2025年中考数学几何模型综合训练专题13等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分精练（教师版）

专题13等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型

维维亚尼定理（Viviani'stheorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边

三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点

的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。

而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去

相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连

接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等边三角形中维维尼亚模型..............................................................................................................1

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型..............................................................................................................6

.................................................................................................................................................13

模型1.等边三角形中维维尼亚模型

条件：在等边VABC中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。

结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM；

②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。

（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

图1图2

证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵VABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，

1111

则SSSSABPDBCPFACPEBCPDPFPE，

ABCABPBCPACP2222

1

∵SSSSBCAM；∴PD+PE+PF=AM。

ABCABPBCPACP2

②如图3，连结AP，BP，CP。∵VABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，

1111

则SSSSABPDACPEBCPFBCPDPEPF，

ABCABPACPBCP2222

1

∵SSSSBCAM；∴PD+PE-PF=AM。

ABCABPBCPACP2

例1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点

分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（）

3

A．B．3C．2D．23

2

【答案】B

【分析】求出等边三角形的高，再根据ABC的面积等于PAB、PBC、PAC三个三角形面积的和，列

△△△△

式并整理即可得到PD＋PE＋PF等于三角形的高．

1

【详解】解：∵正三角形的边长为2，∴高为2×sin60°＝3，∴SABC＝×2×3＝3，

2

△

111

∵PD、PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，∴SPBC＝BC•PD，SPAC＝AC•PE，SPAB＝AB•PF，

222

△△△

1111

∵AB＝BC＝AC，∴SPBC+SPAC+SPAB＝BC•PD+AC•PE+AB•PF＝×2（PD+PE+PF）＝PD+PE+PF，

2222

△△△

∵SABC＝SPBC+SPAC+SPAB，∴PD+PE+PF＝3．故选B．

△△△△

【点睛】本题利用等边三角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分成的三个三角形的面积的和求解．

例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边ABC外一点，设点P到三边的距离PDh1,PEh2,PFh3，

且h1h2h36，则ABC的面积等于（）

A．43B．63C．123D．243

【答案】C

【分析】本题考查等边三角形的性质，连接PA、PB、PC，过B作BGAC于点G，根据面积相等得出

11113

ACBGBCh2ABh1ACh3，求出BGh1h2h36，得出AC2AG2643，即

22223

可求出面积．

【详解】解：如图，连接PA、PB、PC，过B作BGAC于点G，

1111

∵SSSS，ACBGBChABhACh，

ABCPBCPABPAC2222123

3

ABACBC，BGh1h2h36，∴AC2AG2643，

3

1

∴S436123．故选：C

ABC2

例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA4，PB23，PC2，

V

以下3个结论：①BPC120；②AB27；③S△ABP43；④若点P到ABC三边的距离分别为PE，

3

PF，PG，则有PEPFPGAB，其中正确的有（）

2

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】B

【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60，得到AHB，连接HP，由全等三角形的性质可得AHAP4，

BHPC2，AHBAPC，可证△AHP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求HBP90，取HP中

