第03讲解直角三角形（6大题型）-2024-2025学年北师大版九年级数学下册同步训练（含答案）

第03讲解直角三角形

学习目标

课程标准学习目标

能用锐角三角函数解直角三角形，能1.掌握直角三角形的边角关系.2.能够利用直角

用相关知识解决一些简单的实际问三角形的边角关系求直角三角形中的其他元素.

题.3.能够构造直角三角形求线段的长或角的大小.

思维导图

MBA

知识清单e知识点一：解直角三角形

题型01已知两边解直角三角形

［题型02已知一个锐角和斜边解直角三角形

:题型03构造直角三角形蝌E直角三鼠~

:题型04解直角三角形在综合问题中彘用

、题型05解直角三角形在实际问题中的应用

、题型06构造直角三角形求解不规则图形的数据

03知识清单

知识点一：解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：乙4+乙8=90。；

②三边之间的关系：。2+/=02;

③边角之间的关系：

乙A的对边a&的邻边b,._乙4的对边a

siib4一,cosA=

斜边c斜边「③一乙A的邻边b

试卷第1页，共20页

（Q,b,。分别是乙4、乙B、的对边）

【即学即练】

z5=90°,AA=a,45=4,则4c的长是(

4

C.D.4tana

smacosa

2.在RtZ\/BC中,ZC=90°,AC=5,ZA=a,那么5C的长是（）

5B.工

A.C.5tan<7D.5sina

smacosa

12

3.在RtZ\/BC中,/C=90。,cosZ=a,%。=5，则AB的长等于.

4.在RtZMBC中，ZACB=90°,已知和6,那么c=—.

5.在RtZk/BC中，ZC=90°,AB=4,8c=2百，贝！Jcos,=

6.在RtZUBC中，ZC=90°,a、b、c分别是N4NB、/C的对边，ZB=6Q°,a=4,

解这个直角三角形.

04题型精讲

题型oi已知两边解直角三角形

例：

7.在中，ZC=90°,AC=4i,8C=亚，则的度数为()

A.30°B.45°C.60°D.75°

8.在Rt448C中，ZC=90°,c=4,々=26，解这个直角三角形.(NC所对的边为c,

/-A所对的边为a)

9.在△NBC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,则//的余切值为.

10.(1)计算：^2-cos45°-sin260°+tan45°

(2)在Rt44BC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,求//的余弦值和正切值.

11.(1)计算：tan450-sin30°cos600-cos245°；

试卷第2页，共20页

(2)如图，在中，ZC=90°,AC3，BC=46,解这个直角三角形.

BC=12,求sin4cos/与tan/的值.

B

AC

13.已知在RtZ\/8C中，ZC=90°,a,5c分别为N4/B,NC所对的边，由下列条件解直

角三角形.

(1)已知a=20,c=20A/29求NB.

(2)已知。=30,4=60。，求Q.

题型02已知一个锐角和斜边解直角三角形

例：

14.在RtZiNBC中，ZC=90°,a,b,c分别为/4/5,/C的对边，c=8百，乙4=30。,

解这个直角三角形.

15.在RtZ\48C中，ZC=90°,ZB=a,48=5,则/C的长为（）

A.5tancrB.-------C.5cosaD.5sini

cosa

4

16.如图，在RtZ^45C中，ZC=90°,45=15,cos5=-,则4C的长为.

试卷第3页，共20页

17.在△4BC中，ZC=90°,N8=13,tanA=—,则8c的长为

12—

18.在RtZ\48C中，已知NC=90。，NA、NB、NC的对边分别为服从c,且

c=30,乙4=60。，解这个直角三角形.

12

19.如图，在△/8C中，ZC=90°,sinA=—,AB=26.求△4BC的周长.

20.在RtZX/BC中，ZC=90°,N4NB、NC所对的边分别为小6、c,根据下列条件:

c=8,NN=60。，求出直角三角形的其他元素.

题型03已知锐角和直角边解直角三角形

例：

21.在RtZX/BC中，NC=90o,NN=3（F,/C=3g,解这个直角三角形.

