对数与对数函数【12类题型】（解析版）-2025年高考数学题型重难点专项突破

热点专题2-5对数与对数函数

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年II卷第8题，5分从近四年的高考情况来看，对

2024年北京卷第7题，4分数运算与对数函数是高考的一

个重点也是一个难点，常与二

2024年天津卷第5题，5分

次函数、称函数、相数函数、

2023年北京卷第11题，5分(1)对数的概念及运算性质

三角函数综合，考查数值大小(2)对数函数的图象

2023年I卷第10题，5分

的比较和函数方程问题.在利(3)对数函数的性质

2022年I卷I卷第7题，5分用对数函数的图像与性质应用

上，体现了逻辑推理与数学运

2022年浙江卷第7题，5分

算素养.

模块一热点题型解读(目录)

【题型1］指数对数混合运算

【题型2】换底公式的应用

【题型3】对数函数的图象及应用

【题型4】对数函数过定点问题

【题型5］指对幕比较大小

【题型6】解对数方程或不等式

【题型7】对数函数模型的实际应用

【题型8】对数型复合函数的单调问题

【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题

【题型10］对数型复合函数的奇偶性问题

【题型11］反函数问题

【题型12］对数函数的综合问题

模块二核心题型•举一反三

【题型1］指数对数混合运算

基础知识

1,对数计算公式

M

⑴同底对数加减运算：log“M+log“N=loga(A/N)；logaM-logaN=logfl—

(2)底数和真数是乘方数时：logb"=—\ogb

ama

(3)对数恒等式：出唬*=%

,,1

(4)倒数式：log„^=------

log/

2、对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用赛的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数森的形式，使赛的底数最

简，然后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真

数的积、商、森再运算.

(3)指对互化：。&=^^06=1080"3>0,且存1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中

应注意互化.

1.化简下列各式：

⑴41g2+31g5-lgg；

log53

(2)21og32-log3^-+log38-5.

【解析】⑴原式=恒=^=恒(27)=馆(2、5)4=4.

5

(2)原式二210g32-(51og32-2)+31og32-3

=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.

2logs2

【巩固练习1】ftm(log62)+log62.log63+2log63-6()

A.-log62B.-log63C.log63D.-1

【答案】A

【解析】(Iog62)2+log62」og63+2k)g63—6砥2=iog62(k>g62+log63)+21og63—2

=log62+2log63-2=2(log62+log63)-log62-2

=2-log62-2=-log62

【巩固练习2］求值

⑴log6432-log2^--log31log5，

ZJOy

7

(2)Igl4-21g-+lg7-lgl8

3

(3)log2(log232+logj-+log436)

24

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

【答案】⑴-10；；(2)0；；(3)3；；(4)13

【解析】⑴原式=10g262510g25-210g32-310g53-2

=|x(-2)log95x(-3)log32x(-2)log53=-10x^x^|x^|=-10；

6lg2lg3lg5

(2)原式=lg(2x7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(3限2)=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7―21g3—lg2=0；

33

⑶原式=log?(5+log?-z+log??6?)=log2(5-log2-+log,6)=log,(5+log28)=log28=3;

(4)原式=^31og25+log25+|log25^(31ogs2)=y-31og5210g25=13.

【题型2】换底公式的应用

基础知识］

,.,log)

换底公式：=；(a>0,且aWl;c>0,且cWl;b>0).

log4

2.已知3°=2,3"=5,贝1|值2=,(用。，6表示)

【答案】

【解答】解：因为3a=2,3"=5,

所以a=log32,b=log35,«+Z?=log310,

,入logo2a

所以/g2=-------=------.

log310a+b

故答案为：-^―

a+b

3.已知7"=3,log72=/?,贝!Jlog4948=，（用a,b表示）

____a+4b

【答案】——

2

【解析】因为7"=3,所以log73=a,

44

又log’2=6,所以log4948=log72(3X2)=1log7(3x2)

4

=1(log73+log72)

=1(log73+41og72)

=1(a+4&).