1

点Q，连接BQ，根据直角三角形斜边中线性质可求BQHPPQHQ2HB，进判断△BHQ为等边

2

三角形，HPB30，可得AHB120APC，BPC150，可判断①，由勾股定理可求AB的长，

可判断②，由三角形的面积公式可求ABP的面积，可判断③，由三角形的面积公式可求PEPFPG的

值，即可判断④．

【详解】解：如图，将△APC绕点A顺时针旋转60，得到AHB，连接HP，

∴APC≌AHB，HAP60，∴AHAP4，BHPC2，AHBAPC，

∴△AHP是等边三角形，∴HP4，AHPAPH60，

∵HP216，BH2BP216，∴HP2BH2BP2，∴HBP90，

1

取HP中点Q，连接BQ，∴BQHPPQHQ2HB，∴△BHQ是等边三角形，

2

∴BHQBQH60，∵QPQB，∴QBPQPB，

又BQHQBPQPB∴BPH30°，∴APBHPBAPH90，

∴AHBAHPBHP120APC，∴BPC360APBAPC150，故①错误；

∵APB90，∴ABAP2BP227，故②正确；

11

∴SBPAP42343，故③正确，如图，

ABP22

133

∴ABPGPFPEAB2，∴PGPFPEAB，故④正确，故选：B．

242

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形

的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

例4．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在VABC中，ABAC，且B60，过A作APBC

于点P，点M是直线BC上一动点，设点M到VABC两边AB、AC的距离分别为m，n，VABC的高为h．

(1)当点M运动到什么位置时，mn，并说明理由．

(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．

m2n2h2mn

(3)如图（3），当点M运动到BC的延长线上时，求证：

202220221011

【答案】(1)证明见解析(2)mnh，证明见解析(3)证明见解析

【分析】（1）当点P与点M重合时，过点M作MDAB于点D，MEAC于点E，由等边三角形的性质

得出BMCM，则S△ABMS△ACM，根据三角形面积公式可得出结论；（2）连接AM，根据SABCSABPSAPC

可得出结论；（3）连接AM，根据SAMCSABCSABM可得出nhm，进行变形后可得出结论．

【详解】（1）解：当点P与点M重合时，mn，

理由：过点M作MDAB于点D，MEAC于点E，如图，则MDm，MEn，

∵ABAC，且B60，∴VABC是等边三角形，

∵APBC即AMBC，∴BMCM，∴S△ABMS△ACM，

11

∴ABMDACME，∴MDME，∴mn；

22

（2）解：mnh．理由如下：如图②，连接AM，则SABCSABMSAMC，

111111

∴ABMDMEACBCAP，即ABmACnBCh，

222222

又∵VABC是等边三角形，∴BCABAC，∴mnh；

（3）解：如图，连接AM，则SAMCSABCSABM，

111111

∴ACMEBCAPABMD，即ACnBChABm，

222222

又∵VABC是等边三角形，∴ACBCAB，∴nhm，

222

22mn2mnh

∴mnh，∴m2n22mnh2，两边同时除以2022得，，

202220222022

m2n2mnh2m2n2h2mn

∴，即．

202210112022202220221011

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，

运用等积法建立关系式是解题的关键．

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型

条件：如图，等腰VABC（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，

结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。

②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。

图1图2

证明：①如图1，连结AP；∵VABC是等边三角形，∴AB=AC，

1111

则SSSABPDACPEABPDPE，∵SABCF；∴PE+PD=CF。

ABCABPACP222ABC2

①如图2，连结AP；∵VABC是等边三角形，∴AB=AC，

1111

则SSSABPFACPEABPFPE，∵SABCD；∴PF-PE=CD。

ABCABPACP222ABC2

例1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，

OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为△43，则OE+OF的值为()

A．1.5B．23C．2.5D．3

【答案】B

11

【分析】连接AO，根据三角形的面积公式即可得到AB•OE＋AC•OF＝12，根据等腰三角形的性质进而

22

求得OE＋OF的值．

【详解】连接AO，如图，

11

∵AB＝AC＝4，∴SABC＝SABO＋SAOC＝AB•OE＋AC•OF＝12，

22

△△△

1

∵AB＝AC，∴AB（OE＋OF）＝43，∴OE＋OF＝23．故选：B．

2

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．

例2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折

痕EF上的任意一点，过点P作PGBE，垂足分别为G，H，若AD16，CF6，则PGPH．

【答案】8

【分析】本题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和等角对等边是解决此

题的关键．连接BP，过点E作EQBC于Q，根据SBEPSBFPSBEF可得出PGPHEQ，根据折叠的

性质可得CFCF6，BCCD，CC90，利用勾股定理求出BC，继而求出EQ，然后即可求出

结论．

【详解】解：如图，过点E作EQBC于Q，连接BP，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴DEFBFE，

由折叠可得，DEFBEF，∴BFEBEF，∴BEBF，

111

∵PGBE、PHBC，∴SSSBEPGBFPHBFPGPH，

BEFBEPBFP222

1

∵SBEFBFEQ，∴PGPHEQ，∵四边形ABCD是长方形，∴ADBC，CADC90．

2

∵AD16，CF6，∴BFBCCFADCF10．

由折叠易知，CFCF6，BCCD，CC90，

∴BCBF2CF28∴CBCDEQ8．∴PGPHEQ8．故答案为：8．

例3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰VABC并标注：ABAC10，

A30，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．

(1)甲同学提出：BC______度；(2)乙同学提出：VABC的面积为：______；

(3)丙同学提出：点D为边BC的中点，DEAB，DFAC，垂足为E、F，请求出DEDF的值；

(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边BC上任一点，DEAB，DFAC，CHAB，垂足为E、F、H，

