二次根式知识归纳与题型突破（13类题型清单）解析版-2024-2025学年人教版八年级数学下册

二次根式知识归纳与题型突破（13类题型）

01思维导图

1二次颊的疑

二次根式2二次取有无意义的条件

3.二次侬的性质

1.最简二次根式

最简二次根式与同类二次根式

二次根式2.同类二次根式

1.二次根式的乘法

2.二次取的触

二次根式的运算

3二次根式的融

4二欠根式的混合运算

02知识速记

一、二次根式

1.二次根式的概念

1.二次根式的概念:一般地，我们把形如、脑（a20）的式子的式子叫做二次根式，“，”称为称为二次根

号.如百，师g都是二次根式.

2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号“«”；（2）被开方数必须是非负数.

2.二次根式有无意义的条件

1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即痴有意义Oa20；

2.二次根式无意义：被开方数为负数，即几无意义oa<0；

3.二次根式的性质

1.二次根式五（tz>0）的非负性

y[a（a>0）表示。的算术平方根，也就是说，&20）是一个非负数，即行20（a>0）.

2.二次根式（五『的性质：（a>0）

3.二次根式后的性质：=同={:需2）

最简二次根式与同类二次根式

1.最简二次根式

（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式

（2）化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方V8=74^2=2^/2

若被开方数中含有带分数，先将被开方rr_[4_74^3_2V3

V3-V3-V3^3-3

数化成假分数

若被开方数中含有小数，先将小数化成厮=、n=、陛=巫

化去根

分数viovioo10

号下的

若被开方数时分式，先将分式分母化成1~5a__15a'3c_/_15ac__J15ac

2222

分母[126cp2^.3c\36f)c6bc

能转化为平方的形式，再进行开方运算

(。>0,b>0,c>0)

被开方数时多项式的要先因式分解Jx2+2xy+j/=J(x+y)2=x+y(x*O,y>0)

（3）分母有理化

分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.

2.同类二次根式

（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘

法分配律，如m而+〃后=（根+〃）后仅20）

三、二次根式的运算

1.二次根式的乘法

（1）二次根式的乘法法则：V^-Vb=V^b（a>0,&>0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不

变）

（2）二次根式的乘法法则的推广：

①Va-Vb-Vc=Jabc（a>0,b>0,c>0）

0aVb-cVd=acVbd（Z>>O,t/>O）,即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进

行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.

（3）二次根式的乘法法则的逆用：而=痴-、伤（。20/20）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算

数平方根的性质）

（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：V^d=VI-Vb-V^-V^（a>0,/）>0,c>0,67>0）

2.二次根式的除法

（1）二次根式的除法法则：假=#（。20/〉0）（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）

（2）二次根式的除法法则的推广：五十四一八=Ja+b+c（a»0,b〉0,c〉0）.

3.二次根式的除法

（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

（2）二次根式加减运算的步骤：

①化：将各个二次根式化成最简二次根式；

②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；

③合：合并被开方数相同的二次根式一一将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。

4.二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号

里面的（或先去掉括号）

03题型归纳

题型一判断是否为二次根式

例题：（23-24八年级下•广西河池•期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.J—4B.N3aC.#27D.J加?+1

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键.

形如GgNO）的代数式叫做二次根式，其中。叫做被开方数，据此逐项判断即可.

【详解】解：4、q中的被开方数-4<0,故不是二次根式，不符合题意；

B、技中的。不一定大于等于0,故不是二次根式，不符合题意；

C、场是三次根式，故不是二次根式，不符合题意；

D、公是二次根式，符合题意，

故选：D.

巩固训练

1.下列根式是二次根式的是（）.

A.蚯B.4aC.V3D.

【答案】C

【知识点】求二次根式中的参数

【分析】本题考查了二次根式.熟练掌握二次根式的定义是解题的关键.形如20）的式子是二次根式.

根据二次根式的定义判断作答即可.

【详解】解：由题意知，次，&，2-2不是二次根式，行是二次根式，

4B、D不符合要求；C符合要求；

故选：C.

