对勾函数、飘带函数的应用5种常考题型总结（原卷版）-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第一册）

对勾函数、飘带函数的应用5种常考题型总结

高频考点

题型1对勾函数在基本不等式中的应用题型4利用对勾函数解决恒成立有解问题

题型2与对勾函数有关的单调性问题题型5飘带函数

题型3与对勾函数有关的最值问题

解题策略

一、对勾函数

解析式y=ax+—(a>0,>0)y=ax+—(a<0,Z7<0)

XX

1y

-Lx

2jab72：@.

图像彳!I

OX-71°X°

—2Jab1l\.

2^ab

定义域(-oo,0)U(0,+oo)

渐近线y=ax,x=0

卜oo,U[2A/^K,+oo)

值域

奇偶性奇函数

0,、口]上是增函数，在

上是增函数，在在

在一0°，一卜,7J

J、NaJ

单调性

/rrr、

[~旧。是减函数,J—,+°°是减函数

。产J

【注】基本不等式办+222、办也b=2y[ab(ax>O,Z?x>0),当且仅当方=2时取到最小值，即》=b

XXXa

时，y=2y[ab

二、飘带函数

解析式y=ax--(Q>4,b>0)y=ax-—(Q<0,b<0)

XX

图像一

定义域(-oo,0)U(0,+co)

渐近线y=ax,x=Q

值域R

奇偶性奇函数

单调性在(-oo,0),(0,+oo)上是增函数在(-oo,0),(0,+oo)是减函数

三、对勾函数的一些妙用

笔者在教学中发现，二次函数和对勾函数有着天然的联系，但限于学时安排,多数教师讲对勾函数时着墨不多,

导致学生只知其“形”而不知其“神”，因此在处理含参的二次不等式恒成立、根的分布等问题时,缺少必要的手

段，只能“硬讨论”，又因其繁难，易挫败学生的学习积极性.若能转为对勾函数去处理，则可化繁就简，快速处理有

关问题.

1.什么是对勾函数？

形如y=x+>0)的函数叫作对勾函数淇图像和性质如图1所示:

2

k

函数y=x+—(fc>0)

定义域(—8,0)U(0,+oo)

值域(—8,—2Vfc]U[2Vk,4-oo)

奇偶性奇函数

单调性(—8,——V^,o)J

{o,Vk)l,(Vk,+oo)?

渐近线直线X=0和y=x

图1

说明：

1.函数y=ax+-{a,b>0)也叫作对勾函数，由于y=ax+-=a(x两者本质相同.

2.y-x+^(k<0)不是对勾函数，其图像如图2所示：

图2

2.对勾函数的一些妙用

(1)对勾函数在基本不等式中的应用

在均值不等式中,我们通常利用“一正二定三相等，，求最值，但当“三相等，，的条件不满足时，我们就可以用对勾

3

函数的单调性处理.

示例：求函数/(X)=X+?在区间(0,1］的最小值.

分析:由均值不等式，易得x+?24,当x=*即久=2时等号成立,故不满足取等的条件.如果用对勾函数,可以求

解.

解:由对勾函数性质可知/(x)=X+(在(0,1］上单调递减,故当久=1时/(x)min=5.

示例2：已知正实数满足x+y=1,求xy+2的取值范围.

41y

分析:可先由均值不等式求得xy的取值范围,再换元，结合对勾函数可求解.

解:由均值不等式可得,o<%y<(等?=*当x=y=：时取等号.

令孙=t,得对勾函数f(t)=t+：在区间(0』上单调递减，

所以，当t=衬/(t)min=*从而函数f(t)的值域为［?,+8),

即久丫+高的取值范围为［9,+8).

(2)对勾函数在二次不等式恒成立中的应用

示例3：若不等式炉+ax+1>0对任意xe(0,2］恒成立，求实数a的取值范围.

分析:本题只要函数最小值大于0即可，但分析单调性求最小值比较烦琐，如果分离参数化为对勾函数,可化腐

朽为神奇，快速求得结果.