一131

4.已知则一+—+—=

xyz

【答案】3

【解析】依题意，=log26,.y=log36,z=log46,

131131

则—+—+—=++=log62+31og63+log64=log6216=3.

xyzlog26log36log46

【巩固练习1】设lg2=a,lg3=6,

（1）用含力的式子表示logs18,形式为

（2）用含。，6的式子表示log630,形式为

a+2b/-、6+1

【答案】（1）--，⑵一-

l—aa+b

IIgl8lg(2x32)Ig2+lg32Ig2+21g3a+2b

【解析】（1）

51g5lg(10-2)lgl0-lg2lgl0-lg21-a

,”，，clg30lgio+lg3b+1

⑵log630.log518.A_.A__^„

32

【巩固练习2】设2"=3>=72,求一+一的值.

xy

【解答】依题意有x=k)g272,y=log372,-=log722,—=log723,

一xy

32

—i—=3log2+2log,？3=log8x9=1

xy7272

【题型3】对数函数的图象及应用

基础知识

对数函数的图象（底大图低）

a>l0<a<l

y

,X=1

\y=logaX」W，o).

图象0Kx

/^)

0

y=logoX

定义域(0,+℃)

值域R

过定点过定点(1,0),即x=l时，y=0

性质

当0<xVl时，y<0；当0V尤<1时，y>0；

函数值的变化

当x>l时，y>0当x>l时，y<0

单调性是(0,+◎上的增函数是(0,+oo)上的减函数

方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、

平移、对称等变换得到，当。>1时，对数函数的图像呈上升趋势；当0<。<1时，对数函数的图

像呈下降趋势.

5.已知函数①y=logor；②y=logbx；③y=logcx；④y=log公的大致图象如图所示，则下列不

等关系正确的是()

A.a-\-c<b-\-aB.a-\-d<b-\-c

C.b+c<a+dD.b+d<a+c

【答案】A

【解析】解析：由已知可得6>a>l>d>c,则a+b>a+c,b+d>a+c,故A正确，D错误；又

a+d与b+c的大小不确定，故B,C错误.故选A.

6.函数/(x)=(4-Y)in|-x|的图象是()

【答案】B

【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.

.f(4-x2)lnx,x>0

【详解】解：/(x)=(4-/9)inH=,

1।(4-x)ln(-x),x<0

因为f(-X)=/(X),

所以八>)是偶函数，故排除AD,

当%>0时，令/(%)=。，得％=1或%=2,

当Ovxvl或x>2时，<0,当l<x<2时，/(^)>0

7.已知函数/(%)=ln(%+4)的图象不经过第四象限，则〃的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(0,1]D.[1,+co)

【答案】D

【解析】fM的图象是由y=ln%的图象向左平移。个单位所得.

y=lnx的图象过(1,0)点，函数为增函数，因此々21.故选：D.

【巩固练习1](多选题)(2024.河南信阳•模拟预测)函数/(x)=log“N+l(0<a<l)的大致图象不

可能为()

【答案】BCD

【解析】函数/(x)=log“N+l(0<a<l)的定义域为｛X|XN。｝,

因为/(f)=logjX+l=/(x),所以函数〃X)为偶函数，

当x«0,+8)时,/(x)=log“x+l(0<a<l)为减函数，且过定点(1,1),

故函数/(x)=log“W+1(0<a<1)的大致图象不可能为BCD选项.

【巩固练习2】已知函数/(x)=log,(x-6)(a>0且"1,a,6为常数)的图象如图，则下列结

论正确的是()

A.a>0,b<—lB.a>0,—1<Z?<OC.0<a<l,b<—lD.0<a<l,—1</?<0

【答案】D

【解析】因为函数〃x)=log"(x-6)为减函数，所以0<〃<1

又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=l+〃>0,即人>-1

又因为函数图象与y轴有交点，所以〃<0,所以-1<6<0,故选：D

【巩固练习3】已知函数"x)=|lgx|,若OVQV〃且则a+2)的取值范围为.

【答案】(3,也)

【解析】画出/(x)=|lgx|的图象如图:

叫

Oa\bx

-0<a<b9且/（〃）=/伍），

.-.|lg6z|=|lgZ?|JLO<«<1,b>l,

2

：.-lga=lgb,即"=1,：.y=a+2b=a+—,ae（0,l）,

2

由图象得y=a+,在（0,1）上为减函数，

y>1+2=3,

a+2b的取值范围是（3,+oo）.

故答案为：（3,+oo）.