4

22.在△4BC中，ZABC=90°,若ZC=10,sinN=g,则42的长是（）

A.4B.6C.8D.10

12

23.如图，在中，ZC=90°,AC=24,cosA=—,贝|8C=

24.在RM/BC中，ZC=90°,SC=12,tanA=y,则cosB=.

25.在RtZ\48C中，ZC=90°,b=5,ZB=60°,解这个三角形.（自己画图）

26.如图，在RtZ\/8C中，ZC=90°,ZA=45°,BC=2,解这个直角三角形.

试卷第4页，共20页

A

(2)如图，在Rt448C中，ZC=90°,BC=12,tan5=^-,求48的长及NN的余弦值.

28.已知在直角△N2C中，ZC=90°,osA=—,AC=26,求力B和大小.

C2

AC

题型03构造直角三角形解非直角三角形

例：

29.课本再现

A

(1)在/XABC中，ZC=90°,cosA=—,AC=4y/3,求8c的长；

2

拓展延伸

⑵在"BC中，//为锐角，cosA=—,AC^4y/3,AB=5,求"BC的面积.

2

30.已知在△NBC中，44=60。，AB=l+也,AC=2,则NC=()

A.45°B.75°C.90°D.105°

31.如图，在△/8C中，乙4=30。，AC=2y/3,tanB=—,则48的长为()

2

试卷第5页，共20页

B

A.2+273B.3+gC.4D.5

32.如图，在△NBC中，ZB=45°,AB=亚,BC=C+\,则边NC的长为.

33.如图，△NBC的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则

34.在ZX/BC中，N8=60。,NA4C=75。,BC边上的高N。=3,则BC=

][5

35.如图，40是△N8C的中线，tanB=-,cosC=—,AC=y/2

52

(1)8C的长；

(2)NADC的正弦值.

36.如图，在△/8C中，/4=30。,/3=45。,8。=3拒.

试卷第6页，共20页

(1)求NC的值.

⑵求△/BC的面积(结果保留根号)

题型04解直角三角形在综合问题中的应用

例：

37.如图，以口488的顶点8为圆心，4B长为半径画弧，交BC于点E,再分别以点A,

E为圆心，大于:/£的长为半径画弧，两弧交于点尸，画射线8r，交/。于点G,交CD

的延长线于点

(1)由以上作图可知，/I与/2的数量关系是

(2)求证：CB=CH

(3)若AB=4,AG=2GD,NABC=60。,求△助的面积.

38.如图，在矩形ABC。中，£为对角线8。上一点，连接CE,过点E作跖，CE交AD

延长线于尸，若tanN4D8=2,则黑的值为()

D.2亚

39.如图，点E是矩形ABCD的边CD上的一点,ABCE沿BE折叠为4BFE,点、F落在AD

若导”u=(

上,)

试卷第7页，共20页

AFD

D.2

2

40.如图，在矩形纸片中，点E在上，将矩形/BCD沿着CE折叠，使得点8的对应点

落在/。边上的点尸处，连接CF,G为CD的中点，连接8G交C£、C户于点河、N两点.

(1)若AB=6,AE=2,则/4FE的度数为.

(2)若BM=BE,贝！|sinN4也值为.

4

41.如图，在平面直角坐标系xC?y中，直线了=-]X+8与x轴交于点A,与了轴交于点

8.动点尸、。分别从。、3同时出发，其中点P以每秒4个单位的速度沿08向终点8运动,

点。以每秒5个单位的速度沿用1向终点A运动.设运动时间为/秒.

⑴填空：AB=；OP=；BQ=(用t的代数式表示);

(2)连结尸。，若△403和以2、尸、。为顶点的三角形相似，求/的值；

⑶连结NP、OQ,若求t的值；

42.综合探究

己知在矩形中，AB=2,BC=2拒,过点C作对角线NC的垂线/,点E为直线5c

试卷第8页，共20页

上一点，过点£作收，4E,交直线/于点E

⑴如图（1）所示，当点尸在4D的延长线上时，NAFE=_

⑵如图（2）所示，过点尸作尸G1.BC的延长线，垂足为点G,请写出3E与CG的数量关系,

并说明理由.

（3）连接。尸，当尸是等腰三角形时，求3E的长.