2.下列式子一定是二次根式的是（）

A.V-x-2B.&C.&+2D.6-2

【答案】C

【知识点】二次根式有意义的条件

【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键.

一般地，我们把形如右（。20）的式子叫做二次根式.直接利用二次根式的定义分别分析得出答案.

【详解】解：A.当x>-2时，原式无意义，故A不一定不是二次根式；

B.当x<0时，原式无意义，故B不一定是二次根式；

C./+2>0恒成立，故C一定是二次根式；

D.当/一2<0时，原式无意义，故D不一定是二次根式：

故选：c.

3.x为实数，下列式子一定有意义的是（）

2

A.Jx，+1B.y]x+xC.p--D.—

【答案】A

【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件

【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，

根据二次根式有意义的条件判断A,B,再根据分式有意义的条件判断C,D.

【详解】因为f+l2l,所以在II有意义，则A符合题意；

当时，x2+x=（--）2+（-T）=77-77=-77<,二次根式Jx?+x无意义,则B不符合题意；

444161616

当％=±1时，/-1=0,分式二二无意义，则C不符合题意；

X-1

2

当x=0时，x=0,分式3无意义，则D不符合题意.

故选：A.

4.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.4aB.7^2C.V^+2D.正+1

【答案】D

【知识点】二次根式有意义的条件

【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义“一般地，我们把形如血伍20）的式子叫做二次根式”

即可判断.

【详解】解：A、当。<0时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意；

B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意；

C、当a+2<0时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意；

D、因为/+i>o,所以"71是二次根式，选项说法正确，符合题意；

故选：D.

5.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.7«2-2B.J/+3C.3D.

【答案】B

【知识点】二次根式有意义的条件

【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.根据二次根式的

定义：一般地，我们把形如G(a20)的式子叫做二次根式，对每个选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A、被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；

B、是二次根式，故此选项符合题意：

C、是有理数，不符合二次根式的定义，故此选项不合题意；

D、0>()时，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；

故选：B.

题型二求二次根式的值

例题：(23-24八年级下•浙江衢州•期中)当x=-2时，二次根式3-3x+年的值为()

A.2B.±2C.4D.±4

【答案】C

【分析】本题考查求二次根式的值，先将》=-2代入，再利用二次根式的性质化简求解即可.

【详解】当x=-2时，

V-3X+10=7-3x(-2)+10=416=4.

故选：C.

巩固训练

1.(23-24八年级下•浙江杭州•期中)当a=6时，二次根式H工的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查二次根式求值，将。=6代入二次根式，直接求解即可.

【详解】解：当。=6时，^^=1=后二="=2

故选：B.

2.(23-24九年级上•海南僧州•期末)当x=-l时，二次根式j3x+7的值为()

A.±2B.2C.-2D.V2

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把x=-l代入原式化简即可.

【详解】解：当x=-l时，原式=j3x(-l)+7=7?=2

故选：B.

3.（23-24八年级下•浙江杭州•期末）当x=l时，二次根式行工的值为（）

A.4B.V6C.6D.2

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的定义，把尤=1代入求值即可.

【详解】解：当x=l时，二次根式j5-x=J5-1="=2,

故选：D.

题型三根据二次根式有意义条件求范围

例题：（23-24八年级下•辽宁营口•期末）若二次根式VTb有意义，则实数x的取值范围是（）

A.尤彳3B.x>3C.x>-3D.x<3

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

根据二次根式有意义的条件，可得：x-3>0,据此求出实数x的取值范围即可.

【详解】解：：二次根式斤与有意义，

x—320,

解得：x>3.

故选：B.

巩固训练

1.（23-24八年级下•山东聊城・期末）若二次根式万万有意义，则x的取值范围是（）.

3333

A.xN—B.—C.x>—D.x<—

2222

【答案】B

【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质.概念：式子痴20）叫二次根式.性质：二次根式被开方

数必须为非负数，否则二次根式无意义.掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键.

根据二次根式性质，被开方数大于等于0,列不等式求解.

【详解】解：由题意得，3-2x20,

3

解得：

故选：B.

