2024-2025学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x＝3 B．x2C．3x2+y＝2 D．x﹣3y+1＝02．（3分）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为X甲＝89分，X乙＝89分，S甲2＝246，S乙2＝191，那么成绩较为整齐的是（）A．甲班 B．乙班 C．两班一样整齐 D．无法确定3．（3分）已知反比例函数y=kA．（﹣2，5） B．（3，1） C．（﹣1，10） D．（﹣2，﹣5）4．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝4cm，则d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm5．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根6．（3分）已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠E＝60°，则∠F的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．80°7．（3分）“书是人类进步的阶梯!”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（）A．608（1﹣x）2＝128 B．128（1﹣x）2＝608 C．608（1+x）2＝128 D．128（1+x）2＝6088．（3分）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为（）A．（1，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（−29．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则tanB的值为（）A．45 B．35 C．3410．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AEAB=ADAC=37，则SA．1：3 B．9：49 C．9：40 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（3分）点A（1，m），B（﹣2，n）在反比例函数y=−3x的图象上，则m12．（3分）把一元二次方程x（x+2）＝﹣3化成一般形式是．13．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为2A时，电阻为Ω．14．（3分）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人？”15．（3分）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b=ab2，则方程2☆x＝x★8的解为16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA=125，则sinA＝17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，斜边上的高AD交BC于点D，若BD＝9，CD＝6，则AD的长度等于．18．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx(x＞0)图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，BDOD=12，连接BC三、解答题（本大题共8个小题，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．（6分）计算：|−820．（6分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）x2﹣7x+10＝0．21．（8分）某校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生有人；（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是；（4）若该校有2600名在校学生，请你估计喜爱“小说”的大约有多少人？22．（8分）莽山多奇峰，假期某一天，天气晴好，热爱户外运动的胡老师到莽山公园爬山．有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，胡老师从山脚A出发，沿AB走400米到B点，再沿BC到山顶C点，已知山高CF为384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延长线于点F，∠1＝30°，∠2＝50°．（图中所有点均在同一平面内）（1）求BD的长；（2）求胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）23．（9分）乐乐同学的妈妈经营了一家童装专卖店，她在销售中发现，一款童装每件进价为120元，销售价为280元时，平均每天可售出3件，为了迎接“元旦”，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，若每件童装降价10元，则平均可多售出1件．设每件童装降价10x元．（1）每天可销售件，每件盈利元；（用含x的代数式表示）（2）求每件童装降价多少元时，销售这款童装平均每天可盈利840元．24．（9分）如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．（1）求证：△ECD∽△DEF；（2）若CD＝4，求AF的长．25．（10分）综合与实践：如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是；（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝1，AC＝3，求△BDF的面积；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC=26．（10分）我们不妨约定，如果三条线段a，b，c的长度满足一条线段长的倒数是另两条线段长的倒数和，那么称线段a，b，c为“和谐三线”，例如，长度为1，1，12（1）如图1，若点A对应的数为1，点B为线段OA上，位于中点左侧的数轴上的一点，若线段OA，OB，AB为“和谐三线”，求点B对应的数；（2）如图2，已知AB∥CD，连接AD，BC交于点F，过F作AB的平行线交AC于点E，求证：AB，CD，EF为“和谐三线”；（3）如图3，已知一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与函数y=kx（x＞0）的图象交于C，D两点，其中D点横坐标大于C点横坐标，若BC，CD，AD是“和谐三线”，求

