二次函数与面积最值定值问题（原卷版）

专题5二次函数与面积最值定值问题

考法综述，

面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题,

是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱

形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常

考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问

题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的

题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根.二是先假设关

系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确.

方法揭秘.

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：

如图1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式.

如图2,图3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”

的方法.

计算面积长用到的策略还有：

如图4,同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等.

如图5,同底三角形的面积比等于高的比.

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典例剖析“

[例1]（2022•青海）如图I,抛物线〉=/+笈+。与x轴交于/（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于

点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点厂是抛物线的顶点，求跖的长；

（3）设点尸是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△序B=6的点尸？如果存在，请求出点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

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【例2】(2022•随州)如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+6x+c(。＜0)与x轴分别交于点力

和点8(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线x=-l,且CM=OC,尸为抛物线上一动点.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图2,连接NC,当点P在直线NC上方时，求四边形乃8C面积的最大值，并求出此时P点的

坐标；

(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P,M运动时，在坐标轴上是否存在点N,使四边形尸MCN为

矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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【例3】（2022•成都）如图，在平面直角坐标系X。中，直线y=fcc-3（件0）与抛物线y=-炉相交于

3两点（点/在点3的左侧），点3关于y轴的对称点为〃.

（1）当左=2时，求/,2两点的坐标；

（2）连接CM,OB,AB',BB',若的面积与△CM8的面积相等，求后的值；

（3）试探究直线/夕是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

备用图

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【例4】（2022•岳阳）如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线为：y=x2+bx+c经过点/（-3,0）和点

B（1,0）.

<1）求抛物线人的解析式；

（2）如图2,作抛物线尸2,使它与抛物线为关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线尸2的解析式；

（3）如图3,将（2）中抛物线尸2向上平移2个单位，得到抛物线尸3,抛物线为与抛物线/3相交于C,

。两点（点C在点D的左侧）.

①求点C和点。的坐标；

②若点N分别为抛物线为和抛物线尸3上C，。之间的动点（点、M,N与点C,。不重合），试求四

边形CMW面积的最大值.

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满分训练

1.（2022•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数夕=示2+笈-2的图象与x轴交于点/

（3,0）,8（点3在点N左侧），与y轴交于点C,点。与点。关于x轴对称，作直线/£>.

（1）填空：b=；

（2）将△NOC平移到△EFG（点E,F,G依次与/,O,。对应），若点E落在抛物线上且点G落在直

线40上，求点E的坐标；

（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点尸作x轴的垂线，垂足为X,交4c于点T.若NCPT+N

D4C=180°,求与△CPT的面积之比.

2.（2022•罗城县模拟）如图，已知抛物线经过点/（2,6）,B（-4,0）,其中E、FCm,n）

为抛物线上的两个动点.

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若。（x,了）是抛物线上的一点，当-4<x<2且SUBC最大时，求点C的坐标；

（3）若即〃x轴，点/到£下的距离大于8个单位长度，求机的取值范围.

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3.（2022•老河口市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=-炉+2加x的顶点为4直线/：y=x-1与x轴

交于点B.

（1）如图，已知点/的坐标为（2,4）,抛物线与直线/在第一象限交于点C.

①求抛物线的解析式及点C的坐标；

②点M为线段8c上不与8,C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D,交抛物线于点E,

设点M的横坐标当时，求才的取值范围；

（2）过点/作/P_L/于点尸，作N。〃/交抛物线于点0,连接尸。，设△/尸。的面积为S.直接写出①

S关于m的函数关系式；②S的最小值及S取最小值时m的值.

4.（2022•新吴区二模）如图,

的图象交y轴于对称轴与x轴交于点〃.

（1）求抛物线的表达式;

（2）已知尸是抛物线上一动点，点加r关于4P的对称点为N.

①若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标;

②请直接写出△M7N面积的最大值.

备用图

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5.(2022•开福区校级二模)如图，抛物线y=(x+1)(x-a)(其中。＞1)与x轴交于/、2两点，交＞轴

于点C

(1)直接写出/OC4的度数和线段的长(用。表示)；

(2)如图①，若°=2,点。在抛物线的对称轴上，DB=DC,求△BCD与△NC。的周长之比；

(3)如图②，若。=3,动点P在线段CU上，过点P作x轴的垂线分别与/C交于点与抛物线交

于点N.试问：抛物线上是否存在点。，使得△PQN与的面积相等，且线段NQ的长度最小？如

果存在，求出点。的坐标；如果不存在，说明理由.

图①图②

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6.（2022・官渡区二模）抛物线丫=3*2+6*+1:交》轴于/、3两点，交了轴正半轴于点0，对称轴为直线x=《.

（2）若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形/8CP面积最大时，点尸坐标和

四边形A8CP的最大面积；

（3）如图2,点。为抛物线的顶点，过点。作脑V〃CD别交抛物线于点M,N,当MN=3CD时，求c

的值.

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7.(2022•徐州二模)如图，四边形N2C。中，已知动点尸从/点出发，沿边N2运动到点3,

动点。同时由/点出发，沿折线C8运动点8停止，在移动过程中始终保持尸已知

点尸的移动速度为每秒1个单位长度，设点尸的移动时间为x秒，△4P。的面积为y,已知〉与x之间

函数关系如图②，其中九W为线段，曲线NK为抛物线的一部分，根据图中信息，解答下列问题:

⑴图①N8=,BC=；

(2)分别求线段曲线腿所对应的函数表达式;

(3)当x为何值，△4PQ的面积为6?

图①图②

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8.(2022•在平区一模)如图，已知二次函数y=ax2+1*x+c的图象交x轴于点8(-8,0),C(2,0),交

y轴点/.