解:不等式/+ax+l>0对任意久G(0,2］恒成立，等价于x+|>-a对任意工G(0,2］恒成立，记/(%)=%+士

等价于/'OOmin>-a.

由对勾函数的单调性知/(久)在区间(0,1］上单调递减,在区间［1,2］上单调递增，

所以，当x=1时JQOmin—2,故一a<2,解得a>—2.

示例4：已知/'(X)=x2+2(a-2)久+4,如果对任意久£［-3,1］,/(%)>0恒成立，求实数a的取值范围.

解析:本题是一个二次不等式在R的子区间［-3,1］上的恒成立问题,通常求其最值即可.

本题不妨做一个对比，分类讨论和化对勾函数.

4

解法1:分类讨论法“硬讨论”

结合对称轴X=—(a—2)与区间位置关系讨论函数单调性可得：

(—(a—2)<—3,_p.f—3工一(a—2)工1,—/—(a—2)>1,

［/(-3)>0,或匕<0,或上⑴>0,

解得a£。，或1Wa<4,或—T<a<1,二综合可得a的取值范围为(—，4).

解法2:分类讨论转为对勾函数

因为/+2(a-2)%+4>0对任意x€［-3,1］恒成立，

当光=0时,4>0,此时a£R.(T)

当x6［—3,0)时,原问题等价于x+：<—2(a—2)在［—3,0)上恒成立，

而对勾函数/(%)=久+：在区间(一8,—2］上单调递增,在区间［—2,0)上单调递减，

所以/(X)max=/(—2)=—4<—2(a—2),解得a<4.②

当xe(0,1］时,原问题等价于x+(4>—2(a—2)在(0,1］上恒成立，

而对勾函数/久)=x+?在区间(0,2］上单调递减,在区间［2,+8)上单调递增，

所以/(x)min=/(l)=5>-2(a_2),解得a>-

综合①②③可得，实数a的取值范围为(甘,4).

通过对比我们看到，两者都用到了分类讨论，法1分类讨论最后求并，法2分类讨论转对勾后求交.两种方法对

于培养学生缜密的思维，专注的计算都是不错的.其不同之处在于，后一种方法转化后是一个不带参数的函数,

计算相对简单，不易出错，虽然只是一点点小小的转变,但作用是显而易见的，这样学生能体会到“原来还可以

这样”的学习之乐，促进学生更深入地思考以求“变”，变方法，变思维的深度和广度.

示例5：若对任意的xG［—2,0］,使/+(1-a)x-a+2>0恒成立，求实数a的取值范围.

分析:本题如分类讨论过程繁杂，可分参化对勾函数处理.

解:因为%2+(1—d)x—a+2=x2+x+2—a(x+1),令%+1=t,te［—1,1］,

原问题即行一(a+i)t+2>0在tE上恒成立.

5

当t=0时,a€R.

当［-1,0)U(0,1］时，原问题等价于，

t+->a+1在(0,1］上恒成立，且t+-<a+1在［—1,0)上恒成立.

而对勾函数在［一1,0)和(0,1］都上单调递减，可解得a<2,且a>-4.

综上可得,—4WaW2.

3.对勾函数处理二次函数根的分布问题

示例6：方程/+(m+l)x+m-1=0有两个负根,求实数m的取值范围.

分析:二次函数根的分布问题，通常结合图像及韦达定理可求解.这里，我们也看看用对勾函数处理这些题目的

妙处.

侑>o,

解法1:因为方程久2+(m+l)x+m-1=0有两个负根，所以｛-(m+1)<0,解得m>1.

1m—1>0,

解法2:方程/+(爪+i)x+m-1=。有两个负根，等价于x+听■=-(m+1)有两个负根，

即横线y=-(m+1)与对勾函数y=乂+三^在(一8,0)上有两个交点.

数形结合可知,一(m+1)〈一27m一1,解得m>1.

图3

示例7：若函数/(x)=x2+mx+2在区间［1,3］上有两个不同的零点，求实数rn的取值范围.