2.（23-24八年级下•新疆和田•期中）使打式+V7富有意义的字母光的取值范围（）

A.全体实数B.x<2C.x>-4D.-4<x<2

【答案】C

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：x+4>0,解得：x>—4；

故选C.

3.（2024・贵州铜仁•一模）若在实数范围内有意义，则实数无的取值范围是.

【答案】%>3

【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义

的条件是解题的关键.

由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解.

【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：%-3>0,

解得：x>3,

故答案为：x>3.

4.（2024・湖北•模拟预测）当x取何值时，二次根式^—丁有意义：____.

x-3

【答案】xNl且"3.

【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件

【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据条件列出不等式是解决此题的关

键.

二次根式有意义的条件：被开方数20,分式有意义的条件分母W0,列出不等式即可.

【详解】解：由题意可得：

x-l>0,工一3。0

・•・xN1且xw3.

故答案为：xNl且xw3.

5.（24-25八年级下•吉林•阶段练习）使式子正士有意义的x的取值范围是.

2+x

【答案】E且xw—2

【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集

【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件.根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或

等于0列出式子求解即可得.

（2+x^0

【详解】解：由题意得：I、八，

[l-x>0

解得且xw-2,

故答案为：xWl且XH-2.

题型四根据二次根式有意义求值

例题：（23-24八年级下•吉林松原•期中）若y=++5,则^2xy=.

【答案】2M

【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值

成为解题的关键.

先根据二次根式的非负性求得X,进而求得外然后代入计算即可.

【详解】解：y=Ji-4+J4—x+5,

y=5,

yj2xy=J2x4x5=2v.

故答案为：2屈.

巩固训练

1.（23-24八年级下•四川绵阳•期中）已知x、V为实数，且>=5万+后后+3,则尤+了的值为.

【答案】5

【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出了

的值，进而得出答案.

【详解】解：,:y=H^+j6-3x+3,

x-220

6-3x20

..x=2,

y=3,

:.x+y=5,

故答案为：5.

2.（23-24八年级下•湖北荆州•阶段练习）已知实数x,y满足、=向1+51+3,则府的小数部分

是.

【答案】V6—2/—2+y/6

【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键.

根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出而，利用无理数的估算求得小数部分.

【详解】解：由题意可得：x-2>0,2-x>0,

贝！]x=2,y=0+0+3=3,

则7^=42x3=y/6,

4<6<9,

/.2<V6<3,

则而的小整数部分是2,小数部分是痛-2,

故答案为：V6—2.

3.（23-24八年级下•山东烟台・期中）已知y=++则无了=.

【答案】25

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用

二次根式有意义的条件进行求解即可；

[x-5>0

【详解】解：由题意知：<、八，

[5-x>0

解得：x=5,

二•y=2,

.3=25,

故答案为：25；

题型五二次根式的乘除混合运算

例题：（2024八年级下•安徽•专题练习）计算：2V12X|+3V2.

【答案】|V6

【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除,被开方数相

乘除，根指数不变，计算后求出即可.

【详解】解：2V12X|+3V2

巩固训练

【答案】⑴逑

3

⑵一g

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则.

（1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可;

（2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可.

472

3

【答案】(1)156

⑵

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键;

(1)按照从左至右的顺序进行计算即可；

(2)按照从左至右的顺序进行计算即可；

【详解】(1)解：原式=[lxgx|"45《x5

=J45x5x5

12

(2)原式=

82

__37x5x5

--4V2

=一2/还

8

3.计算:

(2)-a2byfab

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算：

(1)先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可;

(2)根据二次根式乘除法计算法则求解即可.

【详解】⑴解：原式=即-：用;出

2

3

231

(2)解：原式=-—x—x—x

623

55

二——y/ab

b

=—a2by[ab.

4.计算:

(l)V27xV50-V6;

1122|

(2)3745-—x—；

53

]_2

(3)3

2

(4)8〃^+2而七(a>0,6>0).