则有DEDFCH．请你为丁同学说明理由．

【答案】(1)75(2)25(3)5(4)见解析

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可；（2）过点B作BHAC，交AC于点H，根据30角所

111

对的直角边等于斜边的一半求出BHAB5，根据三角形面积公式求出SACBH10525

2ABC22

11

即可；（3）先证明DEDF，根据SABDE，SACDF得出SABCSABDSACD5DEDF，

ABD2ACD2

1

即5DEDF25，即可求出结果；（4）连接AD，根据三角形的面积公式得出SABDE，

ABD2

11111

SACDF，SABCH，根据S△ABDS△ACDS△ABC，得出ABDEACDFABCH，

ACD2ABC2222

即ABDEDFABCH，即可求出结果．

1

【详解】（1）解：ABAC10，A30，BC180A75；

2

（2）解：过点B作BHAC，交AC于点H，则：BHA90°，

111

ABAC10，A30，BHAB5，SACBH10525；

2△ABC22

（3）解：连接AD，如图所示：ABAC，点D为边BC的中点，AD平分BAC，

∵DE⊥AB，DFAC，DEDF（角平分线的性质）；

11

∵ABAC10，SABDE，SACDF，

ABD2ACD2

111

SSSABDEACDFACDEDF5DEDF

△ABC△ABD△ACD222

由（2）知SABC25，5DEDF25，DEDF5；

（4）证明：连接AD，如图所示：

111

∵DEAB，DFAC，CHAB，SABDE，SACDF，SABCH，

ABD2ACD2ABC2

111

SSS，ABAC，ABDEACDFABCH，

ABDACDABC222

即：ABDEDFABCH，DEDFCH．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练

掌握等腰三角形的性质，准确计算．

例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形ABC中，ABAC，点P是底边BC上

的一点，PDAB，垂足为点D，PEAC，垂足为点E．求证：PDPE为定长．

（2）如图（2），已知在等腰三角形ABC中，ABAC，点P是底边BC的延长线上的一点，PDAB，垂

足为点D，PEAC，垂足为点E．求证：PDPE为定长．（3）如图（3），已知：点P为等边三角形ABC

内任意一点，过P分别作三边的垂线，分别交三边与D、E、F．求证：PDPEPF为定长．

【答案】证明见解析

【分析】（1）首先过点C作CFAB，垂足为点F；连接AP，根据S△ABCS△ABPS△ACP列出等式，

111

ABCFABPDACPE，然后根据ABAC，即可得证；

222

（2）首先过点C作CFAB，垂足为点F；连接AP，根据S△ABCS△ABPS△ACP，得出

111

ABCFABPDACPE，然后根据ABAC，即可得证；

222

1111

（3）根据S△S△S△S△，得出关系式BCAGABPDBCPECAPF，然后

ABCBCPCAPABP2222

根据ABC为等边三角形，得出ABBCCA，即可得证.

【详解】（1）过点C作CFAB，垂足为点F；连接AP．

111

∵S△S△S△，∴ABCFABPDACPE．

ABCABPACP222

又∵ABAC，∴PDPECF，为定长．即等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长．

（2）过点C作CFAB，垂足为点F；连接AP．

111

∵S△S△S△，∴ABCFABPDACPE．

ABCABPACP222

又∵ABAC，∴PDPECF，为定长．

即等腰三角形底边的延长线上的任意一点，到两腰的距高之差等于定长．

1111

（3）∵S△S△S△S△，∴BCAGABPDBCPECAPF．

ABCBCPCAPABP2222

又∵ABC为等边三角形，∴ABBCCA．∴PAPBPCAG，为定长．

即等边三角形内一点到三边距离之和为定长．

【点睛】此题主要考查利用面积构建等式，结合等腰三角形和等边三角形的性质，即可解题.

