等腰三角形与直角三角形（含勾股定理）原卷版-2024年中考数学试题分类汇编

等腰三角形与直角三角形（含勾股定理）（24题）

一、单选题

1.（2024・四川巴中•中考真题）如图，在中，。是NC的中点，CE工AB,BD与CE交于点、O,且

BE=CD.下列说法错误的是（）

A.2。的垂直平分线一定与42相交于点E

B.NBDC=3NABD

C.当£为中点时，“8C是等边三角形

ca

D.当E为48中点时，产二=1

^^AEC4

2.（2024・四川眉山・中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽

的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将

这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

1

3.（2024・四川巴中•中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深

几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即/C=5,DC=\,BD=BA,则8C=（）

4.（2024•四川广元•中考真题）如图①，在中，//C8=90。，点尸从点/出发沿以lcm/s

的速度匀速运动至点8,图②是点尸运动时，尸的面积y（cn?）随时间x（s）变化的函数图象，则该

三角形的斜边的长为（）

A.5B.7C.3亚D.2月

5.（2024•四川南充•中考真题）如图，已知线段48,按以下步骤作图：①过点3作3cl43,使

BC=；AB,连接NC；②以点C为圆心，以5c长为半径画弧，交/C于点。；③以点/为圆心，以NO

长为半径画弧，交48于点£.若AE=mAB,则加的值为（）

A.B.JlzlC.V5-1D.V5-2

22

6.（2024•山东泰安•中考真题）如图，RtZX/BC中，ZABC=90°,分别以顶点4,C为圆心，大于1/C

的长为半径画弧，两弧分别相交于点/和点N,作直线分别与8C,4C交于点E和点尸；以点/为

圆心，任意长为半径画弧，分别交48,/C于点a和点G,再分别以点〃，点G为圆心，大于;HG的长

为半径画弧，两弧交于点P,作射线北，若射线虫恰好经过点E,则下列四个结论:

2

®ZC=30°；②个垂直平分线段防；③CE=2BE；④工的=4取48c•

O

其中，正确结论的个数有（）

2个C.3个D.4个

7.（2024・山东烟台•中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

二、填空题

8.（2024・辽宁•中考真题）如图，四边形/BCD中，AD//BC,AD>AB,AD=a,48=10.以点A为

圆心，以48长为半径作图，与8c相交于点E,连接以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与

EA,EC相交于点N,再分别以点N为圆心，大于;"N的长为半径作弧，两弧在/ZEC的内

部相交于点P,作射线耳，与工。相交于点尸，则尸。的长为（用含”的代数式表示）.

9.（2024・吉林・中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，

其示意图如图②，其中48=48、于点C,3C=0.5尺，B'C=2尺.设/C的长度为x尺，可

列方程为.

3

,______________________Q

T诗文：波平如镜一湖面，半尺高

处生红莲，亭亭多姿湖中立，突

遭狂风吹一边。离开原处二尺

远，花贴湖面象睡莲。.

图①图②

10.（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40。和50。，其三边上分别有一

个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40。和50。的直角三角形，再分别以所得到

的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到

的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正

方形的面积和为.

图①图②图③

11.（2024•甘肃兰州•中考真题）如图，四边形/5CD为正方形，△4DE为等边三角形，EFLAB于点F,

若/。=4,贝1」石尸=

12.（2024•四川资阳•中考真题）如图，在矩形/BCD中，AB=4,AD=2.以点A为圆心，ND长为半

径作弧交于点E,再以N8为直径作半圆，与应交于点尸，则图中阴影部分的面积为.

4

13.（2024・四川雅安•中考真题）如图，在“3C和△4DE中，AB=AC,ZBAC-ZDAE=40°,将△4DE

绕点/顺时针旋转一定角度，当4。18c时，/R4E的度数是.

14.（2024•江苏常州•中考真题）如图，在中，/4CB=90。,AC=6,2c=4,。是边/C的中

点，E是边BC上一点,连接AD、DE.将ACDE沿OE翻折，点C落在AD上的点尸处，则CE=.

15.（2024•山东潍坊•中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形N3C的顶点A的坐标为（0,4）,点反C

均在x轴上.将&4BC绕顶点A逆时针旋转30°得到△/3'C',则点C的坐标为.

16.（2024•四川遂宁•中考真题）如图，在正方形纸片/BCD中，E是42边的中点，将正方形纸片沿EC

折叠，点5落在点尸处，延长。尸交4D于点。，连结"并延长交CD于点尸.给出以下结论：①AAEP

为等腰三角形；②尸为8的中点；③“尸:尸尸=2:3；@cosZDCQ=~.其中正确结论是.（填序

号）

5

三、解答题

17.(2024•江苏常州•中考真题)如图，B、E、C、尸是直线/上的四点，AC、DE相交于点G,AB=DF,

AC=DE,BC=EF.

(2)连接AD,则40与/的位置关系是

18.(2024•湖南长沙•中考真题)如图，在RQ48C中，ZACB=9Q0,48=2石，AC=2,分别以点力,

2为圆心，大于:的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N,作直线分别交/A8c于点。，E,

连接CDAE.

(1)求CO的长；

⑵求A/C£的周长.

6

19.（2024•湖南长沙•中考真题）如图，点C在线段AD上，AB=AD,NB=ND,BC=DE.

D

（1）求证：△/BC0△/£>£；

⑵若4/C=60。，求//CE的度数.

2

20.（2024•青海•中考真题）（1）解一元二次方程：x-4x+3=0；

（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长.

7

21.（2024•甘肃兰州•中考真题）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法,

正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1,他用木条能快速画出一个以点/为顶点的直角，具体作法如

下：

①本条的两端分别记为点N,先将木条的端点M与点/重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位

置记为点8,连接42；

②木条的端点N固定在点2处，将木条绕点5顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点

B,C不在同一条直线上）；

③连接C3并延长，将木条沿点C到点3的方向平移，使得端点〃与点5重合，端点N在C5延长线上的

落点记为点D；

④用另一根足够长的木条画线，连接AC,则画出的/DNC是直角.

操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2,BA=BC,请画出以点N为顶点的

直角，记作/D/C；

推理论证：（2）如图1,小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：

证明：;AB=BC=BD,

:.AABC与AABD是等腰三角形.

ZBCA=ZBAC,ZBDA=ZBAD.（依据1）

NBCA+ABDA=ABAC+ABAD=ADAC.

ADAC+NBCA+ABDA=180°,（依据2）

:.2ZDAC=180°,

ADAC=90°.

依据1：;依据2：；

拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法

可以减少误差.如图3,点O在直线/上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以。为顶点的直角，

记作NPO。，使得直角边。尸（或在直线/上.（保留作图痕迹，不写作法）

8

A

图2

22.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，点。、£分别是等边三角形力3C边3C、/C上的点，且BD=CE,

BE与AD交于点F.求证：AD=BE.

23.（2024•山东泰安•中考真题）如图1,在等腰Rt4/BC中，ZABC=90°,AB=CB,点。，£分别在

AB,C8上，DB=EB,连接NE,CD,取4E1中点尸，连接叱.

D