OV2

【题型4】对数函数过定点问题

基础知识

对数函数过定点(1,0),即x=l时，y=0;

函数f(x)=logfl(x-6)+c过定点(/?+1,c)

8.函数，=log0x+l(a>0且的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】C

【解析】因为对数函数y=log“X(a>O且恒过定点(L0),

所以函数y=log“x+l(。>0且4X1)的图象必过定点(1,1).

9.(2024•安徽安庆•模拟预测)已知函数"x)=log2(ox+b)(a>0/>0)恒过定点(2,0),则，+，的

最小值为().

A.20+1B.272C.3D.亚+2

【答案】A

【解析】由题意可知2a+b=l,

,b1b2a+bb2alb2a,_/r-,

则n一+—=—+-----=—+—+1>2--------+1=2。2+1,

ababab\ab

当且仅当。z;=0一1时，

!的最小值为2忘+1

ab

【巩固练习1】已知函数/(久)=1+loga(2久一3)(a>0,a大1)恒过定点(m,n),则m+n=()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】令2x—3=1,即可求解/(x)恒过定点(2,1),进而求解.

【解答过程】令2x-3=1,解得％=2,此时/'(2)=1+logal=1,

所以/'(x)恒过定点(2,1),则m=2,n=1,

所以m+n=3.

【巩固练习2】已知直线，=始+2〃经过函数4x)=log.(x-l)+2图象过的定点(其中根，〃均大于

0),则，+■1■的最小值为()

mn

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因为/(2)=loga(2-l)+2=logal+2=0+2=2,所以函数/(x)=log“(x-l)+2图象过的定

点为(2,2),

将其代入直线方程y=〃a+2”得2=2%+2〃，即阴+〃=1,

又m,n>0,

1/\(1〜m儿〜〜mft，

所以—I—=(m+n}\—I—=2d---1—>2+2J------4,

mnnJnmVnm

mn1|]

当且仅当即m=〃=—时，等号成立，故一+—有最小值4.

nm2mn

【巩固练习3】函数y=log。x+ax~{+2（〃〉0且々。1）的图象恒过定点,若根+〃=〃一左且相>0,

n>0,则见土'的最小值为（）

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

【解析】当x=l时，y=logql+ai+2=3,

所以，函数y=logqX+/T+2过定点(1,3),得Z=11=3,

所以，m+fz=3-l=2,

因为m>0,n>0,

~9n+m911+)("+")=[10+曰+.同(10+2网=8,

所以，------=——+—=一

mnmn2

9nm

31

当且仅当n,即机=5,九=/时，等号成立,

m+n=2

所以，竺On+*的最小值为8.

mn

【题型5】指对幕比较大小

基础知识

1,常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法.

2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1

例1：10^6和log48（倍数一致）

简析：Iog36=l+log32；log48=l+log42,由图像可知Iog32>log42

例2:log35和log46（差一致）

简析：Iog35=l+log3：；log46=1+log4-1,由图像可知log3m>log4(

3

10.设a=log23,b=0.3°2,。二万，则()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

3—

［解析］c=5=log2V--log22^2<log23=a,

Z?=0.302<0.3°=l,

则b<c<a

11.设〃=1。832,6=1113,。=10823,贝1J()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】0a=log32<log33=l,b=\n3>lne=l,c=log23>log22=1,

又由对数函数的性质：当x>l时，底数越大，图像越低，可得Iog23>ln3,

所以。>/?>〃，故选：D.

【巩固练习1]（2024・天津・二模）设"皿力=1.3°9,0.9。=1.3,则〃也。的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

333

【解析】log23>log2次=log222,

33

O<1,3O9<1.3<-,.\O<Z?<-,

22

09=1.3,/.c=log091.3<log091=0,

\c<0,:.c<b<a.

【巩固练习2］已知4=(：)"b=(j)1,c=lo§21,则a,b

c的大小关系是（

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

c=\ogl-<log2\=G,

523

则。，b,C的大小关系为cvav6

【巩固练习3】已知。=log62,b=log124,c=log186,则()

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

【解答】解：由对数运算公式得，-=log6=l+log3,y=log12=l+log3,-=log18=l+log3,

a22b44c66

易知log23>log43>log63,:.c>b>a.

故选：A.