P>0,

1<_™<3

分析:本题结合二次函数图像可得,力’

1/(3)>0：

6

可解得一日＜m＜-2vx稍显烦琐.

如果转为对勾函数,求解当不同.

解:原问题即久+嚏=-爪在［1,3］上有两根，记g(x)=%+-

2___

即对勾函数9(%)=尤+或与横线y=-6在［1,3］上有两个交点.

结合函数单调性可知,2鱼＜-m＜三,解得一苧W爪＜—2VI

点评:两法比较可看出，后一解法干脆利落，行云流水，一气呵成.

考点精析

题型1对勾函数在基本不等式中的应用

4

【例1】【多选】已知函数/(尤)=》+-，下面有关结论正确的有()

X

A.定义域为(-8,0)U(0,+8)B.值域为(-8,-4］U［4,+8)

C.在(-2,0)U(0,2)上单调递减D.图象关于原点对称

2

【变式1】函数了=x+—(x22)的最小值为()

X

A.2B.2拒C.3D.V2

【变式2］设xe［-2,0),则x+工的取值范围是

X

题型2与对勾函数有关的单调性问题

【例2】已知函数y=〃x),其中〃x)=x+?

(1)判断函数夕=/(x)的奇偶性，并说明理由;

7

（2）若函数在区间［1,+s）上是严格增函数，求实数。的取值范围.

【变式1】对勾函数是形如丁="+夕湖＞0）的函数，其中x为自变量，是一种类似于反比例函数的一般

双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数＞=x+£（左＞0）,在区间（0,+s）上的单调性是：在区间（。,五）上

单调递减，在区间（班,+8）上单调递增.

（1）若对勾函数/（切=》+：,根据函数单调性的定义证明/（》）在区间［2,+8）上单调递增；

（2）若对勾函数〃x）=x+：写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数〃x）的图象.

（3）已知对勾函数〃x）=x+g,k＞0,二次函数g（x）=-/+2x+l,设g（x）的最大值为若Vx＞0,

求实数人的取值范围

8

【变式2】已知(双勾函数)/(x)=x+—(a>0),(xe7?,x^0).

y

X

(1)利用函数的单调性证明/(x)在(0，6)，(6，+可上的单调性；

(2)证明/G)的奇偶性；

4

(3)画出g(x)=x+]xeR,XRO)的简图，并直接写出它单调区间.

【变式3】已知勾函数.=》+幺3>0)在(-哂-。)和3”)内均为增函数,在(一。,0)和(0,。)内均为减函

X

数.若勾函数/'(X)=X+LQ>0)在整数集合Z内为增函数，则实数(的取值范围为.

X

题型3与对勾函数有关的最值问题

【例3】因函数/(x)=x+'(/>0)的图象形状象对勾，我们称形如“/(X)=x+工(/>0)”的函数为“对勾函数”

XX

该函数具有性质：在(0,4)上是减函数，在(«,+8)上是增函数，若对勾函数〃x)=x+'(f>0)对于任意的

9

keZ,都有/■（4-；）</（左+；）,则实数/的最大值为.

【变式1】形如/■（xNx+qg〉。）的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在

仅,五）上是减函数，在（五,+可上是增函数.已知函数/（x）=x+?0<aW2）在［-2,-1］上的最大值比最小值

大l,贝!

2

9

【变式2]已知函数/(尤)=-4尤-8-----,XG[0,1],g(x)=x2-4mx-2m(m>1),若对于任意再e[0,1],

x—2

总存在使得/(xj=g(z)成立，则实数心的取值范围为()

A.T，21B.|',+00]C.[1,2]D.1,1

【变式3】【多选】已知函数〃尤）=了+?°>0）在［2,4］上的最大值比最小值大1,则。的值可以是（）

A.4B.12C.6-472D.6+4及

题型4利用对勾函数解决恒成立有解问题

【例4】设函数〃x）=x+L若士e匕3,使得力”（幻成立，则实数。的取值范围是

X|_2」|_2_

10

【变式1】因函数y=x+£(/>0)的图象形状像对勾，我们