43.综合与实践

【问题情境】

在数学活动课上，老师提出这样的一个问题：如图1,四边形/8CD中，

乙4=90°,ZC=45°,BD平分//DC,试说明线段AD,AB和C。之间的数量关系.

图I

【初步探究】

（1）针对老师提出的问题，小敏和小捷两位同学给出了不同的思路：

小敏：如图2,从结论的角度出发：在CD上截取4。=/。，连接48,

小捷：如图3,从2。平分这个条件出发，将ABOC沿2。翻折，即：延长线段D4

到点C使DC=OC,……；

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；

【类比探究】

（2）如图4,ZUBC中，44=90。，平面内有点。（点。和点A在2C的同侧），连接

DC,DB,ZD=45°,ZABD+2ZABC=180°,猜想线段/民8。,CD之间的数量关系，并说明

理由.

【学以致用】

试卷第9页，共20页

（3）如图5,在（2）的条件下，若//8。=30。,/8=2,请直接写出线段力。的长度.

题型05解直角三角形在实际问题中的应用

例：

44.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形N8C,其中

AB=AC=25cm,ZABC=a,则高/。为（）cm.

A.------B.50coscC.25tan«D.25sina

tana

45.如图，已知N/C8=90°,AC=10Qm,ZB=30°,则2,。两地之间的距离为（）

D.』

A.100V3mB.50V2mC.50Gm

46.如图有一直角边为3和4的直角三角形,现欲在该三角形中裁出一个面积最大的正方形,

A.裁法一所得的正方形面积最大

B.裁法二所得的正方形面积最大

C.裁法一与裁法二所得的正方形面积均不是最大值

试卷第10页，共20页

D.裁法一与裁法二所得的正方形面积相等且面积均为最大值

47.小明在主题公园游玩时发现某个项目有三个巨大的正六边形广告牌，其简化图如图1所

示，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线/上.两侧广告牌不动，如图2所示，将中间

广告牌抽出并重新摆放后，其中，中间广告牌的上下两条边与直线/平行，有两边分别经过

两侧广告牌的一个顶点.则图2中：中间广告牌的中心到直线/的距离为—（结果保留根

号）.

2.其中椅背是双曲线＞=勺彳＞0）的一部分，椅面2。是一条线段，点3（20,32）,沙发

腿DELx轴、3c与x轴夹角为1.请你根据图形解决以下问题：

6(>cfn

长()\FCEx

图I图2

(1)k=；

(2)过点/作/尸_Lx轴于点尸.已知C尸=4cm,DE=40cm,tana=4,tanZ>=5.则/

点坐标为.

49.

课题《杠杆原理与相似三角形》

杠杆原理：也称为“杠杆平衡条件”，杠杆原理是几何学在物理学的体现.

相关概念：支点：杠杆绕着转动的固定点；动力：使杠杆转动的力；阻力：阻碍杠杆转动的

力；动力臂：从支点到动力作用线的距离；阻力臂：从支点到阻力作用线的距离.

基本模型：当一个力通过一个支点施加在杠杆上时，通过作图，可以观察到两个相似的三角

试卷第11页，共20页

形.

如图，因为NG4O=ZDBO=90。，ZCOA=ZDOB,

所以A/OCSZOD,

则有（D________

又因为4C•4=506（消耗的功少=尸。一致），

可得（ID（片为阻力的反作用力）.

即，动力x动力臂=阻力*阻力臂.

得出结论：要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等.

⑴填空：（I）_、（II）_；

（2）如图，小明用实心钢管制作了一个自带支点杠杆4-0-8,。为支点，

ZA0B=90°.AO=30cm,BO=90cm,4D方向上因撑起一物体产生450牛顿（国际单

位制中，力的单位）的阻力片，8C方向上施加一个力耳使杠杆平衡，AD//BC.

①请用“动力臂”与“阻力臂”概念构造相似三角形，并证明这些三角形相似;

@ZOBC=30°,运用“杠杆原理”相关知识，直接写出其的大小.

50.综合与实践.

【实践背景】夜间在高速公路上行车时，对向来车的灯光易引发眩光现象，进而导致交通事

试卷第12页，共20页

故，因此高速公路设置了防眩板遮挡对向车辆灯光.