【答案】⑴15

(2)2076

(4)*

b

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】本题考查了二次根式的混合运算

(1)根据二次根式乘除法法则计算即可；

(2)根据二次根式乘除法法则计算即可；

(3)根据二次根式乘除法法则计算即可；

(4)根据二次根式乘除法法则计算即可.

【详解】(1)解：=373x572^76=1576-76=15

(2)JMi^=3x—x/454--X-

3V53

=2x7600=20A/6;

(3)原式3x(一")x2Axl5xg=一■|x5=一券；

(4)原式=4［叵［=4JZ=色布.

\abbVbb

5.计算:

⑴氐也x2凤26；

(2)-473

(3)­|02

(4)—

m

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键.

(1)先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案；

(2)直接根据二次根式乘法计算法则求解即可；

(3)把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此

可得答案；

(4)把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此

可得答案.

【详解】(1)解:原式=V^x2x2+2石

=4导2也

=2；

(2)解：原式=^^*2道质]

=-4出；

(3)解：原式=1―j盯2.匕

=-^Xyjx4y4

=~—X'X2y2

4J

332

=--；

(4)解：原式=—《二^.军

mV2mm\n

n11n32m3

m2v2m3m3n

n[rF

m2V加3

=一_-J/加3

m

=--g•nmy[m

m

题型六最简二次根式的判断

例题：（23-24九年级上•河南洛阳•期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（

A.yja2+bB.V4C.V18

【答案】A

【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得

尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可.

【详解】解：4、行两是最简二次根式，故此选项符合题意；

8、被开方数含有能开得尽方的因数4,所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

C、被开方数含有能开得尽方的因数9,所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

。、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

故选：A.

巩固训练

1.下列二次根式中的最简二次根式是（）

A.74B.V81C.V5D.J0.12

【答案】C

【知识点】最简二次根式的判断

【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式

是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键.利用最简二次根式的概念判断每个选项即可.

【详解】解：A、"=2,不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B、痼=9,不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C、石是最简二次根式，故本选项符合题意；

D、而逐=?，不是最简二次根式，故本选项不符合题意.

故选：C.

2.下列根式中，最简二次根式是（）

A.J25aB.yl（i2+l）2C.D.Jo.5

【答案】B

【知识点】最简二次根式的判断

【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应

满足两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可.

【详解】解：A.石，被开方数25a含有能开得尽方的因数25,不是最简二次根式，故选项A不符合题

忌；

B.甲瓦，被开方数的字母因式是整式，且被开方数不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，故选项B

符合题意；

C.g被开方数的因数上不是整数，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；

D.<5,被开方数的因数0.5不是整数，不是最简二次根式，故选项D不符合题意；

故选：B.

3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.历B.V24C.D.2。nm

【答案】D

【知识点】最简二次根式的判断

【分析】本题考查最简二次根式的定义.根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案.

【详解】解："/=2小后，即A不是最简二次根式，不符合题意;

后=2#，即B不是最简二次根式，不符合题意；

心=孚，即C不是最简二次根式，不符合题意；

2届无法继续化简，故D是最简二次根式，符合题意;

故选：D.

4.下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）

A.胃B.J243C.s]36m

D.yjm2+2

【答案】D

【知识点】最简二次根式的判断

【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键.根据最简二次根式的概念判

断即可.

【详解】A、、口=也，故该选项不符合题意;

V22

B、V243=9A/3,故该选项不符合题意;

C、A/36TM=6s[m,故该选项不符合题意;

D、荷工！不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意;

故选：D.

5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.亚B."C.,D.正

【答案】A

【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式

【分析】此题主要考查最简二次根式的判断.根据最简二次根式的定义即可求解.

【详解】解：A、五是最简二次根式；

B、"=2,故不是最简二次根式；

c、仁=岑，故不是最简二次根式；

D、当，故不是最简二次根式；

V22

故选：A.

题型七化为最简二次根式

例题：（23-24八年级上•广东佛山•阶段练习）化简：般=；根=.

【答案】2^2如

2

【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可.

【详解】解：V8=V4^2=V4xV2=2A/2,

V3^2_V6

V2-V2^2

故答案为：2也，国.

