导数解答题之指对函数五大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题12导数解答题之指对函数五大题型汇总

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题型1指数找基友....................................................................1

题型2对数单身狗....................................................................2

题型3指对互化......................................................................4

题型4指对分离与不分离.............................................................5

题型5凹凸翻转......................................................................7

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指数找基友：在处理不等式和零点问题时，如果指数部分+X整式有可能连续求导，甚至要

用到隐零点，比较复杂，此时，我们只需把所有X的式子和ex变换到一起，一般可以同除

整式，或者同除ex部分，构造一个新函数，例如ex-ax>0我们可以化成ex>ax,进一步化成

a=ex/x,构造函数f(x)=ex/x;再例如当x>0时求证：(2-x)ex<x+2,我们可以化作ex

(2-x)/(x+2”1,然后构造函数f(x)=ex(2-x)/(2+x),证明其W1即可，通过观察，不难发现，

ex和所有含有x的式子变换到一起了，我们形象地称之为，指数找基友

【例题1】(2022秋•山东滨州•高三校联考期中)已知/Q)=asin久(a€R),g(x)=ex.

(1)求g(x)在％=。处的切线方程;

(2)若a=1,证明G(x)=f(x)+Inx在(0,1)上单调递增;

(3)设FQ)=世普(a丰0)对任意xe[o,4，F(x)>以成立求实数k的取值范围.

【变式1-1]1.(2023春•安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试)已知函娄好(久)=a%2

—ex~r.

(1)当a=T时，证明：f(x)在R上为减函数.

(2)当xe[0,合时，f(x)Wacosx,求实数a的取值范围.

【变式1-1]2.(2021•黑龙江哈尔滨・哈九中校考三模)已知函娄好㈤=1%3-sinx.

(1)证明：函数人切有三个零点；

(2)若对Vxe[o,引，不等式研+acosx>储恒成立，求实数a的取值范围.

【变式1-1】3.(2022・全国•高三专题练习)已知函数y=/(久)是定义在R上的奇函数，当x>0

时，/Q)=喑，曲线y=/O)在点(1)(1))的切线与%轴平行，尸(乂)是外切的导函数.

(1)求k的值及当》<。时，函数”久)的单调区间；

(2)设。(久)=(x2+久)•广(久)对于任意%>0,证明g(x)<1+e-2.

【变式1-114.(2021秋・吉林四平•高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知函数;'(X)

=aex+bcosx+|x2+l(其中a,6为实数)的图象在点(0)(0))处的切线方程为y=久+1.

(1)求实数a,b的值;

(2)求函数。(久)=广(%)—3%的最小值；

(3)若对任意的xeR,不等式犷(X)2|X3+2&2+%恒成立，求实；I数的取值范围、

题型2对数单身狗

析即可，例如y=(2+x)ln(x+1)-2x,如果要证明x>0时y>0,我们便可把2+x提出来，使之

变成y=(2+x)(ln(x+1)-刍分别分析2+x和ln(x+1)-系就可以了，这个过程使ln(x+1)系

数不含x整式，我们形象地称之为对数单身狗，再求导就容易多了;

【例题2】(2022秋•宁夏银川•高三校考开学考试)已知函数;'(X)=2ex~2+ax.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)对任意x>0,求证：/(x)>x(lnx+a)

【变式2-1]1.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三哈师大附中校考期末)已知函数/0)=(%+1)

Inx—a(x—1).

(1)当a=2时,求函数/(x)的单调区间；

(2)当乂〉1时，/(乃>。恒成立，求实数a的取值范围.

【变式2-1】2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(*)="1.

(1)当』=1时,求丁为的最大值;

(2)讨论关于x的方程f(%)=m-Inx的实根的个数.

【变式2-1]3.(2022•四J11泸州•四川省叙永第一中学校校考模拟预测)已知函数/(*)=In

x—ax2+(2—a)x,a>0.

(1)讨论/(x)的单调性;

(2)设aCN*,若关于X的不等式/(x)W—1在(0,+8)上恒成立，求a的最小值.

【变式2-1]4.(2021秋•浙江杭州•高三校联考期中)已知/(久)=号，直线]为曲线y=f(x)

在处的切线，直线，与曲线y=/(均相交于点(s/(s))且s<t.

(1)求珀勺取值范围；

(2)(i)证明：lnx<1+，(x-e)—点•(久一eA+5•(久一e)3；

(ii)证明：s>-yt—3tlnt.

题型3指对互化

批尊重点

指对互化与同构：

1.所谓指对互化，如下：X=elnx=lnex,x2ex=e2lnxex—e2lnx+x>2lnx+x+1

指对互化是指对同构的基础，

2.常见类型：

①乘积，如ae。<构造方法如下

构造方法构造的函数

与左侧一致：aea<Inb-einb/(X)=xe"

与右侧一致:ealnea<blnb/(x)=xlnx

对数化：a+Ina<Inb+In(Inb)/(x)=x+Inx

②商，如?<白，构造方法如下

构造方法构造的函数

x

与左侧一致：£卷e

X

与右侧一致：鼻<白,用)=而

对数化：。—仇a<Inb—In(Inb)f(x)=x—Inx

③和差，如e。±a<b±Inb

构造方法构造的函数

与左侧一致：ea±a<elnb±Inb/(x)=ex±x

与右侧一致：ea±lneaVb±inb,/(x)=x±Inx

【例题3](2022秋•黑龙江•高三开学考试)已知函数/⑴=ln(l+%)-第(a>0).

(1)若x=l是函数久久)的一个极值点，求。的值；

(2)若/(久)2。在(°，+8)上恒成立，求a的取值范围；

ZX2020

(3)证明：(器?<；1(C为自然对数的底数).