【数学建模】如图是一条高速公路的俯视示意图，中央隔离带的中轴线垂直平分每块防眩板,

防眩板宽度是0.2米（尸。="N=0.2米）.一辆汽车车灯位于点A时，车灯发出的光线/C

分别经过防眩板尸。，的点。和点光线经过防眩板尸。的点尸，AB1DC,道

路/3=8米，光线4D和行驶路线的夹角/Att4=11.4。.（参考数据：sinl1.4°«0.19,

tan11.4。yg）

【解决问题】

（1）AD的长度是多少米？

（2）防眩板尸。，AW间的距离尸M是多少米？

51.为了了解登高云梯消防车的工作情况，某学习小组进行了如下研究:

课题某种登高云梯消防车的工作情况

如图①.是某种登高云梯消防

车，图②是其工作示意图.臂

架由48-BC-CD组成（其中

CD可伸缩，DE为消防员站

IVItC

素材的篮筐），点A,B,C均为旋

转点（48段绕点A旋转，BC(/)/:

段绕点B旋转，CD段绕点。旋

转，且所有旋转角都不超过

180°）.点A距离地面3m.

试卷第13页，共20页

状态状态一状态二

图示

ZHZJHZ____

①4B,BC,。长度同状态一数据

AB=10m,BC=8m,

具体②消防车悬臂的角度(NFAB)不得超过60。

CZ)=12m,/FAB=45。,

情况③某日一栋写字楼发生火灾，着火点距离地面

ZABC=165°,CD平行地面

33m.

(2)消防员是否能够实施最佳救援(最佳救援

(1)求CD段与地面之间的距

任务是指DE与着火点处于同一水平位置)，若不

离；

能，请求出CZ)段至少需要再加长多少米？

题型06构造直角三角形求解不规则图形的数据

例:

52.一块四边形空地如图所示,求此空地的面积(结果精确到O.Oln?).

AB=1,BC=9,CD=3,贝!］四边

C.52D.54

试卷第14页，共20页

54.如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发

且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时,

点E停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）

A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小

55.如图，在矩形/BCD中，AD=26，AB=5,M是CD上的一点，将沿直线

出"对折得到若AN平济NMAB,则CN的长为（）

A.2B.45C.V7D.3

2

56.如图，在四边形/BCD中，ZB=ZD=90°,NBAD=60。,48=4,AD=5.则NC的

长的值为.

57.如图，某高为60米的大楼43旁边的山坡上有一个“5G”基站DE,从大楼顶端A测得基

站顶端E的俯角为45。，山坡坡长CD=10米，坡度;1：6，大楼底端3到山坡底端C的距

离BC=30米，则该基站的高度。E=米.

试卷第15页，共20页

45°

E

B

勿■勿勿勿勿勿勿勿■勿勿M

58.江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂

直于地面的灯柱。/与灯杆N5相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩,

在地面上的照射区域OC长为8m,从0、C两处测得路灯B的仰角分别为乙80c和N8C。,

4

且tan/80c=4,tanzSCO

3

（1）求路灯3到地面的距离;

（2）若40/8=120。，求灯柱CM的高度（结果保留根号）.

强化训练

（建议用时45分钟）

59.如图所示，在矩形48c。中，BC=2AB,点、M,N分别在边8C,AD±..连接"N,

将四边形CMND沿翻折，点C,。分别落在点A,E处.贝ijtan/4跖V的值是（）

C.百D.V5

试卷第16页，共20页

60.如图：已知大矩形宽6cm,小矩形宽3cm,小矩形在平移过程中保持/4BC=60。，则

重叠部分的四边形的面积是（）cm2.

A.12^/3B.12C.6D.6g

61.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦

图如图，在由四个全等的直角三角形（△加£,^ABF,ABCG,△CD"）和中间一个小

正方形EFG”拼成的大正方形48CD中，ZABF>ZBAF,连接BE.设=

NBEF=B,若正方形斯GH与正方形/BCD的面积之比为1：",2tana=tan2分，则"=

()

ICM2CC2

Beijing

August20-28,2002

A.2B.3C.4D.5

62.如图，在Rt/i/BC中，ZC=90°,AB=2,BC=\,延长C4到点。，使40=48,连

接BD.利用此图，可算出tan75。的值是（）

AT)4

63.如图，在四边形/BCD中，连接AC,BD,BD=BC,——=-,ZADB+2ZBDC=180°若

BC5

sinZC5Z)=|,Cr)=Vw,贝|/C=

试卷第17页，共20页

c

64.如图，在矩形N8CZ）中，48=2右,/。。/=30。，点下在对角线/<:上从点/运动到点

C,连接。尸，作RtZXDE尸，使n0£厂=90。,40匹£=30。，且点E和点/位于。尸两侧，则

BC=a，如果解这个三角形有2解，则。的取值范

围是.