2

巩固训练

1.（23-24八年级上•广东肇庆•阶段练习）化简：也=,^11=

44

【答案】

7

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解.

【详解】解：

V255

旧=*?

44

故答案为：I，j.

【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键.

2.（23-24八年级下•浙江•期中）化简成最简二次根式：5疝=_;6A=_.

【答案】10V3巫典瓜

【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数

或因式.进行计算即可.

【解答】解：5V12=5x^4x3=5X2A/3=10>/3;=~~=~~•

V842

故答案为：io5迎.

2

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键.

3.（22-23八年级上•宁夏银川•阶段练习）化简:

Q）历

【答案】⑴竽

（2）3A/3

（3）叵

13

【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可.

（2）V27=73^9=373;

叵_正_叵

（3）百一正一百，

【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质.

4.(23-24八年级•全国•假期作业)把下列二次根式化为最简二次根式：

(1)715;⑷福(5)214a泞c(a,b,c均大于0).

【答案】⑴可

⑵平

⑶6

⑷如

30

(5)4abyfac

【分析】(1)直接计算得到答案；

(2)直接计算得到答案；

(3)直接计算得到答案；

(4)直接计算得到答案；

(5)直接计算得到答案.

【详解】(1)后=后旧工

故而的最简二次根式为：巫;

2

⑵『_产_J4xl0_2厢

故他的最简二次根式为：巫;

故叵的最简二次根式为：V3;

3

(4)忘_-_——册

3^/40-374x5x2-6亚乂亚-30

故二幺的最简二次根式为：正；

(5);。，b,c均大于0

214a3b2c=4ab4ac-

【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关知识.

题型八同类二次根式的判断

例题：（23-24八年级下•江西上饶•期中）下列根式中，与正是同类二次根式的是（）

A.叵B.V12C.D.V32

【答案】D

【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是正确化简二次根式.先进行化简，然后根据同类

二次根式的定义，即可得到答案.

【详解】解：/、值=2而与痣不是同类二次根式，故不符合题意；

B、=26与0不是同类二次根式，故不符合题意；

C、=g与正不是同类二次根式，故不符合题意；

D、后=4后与正是同类二次根式，故符合题意；

故选：D.

巩固训练

1.（23-24八年级下•江苏淮安•期末）下列二次根式中，与6是同类二次根式的是（）

A.际B.V30C.725D.

【答案】D

【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被

开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定.

【详解】解：,与右不是同类二次根式，故/选项不合题意；

2

同不能化简，与逃不是同类二次根式，故8选项不合题意；

V25=5,与行不是同类二次根式，故C选项不合题意;

与否是同类二次根式，故。选项符合题意;

故选：D.

2.（2023•广西来宾•一模）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）

A.屈和而B.扃i和回nC.A和*D.@口一屈

【答案】D

【分析】本题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题需要掌握二次根式的化简法则及同类二

次根式的被开方数相同.将各选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可判

断出答案.

【详解】解：A.a=3如，即痛和而不是同类二次根式，故本选项不符合题意;

B.的面=3而，即而'和曲而不是同类二次根式，故本选项不符合题意;

C..=即、g和#不是同类二次根式’故本选项不符合题意；

D.卜冬-屈=-3垃,即《和-屈是同类二次根式，故本选项符合题意;

故选：D.

3.（23-24七年级下•上海浦东新•阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（）

A.—V6和3^2B.y[a和41a

C.旧和AD.百和的

【答案】C

【分析】本题主要考查了同类二次根式.将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根

式叫做同类二次根式.根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答.

【详解】解：A.1痛与3行的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；

B、6与而的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；

C、屈=26与"的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；

V33

D、g与®=3的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；

故选：C.

题型九二次根式的加减运算

例题：（24-25八年级上•全国•课后作业）计算:

⑴商+3?2G(2)2。-3配+5厉.

【答案】(1)5行

(2)1173

【分析】本题考查二次根式的加减运算：

(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可;

(2)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可.

