二元一次方程（组）-2025年沪科版七年级数学寒假提升讲义（含答案）

专题04二元一次方程（组）

考点聚焦：核心考点+中考考点，有的

放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

考点聚焦

回代入WXflMR个方程中，求出另外内个未知数

◊》重点专攻

知识点1:二元一次方程组的相关概念

试卷第1页，共20页

1.二元一次方程的定义

定义：方程中含有两个未知数（一般用X和了），并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫

做二元一次方程.

注意：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.

（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

2.二元一次方程的解

定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

注意：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起

[x=a

来，即二元一次方程的解通常表示为人的形式.

[y=b

3.二元一次方程组的定义

定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.此

外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组

j3x+4歹=5

[x—2,

\a,x+b.y=G

注意：（1）它的一般形式为：（其中外,出，可,打不同时为零）.

[a2x+b2y=c2

（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方

程组.

（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思.

4.二元一次方程组的解

定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

注意：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应

把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某

一组解不一定是方程组的解.

（2）方程组的解要用大括号联立；

（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组h-/无解,

\2x+y=6

试卷第2页，共20页

而方程组{2：：方^12的解有无数个.

知识点2:二元一次方程组的解法

1.解二元一次方程组的思想：消元转化为一元一次方程

2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法

（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：

①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或V）的代数式表示了

（或X）,即变成y=ax+6（或x=ay+6）的形式；

②将y=ox+6（或》=即+6）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去了（或

x）,得到一个关于x（或了）的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出x（或V）的值；

④把x（或了）的值代入了=办+6（或x=ay+6）中，求了（或x）的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.

注意：（1）用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比

较简单或代入后化简比较容易的方程变形；

（2）变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；

（3）要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整

体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程,

这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使

运算简便，提高运算速度及准确率.

（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：

①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原

方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；

②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，

将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.

注意：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用

加减消元法较简单.

试卷第3页，共20页

知识点3:实际问题与二元一次方程组

注意：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求

得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设，，、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

知识点4：三元一次方程组

1.定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；

含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程，像

这样的方程组叫做三元一次方程组.

4x+y-z=12,2a+lb=3,

3x+2y+z=-5,<3〃一c=1,等都是三元一次方程组.

x-y+5z=1,一6+3。=4

注意：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：

（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；

（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.

2.三元一次方程组的解法

解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数,

从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知

数.解三元一次方程组的一般步骤是：

（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中

的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；

（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元

一次方程；

（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；

（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起.

试卷第4页，共20页

注意：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的

解法.

（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入

原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解,

只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解.

3.三元一次方程组的应用

列三元一次方程组解应用题的一般步骤：

（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x,乃z）表示题目中的两个（或三个）未

知数；

（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；

（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；

（4）解这个方程组，求出未知数的值；

（5）写出答案（包括单位名称）.

注意：（1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得

的结果是否合理，不符合题意的应该舍去.

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一.

（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组.

<»提升专练------------------------------------------

鬻题型归纳

【考点01二元一次方程的定义】

（22-23七年级上•湖南常德•期中）

1.下列是二元一次方程的是（）

A.x+2y=3B.x2+y=lC.-+-=2D.2x-l=5

3x

（23-24七年级下•四川南充・期中）

2.若2/7=3是二元一次方程，则加=,"=

（23-24七年级上•重庆・期末）

3.已知方程（机-3）+2广筋=io是关于X、夕的二元一次方程.贝0+〃=.

（23-24七年级下•山东烟台•期末）

试卷第5页，共20页

4.请写出一个关于工,歹的二元一次方程，使其满足》的系数是大于2的整数，歹的系数是

小于-l的整数，且x=l,>=3是这个二元一次方程的解.这个方程可以是

【考点02判断是否是二元一次方程组】

⑵-24七年级下•云南德宏・期末）

5.下列方程组中是二元一次方程组的是

x—y=1x2+y2=4

A.B.

2x+z=4x+y=5

11

x+y=3—+—5

C.D.xy

=5

x-2y=4

（23-24七年级下•江苏连云港・期末）

6.下列方程组是二元一次方程组的是（

x-y=3Li_3

A.B.〈y

y+z=4

2x+y=5

xy=3x=3+y

C.D.

