2-3法+°々-1在点（1,41））处的切线方程为

x+y+l=0,则巴之=()

c-a

A.-1B.0C.1D.2

3.（2024高二下•四川成都•阶段练习）已知/是曲线y=lnx+；尤2+"上的任一点，若曲线在M点处的切

线的倾斜角均是不小于7T;的锐角，则实数。的取值范围是（）

4

A.[2,+oo）B.[-l,+oo）C.（-oo,2]D.

4.（2024高三•全国•专题练习）若过点（凡切可以作曲线y=ln、的两条切线，贝U（）

A.a<lnbB.b<]naC.]nb<aD.\na<b

5.（2024・湖南•二模）若经过点（。力）可以且仅可以作曲线>=lnx的一条切线，则下列选项正确的是（）

A.a<0B.b=lnaC.a=lnbD.a<Q^b=Ina

6.（2024高三上•上海闵行•期末）若函数>=/（%）的图像上存在两个不同的点RQ,使得在这两点处的切线

重合，则称/（尤）为〃切线重合函数〃，下列函数中不是〃切线重合函数〃的为（）

A.y=x4-x2+1B.y=sinx

C.y=%+cos%D.y=x2+sinx

7.（2024高二・江苏•专题练习）已知A,B是函数/（%）=<.~，图象上不同的两点，若函数丁=/（%）

xiwc-a,x>0

在点A、8处的切线重合，则实数〃的取值范围是（）

11

A.B.——,+ooC.(O,-Hx))D.—,+00

-臼22

8.（2024高三・全国・专题练习）设点。在曲线尸2^上,点。在曲线丁=1111-1112上,则|。0|的最小值为（）

A.l-ln2B.V2(l-ln2)

C.2(1+In2)D.72(1+In2)

9.（2024高三•全国•专题练习）己知实数。，b,c,/满足|ln（a-l）-"+|c-d+2|=0,则（“-c）?的

最小值为（）

A.2A/2B.8C.4D.16

10.（2024高三・全国•专题练习）设函数〃x）=（丈-a）2+4（lnx-a）2,其中x>0,aeR.若存在正数看,使得

/（x0）V：成立，则实数。的值是（）

12

A."B.一C.1D.1

55

11.（2024•宁夏银川•一模）已知实数工，，满足2--51nx-y=。，〃zeR,贝」+y_2mx+2冲+2相？的最

小值为()

a9R372

22。,今D-

12.（2024•全国）若过点（。力）可以作曲线y=e»的两条切线，则（）

A.e"vaB.e<b

C.0<a<ebD.0<b<ca

13.（2024•全国）若直线/与曲线y=6和x2+y2=：都相切，贝|/的方程为（）

111

A.y=2x+lB.y=2x+^-C.y=—x+1D.y=—x+—

72722

14.（2024高二下•四川宜宾,期末）已知尸为函数/（x）=lnx+无2图象上一点，则曲线y=/（元）在点尸处切线

斜率的最小值为（）

A.1B.72C.2挺D.4

15.（2024高三•全国•专题练习）函数/（元）=g尤3的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值

范围为（）

3兀B._0，加小）

A.0,—

_4_

-3兀A713兀

D-卜工

16.（2024•全国）曲线y=/-2x+4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

17.(2024高二下•陕西西安・期中)设函数/(%)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线＞=/(X)在x=5处

的切线的斜率为()

11「

A.—B.0C.-D.5

55

18.(2024•山东)若函数y=/(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称

y=/(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是

A.y=sinxB.y=lnxC.y-exD.y=x3

19.(2024高二下洞南郑州・期中)若曲线〉=蛆三在。,-。)处的切线与直线/：2彳7+5=0垂直,则实数。=

()

33

A.1B.—C.-D.2

22

20.(2024•湖南郴州•模拟预测)定义：若直线/与函数y=〃x),y=g(x)的图象都相切，则称直线/为函

数y=/(x)和y=g(x)的公切线.若函数〃x)=alnx(a＞0)和g(x)=f有且仅有一条公切线，则实数a的

值为()