2024-2025学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案ABDAADDBDC一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x＝3 B．x2C．3x2+y＝2 D．x﹣3y+1＝0【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；B、不是整式方程，故此选项不符合题意；C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、未知数的最高次数是1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：A．2．（3分）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为X甲＝89分，X乙＝89分，S甲2＝246，S乙2＝191，那么成绩较为整齐的是（）A．甲班 B．乙班 C．两班一样整齐 D．无法确定【解答】解：甲、乙两个班的平均分相同，而S甲2＞S乙2，因此乙班的成绩比较整齐，故选：B．3．（3分）已知反比例函数y=kA．（﹣2，5） B．（3，1） C．（﹣1，10） D．（﹣2，﹣5）【解答】解：∵反比例函数y=k∴k＝1×10＝10，A、∵（﹣2）×5＝﹣10≠10，∴此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；B、∵3×1＝3≠10，∴此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；C、∵（﹣1）×10＝﹣10≠10，∴此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；D、∵（﹣2）×（﹣5）＝10，∴此点在反比例函数的图象上，符合题意，故选：D．4．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝4cm，则d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm【解答】解：∵线段a，b，c，d成比例线段，∴a：b＝c：d，即1：2＝4：d，∴d＝8（cm）．故选：A．5．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．6．（3分）已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠E＝60°，则∠F的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．80°【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∴∠D＝∠A＝40°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣60°＝80°，故选：D．7．（3分）“书是人类进步的阶梯!”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（）A．608（1﹣x）2＝128 B．128（1﹣x）2＝608 C．608（1+x）2＝128 D．128（1+x）2＝608【解答】解：∵第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，∴128（1+x）2＝608，故选：D．8．（3分）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为（）A．（1，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（−2【解答】解：∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，∴△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1：2，而点A1的坐标为（﹣1，2），∴点A2的坐标为（2，﹣4）．故选：B．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则tanB的值为（）A．45 B．35 C．34【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴tanB=AC故选：D．10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AEAB=ADAC=37，则SA．1：3 B．9：49 C．9：40 【解答】解：∵在△ADE与△ACB中，AEAB=ADAC=∴△ADE∽△ACB，∴S△ADE：S△ACB＝（AE：AB）2＝9：49，∴S△ADE：S四边形BCED＝9：40．故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（3分）点A（1，m），B（﹣2，n）在反比例函数y=−3x的图象上，则m＜【解答】解：∵反比例函数的比例系数为﹣3，∴图象过二四象限，∵1＞﹣2，∴m＜0，n＞0，∴m＜n故答案为＜．12．（3分）把一元二次方程x（x+2）＝﹣3化成一般形式是x2+2x+3＝0．【解答】解：x（x+2）＝﹣3，x2+2x＝﹣3，x2+2x+3＝0，故答案为：x2+2x+3＝0．13．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为2A时，电阻为18Ω．【解答】解：设该反比函数解析式为I=k∴k＝36，∴I=36把I＝2代入得，∴R＝18，故答案为：18．14．（3分）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少19人？”【解答】解：设这群人共有x人，则共摘了x(1+x)2根据题意得：x(1+x)2=10整理得：x2﹣19x＝0，解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝19，∴这群人共有19人．故答案为：19．15．（3分）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b=ab2，则方程2☆x＝x★8的解为x1＝x2【解答】解：∵a☆b＝a2+b2，a★b=ab∴2☆x＝22+x2＝4+x2，x★8=8x∵2☆x＝x★8，∴4+x2＝4x，即x2﹣4x+4＝0，∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝16﹣16＝0，∴x=4±∴x1＝x2＝2．故答案为：x1＝x2＝2．16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA=125，则sinA＝12【解答】解：由条件可知BCAC设BC＝12k，AC＝5k，其中k＞0，∴AB=B∴sinA=BC故答案为：121317．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，斜边上的高AD交BC于点D，若BD＝9，CD＝6，则AD的长度等于36．【解答】解：由射影定理得，AD2＝BD•CD，则AD2＝9×6＝54，∴AD＝36，故答案为：36．18．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx(x＞0)图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，BDOD=12，连接BC【解答】解：设A（a，ka∴AB＝a，BO=k∵AB⊥y轴，CO⊥y轴，∴AB∥CO．