3x-y=43〉+4x=4

（22-23七年级下•北京海淀•期中）

7.下列方程组中,是二元一次方程组的是)

2x—3y=l2x=l

xy=l2x+z=0

A.B.C.D.〈

x+y=21=23x-2y=2

J

（23-24七年级下•河北石家庄•期中）

111

xy=1x=l—I—=Ix=2x+y=5

8.在方程组=xy7中，是二元一次方程

x+2y=3,=13y-x=ly=/+z

x+y=I

组的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【考点03代入消元法】

（22-23七年级下•重庆江津•期中）

9.解下列方程组.

试卷第6页，共20页

x+2y=6

(1)

2x-y—7

x+yfx-y_t

⑵23

4（%+））-5（工一））二-38

（22-23七年级下•浙江•期中）

10.用适当方法解下列方程组:

y=3x-5

(1)

5x+y=11

xZ±l=1

(2)j23

3x+2y=10

（23-24七年级上•安徽•期末）

11.解二元一次方程组:

x=3y-2

(1)

4y=7-3x

2x-3y=-5

⑵

3x_4y=-6

（22-23七年级下•新疆阿克苏•期末）

12.解下列方程组:

x-2y=3

(1)3x+2y=9；

(2)

4(x-y)+3(x+7)=9

【考点04加减消元法】

（23-24八年级上•江苏南通•期末）

x+2y=8

13.若无、y满足方程」r，则的值是

2x+y=J

（24-25八年级上•山东济南•期中）

14.解方程组:

3x+2y=ll①

(1)3x-5y=4®；

试卷第7页，共20页

曰+四=1①

(2)j23

x+y=4②

（23-24七年级下•山东济宁・期末）

3x-4y=-6

15.（1）解方程组:

2x+3y=13

x+yx-y

<2\3=6

（2）解方程组:

4(x+y)_5(x_y)=2

（23-24七年级下•广东肇庆•期末）

16.解下列方程组:

2x-y=7

3x+2y=0

2x-5y=-21

（2）,；_

[4x+3歹=23

【考点05二元一次方程组解的综合应用】

（22-23七年级下•四川内江•期中）

17.利用加减消元法解二元一次方程组<；（台时，下列做法，正确的是（）

[51一3歹二6②

A.要消去V,可以将①X5XDX2

B.要消去x,可以将①x3+②x（-5）

C.要消去V,可以将①x5+②x3

D.要消去x,可以将①x5-②x2

（23-24七年级下•湖南益阳•期中）

18.（w-3）x+2/T+6=o是关于x,了的二元一次方程，则加=.

（23-24七年级下•海南海口•期中）

19.已知二元一次方程2x-3y=5,用含y的代数式表示x,贝口=.

（23-24七年级下•浙江宁波•期中）

Ix+mv=5®

20.已知关于x,y的方程组，.小，将此方程组的两个方程左右两边分别对应

\mx-y=3+2加②

相加，得到一个新的方程，当加每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，

试卷第8页，共20页

这个公共解为.

【考点06方案选择】

（23-24七年级下•四川眉山•期中）

21.用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形，侧面是相同的长方形，经测量，一张硬

纸板有如图4种裁剪方案.A方案：剪3个侧面；8方案：剪2个侧面和2个底面；C方案:

剪1个侧面和4个底面；。方案：剪6个底面.现有35张硬纸板，请你设计一种不浪费纸板

的裁剪组合方案，并计算最多可以做多少个盒子？

盒子A方案B方案C方案D方案

（23-24七年级下•重庆彭水•期中）

22.某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作lh加工小麦32吨；

3台大面粉机和2台小面粉机同时工作lh共加工小麦26吨.

（1）1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？

（2）该厂现有450吨小麦需要加工，计划使用8台大面粉机和10台小面粉机同时工作5h,能

否全部加工完？请你帮忙计算一下.

（23-24七年级下•山东荷泽•期中）

23.干佛山、总勺突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，

某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动.己知千佛山景区成人票每张30元，学生票按

成人票五折优惠.某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元.

（1）这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决）

（2）该班在购买活动奖品时，N奖品每件20元，8奖品每件50元，如果准备用200元购买,

A,5两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买力,3两种奖品

的购买方案.

（22-23七年级下•江苏南通・期中）

24.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工

具.某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆.由于抽调不出足够的

熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽

车的安装.生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源

试卷第9页，共20页

汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车.