(1)求二次函数y=ax2玲x+c的表达式；

(2)连接/C,AB,若点P在线段3C上运动(不与点3,C重合)，过点尸作PD〃/C,交48于点

试猜想的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标.

(3)连接。D在(2)的条件下，求出5L的值.

BC

9.(2022•碑林区校级模拟)抛物线%:y=a(x+9)2-空与工轴交于/(-5,0)和点反

26

(1)求抛物线%的函数表达式；

(2)将抛物线M关于点M(-1,0)对称后得到抛物线用2,点4、3的对应点分别为B',抛物线

初与y轴交于点C,在抛物线叼上是否存在一点P,使得S△序，#=S△即c，若存在，求出尸点坐标，

若不存在，请说明理由.

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10.(2021秋•钦北区期末)如图，抛物线尸办2+区+6与直线y=x+2相交于/(-1,B(4,6)两点，

点尸是线段N3上的动点(不与/、8两点重合)，过点尸作尸C，x轴于点D,交抛物线于点C,点£是

直线43与x轴的交点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点C是抛物线的顶点时，求△8CE的面积；

(3)是否存在点尸，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

11.(2022•保定一模)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点。出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的

速度运动f秒(f>0),抛物线y=x2+6x+c经过点。和点尸，已知矩形/BCD的三个顶点为/(1,0),B

<1,-5),D(4,0).

(1)求c,b(含/的代数式表示)；

(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段48,CD交于点、M,N.

①在点尸的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出

的值；

②求的面积S与/的函数关系式.并求才为何值时，△AffW的面积为冬.

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12.（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax26x+3x轴交于/（2,0）,8两点，与y轴交于点C（0,

-4）,直线1：y=-]x-4与x轴交于点。，点P是抛物线丫=@*2+|^+0上的一动点，过点尸作

轴，垂足为E,交直线/于点?

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点尸是抛物线上位于第三象限的一动点，设点尸的横坐标是小，四边形PCO3的面积是S.①求S

关于%的函数解析式及S的最大值；②点。是直线尸£上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的

最小值及FQ的长.

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13.（2022•哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax+3与x轴的负

半轴交于点与x的正半轴交于点8,与y轴正半轴交于点C,OB=2OA.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点。是第四象限内抛物线上一点，连接AD交y轴于点E,过C作CFLy轴交抛物线于点尸，连接

DF,设四边形。ECF的面积为S,点。的横坐标的求S与［的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，过尸作万“〃/轴交4D于点连接CD交FAf于点G,点N是CE上一点，

连接ACV、EG,当N3/£>+2/4W=90°,MN：EG=2A/13：5,求点。的坐标.

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14.(2022•利川市模拟)如图，等腰直角三角形042的直角顶点。在坐标原点，直角边04,。2分别在y

轴和x轴上，点C的坐标为(3,4),且NC平行于x轴.

(1)求直线的解析式；

(2)求过8,C两点的抛物线y=-f+bx+c的解析式；

(3)抛物线y=-/+bx+c与x轴的另一个交点为试判定0C与3。的大小关系；

(4)若点M是抛物线上的动点，当的面积与△4BC的面积相等时，求点M的坐标.

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15.(2021•襄阳)如图，直线y=/x+l与x,y轴分别交于点8,A,顶点为P的抛物线了=G2-2ax+c过

点4.

(1)求出点4,5的坐标及。的值；

(2)若函数_2QX+C在3WxW4时有最大值为Q+2,求〃的值；

(3)连接4尸，过点/作4尸的垂线交工轴于点设△BMP的面积为S.

①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；

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16.(2021•辽宁)如图，抛物线y=-率2+8+。与x轴交于点/和点。(-1,0),与了轴交于点8(0,3),

连接N3,3C,点尸是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D,交AB于点、E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,作于点尸，使PF=LO4以PE,P尸为邻边作矩形PEG?当矩形PEGF的面

2

积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；

(3)如图2,当点P运动到抛物线的顶点时，点。在直线产口上，若以点。、/、3为顶点的三角形是

锐角三角形，请直接写出点0纵坐标〃的取值范围.

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17.(2021•贺州)如图，抛物线y=x2+6x+c与x轴交于/、3两点，且/(-1,0),对称轴为直线x=2.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)直线/过点/且在第一象限与抛物线交于点C.当/CAB=45°时，求点C的坐标;

(3)点。在抛物线上与点C关于对称轴对称，点尸是抛物线上一动点，令尸CXP，yP\当IWxpWa,

1W.W5时，求△PCD面积的最大值(可含a表示).

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18.(2021•常德)如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形/2CO的边与y轴交于E点，厂是4D

的中点，B、C、。的坐标分别为(-2,0),(8,0),(13,10).

(1)求过3、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)试判断抛物线的顶点是否在直线所上；

(3)设过厂与N3平行的直线交y轴于0,M是线段之间的动点，射线"核与抛物线交于另一点P,

当△尸3。的面积最大时，求尸的坐标.

19.(2021•福建)已知抛物线＞=°/+云+。与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点尸(0,1),求a+6的最小值；

(2)已知点P(-2,1),尸2(2,-1),P3(2,1)中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线/：»=履+1与抛物线交于M,N两点，点/在直线y=-1上，且NM4N=90°,过点/且与

x轴垂直的直线分别交抛物线和/于点8,C.求证：△M4B与的面积相等.

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20.(2021•柳州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y=tzx2+6x+c交x轴于/(-1,0),B(3,0)

两点，与y轴交于点C(0,-日).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)如图1,点。为第四象限抛物线上一点，连接