例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B

＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．

(1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度．

(2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．

①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断BCD的形状，

并明理由．(3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足△为E，点P为

边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN

与CE的数量关系？请说明理由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角

四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝213dm，AD

＝3dm，BD＝37dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求DEM与CEN的周长之和．

△△

【答案】(1)55°(2)①见解析；②△BCD是等边三角形，理由见解析

(3)在点P的运动过程中，PM+PN＝CE，理由见解析(4)（6+213）dm

【分析】（1）由∠A=130°，∠B=120°知不可能还有内角与∠A、∠B相等（否则内角和大于360°），则∠C=

∠D，即得∠D=55°；（2）①由ED//BC得∠EDB=∠DBC，根据对角线BD平分∠ABC得∠ABD=∠DBC，

故∠ABD=∠EDB，即证四边形ABDE为等邻角四边形；②设∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°，

x60

由∠A+∠C+∠E=300°得3x+y=240，在BCD中，x+2y=180，可解得，即∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，

y60

△

故BCD是等边三角形；（3）过P作PGCE于G，由图象可得：四边形PMEG是矩形，再证明PGC≌

△C△NP，得CG=PN，即有PM+PN＝EG+CG=CE；（4）作BHAD，由(3)中的结论可得：ED+EC=△BH，设

DH=xdm，利用BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2，解得x，求得BH，进而求出ED+EC，再根据斜中线定理求得

DEM与CEN的周长之和．

△【详解】（△1）解：∵∠A=130°，∠B=120°，根据“等邻角四边形”定义可知：

∠C=∠D，∴∠D=(360°−130°−120°)÷2=55°；

（2）①证明：∵ED//BC，∴∠EDB=∠DBC，

∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴四边形ABDE为等邻角四边形，

②解：BCD是等边三角形，理由如下：由①知：∠EDB=∠DBC=∠ABD，

设∠ED△B=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°，

∵∠A+∠C+∠E=300°，五边形ABCDE内角和为(5﹣2)×180°=540°，

∴∠EDC+∠ABC=540°－300°=240°，即：3x+y=240，

在BCD中，∠DBC+∠BDC+∠C=180°，即x+2y=180，

3xy240x60

由联△立方程组，解得，

x2y180y60

∴∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，∴△BCD是等边三角形；

（3）解：在点P的运动过程中，PM+PN=CE，理由如下：

过P作PGCE于G，如图：

∵PMAB，CEAB，PGCE，∴∠PME=∠MEG=∠EGP=90°，

∴四边形PMEG是矩形，∴PM=EG，ME//PG，AB//PG，∴∠B=∠GPC，

∵∠B=∠NCP，∴∠GPC＝∠NCP，∵PNCD，∴∠PGC=∠CNP=90°，

∵CP=PC，∴△PGC≌△CNP（AAS），∴CG=PN，∴PM+PN＝EG+CG=CE，

即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于CE；

（4）作BHAD，垂足为H，如图：由(3)中的结论可得：ED+EC=BH，

设DH=xdm，则AH=AD+DH=(3+x)dm，

∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°，∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2，

∵AB＝213，AD＝3，BD＝37，∴(37)2﹣x2＝(213)2﹣(3+x)2，解得：x＝1，

∴BH2＝BD2﹣DH2，＝37﹣1＝36，∴BH＝6dm，∴ED+EC＝6，

∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M、N分别为AE、BE的中点，

11

∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE，

22

∴△DEM与CEN的周长之和

△

DE+DM+EM+CN+EN+EC＝DE+AE+BE+EC＝DE+AB+EC＝DE+EC+AB＝6+213，

∴△DEM与CEN的周长之和为(6+213)dm．

【点睛】本题△考查多边形综合应用，涉及新定义等邻角四边形的证明，三角形全等的判定和性质，等边三

角形的判定和性质以及直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．

2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰ABC中，ABAC5，BC6，O是ABC外一点，

O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD:O△E:OF1:4:4，则AO的长度为（）△

4080

A．5B．6C．D．

717

【答案】D

【分析】连接OA,OB,OC，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠

BAC的角平分线，再根据AB=AC，得到AO⊥BC，根据三线合一及勾股定理求出AD=4，再根据

S△ABCS△ABOS△ACOS△BCO，得到方程求解即可．

【详解】解：连接OA,OB,OC,由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x,OE=4x,OF=4x，

∵OE=OF，∴AO为∠BAC的角平分线，

又∵AB=AC，∴AO⊥BC，∴AD为ABC的中线，∴A、D、O三点共线，∴BD=3，

22△22

在RtABD中，AD=ABBD53=4，∴S△ABCS△ABOS△ACOS△BCO

△121280

∴12=10x+10x−3x，∴x=∴AO=4+=.故选：D．

171717

【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面

积公式是解题的关键．

2．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在等腰ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是底

边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分△别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（）

A．0.75B．0.8C．1.25D．1.35

【答案】C

【分析】连接AG，根据SCGA+SBGA＝SABC，AC＝AB，得到GE+GF＝BD，求得GF的长，根据∠ABC=

△G△F△

∠C，得到tan∠ABC=tanC＝2＝，求解即可.