（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？

（2）如果工厂招聘〃（0<«<10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成

一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？

（3）在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给

每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟

练工，同时工厂每月支出的工资总额少（元）尽可能少？

【考点07行程问题】

（22-23七年级下•云南曲靖•期末）

25.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走3km,平路每小时走4km,

下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到

xy36

__=_____

34-60

乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为则方程组中x表示,

二+2=*

.5460

（23-24七年级下•北京延庆・期末）

26.学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行.如果小

明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1

小时后两人还相距11千米.求小明、小强每小时各走多少千米.

（23-24七年级下•江苏徐州•期末）

27.用二元一次方程组解决问题：

4、8两地相距12km,甲骑电动车从工地出发到5地，与此同时，乙骑电动车从2地出发

到/地，两人均保持匀速行驶.已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙

剩余路程的8倍.求甲、乙二人的骑行速度.

（23-24七年级上•山东滨州•期末）

28.列方程解应用题：

（1）/车和3车从甲，乙两地同时出发，沿同一路线相向匀速而行.出发后1.5小时两车相距

75公里，之后再行驶2.5小时/车到达乙地，而8车还差40公里才能到达甲地.求甲地和

乙地相距多少公里？

（2）某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件

20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B

试卷第10页，共20页

零件恰好配套.工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5

元.

①求该工厂有多少工人生产A零件？

②因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的

工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？

【考点08分配问题】

（23-24七年级下•山东淄博•期中）

29.某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天40元，两人间每人每天50元，

一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住

宿费2320元，两种客房各租住了多少间？

⑵-24七年级下•广东广州•期中）

30.列方程或方程组解应用题

福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制

作这种衬衫3件或裤子5条.已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利

润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人

制作裤子？

（22-23七年级上•广西贺州•期末）

31.某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下,

若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计

安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？

（22-23七年级下•海南海口•期中）

32.学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客

车每辆载客量30人，已知2辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1540元，3辆甲种客车和2

辆乙种客车共需租金1560元.

（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？

（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租

车费用是多少？

【考点09销售盈亏问题】

（23-24七年级下•江苏淮安•期中）

33.为迎接春季运动会，学校先在体育用品商店购买30个足球和60条跳绳用去720元，后

试卷第11页，共20页

又购买10个足球和50条跳绳用去360元.

(1)足球、跳绳的单价各是多少元？

(2)该店最近正在开展促销活动，所有商品都按相同的折数打折销售，在该店促销期间购买

100个足球和100条跳绳只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？

(23-24七年级下•重庆•期中)

34.近日被市民们亲切的称为“背篓专线”的重庆轻轨四号线受到人们的关注，某天张大爷乘

坐“背篓专线”将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷拿去市区售卖，已知2斤樱桃和3斤枇杷共

可卖95元，3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元.

⑴请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元？

(2)张大爷这天一共有20斤樱桃和30斤枇杷，经过一天的售卖，樱桃一共卖出了樱桃总量

的70%,由于天气炎热，在剩下的樱桃中出现了7〃％的损坏不能售卖.枇杷售出了枇杷总

量的。，张大爷决定对剩下的樱桃打8折销售，剩下的枇杷直接每斤降价〃?元，很快便将

所有水果销售一空，张大爷这天卖水果一共收入了889元，求加的值.

(23-24七年级上•重庆北倍•期中)

35.列方程解应用题：7月，某水果店用370元购进葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的

2倍还多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的进价分别为5元、2元，售价分别为8元、5

元.

(1)求购进两种水果各多少千克？

(2)8月，水果店以7月的进价又购进葡萄、西瓜两种水果，其中葡萄、西瓜的重量都不变,

葡萄降价y元销售，西瓜按原价销售，8月份两种水果售完后的总利润是315元，求y的值.

(23-24七年级上•黑龙江哈尔滨•期中)

36.黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，

素有“地下苹果，，之称.老李今年种植了5亩A品种黑马龄薯，10亩3品种黑马铃薯，其中A

品种的平均亩产量比8品种的平均亩产量低20%,共收获两个品种黑马铃薯14000千克.