A.eB.C.2eD.2-Je

21.(2024•全国)已知函数/若1/(元)2依，则a的取值范围是()

[ln(.r+l),x＞0

A.(-8,0]B.(-oo,l]C.[-2,1]D.[-2,0]

二、多选题

22.(2024,安徽芜湖•模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如

下：设r是函数y=/(x)的一个零点，任意选取与作为厂的初始近似值，过点&/(%))作曲线y=/(x)的切

线乙，设《与x轴交点的横坐标为毛，并称々为〃的1次近似值；过点(xj(M)作曲线＞=/(力的切线4，

设/2与x轴交点的横坐标为巧，称巧为厂的2次近似值.一般地，过点鼠/(%))(〃eN*)作曲线＞="X)的

切线加，记/向与x轴交点的横坐标为了用，并称“为『的”+1次近似值.对于方程d―》+1=0,记方程的

根为『，取初始近似值为%=T，下列说法正确的是()

A.re(-2,-l)B.切线4：23x-4y+31=0

।I1—1

C.卜-龙2|>§D.无"+i=3%2_]

23.（2024高二下•江苏宿迁•期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿

法.首先，设定一个起始点修,如图，在X=x（，处作/（尤）图象的切线，切线与X轴的交点横坐标记作4：用不

替代X。重复上面的过程可得X2；一直继续下去，可得到一系列的数飞,为，巧，…，％,...在一定精确度

下，用四舍五入法取值，当玉一，%（〃eN*）近似值相等时，该值即作为函数〃尤）的一个零点若要求指的

近似值「（精确到0.1）,我们可以先构造函数/（司=丁-6,再用“牛顿法”求得零点的近似值人即为充的近

22

B.若不£Q，且%。。，则对任意〃GN*,Xn=^Xn-\+^~

JXn-1

c.当X。=2时，需要作2条切线即可确定,的值

D.无论与在（2,3）上取任何有理数都有r=1.8

cinV

24.（2024•海南海口•一模）直线x+胡-〃=。是曲线y=——的切线，则实数，的值可以是（）

x

71兀

A.3rtB.TiC.—D.一

23

三、填空题

25.（2024•海南♦模拟预测）在等比数列｛%｝中，4=2,函数〃元）=gx（无一蛇自一外上（尤一生），则

/'⑼）-

26.（2024•辽宁大连•一模）己知可导函数〃x）,g（尤）定义域均为R,对任意x满足/⑴+2磊-1,

且"1）=1，求（⑴+g[j=.

27.（2024高三•全国•专题练习）曲线/。）=1115+2）+5在点（0,〃0））处的切线方程为.

28.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（x）=gx3+bx2+cos[d，尸（x）为的导函数.若尸（x）的

图象关于直线x=l对称，则曲线丁=/（尤）在点（2,〃2））处的切线方程为

29.（2024湖南・模拟预测）若函数〃"=尢13+。一2卜2（石均是奇函数，则曲线y=/（x）在点（九〃初处

的切线方程为.

30.（2024•江西•模拟预测）已知过原点的直线与曲线y=ln%相切，则该直线的方程是.

31.（2024•浙江金华•模拟预测）已知函数"无）=丁-就+1,过点尸（2,0）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，

则实数。的取值范围是.

32.（2024•浙江绍兴•模拟预测）过点作曲线y=的切线，写出一条切线方程：.

33.（2024•海南海口,模拟预测）过x轴上一点P&0）作曲线C:y=（x+3）e'的切线，若这样的切线不存在,

则整数/的一个可能值为.

34.（2024•全国,模拟预测）过坐标原点作曲线y=（x+2）e工的切线，则切点的横坐标为.

35.（2024•河南商丘•模拟预测）若过点P（l,a）（«eR）有〃条直线与函数了⑺=（x-2）e'的图象相切，则当"

取最大值时，。的取值范围为.

36.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃尤）=；9+-⑴£+1,其导函数为尸（力，则曲线〃尤）过点*3,1）的

切线方程为.

37