BF

【详解】解：连接AG，

∵SCGA+SBGA＝SABC，

1△△1△1

∴×AC×GE+×AB×GF＝×AC×BD，

222

∵AC＝AB，

∴GE+GF＝BD，

∵BD＝4，GE＝1.5，

∴GF＝2.5，

GF

∵tan∠ABC=tanC＝2＝，

BF

∴BF=1.25.

故选C．

【点睛】本题主要考查锐角的正切值，三角形面积公式，解此题的关键在于作辅助线构造三角形.

3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若

PDPEPF6，且VABC是等边三角形，则VABC的周长为（）

A．12B．18C．24D．30

【答案】B

【分析】延长FP交BC于N，延长EP交AB于M，由条件推出四边形PMBD，四边形PNCE是平行四边

形，PFM，PDN是等边三角形，得到BCPFPDPE6，即可求出VABC的周长．

【详解】解：延长FP交BC于N，延长EP交AB于M，

，

PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，

四边形PMBD，四边形PNCE是平行四边形，

CNPE，BDPM，

ABC是等边三角形，

∴BC60，

PDNB60，PNDC60，

DPN180PDNPND60，

PDN是等边三角形，

同理：△PFM是等边三角形，

PDDN，PFMP，

PFBD，

BCBDDNCNPFPDPE6，

ABC的周长为6318，

故选：B．

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，关键是由等边三

角形的性质，平行四边形的性质证明BCPFPDPE6．

4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，VABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一

点，DEAB于点E．DFAC于点F．若BC边上的高线AM6，则DEDF．

【答案】6

【分析】

此题主要考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索

问题的精神．

先设BDx，则CD6x，根据VABC是等边三角形，得出BC60，再利用三角函数求出ED和DF

的长，即可得出DEDF的值．

【详解】

解：

BC边上的高线AM6，

∴ABBCAC43，

设BDx，则CD43x，

ABC是等边三角形，

∴BC60．

3

∴EDBDsin60，即EDx，

2

33

同理可证：DF43x6x，

22

33

∴DEDFx6x6．

22

故答案为：6．

5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C90，CA6，CB8，点P为此三角形内部

（包含三角形的边）的一点且P到三角形三边的距离和为7，则CP的最小值为．

11

【答案】5

5

【分析】以点C为原点，CB为x轴正半轴，CA为y轴正半轴建立平面直角坐标系，设P为x,y根据已知

和等面积法得到x、y的关系式，则可知点P在直线y2x11上运动，当CP垂直该直线时，CP最小，求

出CP所在的直线方程，联立方程组求点P坐标，再利用两点间距离公式即可求解．

【详解】如图所示，以点C为原点，CB为x轴正半轴，CA为y轴正半轴建立平面直角坐标系，

设P为x,y，过P作PEx轴，PFy轴，PDAB，

∴PEy，PFx，连接PA，PC，PB，

∴S△ABCS△ACPS△BCPS△ABP，

1111

∴68x6y810PD，

2222

243x4y

解得：PD，

5

∵P到三角形ABC三边的距离和为7，

∴PEPFPD7，

243x4y

即：xy7，

5

整理得：y2x11，

∴点P在直线y2x11上运动，设直线y2x11为l，

∴当CP1l交l于点P1时，CP1最小，

1

∴kCPkl1，∴k，

1CP12

又∵直线CP1过原点C0,0，

1

∴直线CP为：yx，

12

22

1x

yx5

联立2，解得：，

11

y2x11y

5

2211

∴点P1为,，

55

∴最小值CP为CP1，

22

221111

即：5．

555

【点睛】本题是将几何图形问题转化为平面直角坐标系中的问题，涉及三角形的等面积法、求直线方程、

直线方程的动点和最值问题、解二元一次方程组、两点间的距离公式等知识，解答的关键是找到相关知识

的关联点，利用代数知识解决几何问题，是有一定难度的填空压轴题．

6．（2024八年级·广东·培优）如图，ABC中，ACBC，点P是边AB上任意一点，点Q是AB延长线上

任意一点，过点P分别作PDAC于点D，PEBC于点E，过点Q分别作QFAC于点F，QGBC于

点G，则PDPEQGFQ．（填“>”“<”或“=”）

【答案】

【分析】本题考查三角形的概念，熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键，连接连接CP、CQ，利