(1)求A,3两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？

试卷第12页，共20页

（3）在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马龄薯.收购方式如下：A,B

两个品种各自独立装箱，A品种每箱40千克，8品种每箱100千克，老李给出如下优惠：

收购A或8的数量（单位：箱）不超过30箱超过30箱

-优惠方式收购总价打九五折收购总价打八折

第一次收购了两个品种共60箱，且收购的8品种箱数比A品种箱数多；受某些因素影响，

蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱A的收购价不变，每箱3的收购价比第一次的

收购价降低，，优惠方式不变.两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给

0

老李的费用比第一次支付给老李费用多11400元，求蔬菜商人第一次收购A品种黑马铃薯多

少箱？

【考点10三元一次方程组】

（23-24七年级下•福建泉州•期中）

3x+z=6

37.解方程组4x-.y+2z=ll时，要使解法较为简便，应（）

5x+2y-3z=4

A.先消去xB.先消去VC.先消去zD.先消去常数

（23-24七年级下•山东烟台•期中）

2a+b-3c=19

38.三元一次方程组，4a+26+c=3消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（）

a-b+c=0

\5a-2b=19\2a+b=4\a+b=\j3a+6=3

A，]+6=lB.13q+6=3C,（3q_26=19[5a-2b=19

（23-24七年级下•四川眉山・期中）

39.在等式y="2+6x+c中，当x=-l时，＞=0；当x=3时，y=0；当x=o时，

7=-3.则这个等式为_____________________

（24-25八年级上•山东济南•期中）

40.【阅读理解】

在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易.

（3x+2y+z-4①

例：已知，/[1的，求2x+y+z的值.

[7x+4y+3z=10②

试卷第13页，共20页

解：②-①得：4x+2y+2z=6③

③xg得：2x+y+z=3,

所以，2x+y+z的值为3.

【类比迁移】

fx+2y+3z=10

（1）已知X求3x+4y+5z的值；

[5x+6y+7z=26

【实际应用】

（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3

本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号

笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少

钱？

过关检测

一、单选题

（23-24七年级下•云南文山•期中）

41.若（“-1）即+3y=l是关于x的二元一次方程，则。的值为（）

A.1B.-1C.±1D.2

（23-24八年级上•河南驻马店•期末）

42.已知3x-7y=41,用含x的代数式表示了可得（）

7y+41--7^+41厂41-3x八3x-41

A.x=--------B.x=—:-------C.y=---------D.y=---------

3377

（23-24七年级上•河南郑州•阶段练习）

43.在长方形/BCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影

部分的面积之和为（）

试卷第14页，共20页

(23-24七年级下•江苏徐州•期中)

44.如图，用四个完全相同且长、宽分别为x,y(x>y)的长方形纸片围成一个大正方形

ABCD,中间是空的小正方形EFG".已知4B=7,EF=3,则下列关系式中不乖砸的是()

C.x2-/=21D.x2+y2=40

(24-25七年级上•北京•期中)

45.正正和阳阳一起玩猜数游戏.正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤

进行计算：第一步把第一个数乘以4,再减去15；第二步把第一步的结果乘以2,再加上第

二个数；第三步把第二步的结果乘以8,再加上第三个数.只要你告诉我最后的得数，我就

能知道你所选的三个正整数.”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了.请你利用

所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个

正整数按顺序分别是()

A.1,4,6B.6,4,1C.6,2,5D.5,2,6

(22-23七年级下•重庆蒙江•期中)

46.《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方

3x+2y+z=39①

程组.比如对于方程组，2x+3.y+z=34②，先将方程①中的未知数系数排成数列32139,

龙+2y+3z=26③

然后执行如下步骤：(如图)第一步，将方程②中的未知数系数乘以3,然后不断地减一行,

直到第二行第一个数变为0;第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似.

方程①：32139

第一步方程②：23134—693102……-4-051a

第二步方程③：12326fM……f06839

其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：(1)数列M为：369618

(2)a=24(3)6=4其中正确的有()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(2)(3)

试卷第15页，共20页

二、填空题

（23-24七年级下•浙江绍兴•期中）

47.已知关于x,y的二元一次方程组I"*（。是常数），若不论。取什么实数，

—3y=4。+6

代数式米-了"是常数）的值始终不变，贝廉=.

（23-24七年级下•河北石家庄•期中）

[2x+y=5

48.已知无、了满足方程组/,则x-y的值为____.

[x+2y=4

（24-25七年级上•重庆•期中）

49.对于一个三位正整数力，如果"满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等

于7,那称这个数为“七巧数”.例如："1=452,•「4+5-2=7,.1452是“七巧数”；

%=724,•;7+2-4=5w7,.1724不是“七巧数”.最小的“七巧数”是；若“七巧数”加

满足:所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则m的最大值是

（23-24七年级下•福建泉州•期中）

50.已知X、了、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若S=2x+y-z,

则S的最大值与最小值的差为.