【巩固练习4】设a=0.2°3,^^log34,c=log45,则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】先根据函数单调性得到a<1,b>l,c>\,对6,c利用换底公式变形后作差，结合基本不等

式，得到6>c,从而得到答案.

【详解】因为y=02'单调递减，所以〃=0.2°3<0.2°=1,

又y=log3X与y=log4X均单调递增，故6=log34>log33=l,c=log45>log44=1,

“In4,=In5

其中6=1唱4=而'c=l°g45=而

ln4山5lY”地足

其中ln3>0,ln4>0,故ln3-ln4>0,

In3In4In3-In4

其中In3-ln5<

“ln4In5In24-ln3-ln5八

故--------二-------------->0,

In3In4In3-In4

上」n4In5

所以——>——即故a<c<〃.

In3In4

【题型6】解对数方程或不等式

基础知识

【方法技巧】

(1)对于形如log。/(X)=6的形式，利用。=log”6?转化；对于形如

(logfl%『+8・log.x+C=0的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.

(2)解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个

不等式即可.

12.方程log?x=g的解为

【答案】亚

【解析】方程■，化为：x=2?=0

2—

13.设log,弓则。的取值范围是（）

A.（1,1）B.（0,1）C.（0,|）D.（0,1］

【答案】C

2222

【解析】由logq§<l,得：logfl-<logaa,因为0<avl,所以〃<§,取交集得：0<Q<§.

2

所以〃的取值范围是（（）,§）,故选：C.

14.不等式27工+71og5（36x+l）<23的解集为

12

【答案】

3653

【解析】设函数/⑺=27,+710g5（36x+1）,

1

则应有36x+l>0,解得x>-所以，/⑺定义域为,+8.

36

23

又了27+71og5l36x|+lj=9+7x2=23,

2

所以，由/（力<23,可得/（力</

因为y=27‘以及y=71og5（36x+l）均在［-媒，”上单调递增，

所以，/（x）=27"+710g5（36x+l）在［-今,+°0）上单调递增，所以,2

x<一.

3

172（121

综上所述,W*所以，不等式的解集为一,§.

363

【巩固练习11方程ln（log3%）=。的解是（

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【解析】Vln(log3x)=0,log3x=e°=1,/.x=3.

【巩固练习2】已知题5［1幅（评）］=0,则x的值为

【答案】Tio

【解析】由1嗝［1唱（4力］=0,得log?（4力=50=1,所以正=2=2,

即22©=2,所以21gx=1,lgx=；,所以x=io；=J记.

【巩固练习3］若实数x满足不等式log2#-2x）>log2（x+4）,则实数x的取值范围是

【答案】（T,-l）u（4,y）

2

【解析】log2（x-2x）>log2（X+4）,

x2-2x>x+4

<x2-2x>0,解得了>4或Tvxv-l.

x+4>0

【巩固练习4］已知实数。>0,且满足不等式33-2>3但］，则不等式loga（3x+2）<log.（8-5x）的解

集为.

38

【答案】

455

3a+24a+1

【解析】因为3>3,所以3a+2>4o+l=>a<l,而a>0,则0<。<1,于是

3x+2>0

<8-5x>0

3x+2>8-5x

【题型7】对数函数模型的实际应用

基础知识

对数函数应用题的基本类型和求解策略

（1）基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析

式，然后根据实际问题求解.

（2）求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代

入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.

15.如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%,那么至少需要将块这样的玻璃重叠起

来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍.（参考数据：坨2。0.3010,lg3。0.4771.）

【答案】7

【分析】构造不等式。-10%）“<g,利用对数运算法则解不等式可求得结果.