【详解】(1)解：月+3•-2A

=4亚+，也一显

22

=5&;

(2)解：2V3-3V12+5V27

=273-673+1573

=116

巩固训练

1.计算：2&I-12A+3灰.

【答案】12百

【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算

【分析】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握二次根式化简是解题的关键.

先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：原式=46-4百+120

=12技

2.计算：

(1)V8+V32-V2

(2)^|+V27-V9

【答案】(1)5也

⑵速一3

3

【知识点】二次根式的加减运算

【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算.

(1)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可;

(2)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可.

【详解】⑴解：原式=2行+4行-0

=5&；

(2)解：=—+373-3

3

1073,

=---------5•

3

3.计算：

⑴导历+42』

⑵|V7—3|+J(-2)~+Vs+V7

【答案】⑴g指

⑵7

【知识点】实数的混合运算、二次根式的加减运算

【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样,

要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要

按照从左到右的顺序进行.

(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；

(2)先去绝对值，化简二次根式及立方根，再合并同类二次根式即可.

【详解】(1)解：一廊+42小!

=--676+776

3

3

(2)解：|>/7—+y](—2)2+^8+V7

=3-77+2+2+4

二7

4.计算:

(1)|V9-5|+^2^+V-0.125；

(2)727+5^1-V12+1V45；

【答案】(1)3

⑵用竽

【知识点】实数的混合运算、二次根式的加减运算

【分析】本题考查了实数的运算及二次根式的加减运算.

(1)根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解;

(1)先化简二次根式，再计算加减即可求解.

【详解】(1)解：原式=|3一5|+户9+(-0.5)

4

=2+14

=3；

(2)解：原式=34+5x好一2百+、3指

52

=373+75-273+—

2

=百+巫

2

5.计算:

(1)273+3V12-V48

(2)a+3个；

2

15

⑶川--^+2720-745+^-

V32

【答案】(l)4g

力3夜3^/3

⑷1---1---Z-

22

11V240

⑶-----1----

25

3167收

(4)2~

【知识点】二次根式的加减运算

【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

（1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可.

（2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可.

（3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可.

（4）利用二次根式的化简的法贝IJ,二次根式的加减法的法则,对各项进行运算即可.

【详解】（1）解：2V3+3V12-V48

=2拒+6也-4坦

=46；

(2)解：V8+3j1

2

=2亚+也当年

372373

22

1

(3)解：750--^+2A/20-V45+—

V52

=5A/2-—+4V5-3V5+—

52

11V24&

------1--------;

25

(4)解：V108+V32

=6用4*40

31V37A/2

52

题型十二次根式的混合运算

例题：（23-24八年级下•山西太原•单元测试）计算:

⑴阮+4

【答案】⑴2#-6#

(2)~-^3y2

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简二次

根式成为解题的关键.

(1)先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可;

(2)先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可.

【详解】⑴解:

V2

=-------X

2

-V21x(4V3-72-3748)

也

-2X(2V6-12A/3)

=旧-6"

=273-676.

332

=——xy.

4

巩固训练

【答案】⑴岸-2

（2谭-6

2

【知识点】求一个数的立方根、二次根式的混合运算

【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算

法则是解题的关键.

（1）化简二次根式，求出立方根，根据加减法即可求解.

（2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解.

【详解】（1）解：历+4+J-巫

=3月+（_2）+[_2G

4月、

=---------2;

3

（2）解：2V3X^-V48-V3+（2-V6）（2+V6）

-

-716+（4-6）

V26

-

-4-2

V26

-

V26-6.

2.计

【答案】⑴6+4G

⑵？

【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式

的混合运算

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关

性质内容是解题的关键.

（1）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开再合并同类项，即可作答.

（2）先根据二次根式的性质化简括号内，再运算除法，即可作答.

【详解】⑴解：（2+V3）2-（3-272）（3+272）

=4+473+3-（9-8）

=4+4A/3+3-1

=6+4百；

3

19731

19

~~6'

3.计算：

(l)|l-V3|+(V3-7t)°-V244-V2；

(2)(3-V2)2-(2+V3)x(2-V3)+V2.