三、解答题

（22-23七年级下•重庆沙坪坝•期中）

51.解方程组：

2,x—3y=—1

(1)

x+2y=3

2=1+小

(2)23

2(x+l)_y=7

u+vu-v/

------+-------=6

(3)23

4(w+v)-5(w-v)=2

0.3m-1.5w3m-n

----------------F=14

0.34

(4)<

mn-1-

——+------=11

123

（23-24七年级下•北京•期中）

试卷第16页，共20页

52.解方程组:

4(x-y=2①

(1)‘。=2②

[23

x+y+z=13@

(2)y+z=10②

x+y—2z=—5③

(22-23七年级下•河南洛阳•期中)

53.下面所示为七下教材38页中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有

关信息解决问题.

2x-3y+4z=3①

例1解方程组：3x-2y+z=7②

x+2y-3z=l③

解由方程②，得z=7-3x+2y...........步骤一④

将④分别代入方程①和③，得

2x-3y+4(7-3x+2y)=3

步骤二

x+2y-3(7-3元+2y)=l

f~x+y=—5

整理，得、...

[5x-2y=11

fx=1

解这个二元一次方程组，得°

卜=-3

代入④，得z=7-3-6=-2.

x=1

所以原方程组的解是㈠=-3,

2=-2

(1)我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数,

将方程组转化为一求解，方法有_和_.其中的步骤二通过一法消去未知数Z,将三元一次方程

组变成了一，体现了数学中_思想.

x+2y-z=4

(2)仿照以上思路解方程组-2x+y+z=5消去字母Z后得到的二元一次方程组为一.

3x+4y+z=10

(23-24七年级上•浙江杭州•期中)

试卷第17页，共20页

54.如图，在一张长方形纸条上画一条数轴.

>,，/..............忸，，，

4-3-2-101234567.........-4-3j2-101234567

图1图2

(1)折叠纸条使数轴上表示-3的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是「如果

数轴上两点之间的距离为7,经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是」

(2)如图2,点/、B表示的数分别是-2、4,数轴上有点C,使点C到点3的距离是点C到

点N距离的3倍，那么点C表示的数是多少？

(3)如图2,若将此纸条沿/、3两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这

样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数.

(23-24七年级下•广东广州•期中)

55.关于x,y的二元一次方程组，如果方程组的解x,>满足x-y=l,我们就说方程组的

解尤与/具有“邻好关系”，请完成下面问题：

Iy=2x-4

⑴方程组Jc的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由;

[3x+2y=13

2x+y=5k+\

(2)方程组/AJ-的解x与〉具有“邻好关系”，求左的值.

x+=4左+2

(23-24七年级下•福建厦门•期中)

3x+y=5«-4

56.已知关于x,了的二元一次方程组­,其中。为实数.

x—y=—a

(1)当a=2时，求方程组的解；

(2)求x+V的值(用含。的代数式表示)；

(3)试说明无论。取何数时，代数式6x-3y的值始终不变.

(23-24七年级下•福建泉州•期中)

32r

—I—=7

xy11

57.阅读：某同学在解方程组。；时，运用了换元法，方法如下：设—=〃?，一=〃,

1-1=14xJ

X歹

\3m+2n=7

则原方程组可变形为关于加，〃的方程组C解这个方程组得到它的解为

2m—n=14

试卷第18页，共20页

m=511X~5

由-=5,—=-4,求得原方程组的解为.请利用换元法解方程组:

n=-4xy1

5

+—=11

x-12y

3

---=13

2〉

(24-25七年级上•安徽六安•期中)

58.如图，己知点/在数轴上对应的数为0,点2对应的数为6,且a,6满足

|a+20|+|Z?-40|=0.

⑴求点A与点B在数轴上对应的数a和b；

(2)现动点尸从点/出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点。从点

B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为，秒.

①若点P和点。相遇于点C,求点C在数轴上表示的数；

②当点尸和点0相距15个单位长度时，直接写出t的值.

(24-25七年级上•广东深圳•期中)

59.如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任

意三个相邻格子中所填整数之和都相等.