【变式3-1】1.(2021秋•广东深圳•高三深圳市龙岗区龙城高级中学校考阶段练习)已知

函数f(x)="(1+久)一^^,其中a6(0,1］.

(1)讨论函数了(久)在区间［0,1］上的单调性；

S、卡、p,2021、2°20.420212020.5

(2)求证：(,)<e<(旃)-

【变式3-1】2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=ln(l+K)—署(a>0).

(1)若函数在％=1处的切线与%轴平行，求a的值；

(2)若/'CO》。在［0,+8)上恒成立,求a的取值范围；

(3)证明：(翳)2°"</e是自然对数的底数).

【变式3-1】3.(2022•全国•高三专题练习)已知函数f(久)=ln(l+x)—署(a>0).(注

:［叭1+切，=占

(1)若久=1是函数f(%)的一个极值点，求a的值；

(2)若/'(X)>0在［0,+8)上恒成立，求a的取值范围；

(3)证明：(黑)<;.

【变式3-1】4.(2022・全国•高三专题练习)已知函娄好(%)=M,g(x)=筹(e是自然对

数的底)，

(1)若函数9(久)是(1,+8)上的增函数，求k的取值范围.

(2)若对任意的x>0,都有f(久)<%+1,求满足条件的最大整数k的值.

题型4指对分离与不分离

既含有指数函数同时又含有对数函数题目，也就是所谓的"指对混合型"。我们一般通过适

当变形，一分为二，指对分离，以其转化为两个可掌控的特殊函数进处理。适当变形，化归

转化，可以掌控，是解决问题的关键。

【例题4](2022春四J11遂宁•高三射洪中学校考阶段练习)已知函数/(%)=e，.

(1)讨论函数gO)=—x—a的单调性;

Q4

(2)证明：/(%)+Inx+->^.

【变式4-1]1.(2021秋•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)已知/⑺=a

-旭+1.

a

(1)a=l时,求/(久)的单调区间和最值;

(2)①若对于任意的xe(0,+8),不等式,(幻2旦产恒成立，求a的取值范围；②求证:

ex-1—2y/x—Inx+->0

【变式4-1】2.(2022年高三压轴解)已知函数人吗=喈(k为常数，e=2.71828…是自

然对数的底数)，曲线y=/。)在点(1/(1))处的切线与%轴平行.

⑴求如勺值;

(2)求/■(%)的单调区间;

⑶设g(x)=Q2+x)[(x),其中广。)为/(%)的导函数.证明:对任意久>0,g(x)<1+

e~2

【变式4-1】3.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(%)=f%2—ln%+%+l,g(%)=a/

+^+ax—2a—1,其中aeR

(1)若a=l,其函数。(刀)在[1,3]的值域;

(2)若对任意的久e(0,+8),5(%)>广(x)恒成立，求正实数a的取值范围.

【变式4-1]4.(2022・全国•高三专题练习)已知函娄好(久)=/—久2

(1)令。(久)=/(%)-ax+|(x2-a2),若xN0时，g(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当x>0时.证明:/(x)—ex>x\nx—x2—x+l

题型5凹凸翻转

岁型重点

证明不等式问题中有一类不等式形式复杂，由即首先知道两个函数(其中一个常常是对数函

数与多项式函数的组合，另一个则是指数函数与多项式函数的组合)组合而成，我们往往指

对分离，然后研究函数的图像，两个函数图像凹凸性刚好相反，称凹凸反转，这个名词非常

形象的阐述了这类题目的解题思想。

问题1：若F(x)>0对XGD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))

情况①：转化为f(x)>g(x),通过分别求出两个函数的最值，若f(x)min>g(x)max,则问

情况②：转化为f(x)>g(x),通过分别求出两个函数的最值，若f(x)min=

f(x1)>g(x)max=g(x2),则问题得证。

问题2:若F(x)20对xwD恒成立(其中F(x)=f(x)-g(x))转化为f(x)>g(x),

通过分别求出两个函数的最值，若f(x)min>g(x)max,且f(x)min=f(x0)=g(x)max=

g(x0)则问题得证。

凹凸反转的局限性：解法局限性一:不涉及"单调构造”

通过下文介绍的方法步骤，一定可以排除整体单调的函数组合。但是单调函数的组合有时也

可以通过"最大值小于最小值”的方式说明问题，而且单调函数的组合，如果真构造成功了C

下图)，严格来说也属于“凹凸反转"，

(1)若/(X)<g(x)恒成立，求实数m的取值范围；

(2)求证：当x>0时，e*+(2：)x-i21nx+1.

【变式5-1]1.(2019•天津红桥•统考一模)已知函数f(X)=ln(e'+fc)(k为常数)是实

数集R上的奇函数，其中e为自然对数的底数.

(1)求k的值；

(2)讨论关于x的方程如鉴=%2-2e%+爪的根的个数.

【变式5-1】2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=xe、Tnx,ln2«0.693,粕

，1.648均为不足近似值.

(1)当久时，判断函娄好(X)的单调性；

(2)证明：当x>0时，不等式f(x)>以恒成立.

【变式5-1】3.(2022•河北衡水•河北衡水中学校考一模)设函数f(x)=lnx-e」3g(久)

=a(%123—1)—1.

(1)判断函数y=/(%)零点的个数，并说明理由；

(2)记h(x)=g(x)-/(%)+之宇，讨论%(%)的单调性；

入e

(3)若/'(x)<。(久)在(1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

【变式5-1]4.(2022春•高三课时练习)已知函数了(久)=ex-a-ln(x+a).

⑴当a=小寸，求f。)的单调区间与极值；

(2)当也1时,证明：/(%)>0.

1.(2022・四川•四川师范大学附属中学校考二模)已知函数/"(x)=e-a