【答案】⑴

⑵10-5夜

【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、零指数塞、二次根式的混合运算

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，零指数幕等运算，解题的关键是

掌握以上运算法则.

(1)先化简绝对值，零指数幕，二次根式的除法，然后合并即可求解；

(2)根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并即可求解.

【详解】(1)|1-V3|+(V3-7T)°-V24-V2

=V3-1+1-V12

=73-273

=-V3;

(2)(3-V2)2-(2+V3)X(2-A/3)+V2

=9-672+2-(4-3)+72

=9-6V2+2-l+V2

=10-5A/2.

4.计算:

(1)V18XV2-V25+7(-3)2

(2)(V6-V5)(V6+V5)+(2A/3-3V2)2

【答案】(1)4

(2)31-1276

【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算

【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

(1)先计算二次根式的乘法和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可;

(2)利用平方差公式及完全平方公式进行求解即可.

【详解】(1)解：Jiix也一后+/了

=6—5+3

=4；

(2)解：［76-V5)(V6+V5)+(2V3-3V2)2

=6-5+12+18-12新

=31-1276.

5.计算

(1)V8+V32-V2；

s、灰乂退

⑵

(3)(2+V^)x(2-1-；

(4)(万-1)°-(；)T+耳-27.

【答案】(1)5收

⑵3

⑶2-6

(4)-5

【知识点】实数的混合运算、负整数指数累、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幕和负整数指数幕等知识点,

(1)先化简二次根式，再计算加减即可；

(2)先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可；

(3)先利用平方差公式，绝对值法则展开，再计算加减即可；

(4)先根据零指数幕和负整数指数幕法则化简，再计算加减即可；

熟练掌握二次根式的混合运算法则是解决此题的关键.

【详解】(1)显+E-亚

=272+472-72

=5收；

s、718x73

V6

V54

飞

=囱

二3；

(3)(2+V3)X(2-V3)-|1-V3|

=4-3-(V3-l)

=1-V3+1

=2—V3;

(4)(乃一1)°一

=1-3-3

=-5.

题型十一比较二次根式的大小

例题：(23-24八年级下•浙江宁波•开学考试)比较大小:

⑴715+V178；

(2)V2014-V2015V2015-V2016.

【答案】<<

【分析】本题考查了二次根式的大小比较.

(1)利用平方法比较大小即可；

(2)利用分子有理化，即可比较大小.

【详解】解：(1)(V15+Vn)2=32+27255=32+71020,

31<Vi020<32,

•••63<32+Vi020<64=82,+V17<8,故答案为：<；

(V2014-V2015)(V2014+72015)

1

⑵V2014-V2015=

J2014+J2015V2014+V2015

1

V2015-V2016

V2015+V2016V2015+V2016

[1

V2014+V2015J2015+J2016'

I<1

V2014+V2015---V2015+V2016

■••V2014-V2015<72015-72016,

故答案为：<.

巩固训练

1.(23-24八年级下•江苏宿迁•阶段练习)比较下列实数的大小：3指2V13.

【答案】>

【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点.把根号外的因式平方后移入根号内，比

较结果的大小，即可求出答案.

【详解】解：3屈=,3?x6=V54，2yf\3-V22x13=J52，

V54>V52,

3V6>2V13，

故答案为：>.

2.（23-24七年级下•上海•期末）比较大小：-2百-372.（填“>”，"="，或“<”）

【答案】>

【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数

的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可.

【详解】解：-26=-屈，-3氏=-5,

:.-y/n>-V18,

-273>-3A/2,

故答案为：>.

3.（23-24八年级下•河北邢台・期末）比较大小：2+V3.（填或“=”）

【答案】=

【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键.

把5k分母有理化即可得到答案.

【详解】解：壮万

2+V3

"（2+73）（2-73）

2+V3

4-3

=2+>/3）

故答案为：—.

题型十二已知字母的值，化简求值

例题：（23-24八年级下•云南曲靖•阶段练习）计算：已知，x=2-V3，y=2+百，求尤2+/一孙的值.

【答案】13

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关

键.

利用完