【详解】假设需要〃块这样的玻璃，则。-10%y<；,”>1吗9；=-log092,

-lg2_lg2

86・6,

lg9-lgl0-l-21g3

•..至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的，

16.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超

过0。9〃际/:地.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到

03mg/mL,在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%.那么此

人在开车前至少要休息（）（参考数据：Zg2«0.301,欣3。0.477）

A.4.1小时B.4.2小时C.4.3小时D.4.4小时

【解答】解：设经过x小时，血液中的酒精含量为y,

则y=0.3x（1—25%）'=0.3x0.75*,

由0.3x0.7530.09,得0.7530.3,

则xlg0.15„lg03,

Zg0.3/g3-l_0.477-1

因为Zg0.75<0,所以工…一——=4.184«4.2

Zg0.75-Ig3-lg4~0.477-0.602125

所以开车前至少要休息4.2小时

【巩固练习1】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是e；c,空气的温度是4°c,经过/

分钟后物体的温度0°C可由公式：6=%+©-%）""求得.其中左是一个随着物体与空气的接触状

况而定的大于0的常数.现有100°C的物体，放在10°C的空气中冷却,5分钟以后物体的温度是40°C,

则上约等于（）（参考数据：物3。1.099）

A.0.22B.0.27C.0.36D.0.55

【解答】解：由题意可得，40=10+（100-10）-5、

•产=1

"3'

lne5k=历;,Fp-5k=-1.099,

【巩固练习2]2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%,则年

我国人口将超过20亿.（1g2«0.3010,1g3«0.4771,lg7«0.8451）

【答案】2037

【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可.

【详解】

由题意，列方程得：

14(1+1.25%广的〉20

(1+1.25%广>型=3

,10

10lgv

l-lg7

尤_2008>log—=—行a28.7

(1+125%)41g3-31g2-l

1880

【巩固练习3】我们可以把（1+1%严看作每天的“进步，，率都是1%,一年后是1.0产5；而把（1_1%严

看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.利用计算工具计算并回答下列问题:

（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍?

（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？

1.01365_/i.oiY65

【解析】（1）0.99365~1099JX1480.7.

.•.一年后“进步'’的大约是“落后”的1480.7倍

1nix1.01

(2)由W£_=10得=10

0.99%K99

1g101

，x=log/10=।1.0171.01®115

091g------1g------

0.990.99

.•.大约经过115天“进步”的是“落后”的10倍.

1.01=loox=w230

,1.0FI'~Lof

由-----100得(0.99

0.99"gO99

.•.大约经过230天“进步”的是“落后”的100倍.

iOF1.01

由上一二1000得=IOOOM^X=^TOTW345

0.99"0^99f8099

.•.大约经过345天“进步”的是“落后”的1000倍.

【题型8】对数型复合函数的单调问题

基础知识

对数型复合函数的单调问题

1,模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.

2、模板解决步骤

第一步：求函数的定义域.

第二步：将函数分解成内层函数和外层函数.

第三步：判断内层函数和外层函数的单调性.

第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性.

17.函数/⑴旦口任―2%-8）的单调递增区间是（）

A.（-00,-2）B.（-oo,-1）C.（1,+8）D.（4,+“）

【答案】D

【解析】由题知/（%）的定义域为（TO,-2）_（4,+oo）,

令1=%2_2%_8,则y=ln，，函数单调递增，

当了«一。,一2）时，/关于1单调递减，/（%）关于光单调递减，

当了«4,+。）时，/关于工单调递增，“力关于犬单调递增，

故了（%）的递增区间为（4,+8）.故选：D.

18.若函数〃x）=ln（尤2-6-1）在区间。,+⑹上是单调增函数，则实数。的取值范围是

【答案】（e,0]

【解析】由函数”%）=111（彳2-改一1）在区间（1,+8）上是单调增函数，

只需函数y=d-办-1在。,+8）上是单调增函数，且当x>l时*2-内-1>0恒成立，

[£<1

所以满足J2'解得a<0.

1-4Z—1>0,

【巩固练习1】函数/（x）=l°gi（f2+3x+4）的单调增区间为（

2

【答案】C

【解析】由-d+3%+4>0=>-1<%<4,

3

二次函数y=-x2+3%+4的对称轴为：x,

所以二次函数的单调递增区间为递减区间为[j.],

而函数y=logi”是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知:

2

函数/（幻=1°8工（一/+3》+4）的单调增区间为（1,4],故选：c

x+l(x<0)

【巩固练习2】已知函数〃尤）=，在定义域上是增函数，则k的取值范围是（

log3(x+^)(x>0)

A.(3,+8)B.[3,+oo)C.(l,+℃)D.(1,+s)

【答案】B

x+l（x<0）

【解析】因为〃x）="1幅（」初工。产定义域上是增函数，

当xWO时/（无）=尤+1单调递增且『（0）=1,

当x>0时/（尤）=log3（x+左）也单调递增，

所以l<log3（0+左），Fplog3k>log33,

所以％23,即Ze[3,+co）；故选：B

【巩固练习3】（2024・重庆.模拟预测）若函数=In优一2办+3a）在[1,+e）上单调递增，则实数a

的取值范围是（）

A.(-oo,l]B.(-1,1]C.[-1,+8)D.[1,+8)

【答案】B

【解析】因为函数/(x)=ln(%2-2依+3〃)在上单调递增，

-2.<]

所以｛2",解得一1〈。<1.