66.如图，己知在平面直角坐标系xQy中，点/在x轴的负半轴上，点3在了轴的负半轴

上，tan/2BO=4,以为边向上作正方形.若图象经过点C的反比例函数的解析

式是y=L则图象经过点。的反比例函数的解析式是

67.如图，已知在△4BC中,尸是BC上一点，连接/P使得=

⑴求证：AC2=PCBC;

试卷第18页，共20页

4

(2)若N8=/C=5,sin/.ABC=—,求tan//PC.

68.已知，在△4BC中，AB=2.

(1)如图①，若乙4=120。,/C=5,则5c的长为：

(2)如图②，若/胡。=135。,乙8=30。,。为8(?中点，连接/D,则/DZC的度数为

(3)如图③，若/3=45。,/。=60。，则A/BC的面积为:

A

图④

(5)如图⑤，若N8=45o,/C=22.5。，则8c的长为

69.在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米.同时两名同学测量一

棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上.

试卷第19页，共20页

(1)如图1:小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量

得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树力B的高度.

(2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长斯为8米,

坡面上的影长尸G为4米.已知斜坡的坡角为30。，则树的高度为多少？

试卷第20页，共20页

1.c

【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义.

根据余弦的定义解答即可.

【详解】解：在中，NB=90。,

/AB

cosA=-----,

AC

,,,ZA=a^4B=4,

..AB..4

cosAcosa

故选：C

2.C

【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题的关键.

【详解】解：在RtZ\45C中，ZC=90°,AC=5fAA=a,

BC=AC-tanA=5tana,

12

【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形.从条件入手，熟知三角函数各边与正弦

余弦的关系是解决本题的关键.

12

【详解】解:,.・NC=90°,COS/=R

・•・设4c=12),43=13%,则BC=5x,

•・・4C=5,

/.12x=5,BPx=—,

12

.•.AB=13x2=%

1212

答案第1页，共57页

sin5

【分析】根据正弦的定义得到sin8=L即可得到用sinB和6表示c.

C

【详解】解：•.•//(%=90。,

.nb

smz?=—,

c

b

..c=-----.

sin5

【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比

值.

VV3

2

【分析】根据//的正弦求出44=60。，再根据30。的正弦值求解即可.

【详解】解：如图所示，

-.ZA=60°,

,A6V3

••cos—=cos30=——•

22

故答案为：旦

2

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30。、45。、60。角的三角函数值是解题的关

键.

6.Z-A=30°,b=4,c=8

答案第2页，共57页

【分析】本题考查了解直角三角形，含60度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角

关系是解题的关键.

先利用直角三角形锐角互余求出再用的正切求出6,再用的余弦求出c.

【详解】解:vZC=90°,//=90。-ZB=90。-60。=30。.

由tan8=一知：b-atan8=4tan60°=4G,

a

,ci,a40

由cos5=一知，c=------=------=8.

ccosBcos60

*'•Z-A—30°,b=4A/3，c=8.

7.A

【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形边角关系是解题的关键.

先根据正切三角函数的定义求得tanB=江=里=也，再根据特殊角的三角函数值求出

SCV213

角度即可.

【详解】解：在中，

•••ZC=90°,AC=不，BC=后,

V7_V3

「AC

tanB------

BC而F

Z5=30°,

故选：A.

8.6=2//=60。"=30。

【分析】本题考查了解直角三角形以及勾股定理.利用勾股定理可求出b的值，结合锐角三

角函数可得出N/=60。，进而可得出

【详解】解：在中，NC=90。，。=4,。=2百，

.7(~23a273V3

••b=7c-a=2,sinZ=_=-----=——,

。42

・•.//=60。，

.*.Z5=90°-30°=60°,

故6=2々=60。"=30。.