用“等面积法”可得SACPSBCPSACQSBCQ，从而得到ACPDBCPEACFQBCQG，又ACBC，

进而可得PDPEFQQG，即可得答案．

【详解】解：连接CP、CQ，如图所示：

∵SACPSBCPSACQSBCQ﹐且PDAC，PEBC，QFAC，QGBC，

∴ACPDBCPEACFQBCQG，

∵ACBC，

∴PDPEFQQG，

∴PDPEQGFQ．

故答案为：．

7．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C

处，点Р为折痕EF上的任一点，过点Р作PGBE、PHBC，垂足分别为G、H，若AD24cm，CF9cm，

PG2cm则下列结论正确的有（填正确结论的序号）①DE15cm②△BEF的面积是90cm2③

3

sinDFC④PH10cm．

5

【答案】①②④

【分析】根据将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，证明四边形BFDE是菱形，

可得BFBCCF15cm，得DE15cm，判断①符合题意；求出CDDF2CF212cm，可得

CD4

△BEF的面积，判断②符合题意，在RtVCDF中，sinDFC，判断③不符合题意；由

DF5

SBEFSBEPSBFP，可得PH10cm，判断④符合题意．

【详解】解：∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，

∴DEFBEF，DEBE，DFBF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，ADBC24，

∴DEFBFE，

∴BFEBEF，

∴BEBF，

∴DEBEBFDF，

∴四边形BFDE是菱形，

∵BFBCCF24915cm，

∴DE15cm，故①符合题意；

∴DFDE15cm，

在Rt△DFC中，CDDF2CF21529212cm，

11

∴△BEF的面积为BFCD151290cm2，故②符合题意；

22

CD124

在RtVCDF中，sinDFC，故③不符合题意；

DF155

如图，连接BP，

∵SBEFSBEPSBFP

11

∴15PG15PH90，而PG2cm，

22

∴PH10cm，故④符合题意，

∴正确的有①②④，

故答案为：①②④．

【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，菱形的判定，涉及勾股定理及应用，锐角三角函数等知识，解题的

关键是掌握翻折的性质．

8．（2024八年级·广东·培优）如图，在ABC中，线段AD为中线，点O为线段AD的中点，直线l经过点

O，且B，C两点在l的同侧，过点B，C，D，A作直线l的垂线，垂足分别为点E，F，H，G．则下列说

法一定正确的有．

①△AIG≌△BIE；

②AGDH；

③2AGBECF；

④若点B，C位于l异侧，有2AGBECF．

【答案】②③/③②

BDEH

【分析】连接AH，DG，证明AOG≌DOHAAS，可判定②；证明BE∥DH∥CF，得，

CDFH

由BDCD，可得EHFH，即DH是梯形BCFE的中位线，由梯形中位线性质可判定③；在VAIG与VBIE

中，AGIBEI90，AIGBIE，GAIEBI，得AG与BE是对应边，由于AGDH，无条件

能得出DHBE，故不能判定两三角形全等，可判定①；若点B，C位于l异侧，分两种情况：当BECF时，

求得2AGBECF；当BECF时，求得2AGCFBE，可判定④．

【详解】解：连接AH，DG，如图，

∵AGl，DHl，

∴AGHDHG90

∵AOGDOH，OAOD，

∴AOG≌DOHAAS，

∴AGDH，故②正确；

∵BEl，DHl，CFl，

∴BE∥DH∥CF，

BDEH

∴

CDFH

∵AD为ABC的中线，

∴BDCD

∴EHFH

∴DH是梯形BCFE的中位线，

1

∴DHBECF

2

∵AGDH

∴2AGBECF，故③正确；

在VAIG与VBIE中，AGIBEI90，AIGBIE，GAIEBI，

∵AGDH，而DH与BE不一定相等，则AG与BE不一定相等，

∴VAIG与V