3a-6C7-6

⑴填空：«=,,第2024个格子中的数是；

(2)前"个格子中所填整数之和是否可能为2020?若能，求出〃的值；若不能，请说明理由;

(3)如果在前〃个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值,而后将所有的这样的差值累

加起来称为前"项的累差值，例如前3项的累差值列式为：+-6)|+卜-(-6)|,那

么前10项的累差值为多少？

(23-24七年级下•浙江•期中)

60.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表:

计费项目里程费时长费远途费

试卷第19页，共20页

单价L8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里

注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长

费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内(含7公里)不收远

途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.

(1)一人乘坐滴滴快车，用了20分钟到目的地，快车共行驶了x(x>7)公里，他共用_7C

(用含x的代数式表示).

(2)甲、乙两好友出行，因顺路两人乘坐同一辆滴滴快车(多人乘坐只需一人支付全程费

用)，在途中乙先下车，此时计费器显示已产生了8.4元费用，又过了8分钟，甲到达目的

地，并在支付14.4元给司机时发现快车全程共行驶了5公里，求乙的乘车时长和实际里程.

(3)丙、丁两人各自乘坐滴滴快车，丁比丙行车里程多1.5公里，如果下车时两人所付车费相

同，且两人计费项目也相同，那么这两辆滴滴快车的行车时长相差_(直接写出答案).

试卷第20页，共20页

1.A

【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有

未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程即可判断求解，掌握二元一次方程的

定义是解题的关键.

【详解】解：A、x+2y=3是二元一次方程，该选项符合题意；

B、方程中未知数的最高次数是2,不是二元一次方程，该选项不合题意；

C、方程的左边不是整式，不是二元一次方程，该选项不合题意；

D、方程只含有一个未知数，不是二元一次方程，该选项不合题意；

故选：A.

2.12

【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义即可求解，掌握二元一次方程

的定义是解题的关键.

【详解】解：一2广=3是二元一次方程，

3m—2—1,"—1=1,

=l,n=2,

故答案为：1,2.

3.2

【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注

意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程.

根据二元一次方程的定义，求出加和〃的值，代入进行计算即可.

【详解】解：•••方程（加-3），*+2产,=10是关于x、>的二元一次方程，

加一3w0

<|m-2|=1,

3—2〃=1

[m=l

解得：「

[几=1

.,.m+n=1+1=2,

故答案为：2.

4.3x-2y=-3（答案不唯一）

答案第1页，共36页

【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，根据题意,

写出满足题意的X,了的系数，再把X=1代入，验证V的值，即可.

【详解】解：由题意得，X的系数是大于2的整数，y的系数是小于-1的整数，

•1•3x—2y--3满足题意，

=>=3是这个二元一次方程的解，

二当x=1时，3-2y--3,

解得：>=3,

3x-2.y=-3符合题意.

故答案为：3x-2y=-3（答案不唯一）.

5.C

【分析】此题考查的是二元一次方程组的判断，掌握二元一次方程组的定义是解决此题的关

键.

根据二元一次方程组的定义逐一判断即可.

fx-y=]

【详解】解：A.、-，是三元一次方程组，故A不符合题意；

B.[X2A+y二2=4是二元二次方程组’故B不符合题意;

C.1I3x、+一y;=二35是二元一次方程组,故C符合题一意;

—I—=5

D.xy是分式方程组，故D不符合题意.

x-2y=4

故选：C.

6.D

【分析】本题考查了二元一次方程组的定义；

如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的整式方程组

叫做二元一次方程组，据此判断即可.

【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组；

B、第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组；

C、第一个方程不是二元一次方程，不是二元一次方程组；

答案第2页，共36页

D、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组;

故选：D.

7.D

【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可.

【详解】解：A.方程孙=1,含未知数的项的次数是2次，故该方程组不是二元一次方程

组，选项不符合题意;

B.方程'=2不是整式方程，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意;

X

C.该方程组含有三个未知数，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意;

D.该方程组是二元一次方程组，选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定

义，含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程.

8.A

【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程

组中的两个方程都是整式方程.②方程组中共含有两个未知数.③每个方程都是一次方

程.根据二元一次方程组的定义求解即可.

x=1x=2

【详解】2，是二元一次方程组，共2个,

y=l3y-x=l

故选：A.

x=4

9.(1)

»=1

x=2

⑵

y=-4

【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程组解法，根据未知数系数

的特点，选择合适的方法.

(1)运用代入消元法求解即可;

(2)先将方程组整理后，再运用代入法求解即可.

x+2y=6①

【详解】⑴解:

2x-y=7②'

答案第3页，共36