答案第3页，共57页

【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记

锐角三角函数的定义是解题的关键.

【详解】解：在△48。中，ZC=90°,AC=2,BC=3,

Ar7

・••24的余切值会=：.

nC3

2

故答案为：—.

io.(1)4

4

/、125

(2)—，—

1312

【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，对于(1),根据

cos45°=—,sin60°—,tan45°=l,再计算即可;

22

对于(2),先根据勾股定理求出45,再根据余弦，正切的定义解答.

【详解】(1)原式

=i-3+i

4

_5

(2)根据勾股定理，得==3

—,AC12ABC5

所以cosA==—,tanA==——.

AB13AC12

11.(1));(2)N/=60。，NB=30。，AB=2y[2

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解直角三角形，熟练掌握以上知识点

并灵活运用是解此题的关键.

(1)代入特殊角的三角函数值，进行计算即可得出答案；

(2)由直角三角形的性质及解直角三角形的知识即可得出答案.

【详解】解：(1)原式=l-LxL-(1)2

222

42

=4；

(2)解：在中，ZC=90°,AC=6,BC=巫,

答案第4页，共57页

,BCr-

'：tanAA=----=v3,

AC

ZA=60°f

/.ZB=90°-ZA=90°-60°=30°,

AB=2AC=2近.

.12,5,12

12.sinAZ=—,cosA=——,tanA=—.

13135

【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理求出/2=13,再根据

正弦，正切，余弦的定义进行求解即可.

【详解】解：•.•在中，ZC=90°,AC=5,3c=12,

•••AB=yjAC2+BC2=VF+1F=13，

••.sin八型上，c°s/=江tan八型12

AB13AB13ACT

13.⑴4=45°

(2)a=1573

【分析】本题主要考查三角函数的定义，熟练掌握正弦以及余弦的定义是解此题的关键.

⑴由小八会去即可得出答案;

(2)由sin4=3,代入数值计算即可得出答案.

C

【详解】⑴解：a=20,c=20V2,ZC=90°,

a20V2

cosBn=—=-----j==——,

c20V22

Z^=45°；

(2)解：・.・c=30,ZA=60°f

sm•/,=—a,

c

a_6

.*—，

302

a=15A/3.

14.见解析

【分析】本题考查解直角三角形，利用互余关系求Z2,特殊角的三角函数值求出。)的值.

【详解】解：在RtA43C中，ZC=90°,N/=30。，c=8百，

/8=60°,a=c-sinA=8^/3x—=4>/3,b=c-cosA=8^3x=12.

答案第5页，共57页

15.D

【分析】本题主要考查了解直角三角形.根据正弦函数的定义即可求解.

【详解】解：在RtZXZBC中，ZC=90°,AB=a,AB=5,

•••AC=AB•sin8=5sina,

A

CB

故选：D.

16.9

【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理.利用三角函数求出5c的长，再利用勾

股定理求解.

【详解】解：在中，ZC=90°,

BC4

,**A.B=15,cosB==—

BA5f

：,BC=\2,

•，•AC=^AB2-BC2=A/152-122=9.

故答案为：9.

17.5

【分析】本题考查了解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键.在中，

根据锐角三角函数的定义可设3C=5x,则/C=12x,然后利用勾股定理求出N3=13x,从

而列出关于x的方程，进行计算即可解答.

【详解】解：在中，ZC=90°,tag=H=A，

・•・设5C=5x,贝|/C=12x,

22

AB=ylAC+BC=,02x)2+3)2=13%?

•・•/5=13,

・・.13x=13,

解得：x=\,

BC=5x=5,

故答案为：5.

答案第6页，共57页

18.AB=30°,6=15,a=156.

【分析】本题考查了解直角三角形的条件，在直角三角形的三条边和两个锐角这五个元素中,

若已知关于这些元素的两个独立条件，其中至少有一个条件是边，则此直角三角形可解.

【详解】解：在中，

vZC=90°,ZA=60°f

/.ZS=30°,

,/c=30,

6=c•cos^4=30x—=15,

2

/.tz=c-sin^4=30x=15^3.