1—2。+3ct>0

【巩固练习4】若函数〃x）T°g|Xl°g式词在上单调递减，则实数。的取值范围是________.

214J

【答案】[16,-HK）

【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解.

2

【详解】/（X）=-log2xlog2（ar）=-log2x（log2x+log2a）=-（log?x）-log2a-log2x,

令t=log2xe[-2,"Hx>）,为增函数，

所以g（f）=-产—（log?a）t,所以g⑺=-〃一（log?a）r在re[-2,+co）单调递减，

所以％=_蹩4<-2,即log2a>4,解得a>16

【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题

基础知识

对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的

问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的

构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化

归思想的应用.

19.函数〃x）=lg（4'-2句+11）的最小值是（）.

A.10B.1C.11D.Igll

【答案】B

【解析】设r=4*-2"i+ll,贝|y=lgr,

因为/=4*-22+11=（2）2一2-2工+11=（2*-1丫+10210,

所以y=lgt*lglO=l,所以〃同=炮（下一2用+11）的最小值为1,故选：B

20.已矢口函数/'（x）=log3（-尤2+4x+a-l）的最大值为2,贝I]a=.

【答案】6

2

【解析】因为函数〃元）=log3（—x2+4x+a—1）由y=log3?,?＞。与.=-x+4x+a—1复合而成，

而y=log3f在定义域上单调递增，所以当/=一/+4彳+°一1取最大值时,函数y=log3r取得最大值，

由二次函数的性质易知当x=2时，fmax=a+3,此时/（x）n1ax=log3（a+3）,所以log3（a+3）=2,解

得a=6.

【巩固练习1]已知函数〃x）=lg（x2+l）,xe[-l,3],则/（x）的值域为（）

A.[0,+e）B.[0,1）C.[Ig2,l]D.[0,1]

【答案】D

【解析】因为xe[—1,3],所以d

所以〃尤）=lg（尤2+i）e[oj],故选：D

【巩固练习2】若函数〃％）=1°8/62+*+2）的最大值为0,则实数a的值为.

2

【答案】!

4

【解析】因为/（%）的最大值为0,所以/?（力="2+X+2应有最小值1,

a＞0

因此应有＜8〃-1、解得〃=：.

—;—=1,4

、4a

【巩固练习3】（2024.全国.模拟预测）已知函数/（尤）=log/x2-依+1）在区间上有最大值或

最小值，则实数。的取值范围为（）

吴](1，2)：』31，4)卜(L2)

A.?2B.c.D.

【答案】B

【解析】要使函数/(x)在区间上有最大值或最小值,

由于>=炉-6«+1开口向上,

故需函数y=%2一改+1在区间上有最小值，且y>0.

a>0a>0

awl〃w1

1〃c1

该函数图像的对称轴为直线x="I,所以<4

—<—<2,解得♦—<〃<4,

422

—2<〃<2

«­—+1>0

2

所以且awl,即实数。的取值范围为r10).

【题型10］对数型复合函数的奇偶性问题

基础知识

常见指对型函数奇偶模型

y=a'_「n奇«>i.T

(1)

y=ax+a~xn偶0<aVl.J

QX—1口优+1「ax-bx

⑵安一或门或n奇

ax+bx

ix-mx+m3

(3)y=log.------或log，-------0奇

x+mx—m

(4)y=iog.+1±

/(x)=log(tzm+l)+(—|na)是偶函数，如x+1)—gx,g(x)=log(9x+l)-x

(5)flf(x)=ln(e3

21.设函数〃x)=lg(x2+l),则使得〃3x-2)>〃x-4)成立的x的取值范围为()

3

A.B.C.—00—D.U|,+8

2

【答案】D

【解析】方法一：/(x)=Zg(x2+l)

由〃3x_2)>/(x_4)得lg