∴ABCO∴CO＝2AB＝2a，BD=13BO又∵S△BCD=12BD•OC=12∴k＝6．故答案为：6．三、解答题（本大题共8个小题，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．（6分）计算：|−8【解答】解：|−=8=22＝﹣3．20．（6分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）x2﹣7x+10＝0．【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣9＝0，（x﹣3）2＝9，∴x﹣3＝±3∴x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，∴x1＝6，x2＝0；（2）x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝5．21．（8分）某校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生有200人；（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是54°；（4）若该校有2600名在校学生，请你估计喜爱“小说”的大约有多少人？【解答】解：（1）50÷25%＝200（人），所以本次被调查的学生有200人；故答案为：200；（2）喜欢“诗歌”的人数为200﹣80﹣50﹣30＝40（人），补全统计图为：（3）在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是：360°×30故答案为：54°；（3）2600×80所以估计喜爱“小说”的大约有1040人．22．（8分）莽山多奇峰，假期某一天，天气晴好，热爱户外运动的胡老师到莽山公园爬山．有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，胡老师从山脚A出发，沿AB走400米到B点，再沿BC到山顶C点，已知山高CF为384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延长线于点F，∠1＝30°，∠2＝50°．（图中所有点均在同一平面内）（1）求BD的长；（2）求胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【解答】解：（1）∵BD⊥AF，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝30°，AB＝400米，∴BD=12∴BD的长为200米；（2）∵CE⊥BE，BD⊥AF，∴∠CEB＝∠BEF＝∠BDF＝90°，∵BE∥AF，∴∠AFE＝∠CEB＝90°，∴四边形BDFE是矩形，∴BD＝EF＝200米，∵CF＝384米，∴EF＝CF﹣EF＝384﹣200＝184（米），在Rt△CBE中，∠2＝50°，∴BC=CE∵AB＝400米，∴AB+BC＝400+239＝639（米），∴胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了约639米．23．（9分）乐乐同学的妈妈经营了一家童装专卖店，她在销售中发现，一款童装每件进价为120元，销售价为280元时，平均每天可售出3件，为了迎接“元旦”，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，若每件童装降价10元，则平均可多售出1件．设每件童装降价10x元．（1）每天可销售（3+x）件，每件盈利（160﹣10x）元；（用含x的代数式表示）（2）求每件童装降价多少元时，销售这款童装平均每天可盈利840元．【解答】解：（1）根据题意得：当每件童装降价10x元时，每天可销售3+10x10=（3+x）件，每件盈利280﹣10x故答案为：（3+x），（160﹣10x）；（2）根据题意得：（160﹣10x）（3+x）＝840，整理得：x2﹣13x+36＝0，解得：x1＝4，x2＝9，又∵要尽快减少库存，∴x＝9，∴10x＝10×9＝90（元）．答：每件童装降价90元时，销售这款童装平均每天可盈利840元．24．（9分）如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．（1）求证：△ECD∽△DEF；（2）若CD＝4，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠CED＝∠FDE，∴△ECD∽△DEF；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，∵E为BC的中点，∴CE=12在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE=CE2∵△ECD∽△DEF，∴CEDE∴22解得：DF＝10，∵AD＝4，∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．25．（10分）综合与实践：如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是DE＝AB；（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝1，AC＝3，求△BDF的面积；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC=9【解答】解：（1）DE＝AB，理由：∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．∵∠CBD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠DBE＝∠ACB，在△ABC和△EDB中，∠ACB=∠DBE∠A=∠DEB=90°∴△ABC≌△EDB（AAS），∴DE＝AB，故答案为：DE＝AB；（2）解：∵∠CBD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠DBE＝∠ACB，在△ABC和△EDB中，∠ACB=∠DBE∠A=∠DEB=90°∴△ABC≌△EDB（AAS），∴DE＝AB，BE＝AC，∵AB＝1，AC＝3，∴DE＝1，BE＝3，∴AE＝AB+BE＝1+3＝4，∵∠DEB+∠A＝180°，∴DE∥AC，∴△DEF∽△CAF，∴DEAC∴13∴EF＝2，∴BF＝BE+EF＝3+2＝5，∴S△BDF=1（3）如图所示，连接CE，交BD于点N，过点N作MN⊥AF于点M，∵∠A＝∠BMN＝90°，∠ACB＝90°﹣∠ABC＝∠NBM，∴△ABC∽△MNB，∴BNBC即BNBC即MN=13又∵MN∥AC，∴△EMN∽△ECA，∴ME设BM＝x，则ME＝BE﹣BM＝3﹣x，3−x4解得x=27∴BNBC故答案为：91326．（10分）我们不妨约定，如果三条线段a，b，c的长度满足一条线段长的倒数是另两条线段长的倒数和，那么称线段a，b，c为“和谐三线”，例如，长度为1，1，12（1）如图1，若点