2

19.60

【分析】本题考查了三角函数的比值关系，勾股定理解直角三角形等知识，熟练掌握三级函

数边的比值关系是解题的关键.

利用三角函数的比值关系列式运算出的长，在利用勾股定理求出/C的长度，即可求周

长.

【详解】

解：在中，ZC=90°,43=26,

.BCBC12

smAA=----=-----=——,

AB2613

・•・BC=24,

•1•AC=ylAB2-BC2=A/262-242=10，

.,.△/8。的周长=/8+/。+8。=26+10+24=60.

20.Z5=30°,b=4,a=443

【分析】本题考查了解直角三角形的问题.在直角三角形中,两锐角互余可求出第三个角/B,

之后再根据直角三角形中30。的角所对边是斜边的一半可得6的长，再利用勾股定理计算出

a.

【详解】解：,.,"=90。，C=8,44=60。，

答案第7页，共57页

A

c=8,

711O4

:.b=—c=—x8=4,

22

a=-\Jc2—b2=4^3•

21./B=6V,BC=3,AB=6

【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键，由

/。=90。,//=30。，得：/3=60。，进而根据三角函数的定义，求出力民5。的值.

【详解】解：•.・RtZXZBC中，/。=90。,//=30。,4。=3百，

・•.ZB=90°-ZA=90°-30°=60°,

•,ta小生

AC

■■BC=AC-ianA=3Atan30°=373x—=3,

3

・…江

AB

AC373A

AABR=------=—j=^=6

cosAV3

22.B

【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握正弦的定义是解题关

BC4

键.根据正弦的定义可知sin/=T=£,进而可得8c=8,然后根据勾股定理求解即可.

【详解】解：如下图,

答案第8页，共57页

上4

AC105

BC=8,

•••AB=dAC?-BC?=A/102-82=6.

故选：B.

23.10

【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键，在耳△48。中,

cos吸？边;根据cos/=W，求出再由勾股定理求解即可;

斜边AB

Ar12

【详解】解：中，・・・cos4=——=一,/。=24,

AB13

AB=26,

BC=YIAB2-AC2=10，

故答案为：10

12

24.—

13

【分析】本题考查了解直角三角形，根据正切函数，可得AC,根据勾股定理求得斜边AB

的长，然后利用三角函数的定义即可求解.

12

【详解】解：如图所示，在RM4BC中，ZC=90°,BC=12,taiL4=不

.BC12

..萧5

即u12

AC5

；./C=5.

由勾股定理，得

AB=y]AC2+BC2=13-

「BC12

cosB=----=——

AB13

12

故答案为：—.

答案第9页，共57页

25.^A=30o,a=BC=—,c=AB=^^-

33

【分析】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的

应用，准确计算是关键.根据三角形内角和定理求出N4,根据正切的定义求出2C,根据

含30度角直角三角形求出AB即可.

【详解】解:如图,

：.AA=180°-ZC-Z5=30°，

•；b=AC=5,

5h

:.a=BC=AC-tanAA=b-tan^°=—

3

■-c=AB=2BC=2a=X^-

3

26.ZB=45°,AC=2,AB=242

【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题

的关键.

先由直角三角形锐角互余求出48=45。，由“正切”求出4C=2,最后再运用勾股定理求出

AB.

【详解】解：,.•//=45。，ZC=90°

.­.NB=45°,

„AC

tanB=-----,

BC

AC=BC-tan5=2-tan45°=2,

vAB2=AC2+BC2=4+4=8,

AB=2V2，

■■.ZB=45°,AC=2,AB=141.

27.(1)26-1；(2)/8=13；cosN=\

【分析】本题考查了特殊角锐角函数值的混合运算，解直角三角形：

答案第10页，共57页

(1)把特殊角锐角函数值代入计算，即可求解；

(2)在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素.通过BC=12,

tan5=,即可求解.

【详解】解：(1)3tan30°-tan450+2sin60°

.V3.„V3

=3x------l+2x——

32

=V3-1+V3

=2百-1;

(2)vBC=U,tanB=—,

12

ACAC5

••瓦一五一E

.'.AC=5,

•••AB=S]AC2+BC2=13,

,AC5

cosA=-----=—

AB13